第二章 平面力系和平面力偶系

1 FCy 2 q 2 2 0 2
FCy 2kN
Y 0
FBy FCy q 2 0
FBy 2kN
X 0
FBx FCx 0
(2)再取CDE段为研究对象 。
X 0
FCx 0
/
/
FBx 0
M D (F ) 0
FCy 2 FE 2 M 0
例2-4 如图所示的体系，已知P=150kN，AC=1.6m，BC=0.9m， CD=CE=1.2m ，AD=2m且AB水平，ED铅垂，BD垂直于斜面， 求FB和A支座反力。 解 (1)以体系整体为研究对象。 (2)画出受力图。 (3)选坐标列方程。
X
'
0, X A sin YA cos P sin 0
先作力多边形
c
b a d e
再将R 平移 至A点
平面汇交力系的合力等 于各分力的矢量和，合力 的作用线通过各力的汇交 点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR F 0
在上面几何法求力系的合力中，合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面 汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是： 力多边形自行封闭或力系中各力的矢量 和等于零。
中个别物体时必须考虑内力。
当物系处于平衡状态时，物系内的每个物体也处于平衡状态，
因此在研究物系平衡时，选取研究对象，既可以选个别物体， 也可以选几个物体的组合甚至整个物系 。
例2-6 多跨静定梁受力如图所示，求支座A、B、C处的反力 。
解 (1)首先取BC段为研究对象。
M B (F ) 0
B
M
(F ) 0,YA 2.5 P 1.2 0
AC 1.6 4 CD 1.2 3 ; cos AD 2 5 AD 2 5
而sin
解得 : X A 204KN; YA 72KN
(4)再研究 AB杆。
由 M C 0,
FB sinCB Y A AC 0
第一节
力在坐标轴上的投影
研究平面汇交力系的前提是力在坐标轴上的投影
X=Fx=F cos=F sin Y=Fy=F cos = F sin
F X Y Fx Fy
2 2
2
2
X Fx cos F F
Y Fy cos F F
合力投影定理：
合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数 和。
ຫໍສະໝຸດ BaiduR
O
MO

FR

O’
O’
只要满足：
LO FR FR , d FR
合力矩定理——平面任意力系的合力对作用面内任一点 之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
M O ( FR) M O ( F )
第六节 平面任意力系的平衡方程及应用
物体在力系作用下，保持平衡的充分必要条件是:力系 的主矢与对任一点的主矩均为零 ，即：
i 1
n
即平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶 矩的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。
M
i 1
n
i
0
第四节
一、力线平移定理
力线的平移定理
作用在刚体上某点的力，可以平移至刚体上任意一点， 但同时必须增加一个附加力偶，该力偶的力偶矩等于原 力对该点之矩。
2、合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩等于力系 中所有各分力对同一点之矩的代数和，即
M O ( F ) M O ( Fi )
i 1 n
3、力矩与合力矩的解析表达式
M O ( F ) M O Fy M O Fx xF sin yF cos xFy yFx
2 2
由力的平行四边形法则合成， 也可用力的三角形法则合成。
合力方向由正弦定理：
F1 FR sin sin(180 )
2）任意个共点力的合成 ( 力多边形法） 推广至 n 个力
结论：FR F F F F 1 2 3 n
即 FR F
二、简化结果分析与合力矩定理
平面力系总可以简化为一个主矢和一个主矩，可能有以下几种情况：
(1) (2) (3) (4) ' FR 0 , LO 0 ' FR 0 , LO 0 ' FR 0 , LO 0 ' FR 0 , LO 0
称该力系平衡
该力系等效一个合力偶 该力系等效一个合力 仍然可以继续简化为一个合力，方法如下： FR FR d O O F R d
第三节
一、力对点的矩
力矩、平面力偶系的合成与平衡
1.力矩的概念和性质 将力F对点O的矩定义为：力F的大 小与从O 点到力F的作用线的垂直 距离的乘积，即
M O ( F ) Fh
方向用右手法则确定：以使物体作逆时针转动为正（图示 为正），作顺时针转动为负，将O点到力O的作用线的垂 直距离h称为力臂。
/
FE 5.5kN
Y 0
FCy FD FE q 4 0
/
FD 4.5kN
(3) 取AB段为研究对象。
X 0
FAx FBx 0
/
/
FAx FBx 0
/
/
Y 0
M
A
FAy FBy q 4 0
X 0 m A ( F ) 0 m B ( F ) 0 限制A、B两点的连线AB不能垂直于x轴。
1、二矩式
为什么上述的平 衡方程也能满 足力系平衡的必 要和充分条件？
FR
A
B
x
这是因为，如果力系对点A的主矩等于零，
则这个力系不可能简化为一个力偶；但可能 有两种情形：这个力系或者是简化为经过A 的一个力，或者平衡，如果力系对另一点B 的主矩也同时为零，则这个力系或有一合力 沿A，B两点的连线，或者平衡。 如果再加上X=0，那么力系如有合力， 则此合力必与X轴垂直。附加条件（x轴不 得垂直连线AB） 完全排除了力系简化一个合力的可能性，故 所研究的力系必为平衡力系。
问题：在应用平面力系二矩式平衡方程时,所选择的矩心A、 B，投影轴x为什么要满足附加条件？ 如下图所示，一刚体只受一个力F作用（显然刚体不 平衡，二矩式平衡方程不能成立），若所选的矩心A、B和投 影轴x违背附加条件的要求，则二矩式平衡方程 成立，因此 就出现了错误。所以，在使用二矩式平衡方程时，选择矩心 和投影轴时必须满足附加条件 即：投影轴不能与矩心A、B两点的连线相垂直。
第五节
平面任意力系的简化
一、力系向平面内任意一点的简化 平面任意力系的简化主要依据是力线平移定理，简化的 实质是将一个平面任意力系分解为一个平面汇交力系和 一个平面力偶系，然后将这两个力系进行合成 。
主矢
主矩
FR ' F1 F2 F3 F
M 0 ( F1 ) M 0 ( F2 ) M 0 ( F3 ) M 0 ( F ) L0 M 1 M 2 M 3
YA AC (72) 1.6 FB 160kN 4 BCsin 0.9 5
例2-5 简支梁受力如图所示，已知：均布荷载q=1kN/m，集中力 F=5kN，力偶M=4kN· m，求支座反力。
解: (1)以AB梁为研究对象。 (2)画出受力图。 (3)选坐标列方程。
由
M
A
(F ) 0
M M ( F , F ) Fd
''
M B ( F ) Fd
M M B ( F ) Fd
由证明过程可以归纳出：

