随机信号分析与处理

设
Y1 = X 1
Y2 = X 1 X 2
对应的反函数关系为
x1 = y1 x2 = y2 / y1
∂x1
J
=
∂(x1, x2 ) ∂( y1, y2 )
=
∂y1 ∂x2
∂y1
∂x1
∂y2 ∂x2
1 = − y2 / y12
∂y2
0 =− 1
− 1/ y1
y1
fY1Y2 ( y1 , y2 ) = f X1X 2 (x1 , x2 ) J
第 1 章 随机变量基础
1.1 设有两个随机变量 X 和 Y，证明
fY|X ( y | x) =
f (x, y) f X (x)
，
f X |Y
(x
|
y)
=
f (x, y) fY (y)
y x+Δx
∫ ∫ f (x, y)dxdy
提示：首先证明 F ( y | x < X ≤ x + Δx) = −∞ x
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n ， 0 < p < 1
求 X 的均值和方差。 解法一：直接按照定义计算
n
n
∑ ∑ E( X ) = mP{X = m} = mCnm pm (1− p)n−m
m=0
m=0
∑n
=m
n!
pm (1− p)n−m
可能性的讨论。
对于 g(x) 取 0 的情况，只有 x > c 或 x < −c 的时候才有可能：
P(Y = 0) = 1− P(x0 < X ≤ x1) 对于 g(x) 取 A 的情况，只有 −c < x ≤ c 的时候才有可能：
P(Y = A) = P(x0 < X ≤ x1)
所以 Y 的概率密度函数为
m=0 m!(n − m)!
∑ = n m n(n −1)(n − 2) (n − m +1) pm (1− p)n−m
m=0
m!
∑ = n m n(n −1)(n − 2) (n − m +1) pm (1− p)n−m
m=1
m!
∑ = np n (n −1)(n − 2) [n − (m −1)] pm−1(1− p)[(n−1)−(m−1)]
i =1
i =1
1.3 设随机变量 Y 与 X 满足如下函数关系
Y = g( X ) = sin( X + θ)
其中θ是已知常量，求 Y 的概率密度。
解答：显然，若 y > 1，则 fY ( y) = 0 。若 y ≤ 1，这时对于任意的 y ，有无穷多个 x 值与
之对应，即
x2n = arcsin y −θ + 2π n ， n = 0, ±1, ±2,… x2n+1 = π − arcsin y −θ + 2π n ， n = 0, ±1, ±2,…
∑ ∑ 注意：根据多项式展开式 (a + b)n
=
n i=0
Cni aibn−i
=
n i=0
n! a bi n−i i!(n − i)!
∑ = n n(n −1)(n − 2) (n − i +1)aibn−i
i=0
i!
所以有
∑n−1 (n −1)(n − 2) [(n −1) − m +1] pm (1− p)[(n−1)−m] = [ p + (1− p)]n−1
Jn
=
dxn dy
=
1 1− y2
所以，当 y ≤ 1时有
∑ fY ( y) =
1 1− y2
+∞
[g −1(x2n ) +
n=−∞
g −1( x2n+1)]
∑ = 1
+∞
[g −1(arcsin y −θ + 2π n) + g −1(π − arcsin y −θ + 2π n)]
1 − y2 n=−∞
<
X
≤
x2 )
=
P{Y ≤ y, x1 < X ≤ x2} P{x1 < X ≤ x2}
=
y x2 f (x, y)dxdy
−∞ x1
FX (x2 ) − FX (x1 )
上式对 y 求导，得
∫x2 f (x, y)dx
fY|x1< X ≤x2 ( y |
x1
<
X
≤
x2 )
=
x1
FX (x2 ) − FX (x1 )
所以 Y 的概率分布函数为
FY ( y) = [1− FX (x1) + FX (x0 )]U ( y) + [FX (x1) − FX (x0 )]U ( y − A)
解法二：从概率密度 fY ( y) 入手求概率分布函数 FY ( y) 。 由图可知 g(x) 的取值只可能为 0 或 A，求Y 的概率分布函数，也就是对 g(x) 取 0 或 A
n
