复变函数论文
期中考试
复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用
学院：数学与计量经济学院
班级：10级数学与应用数学01班
姓名：罗强华
学号：20101010114
一·复变函数微积分理论
1复变函数微分 (3)
2复变函数积分 (4)
二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？
1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5)
2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6)
三·复变函数微积分理论在实际中的应用
1复变解析函数的应用：平面向量场 (7)
2应用复变积分求积分的几个例子 (8)
四.附注之写在论文后头的话 (8)
1·复变函数微分
仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义，
Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限
z f ?-?+→?)
(z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。同样，仿照实
变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。
如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz c π=?
，其中C 为绕点a
的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。
解析函数有着一些特殊的性质，一个复变函数可以表示成为两个二元函数的组合f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ），当复变函数可微的时候，这两个二元函数u （x ，y ），v （x ，y ）也要可微，它还要满足柯西—黎曼方程y v
x u
??=??，x v
-y u
??=??。
我们对初等解析函数的认识过程：借助实变函数的符号e ，我们定义了指数函数f （z ）=e z ，因为z 的i 次方我们是知道的，所以接受此概念对我们而言，自然而然就接受了。我
们又由e 的iy （y 为实数）isiny cosy e iy +=，isiny -cosy e -iy =推出siny=i 2-e e -iy
iy π这样
的形式，如果将y 替换成为复数z 按照上面形式，以后人为定义复变函数sinz=i 2-e e -iz
iz π，这是一次推广，就像数域的扩张，实数是复数一个子集，定义域从实数推广到复数，恰似一道原本合拢的窗帘，现在将它拉开了，于是，一种静谧的美扑面而来。
正如上所言，双曲函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数在定义域推广以后在复数的世界生根发芽。至此，解析函数的家族不断扩大。我们对复变函数的了解也由浅而深。
解析函数具有无穷可微性及其他等等奇妙的性质，而这些性质会在实变函数和复变函数的比较中一一例举出来，复变函数函数向我们展示其奇异雄伟的一面。
复变函数积分的定义与实变函数积分的定义如出一帜，我们将一条有向曲线C 切割开
来，分作许多小段，在每一个小段任意取一个点ζ（k ），做成和数S （n ）=∑?=n
1
k k z k ）（ζ，
我们将曲线无限细分使得弧段长度的最大值趋于0时，S （n ）会向着一个数J 不断靠近，我们称J 为f （z ）沿C 的积分。
根据积分的定义，我们得到了求复变函数积分的第一个方法，我们将复变函数积分变成了两个实变函数第二类曲线积分：???++-=C C C
vdx udy i vdy udx dz z f )(，一切是如此神奇，
就像造物在虚空中说：“要有光”，于是就有了光，我们获得这一方法，然后跃跃欲试。在我
们涨红了脸，运用第一种方法的时候，参数方程法不期而至：θθβ
αd z z f dz z ??=
C )(')()(f 。
我们初闻到春日淡淡香味，一抬头，已经来到了夏天，馥郁的气息盈满整个空间，数学往往以更简单轻便给我们以惊喜，于是我们欢喜，讴歌数学的巧妙。
复变函数积分的性质，由一些函数的线性组合组成的函数沿曲线C 的积分等于这些函数沿曲线C 的积分的线性组合，函数f(z)沿曲线C 的积分可以表示成为该函数沿数个曲线C 1,C 2,...,C n 积分的和。
积分估值，积分的模长小于等于函数值的最大模长与曲线C 长度的乘积，换成公式形式：???=≤≤C C ML dz M dz z f dz z f )()(C 。
柯西积分定理，函数f （z ）在单连通区域D 解析，则f （z ）沿D 内任意周线C 的积分值为0，数学形式?=C
