力矩和平面力偶系
工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
第三章 力偶与平面力偶理论)
M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
力矩与平面力偶系
在非平衡状态下，平面力偶中的两个力将不再保持大小相等、方向相反的关系。它们的大小和方向将发生变化， 以适应物体转动的需要。同时，随着物体转动的进行，作用于物体的力矩也将发生变化，以满足物体转动加速度 的要求。
04
实际应用案例分析
工程领域应用举例
桥梁设计
在桥梁设计中，力矩与平面力偶系的概念对于确定桥梁结构的稳定性和安全性至关重要。 通过计算和分析桥梁各部分的受力情况，工程师可以确保桥梁能够承受各种荷载和外部环 境因素的影响。
当平面力偶系处于平衡状态时，若受到微小扰动而偏离平衡位置，若系统能自动 恢复到原平衡状态，则称该系统是稳定的；若不能自动恢复，则称该系统是不稳 定的。稳定性与系统的结构、刚度、阻尼等因素有关。
03
力矩与平面力偶系关系探讨
相互作用原理阐述
力矩与平面力偶相互作用
力矩是力对物体产生的转动效应，而平面力偶是一对大小相等、方向相反且作用线平行的力，它们共 同作用在物体上，使物体产生转动。
力矩方向判断步骤
首先确定力的作用点和方向，然后确定转动轴的位置，最后根据右手螺旋定则 判断力矩的方向。
02
平面力偶系简介
定义及性质
定义
平面力偶系是由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力 组成的力系。
性质
力偶系中的两个力不产生合力，只产生转动效应，即力偶矩 。力偶矩的大小与两力的大小和两力之间的距离有关，而与 力的作用点位置无关。
力矩与平面力偶系
汇报人：XX
contents
目录
• 力矩基本概念 • 平面力偶系简介 • 力矩与平面力偶系关系探讨 • 实际应用案例分析 • 实验设计与操作演示 • 知识拓展与前沿动态
01
力矩基本概念
静力学第3章力矩平面力偶系
平面力偶由两个大小相等、方向相反、作用线重合的平行力组成，其合力矩等于两力与两力之间的距离的乘积。
平面力偶平衡方程的应用
平面力偶平衡方程的应用主要涉及确定物体在平面力偶作用下的平衡位置。 通过将物体的重力、支持力和已知力矩表示为未知数的函数，可以建立平面力偶平衡方程并求解未知数。 求解平面力偶平衡方程时，需要利用代数方法，如加减消元法、代入法等。
力矩具有方向性，遵循右手定则。
力矩的简化表示
力矩可以表示为代数和，即所有力和力臂的乘积相加。
1
力矩可以用矢量表示，包括大小和方向。
2
力矩可以用单位表示，例如牛顿·米（N·m）。
3
在某些情况下，力矩可以简化为更简单的形式，例如在某些坐标系中。
4
02
平面力偶系
平面力偶的定义
表示方法
定义
用实线表示主动力，用虚线表示反作用力，箭头指向表示力的方向。
平面力偶的性质
合成规则
合成结果
合成结果的应用
平面力偶系的合成
合成的力偶大小等于各分力偶大小之和，方向与各分力偶方向相同或相反，取决于各分力偶的方向是相同还是相反。
通过平面力偶系的合成，可以求出作用于刚体的总力偶，从而进一步分析刚体的平衡状态和运动状态。
当有多个平面力偶作用于同一刚体时，这些力偶可以按照平行四边形法则进行合成。合成结果是一个单一的力偶，其大小和方向由合成规则确定。
平面力偶是两个大小相等、方向相反、作用线重合的平行力，它们不在同一直线上。
力偶无合力
力偶无作用点
力偶无转动中心
平面力偶由两个大小相等、方向相反的力组成，它们在同一直线上但不在同一点上，因此无法合成一个合力。
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
力矩与平面力偶系
工程力学与建筑结构
1.4 力偶的合成 作用在同一物体上的若干个力偶组成一个力偶系，若
力偶系中各力偶均作用在同一平面，则称为平面力偶系。 平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于
各分力偶矩的代数和。即 M =M1＋M2＋…＋Mn=∑M
1.5力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力
偶矩的代数和为零。即 ∑M=0
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
工程力学与建筑结构
力矩与平面力偶系 1.1力矩的概念
用力的大小F与d的乘积度量力F使扳手绕O点的转动 效示应。，即称为力F对O点之矩，简称力矩，用符号MO（F）表
MO（F）=±Fd 式中，O点称为“矩心”，d称为“力臂”。 力矩的正负规定为：力使物体绕矩心逆时针方向转动时， 力矩为正；反之为负。
M=±Fd
力偶矩的正负规定与力矩正负规定一致，即：使物体 逆时针方向转动的力偶矩为正；反之为负。
F
F
B
h
铰杠
丝锥
F'
F d
F'
A
(a)
F' (b)
(c)
工程力学与建筑结构
在平面问题中，力偶矩也是代数量。力偶矩的单位与力矩 单位相同，即N•m。 根据力偶的概念可以证明，力偶具有以下性质： （1）力偶在其作用面上任一轴的投影为零。 （2）力偶对其作用面上任一点之矩，与矩心位置无关，恒 等于力偶矩。
系中所有分力对同一点之矩的代数和。
MO（FR）=MO（F1）＋ MO （F2）＋…＋ MO （Fn）=∑ MO （F）
F1 y
A
FR
F2
O x
工程力学与建筑结构
1.3 力偶的概念
力矩与平面力偶系
5.力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应。
力偶的三要素： 力偶对物体的转动效应，取决于下列三个因素： 1.力偶矩的大小 2.力偶的转向 3.力偶的作用面
1 8
§3-3平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶。
已知：M1, M2 ,Mn;
FAl M1 M 2 M3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
2 2
综合例题
已知 M 2kN m,OA r 0.5m,θ 30 ; 1
求：平衡时的 M 2及铰链O，B处的约束力.