∑ 则 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布，即 P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m 。 i =1 X 的所有可能取值为 0,1, 2,…, n 。由独立性可知，X 以特定的方式取 m（如前 m 个取
1，后 m 个取 0）的概率为 pm (1− p)n−m 。而 X 取 m 的两两互不相容的方式有 Cnm 种可能，
+∞
∫ fY2 ( y2 ) = −∞ u f X1X 2 ( y2u, u)du
即两个随机变量之商的概率密度为
+∞
∫ fY ( y) = −∞ u f X1X 2 ( yu, u)du
1.5 设Y = g( X ) ，其中
g
(
x)
=
⎧A ⎨⎩ 0
x0 < x < x1 else
假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求 Y 的概率分布函数。
（2） Y1 = X 1 X 2
设
Y1 = X 1
Y2 = X 1 / X 2
对应的反函数关系为
x1 = y1 x2 = y1 / y2
∂x1
J
=
∂(x1, x2 ) ∂( y1, y2 )
=
∂y1 ∂x2
∂y1
∂x1
∂y2 ∂x2
1 =
1/ y2
∂y2
0
−
y1
/
y
2 2
= − y1
y
2 2
fY1Y2 ( y1 , y2 ) =
f X1X 2 (x1 , x2 ) J
=
y1
y
2 2
f X1X 2 ( y1 , y1 / y2 )
∫ ∫ fY2 ( y2 ) =
+∞
−∞ fY1Y2 ( y1 , y2 )dy1 =
+∞ y1 y −∞ 2
2
f X1X 2 ( y1 , y1 / y2 )dy1
在上式中令 u = y1 / y2 , 则
，然后对 y 求导得，
FX (x + Δx) − FX (x)
x + Δx
∫ fY|x<X ≤x+Δx ( y | x < X
≤ x + Δx) =
f (x, y)dx
x
≈
FX (x + Δx) − FX (x)
f (x, y)Δx f X (x)Δx
最后求Δx→0 的极限。
∫ ∫ 解答：
F(y
|
x1
=
1 y1
f X1X 2 ( y1 , y2 / y1 )
∫ ∫ fY2 ( y2 ) =
+∞
−∞ fY1Y2 ( y1 , y2 )dy1 =
+∞ 1 −∞ y1
f X1X 2 ( y1 , y2 / y1 )dy1
即两个随机变量之积的概率密度为
∫ fY ( y) =
+∞ 1 −∞ u
f X1X 2 (u, y / u)du
fY ( y) = P(Y = 0)δ( y) + P(Y = A)δ( y − A) = [1− P(x0 < X ≤ x1)]δ( y) + P(x0 < X ≤ x1)δ( y − A) = [1− FX (x1) + FX (x0 )]δ( y) + [FX (x1) − FX (x0 )]δ( y − A) 对 fY ( y) 求积分可以得到 Y 的概率分布函数 FY ( y) ，注意其中的1− FX (x1) + FX (x0 ) 和 FX (x1) − FX (x0 ) 是常数。 ∴ FY ( y) = [1− FX (x1) + FX (x0 )]U ( y) + [FX (x1) − FX (x0 )]U ( y − A) 归纳：对于函数Y = g( X ) ，如果在区间[x0 , x1] 上为常数 A，即Y = g( X ) = A, x ∈[x0 , x1] ， 那么 Y 的概率密度函数为在 y = A 处不连续，跃变高度为 FX (x1) − FX (x0 ) 。
函数 g(x) 的图像如下
解法一：根据概率分布函数的定义计算。
当 y ≤ 0 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{X < x0} + P{X > x1} = P{X < x0}+1− P{X < x1} = F (x0 ) +1− F (x1)
当 y ≤ A 时， FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{x0 < X < x1} = FX (x1) − FX (x0 )
m=0
m!
