2.2地图投影的变形
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X'm X
Y'n Y
微小圆→变形椭圆 幻灯片 14
结论：微分椭圆上长短半轴等于 O 点上主方向的长度比，也可认为一点上的主方向的长度 比（也称极值长度比）为定值时，微分圆的形状及大小即告确定。 幻灯片 15 定义：地球面上一无穷小的圆在平面上一般被描写为一无穷小椭圆。这个椭圆是由于投影 变形而产生，故称此椭圆为变形椭圆。
幻灯片 1 地图投影的变形
幻灯片 2 地图投影的变形
本讲主要内容： 一、投影变形的性质 二、主方向和变形椭圆 三、长度比和长度变形 四、面积比和面积变形 五、角度变形 幻灯片 3 一、投影变形的性质 1、投影变形产生原因——地球的形状
幻灯片 4 2、投影变形的概念 地图投影不能保持平面与球面之间在长度（距离）、角度（形状）、面积等方面完全不变。 地球仪上经纬线网格和地图上比较：
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小 幻灯片 20 四、面积比和面积变形 1、面积比 投影平面上一微小面积 dF′与椭球体面上相应的微小面积 dF 之比。
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
面积比是变量，随位置的不同而变化。 幻灯片 21 2、面积变形
幻灯片 12 地图投影变形的分布规律 任何地图都有投影变形； 不同区域大小的投影其投影变形不同； 地图上存在没有变形的点（或线）； 距没有变形的点(或线)愈远，投影变形愈大，反之亦然； 地图投影反映的实地面积越大，投影变形越大，反之越小。 幻灯片 13
X'm X Y'n Y
为经线长度比； 为纬线长度比
α
α′
幻灯wk.baidu.com 23
幻灯片 24
幻灯片 25 本讲小结： 1、投影变形的概念 2、主方向和变形椭圆 3、长度比和长度变形 4、面积比和面积变形 5、角度变形
幻灯片 8
幻灯片 9
比较 幻灯片 10 二、主方向和变形椭圆 1、主方向 主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍
然正交，则这两个方向为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
b
a o
c
a’
Io\ ′
b’ c’
d
d’
幻灯片 11 2、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投 影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解 方法就叫变形椭圆。
幻灯片 5 地球仪上经纬网的特点: （1）地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；纬线长度不等，赤道最长，随 着纬度增高，极地为零。 （2）经线表示南北方向；
纬线表示东西方向。 （3）经线和纬线是相互垂直的。
幻灯片 6
（4）纬差相等的经线弧长相等； 同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而 从赤道向两极逐渐缩小。 （5）同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同 一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。 幻灯片 7
投影平面上一微小面积 dF′与椭球体面上相应的微小面积 dF 之差值同这微分面积 dF
之比 。 VP=（ dF′- dF ）/ dF= dF′/ dF –1=P-1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小 幻灯片 22 五、角度变形 投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相应的两方向线的夹角之差，称为角度变形。
幻灯片 16
表示一点的变形 扁平程度反映角度变形大小 一组变形椭圆反映全区域变形情况 幻灯片 17
幻灯片 18 三、长度比和长度变形 1、长度比
ds’ ds
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比 。 μ=ds′/ds
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。 幻灯片 19 2、长度变形
指投影面上一微分线段 ds’与椭球体面上相应微分线段长度 ds 之差值同这微分线段长 度 ds 之比。 Vμ=(ds′- ds )/ ds= ds′/ ds –1= μ-1
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微小圆→变形椭圆 幻灯片 14
结论：微分椭圆上长短半轴等于 O 点上主方向的长度比，也可认为一点上的主方向的长度 比（也称极值长度比）为定值时，微分圆的形状及大小即告确定。 幻灯片 15 定义：地球面上一无穷小的圆在平面上一般被描写为一无穷小椭圆。这个椭圆是由于投影 变形而产生，故称此椭圆为变形椭圆。
幻灯片 1 地图投影的变形
幻灯片 2 地图投影的变形
本讲主要内容： 一、投影变形的性质 二、主方向和变形椭圆 三、长度比和长度变形 四、面积比和面积变形 五、角度变形 幻灯片 3 一、投影变形的性质 1、投影变形产生原因——地球的形状
幻灯片 4 2、投影变形的概念 地图投影不能保持平面与球面之间在长度（距离）、角度（形状）、面积等方面完全不变。 地球仪上经纬线网格和地图上比较：
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小 幻灯片 20 四、面积比和面积变形 1、面积比 投影平面上一微小面积 dF′与椭球体面上相应的微小面积 dF 之比。
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
面积比是变量，随位置的不同而变化。 幻灯片 21 2、面积变形
幻灯片 12 地图投影变形的分布规律 任何地图都有投影变形； 不同区域大小的投影其投影变形不同； 地图上存在没有变形的点（或线）； 距没有变形的点(或线)愈远，投影变形愈大，反之亦然； 地图投影反映的实地面积越大，投影变形越大，反之越小。 幻灯片 13
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为经线长度比； 为纬线长度比
α
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幻灯片 25 本讲小结： 1、投影变形的概念 2、主方向和变形椭圆 3、长度比和长度变形 4、面积比和面积变形 5、角度变形
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比较 幻灯片 10 二、主方向和变形椭圆 1、主方向 主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍
然正交，则这两个方向为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
b
a o
c
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Io\ ′
b’ c’
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幻灯片 11 2、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），它投 影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这种图解 方法就叫变形椭圆。
幻灯片 5 地球仪上经纬网的特点: （1）地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；纬线长度不等，赤道最长，随 着纬度增高，极地为零。 （2）经线表示南北方向；
纬线表示东西方向。 （3）经线和纬线是相互垂直的。
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（4）纬差相等的经线弧长相等； 同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而 从赤道向两极逐渐缩小。 （5）同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同 一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。 幻灯片 7
投影平面上一微小面积 dF′与椭球体面上相应的微小面积 dF 之差值同这微分面积 dF
之比 。 VP=（ dF′- dF ）/ dF= dF′/ dF –1=P-1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小 幻灯片 22 五、角度变形 投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相应的两方向线的夹角之差，称为角度变形。
幻灯片 16
表示一点的变形 扁平程度反映角度变形大小 一组变形椭圆反映全区域变形情况 幻灯片 17
幻灯片 18 三、长度比和长度变形 1、长度比
ds’ ds
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比 。 μ=ds′/ds
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。 幻灯片 19 2、长度变形
指投影面上一微分线段 ds’与椭球体面上相应微分线段长度 ds 之差值同这微分线段长 度 ds 之比。 Vμ=(ds′- ds )/ ds= ds′/ ds –1= μ-1