解：取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图.
M 0 M1 FA r sin 0
解得 FO FA 8kN
cos
AB
r2
r1
cos
d
AB
cos
r2
cos
r1
mA (F ) Fd F (r1 r2 cos )
1 0
§3-2 平面力偶理论
一.力偶和力偶矩
1.力偶
由两个等值、反向、作用线平行的力组成的力系称为力偶，
记作
F
,
F
1
1
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面
力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
:逆时针转动为正,反之为负.
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂
的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为
负.常用单位Nm或kNm
4
例:F=50N,d=0.3m. 求F力对O点之矩. 解:Mo(F)= Fd = … = 15Nm (1)当F=0,或d=0（力作用线通过矩心）时，力矩为零。 (2)当力沿其作用线 滑移时，力矩不变。 (3)力矩与矩心有关。 在平面问题中，力对点之矩实际上指力使物体绕通过矩心的 某一轴转动效果的度量，该轴垂直于由力的作用线和矩心所 决定的平面。
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第五节力矩和平面力偶系
一、力矩
1．力矩概念
力对刚体的移动效应取决于力的大小、方向和作用线；而力对刚体的转动效应则用力矩来度量。
实践告诉我们，用扳手拧（转动）螺母时，见图7-18a，其转动效应取决于力F的大小、方向（扳手的旋向〕以及力F到转动中心O的距离h。
a) b)
图7-18 力矩概念
一般情况下，刚体在图示平面内受力F作用，见图7-18b，并绕某一点O转动，则点O称为矩心，矩心O到力F作用线的距离h称为力臂，乘积F·h并加上适当的正负号称为力对O点之矩，简称力矩，用符号M O（F）或M O表示。
即
M O＝M O（F）＝±Fh （7-9）
力矩的正、负号规定如下：力使刚体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。
因此，力矩是一个与矩心位置有关的代数量。
力矩的单位为N·m。
2．合力矩定理
设刚体受到一合力为F的平面力系F1，F2，…，F n的作用，在平面内任取一点O为矩心，由于合力与整个力系等效，所以合力对O点的矩一定等于各个分力对O点之矩的代数和（证明从略），这一结论称为合力矩定理。
记为
M O（F）＝M O（F1）＋M O（F2）＋…＋M O（F n）＝ΣM O（F i）（7-10）
或M O＝M O l＋M O2＋…＋M O n＝ΣM Oi=ΣM O
例7-4图7-19所示为一渐开线（在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹）直齿圆柱齿轮，其齿廓在分度圆上的P点处受到一法向力F n的作用，且已知F n＝1000N，分度圆直径d＝200mm，分度圆压力角(P点处的压力角)α＝20°，试求力F n对轮心O点之矩。
图 7-19 力炬计算举例
解：
1．根据力矩的定义求解
m N 94m N 20cos 22.01000cos 2)(⋅-=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛︒⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=αd F h F F M n n n O 2．用合力矩定理求解。
将法向力F n 分解为圆周力F t 和径向力F r ，则可得
02
)cos ()()()(+-=+=d F M M M n r O t O n O αF F F m N 94m N 22.0)20cos 1000(⋅-=⋅⎥⎦⎤⎢⎣
⎡︒⨯-= 二、平面力偶系
1．力偶和力偶系
作用在同一刚体上的一对等值、反向、不共线的平行力称为力偶。
如图7-20a 中的力F 和F'就组成了力偶，组成力偶的两力之间的距离h 称为力偶臂。
汽车司机用双手转动方向盘，见图7-20b ，就是力偶作用的一个实际例子。