类似地可得
E( X 2 ) = E[ X ( X −1) + X ] = E[ X ( X −1)] + E( X )
n
∑ =
m( m
−
1)C
m n
pm
(1 −
p)n−m
+
np
m=0
= n(n −1) p 2[ p + (1 − p)]n−2 + np
= n(n −1) p 2 + np
所以 X 的方差为
在上式中，假定 x1 = x ， x2 = x + Δx ( Δx 无穷小量)，则
x + Δx
∫ fY|x<X ≤x+Δx ( y | x < X
≤ x + Δx) =
f (x, y)dx
x
FX (x + Δx) − FX (x)
≈
f (x, y)Δx f X (x)Δx
因此
同理可得
fY|X
Baidu Nhomakorabea
(y
|
x)
02
⋅
P{ X i
=
0}
=
p
，
D(Xi )
=
E
(
X
2 i
)
−
E2(Xi)
=
p
−
p2
=
p(1 −
p)
n
∑ 根据 Xi 相互之间的独立性，所以对于服从二项分布的 X = Xi 有 i =1
n
n
E( X ) = E(∑ Xi ) = ∑ E( Xi ) = np
i =1
i =1
n
n
D( X ) = D(∑ Xi ) = ∑ D( Xi ) = np(1− p)
m=1
(m −1)!
∑ = np n−1 (n −1)(n − 2) (n − m) pm (1− p)[(n−1)−m]
m=0
m!
∑ = np n−1 (n −1)(n − 2) [(n −1) − m +1] pm (1− p)[(n−1)−m]
m=0
m!
= np[ p + (1 − p)]n−1 = np
=
lim
Δx→0
fY|x< X ≤x+Δx ( y
|
x
<
X
≤ x + Δx) =
f (x, y) f X (x)
于是有
f X |Y (x | y) =
f (x, y) fY (y)
f (x, y) = f X |Y (x | y) fY ( y) = fY|X ( y | x) f X (x)
1.2 设随机变量 X 服从二项式分布，其概率分布律为
∑ =
1 1− y2
+∞
g −1(xn )
n=−∞
即 Y 的概率密度为
∑ ⎧
fY
(
y)
=
⎪ ⎨
1 1−
y2
+∞
g −1(xn )
n=−∞
⎪ ⎩
0
y ≤1 else
1.4 设有随机变量 X1 和 X 2 ，求 Y = X1X 2 和 Z = X1 X 2 的概率密度。
解答：
（1） Y = X 1 X 2
1.6 设函数 g(x) 为
⎧x + c g(x) = ⎪⎨0
⎪⎩x − c
x < −c −c < x ≤ c x>c
其中 c > 0 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求Y = g( X ) 的概率分布函数。
解法一： 函数 g(x) 的图像如下：
分析此题仍然可以从 g(x) 取值的可能情况来讨论。
故有
P{X = m} = Cnm p m (1 − p)n−m ， m = 0,1, 2,....n
n
∑ 所以 X = Xi 服从参数为 n，p 的二项分布。 i =1
且有 E( Xi ) = 1⋅ P{Xi = 1}+ 0 ⋅ P{Xi = 0} = p ，
E
(
X
2 i
)
= 12
⋅
P{ X i
= 1}+
D( X ) = E( X 2 ) − E 2 ( X ) = n(n − 1) p 2 + np − (np)2 = np(1 − p)
解法二：设 X1, X 2 ,…, X n 相互独立，且都服从 (0 −1) 分布，分布规律为 P{Xi = 0} = 1− p ， P{Xi = 1} = p ， i = 1, 2,…, n ，
当 y = g(x) > 0 时，y 和 x 是一一对应的，也就是说 x 取什么值，y 的取值是可以唯一
确定的
故 FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{X + c ≤ y} = FX ( y − c) 同理，当 y = g(x) < 0 时，y 和 x 仍然是一一对应的，
故 FY ( y) = P{Y ≤ y} = P{X − c ≤ y} = FX ( y + c) 当 y = g(x) = 0 时，y 和 x 之间是一对多的关系，也就是说 y 取 0 的时候，x 此时有区