学生用五年级下数学思维训练教材

第一讲立体图形及展开例题选讲例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。

如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。

请你为它设计一条最短的爬行路线。

练习与思考1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。

如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合?2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。

请画出蚂蚁爬行的最短路线。

问：这样的路线共有几条?3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。

这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。

已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。

5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?6.如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正方体?7.如图所示的是一个长方体，四边形APQC、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形)，P、Q分别为棱A1B1、B1C1，的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC、cQ、QP、PA。

第二讲长方体和正方体的表面积例题选讲例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。

例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。

例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?练习与思考1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。

2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的表面积。

4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?5.如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?6.如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体。

那么，它的表面积减少多少平方厘米?7.如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A为底打一个上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?8.如图，有一个棱长是1米的正方体木块。

沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和。

9.用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少?第三讲长方体和正方体的体积例题选讲例1:如图，一个长方体木块，从上部和下部分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米?例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米?例3:如图，正方体的棱长为4厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边长1厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。

练习与思考1．把一个长方体的长平均分成4段，每段长6厘米，表面积增加24平方厘米，求原长方体的体积。

2．用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是80厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米?3．如图，在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿一个边长为4厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的体积。

4．一个表面积是360平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米?5.一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240平方厘米，求原来长方体的体积。

6.一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为10、15、6平方厘米，求这个长方体的体积。

（40、60、24）7．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好)。

请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米?画一画，算一算。

8．一个长、宽、高分别是2l厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米?第四讲水面高度变化和等积变换例题选讲例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。

如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米?例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。

水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。

现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。

练习与思考1．在一个长20分米，宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。

现在在水中沉入一个棱长15分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米?2．一个长方体容器．，长90厘米，宽40厘米。

容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0．5米。

现在把铁块轻轻向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?3．一个棱长6分米的正方体容器，装满了水。

现将正方体容器里的水倒人一个长12分米，宽6分米，高5分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。

4．一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽6分米。

先倒入165升水，再浸入一块棱长3分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。

问：这个水箱的容积是多少?5．在一个长15分米，宽12分米的长方体容器中，水深10分米。

如果在水中浸入一个棱长是30厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米?6．有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们底面的边长分别是5米、3米、2米，把两堆碎石分别沉入中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高6厘米和4厘米。

如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米7．一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。

现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米?8．现在有大、中、小三个铁球，一个装满水的长方体容器。

第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出，把中球浸入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起浸入水中。

已知每次从容器中溢出水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2．5倍。

问：大球体积是小球的多少倍?9．现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B(如图)，要将容器B的水倒一部分给A，使两容器水的高度相同，那么这时的水深是几厘米?10．棱长为1米的2100个正方体围成一个实心的长方体，它的高为10米，长和宽都大于高。

问：它的长和宽各为多少米?第五讲列方程解题例题选讲例1：御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。

如果每人出8元，就多84元，如果每人出6元，那么就少12元，御苑小学五(3)班有多少名学生?例2：胜利大队粮库里的大米是面粉的2倍，现在用卡车运走，每辆卡车装4吨大米和3吨面粉，当面粉运完时，还剩2 0吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨?练习与思考1．爸爸带一些钱去买酸奶，如果买1 O瓶就剩下4元，如果买12瓶同样的酸奶则差5.2元。

问：每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱2.滨江小学体育室里的篮球是足球的3倍。

体育课上，每班借8只篮球、5只足球，足球借完时还有84只篮球。

问：体育室原来有篮球和足球共多少只?。

3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。

如果每车坐60人，则有20人没有座位；如果每车多坐5人，则有一辆车空出45个座位。

请问：一共有多少辆公交车?五、六年级去秋游的学生一共有多少人?4.一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了8小时，已知这船在静水中的速度是每小时20千米，水流速度是每小时5千米。

请问：甲、乙两港之间的距离是多少千米?5.4个人的年龄之和是77岁，最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大7。

问：年龄最大的人是多少岁?6.一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的1．5倍，如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小18，求原来的数。

7.甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A地出发，丙从B地出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲，求A、B两地的距离。

8.甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出2000册，乙书店购入1000册，这时乙书店的册数是甲书店的2倍。

问：甲、乙两书店原来共存书多少册?9.在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73．5分，并且乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人?第六讲假设法解题例1:笼子里有若干只鸡和兔。

从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。

鸡和兔各有几只例2: 中央百货公司委托搬运公司送1000只茶杯，双方签订合同每只运费是0.3元如果打破1只，不但不付运费，而且还要照价赔偿1.5元。

结果搬运公司共得运费291元。

问：搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯?例3: ?有黑、白棋子各一堆，黑子个数是白子个数的2倍，现在从这堆棋子中每次取出4个黑子和3个白子，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个，求黑子和白子各有多少个练习与思考1．有5元和10元的邮票共20张，总面值125元。

问：5元的和10元的邮票各多少张? 2．某搬运站为某商店运800只花瓶，运费为每只3元，如果损坏一只，不但不给运费还要照价赔偿5元，结果搬运站共得运费2352元。