（1）力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力等效与 力和力偶的共同作用；
（2）力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关， M=Fd； （3）力线平移定理是力系简化的理论基础。
X 0 , Y 0 , M O
F 0
上式称为平衡方程一矩式，二矩式和三矩式分别为： M A F 0 X 0 或 Y 0 0 M A F M B F 0 M F 0 B M C F 0 条件是：AB两点的连线不能 与 x 轴或 y 轴垂直 条件是：ABC三点不 能共线
FRx X1 X 2 X 4 X
FRy Y1 Y2 Y3 Y4 Y
FRx X
FRy Y
第二节
1.几何法
平面汇交力系的合成与平衡
一、平面汇交力系的合成
1）两个共点力的合成
由余弦定理：
FR F1 F2 2F1F2 cos （ 180o ）
三、平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的充要条件是：
FR 0 FR FR x FR y 0
2
2
FR x X 0 FR y Y 0
注意：对力的方向判定不准的，一般用解析法。利用 平衡方程通过解析法解题时，力的方向可以任意假设， 如果求出负值，说明力的方向与假设相反。
静不定问题——未知力数目多于对应的独立平衡方程的 数目。静不定问题的求解必须借助变形协调方程 。
二、物系的平衡

物系——两个或两个以上的物体通过一定的联结（约束）方
式组合在一起的系统称为物系或物体系。
物系内部物体之间作用的力称为内力；物体外部作用于整个
物系的力称为外力。
一般情况下，研究物系的受力时不考虑内力，但当研究物系
二、力偶 1、力偶及其性质 力偶：两力大小相等、作用线不重合的反向平行力叫力偶。 力偶使物体转动效应一般通过力偶 矩来衡量，力偶矩的大小为Fd， 方向由右手法则确定，平面力偶矩 也为代数量，用M（F，F′）来表 示，即 M（F，F′）=±2S△ABC
由此可以推出
M M1 M 2 M n M i
2、三矩式
m A ( F ) 0 m B ( F ) 0 mC ( F ) 0
限制A、B、C三点不能在同一条直线上。
问题：在应用平面力系三矩式平衡方程时，矩心A、B、 C三点为什么要满足附加条件？ 如果一刚体只受一个力F作用（显然刚体不平衡，三矩 式平衡方程不能成立),若在选择矩心时,违背附加条件的 要求，即：A、B、C选在一条直线上，如下图所示： 则三矩式平衡方程也成立，因此就出现了错误。所以， 在使用三矩式平衡方程时，三矩心的选择必须满足附加 条件，即：三点不能在一条直线上。
RB 8 M P 5 q 4 2 0 得 RB 4.63kN 结果为正值，说明与假设方向一致。
由 得
Y 0
R A 4.37kN
R A RB P q 4 0
结果为正值，说明与假设方向一致。
第七节 静定与静不定问题及物系的平衡
一、静定与静不定问题 静定问题——未知力数目等于对应的独立平衡方程的 数目，因此可以由平衡方程求得所有的未知量，这一 类问题我们称之为静定问题。
由合力投影定理，将上式写成解析形式，得：
2 2 FR ' F R x F R ' y ( X ) ( Y ) 2 2
Y F Ry 1 tan tan F Rx X
1
设刚体受到力系Fi (i=1, 2,…,n)作用，诸作用点相 对固定点O的矢径依次为ri (i=1, 2,…,n)。力系Fi的 矢量和，称为力系的主矢。记为FR, 主矢仅取决 于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点， 是一个自由矢量。计算力系Fi对固定点O的力矩的 矢量和，称为力系对点O的主矩。记为MO 它不仅 取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取 决于矩心的选择。因此，主矩是定位矢量。


二、固定端约束
在工程实际中，有很多构件的一部分嵌固 于另一物体上而受到约束作用，这样的约 束称为固定端约束。 这种约束不但限制物体在约 束处沿任意方向的线位移， 也限制物体在约束处的角位 移，即物体在A端没有移动 和转动。
MA FAx A FA y
固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分 力和一个力偶表示；