力矩和平面力偶系

第五节力矩和平面力偶系
一、力矩
1．力矩概念
力对刚体的移动效应取决于力的大小、方向和作用线；而力对刚体的转动效应则用力矩来度量。

实践告诉我们，用扳手拧（转动）螺母时，见图7-18a，其转动效应取决于力F的大小、方向（扳手的旋向〕以及力F到转动中心O的距离h。

a) b)
图7-18 力矩概念
一般情况下，刚体在图示平面内受力F作用，见图7-18b，并绕某一点O转动，则点O称为矩心，矩心O到力F作用线的距离h称为力臂，乘积F·h并加上适当的正负号称为力对O点之矩，简称力矩，用符号M O（F）或M O表示。

即
M O＝M O（F）＝±Fh （7-9）
力矩的正、负号规定如下：力使刚体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。

因此，力矩是一个与矩心位置有关的代数量。

力矩的单位为N·m。

2．合力矩定理
设刚体受到一合力为F的平面力系F1，F2，…，F n的作用，在平面内任取一点O为矩心，由于合力与整个力系等效，所以合力对O点的矩一定等于各个分力对O点之矩的代数和（证明从略），这一结论称为合力矩定理。

记为
M O（F）＝M O（F1）＋M O（F2）＋…＋M O（F n）＝ΣM O（F i）（7-10）
或M O＝M O l＋M O2＋…＋M O n＝ΣM Oi=ΣM O
例7-4图7-19所示为一渐开线（在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹）直齿圆柱齿轮，其齿廓在分度圆上的P点处受到一法向力F n的作用，且已知F n＝1000N，分度圆直径d＝200mm，分度圆压力角(P点处的压力角)α＝20°，试求力F n对轮心O点之矩。

图 7-19 力炬计算举例
解：
1．根据力矩的定义求解
m N 94m N 20cos 22.01000cos 2)(⋅-=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛︒⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=αd F h F F M n n n O 2．用合力矩定理求解。

将法向力F n 分解为圆周力F t 和径向力F r ，则可得
02
)cos ()()()(+-=+=d F M M M n r O t O n O αF F F m N 94m N 22.0)20cos 1000(⋅-=⋅⎥⎦⎤⎢⎣
⎡︒⨯-= 二、平面力偶系
1．力偶和力偶系
作用在同一刚体上的一对等值、反向、不共线的平行力称为力偶。

如图7-20a 中的力F 和F'就组成了力偶，组成力偶的两力之间的距离h 称为力偶臂。

汽车司机用双手转动方向盘，见图7-20b ，就是力偶作用的一个实际例子。

a) b)
图7-20 力偶概念 图7-21 力偶的度量——力偶矩
如前所述，力使刚体绕某点转动的效应可用力矩来度量。

因此力偶对刚体的转动效应就可用组成力偶的两力对某点的矩的代数和来度量。

如图7-21所示，在刚体上作用一力偶F 、F'，在力偶作用平面内任取一点O 为矩心，则力偶对O 点的矩为M O （F 、F'）＝M O （F ）+ M O （F'）＝F （h ＋x ）＋（－F'x ）＝Fh 。

同法可以证明，矩心O 取在其他任何位置，其结果保持不变。

由此说明力偶中两力对任一点的矩的代数和
是一个恒定的代数量，这个与矩心位置无关的恒定的代数量称为力偶矩，用“M”①表示，其大小等于力偶中一力的大小与力偶臂的乘积，其正、负号规定与力矩的规定相同，即力偶使刚体逆时针转动时取正，反之取负。

因此力偶矩的一般表达式为
M＝M O（F、F'）＝M O（F）+ M O（F'）＝±Fh （7－11）
力偶矩的单位也与力矩的单位相同，为N·m。

2．力偶的性质
1）力偶是一个由二力组成的特殊的不平衡力系，它不能合成为一个合力，所以不能与一力等效或平衡，力偶只能与力偶等效或平衡。

2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的转动效应，见图7-22a、b，即决定力偶对刚体转动效应的唯一特征量是力偶矩，因此力偶可以直接用力偶矩（带箭头的弧线）来表示，见图7－22c。

a) b) c)
图7-22 力偶的性质
3）力偶可以在其作用平面内任意转移，因其力偶矩不变，所以并不改变它对刚体的转动效应。

3．平面力偶系的合成与平衡条件
在同一平面内且作用于同一刚体上的多个力偶称为平面力偶系。

显然，平面力偶系的合成结果必为一个合力偶，其合力偶矩等于各个分力偶矩的代数和。

即
M＝M 1＋M 2＋…＋M n＝ΣM i （7-12）因此平面力偶系平衡的必要和充分条件是所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。

即
ΣM
＝0 （7-13）
i
由于组成力偶的两力对任一点的矩的代数和恒等于力偶矩，所以平面力偶系的平衡条件也可表达为平面力偶系中的所有各力对任一点矩的代数和等于零。

即
ΣM
（F i）＝0 （7-14）
O
例7-5在图7-23所示的展开式两级圆柱齿轮减速器（用于降低转速、传递动力、增大转矩的独立传动部件）中（图中未示出中间传动轴），已知在输入轴Ⅰ上作用有力偶矩M1＝－500N·m，在输出轴Ⅱ上作用有阻力偶矩M2＝2000N·m，地脚螺钉A和B相距l＝800mm，不计摩擦和减速器自重，求A、B处的法向约束力。

①力矩用M
（或M A、M B等）表示，以反映矩心位置O（或A、B等），而力偶也对刚体产生转动效应，且力偶矩就是力偶O
中两力对任一点的力矩的代数和，故两者应采用相同的字母表示，只是力偶矩与矩心位置无关，故直接用“M”表示，以资区别（不采取另用字母“T”表示）。

图7-23 平面力偶系的解题举例
解 1）取减速器为研究对象。

2）受力分析和受力图。

减速器在图示平面内受到两个力偶M 1和M 2以及A 、B 处地脚螺钉的法向约束力的作用下平衡。

由于力偶只能与力偶平衡，故A 、B 处的法向约束力F A 和F B 必构成一力偶。

假设F A 和F B 的方向如图所示。

3）列平衡方程并求解。

由平衡条件ΣM i ＝0，可得平衡方程
M l ＋M 2＋（-F A l ）＝0
得N 1875N 8
.020*******=+-=+==l M M F F B A 计算结果为正值，说明F A 和F B 的假设方向是正确的。

(答题时需要说明解出的力的方向)
补例 如补例图所示，联轴器上有四个均匀分布在同一圆周上的螺栓A 、B 、C 、D ，该圆的直径AC =BD =150mm ，电动机传给联轴器的力偶矩M = 2.5kN ·m ，试求每个螺栓的受力。

解 (1)作用在联轴器上的力为电动机施加的力偶，每个螺栓作用力的方向如图示。

假设四个螺栓受力均匀，即F 1=F 2=F 3=F 4=F ，此四力组成两个力偶(平面力偶系)。

联轴器等速转动时，平面力偶系平衡。

(2)列平衡方程
00=⨯-⨯-=∑BD F AC F M M O ，
因AC ＝BD 故 kN 33.815.025.22=⨯==
AC M F 每个螺栓受力均为8.33kN ，其方向分别与F 1、F 2、F 3、F 4的方向相反。