a) b)
图7-20 力偶概念 图7-21 力偶的度量——力偶矩
如前所述，力使刚体绕某点转动的效应可用力矩来度量。
因此力偶对刚体的转动效应就可用组成力偶的两力对某点的矩的代数和来度量。
如图7-21所示，在刚体上作用一力偶F 、F'，在力偶作用平面内任取一点O 为矩心，则力偶对O 点的矩为M O （F 、F'）＝M O （F ）+ M O （F'）＝F （h ＋x ）＋（－F'x ）＝Fh 。
同法可以证明，矩心O 取在其他任何位置，其结果保持不变。
由此说明力偶中两力对任一点的矩的代数和
是一个恒定的代数量，这个与矩心位置无关的恒定的代数量称为力偶矩，用“M”①表示，其大小等于力偶中一力的大小与力偶臂的乘积，其正、负号规定与力矩的规定相同，即力偶使刚体逆时针转动时取正，反之取负。
因此力偶矩的一般表达式为
M＝M O（F、F'）＝M O（F）+ M O（F'）＝±Fh （7－11）
力偶矩的单位也与力矩的单位相同，为N·m。
2．力偶的性质
1）力偶是一个由二力组成的特殊的不平衡力系，它不能合成为一个合力，所以不能与一力等效或平衡，力偶只能与力偶等效或平衡。
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的转动效应，见图7-22a、b，即决定力偶对刚体转动效应的唯一特征量是力偶矩，因此力偶可以直接用力偶矩（带箭头的弧线）来表示，见图7－22c。
a) b) c)
图7-22 力偶的性质
3）力偶可以在其作用平面内任意转移，因其力偶矩不变，所以并不改变它对刚体的转动效应。
3．平面力偶系的合成与平衡条件
在同一平面内且作用于同一刚体上的多个力偶称为平面力偶系。
显然，平面力偶系的合成结果必为一个合力偶，其合力偶矩等于各个分力偶矩的代数和。
即
M＝M 1＋M 2＋…＋M n＝ΣM i （7-12）因此平面力偶系平衡的必要和充分条件是所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。
即
ΣM
＝0 （7-13）
i
由于组成力偶的两力对任一点的矩的代数和恒等于力偶矩，所以平面力偶系的平衡条件也可表达为平面力偶系中的所有各力对任一点矩的代数和等于零。
即
ΣM
（F i）＝0 （7-14）
O
例7-5在图7-23所示的展开式两级圆柱齿轮减速器（用于降低转速、传递动力、增大转矩的独立传动部件）中（图中未示出中间传动轴），已知在输入轴Ⅰ上作用有力偶矩M1＝－500N·m，在输出轴Ⅱ上作用有阻力偶矩M2＝2000N·m，地脚螺钉A和B相距l＝800mm，不计摩擦和减速器自重，求A、B处的法向约束力。
①力矩用M
（或M A、M B等）表示，以反映矩心位置O（或A、B等），而力偶也对刚体产生转动效应，且力偶矩就是力偶O
中两力对任一点的力矩的代数和，故两者应采用相同的字母表示，只是力偶矩与矩心位置无关，故直接用“M”表示，以资区别（不采取另用字母“T”表示）。
图7-23 平面力偶系的解题举例
解 1）取减速器为研究对象。
2）受力分析和受力图。
减速器在图示平面内受到两个力偶M 1和M 2以及A 、B 处地脚螺钉的法向约束力的作用下平衡。
由于力偶只能与力偶平衡，故A 、B 处的法向约束力F A 和F B 必构成一力偶。
假设F A 和F B 的方向如图所示。
3）列平衡方程并求解。
由平衡条件ΣM i ＝0，可得平衡方程
M l ＋M 2＋（-F A l ）＝0
得N 1875N 8
.020*******=+-=+==l M M F F B A 计算结果为正值，说明F A 和F B 的假设方向是正确的。
(答题时需要说明解出的力的方向)
补例 如补例图所示，联轴器上有四个均匀分布在同一圆周上的螺栓A 、B 、C 、D ，该圆的直径AC =BD =150mm ，电动机传给联轴器的力偶矩M = 2.5kN ·m ，试求每个螺栓的受力。
解 (1)作用在联轴器上的力为电动机施加的力偶，每个螺栓作用力的方向如图示。
假设四个螺栓受力均匀，即F 1=F 2=F 3=F 4=F ，此四力组成两个力偶(平面力偶系)。
联轴器等速转动时，平面力偶系平衡。
(2)列平衡方程
00=⨯-⨯-=∑BD F AC F M M O ，
因AC ＝BD 故 kN 33.815.025.22=⨯==
AC M F 每个螺栓受力均为8.33kN ，其方向分别与F 1、F 2、F 3、F 4的方向相反。