数学文化期末考试.

数学文化期末考试重点

（仅供参考）

★切记：数学老师喜欢美的事物，so~字迹工整很重要！

题型：选择、填空题、计算题、简答题、论述题（不超过300字，阐述主要观点）

★课本知识：

1、万物皆数说：毕达哥拉斯“数字统治着宇宙”

2、符号说：伽利略、希尔伯特；数学是一个符号化的世界

3、哲学说：亚里士多德、欧几里得

4、科学说：冯·诺依曼；学科的相对独立性

5、逻辑说：怀特黑德、罗素、费雷尔；形式逻辑与辩证逻辑；演绎与归纳推理

6、集合说：康托尔；集合论；全部数学都能够从公理集合论推导出来集合说是现代数学的基础。如有序对、关系、等价关系、线序、良序、函数、自然数等等。

7、结构说：张景中三种结构：代数结构、序结构、拓扑结构。数学是研究相互结构的关联，这种关联反映在变量关系上，如正变化和逆变化、加速变化、收敛变化、周期变化、阶梯变化等。张奠宙

8、模型说：怀特黑德、雷尼数学理论常常是某种具体问题的抽象模型，体现了思维对现实的反应。加法做合并或移入的模型，减法做拿走比较或逆运算的移出模型；微积分是物理运动的模型；概率论是偶然与必然的模型；欧氏几何是现实空间的模型；非欧几何是超维空间的模型。

9、工具说：扎德、开尔文、康德、怀特黑德数学成就了一切科学：欧氏几何的作用，绘画；经济数学、数量经济学、工程数学、生物数学医学；环境污染防治，数值天气预报

10、直觉说：布劳威尔直觉是数学家在进行深入研究时候的一种感受，虽感觉常常“不合”逻辑，但在开创性的研究中，“感觉”更加重要。仿生学、“红移”、复数的发现。

11、精神说：M·克莱因精神说认为数学是一种精神，特别是理性精神，能够使人类的思维得以运用到最完美的程度。指人的品格：专业的陶冶；理性优雅。指对于专业的追求：严谨、刻苦，有的人终生献身于数学。古希腊的很多优美文学、哲学、建筑学都得益于数学精神。

12、审美说：亚里士多德、冯·诺依曼、罗素、庞加莱

从论证的严密性体会数学的严肃美例：几何、代数命题的证明

从表达的简洁性体会数学的简约美例：牛顿定律、质能互变定律

从表达的对称性体会数学的和谐美例：椭圆、双曲线、抛物线方程等

奇异美例：奇点理论

13、活动说：彼赛尔职业、兴趣数学起源于人类的各种各样的实践活动。是一种人文意识、社会意识。

14、艺术说：哈代、A·波莱尔要能鉴赏数学，欣赏数学，能对一个很特殊的思维世界里的种种概念在精神上的雅与美有一种独特的感受力。

15、另外还有：技术说、语言说、游戏说

综上所述：数学是研究现实世界中数与形之间各种模型的一门结构性科学。

数学概念中的一些”原始概念”，是一种初始设定，是一种不需要证明的内容。比如点、线、面，我们只须指出它的所指意义就行了。

数学文化的“三元结构”指的是用如下的“三元结构”的价值体系来确定出一个比较完全的数学文化的体系结构。所谓数学文化的自在价值，是使数学成为一门学科的那部分实实在在的东西，这部分内容是用概念去界定的，是诸多概念的集合。

三原结构：自在价值（概念）、工具价值（方法）、应用价值（模型）

数学文化的”三元结构“图

四、数学文化的外延性有哪几种？举例子，至少四个。

（1）数学与文学。如用数学思维编写诗歌、文学作品，表现一部好作品中井然有序的结构，准确简洁的叙述；运用统计学研究《红楼梦》作者；对《红楼梦》进行统计分析和风格分析；运用频谱分析判断作品的作者。

（2）数学与史学。把数学方法引入到史学研究中产生了一门新学科——史衡学，是史学研究中的加工、整理更加科学化、准确化，排除较多人为主观因素。如1986年在上海陆家嘴发现的元朝玉褂中含有一个魔方，这个魔方虽是4阶，却远远超过西安安王府的6阶魔方，改变过去世界上只认为印度才有这种”完全魔方“的说法。

（3）数学与哲学。同宗同源

（4）数学与经济。比如：交换；数学的极大极小定理成就了“对策论”；“一般均衡理论”；控制理论和递度法。运用数学建立经济模型；运用数学方法组织、调度、控制生产过程，从数据处理中获取经济信息等。（5）数学与语言。如把演绎方法引人语言学，建立代数语言学；借助计算机，对语言进行整理，编纂辞书；计算机风格学被成功应用于”作者考证“的研究中。朱斯突破关于语言符号“连续性”的传统观念，引入“离散性”。

（6）数学与高科技。蒸汽机与微积分、定积分与面积计算、微分方程与水土保持；高科技的发展赖于对数学基础的支持与运用。如在石油勘探中，美国人在数据处理中运用Wiener滤波，在一条河流直下的930km 处，探明一个储量超过10亿桶的大油田；在飞机制造中运用有限元分析结构强度和稳定性；最优法使飞机既省油又提高速度；用概率论解释色盲分布的平稳性等。

五、数学文化的哲学思维有哪几种？具体内容？举例子、体会

（1）抽象思维。是数学思维中最根本、最基础的内容之一，是数学文化中哲学观的灵魂，所谓抽象，就是把同类事件中最关键、最根本的本质性的东西提取出来，并加以归纳，使其具有更大的推广性和普适性。抽象思维必须是在一个抽象概念中涵盖那个概念所涉及的所有物理现象的本质内容。

例如，七桥问题的解决与运用；又如老师为了更好地使学生理解概念帮掌握概念，往往会采取用具体的例证帮助学生形成概念，从而使学生学会从具体到抽象的思维过程。比如在集合概念的教学中，抓住集合中元素的确定性，互异性和无序性等内涵，举出定量的实例(包括对象定数、式、图形，人或其他任何事物)让学生对一定数量现象分析比较，抓住事物的属性，归纳出抽象集合概念，使学生容易把握集合概念的内涵，容易形成集合概念。在学习空集概念时，一定要用实例帮助学生建立空集的定义。例如举例A=｛X=｜X2 +1=0,X∈R｝,B=｛X｜X2 =0,X∈R｝并予以比较，学生就比较容易接受，再加深对空集概念的理解。此外，等学到交集运算时，再选择有关例子与习题，进一步充实学生对空集概念的理解。

✦抽象思维中的“七桥问题”：欧拉将两岸及两岛想象为四个点，把七桥想象为七条线，七桥图变成了一个简单的连接四个点的七条线的点线图，七桥问题就成为能否一笔画成此点线图的问题。除始、终点外，过中间点的线条数是偶数，是一笔画成的一个必要条件，若是奇数，画不成。最本质--组合拓扑的性质。

（2）逻辑思维。逻辑思维是人们在认识过程中借助概念、判断、推理等思维反映现实的过程，具有抽象概括、间接反映、借助语言等特征。逻辑思维作为数学的重要基础始终占据着数学哲学最重要的位置。数学文化中的逻辑思维具有典型的形式化特征，这种形式化的特征是以一种特殊语言符号的形式出现的，逻辑思维对于推动数学学科的发展具有重要作用。

✦逻辑思维的作用：

A、逻辑思维可以用来检验、证明数学真理。这种检验和证明，主要是借助演绎与归纳的方法鉴别真伪，通过演绎把数学真理从一般推到个别，推到特殊。通过归纳把个别在推广到一般。