0)(dz z f 。看上去这么简单的一句话，实际上并不证明，古莎先证明了周线为三角形的情况，又在此基础上证明了多边形（将多边形进行分割，使之成为许多正三角形）的情况，对于曲线，他采用用多变形去靠近曲线的方法。古莎大师在不添加附加条件的情况下证明了柯西积分定理，人类的智慧在这里得到充分的展示，我想起很久以前古老中国的割圆法，古代希腊的穷举法，一时心宽神怡，这是前人如同遥遥星河中恒星闪耀的智慧。
柯西积分定理的推广，除了上述情况，如果C 是一条周线，D 为C 的内部，函数f(z)在由C+D 组成的闭区间上解析，则f （z ）沿C 的积分值为0;如果f （z ）在D 内解析，在D+C 上连续，仍有f （z ）沿C 的积分值为0，这个的证明的思想是由内部的周线靠近边界线，再根据函数的连续性。当周线本身发生变化，比如变化成复周线时，通过将内部的周线以往复的两条线段的连接的方式，我们将这个区域分成了两个单连通区域，柯西积分由此得到推广。
解析函数中的“积分上限函数”，因为解析函数的积分值只与起点和终点有关，对于一个解析f （z ），在给出一个起点Z 0以后，再任意给出另外一个点Z ，f （z ）沿任意以Z 0为起点Z 为终点的曲线积分，所得积分值为一个确定的数，这样我们就可以确定一个以z
为自变量的函数F （z ）=?Z Z )(0
dz z f 。其实在这里，我们已经得到一个求f(z)原函数的方法，
这样就有类似于实变函数中牛顿-莱布尼茨的定理，这为我们求积分提供了便利。
柯西积分公式，在讨论复变函数沿复曲线积分的时候，我们知道f （z ）沿周线C 的积分等于f （z ）沿C 围成的区域中某圆周线的积分，这样我们就能证明柯西积分公式)(2)
(C z if dz Z f π=-?ξξ，柯西积分的特殊形式是解析函数平均值定理
θθ
d R Z f Z f
e i ?+=ππ20)(21
)(。 解析函数具有无穷可微性，若f （z ）在区域D 内解析，则f （z ）在区域D 内有各阶导数即它的各阶导数都是解析，并且可以通过公式求其具体的值
ζζζd f i n z C n n z ?-+=)(f 1)(2!
)(π）（。这是通过归纳法来做的，因为n+1阶导数是定义在第n
阶导数的基础上。而由解析函数的无穷可微性，摩勒拉定理得到充分证明:若函数f （z ）在单连通区域D 内连续，且对于D 内任一周线C ，有?=C
0dz z f ）（，则f （z ）在D 内连续。 柯西不等式R n n R M n a )
(!)(f )(≤，其中M(R)=max )(z f ，它的证明应用了之前的积分估
值，应用了刚才的柯西不等式。由解析函数函数有界，可以证明其在任意一点导数值为0：0)
()(f (1)→≤R R M z ，我们得到刘维尔定理，从而一旦一个在整个复平面上解析的解析函
数有界，那么它必然为常函数，然后就是应用反证法证明代数基本定理：多项式一定在复数域上存在解。这上面的证明一气呵成，如河奔入海，又如水银泻地，无懈可击。
复变函数微积分与实变函数微积分······永恒的对手或者同伴？
1·复变函数微积分与实变函数微积分的联系
我们知道，在复变函数中，导数的定义与实变函数形式一模一样，如果单纯将z 看做一个字符，不考虑其所在区域，那么我们会觉得复变函数导数异常熟悉，在实变函数中的记忆纷至沓来，z 以任意方式趋于z （0），在区域内处处可导的概念是那么的亲切。
有了导数，微分也随之出现，可导与可微的等价，我们又仿照实变函数，如果实变函数可微，Δf=f'(x(0))+o(Δx),如果复变函数可微，Δf =f （Z 0）+o （z ?）。复变函数微分与实
变函数微分宛如双子座，它们完美契合，数学的对称，和谐发挥得淋漓尽致。
复变函数微分的性质也与实变函数保持了高度的一致性，常函数求导等于0，多个可导函数的线性组合求导等于它们求导以后的线性组合：d(kf(z)+hg(z))=kdf(z)+hdg(z),以及df(z)g(z)=g(z)df(z)+f(z)dg(z)，(f(g(z)))`=f`(g(z))g`(z)dz 。面对这样的一致，我们欣赏无比，当我们验算，我们会发现这一切无懈可击，巧合？这是数学无限神奇。
复变函数的积分与实变函数微分，我们仔细看复变函数积分的定义，我们会发现，咦，
它怎么会和我们的实变函数第二型曲线积分那么相似。视角拉回到复变函数的定义域，我们看到积分曲线的起点和终点静静地躺在复平面上，如同河床上安静的鹅卵石，我们沿着一条连接起点和终点的C 曲线对函数积分，曲线蜿蜒如同在静默大地上奔走的河流，我们明悟了复数函数与实数函数的差别，复变函数的自变量z 本身就是个二元函数呀，Z=x+iy ，于是这一切瞬间变得理所当然。
而且，复变函数积分不仅是长得像实变函数第二型曲线积分而已，对于复变函数积分的求法，前面已经提到，复变函数积分可以分开成为求两个实变函数第二型曲线积分：?
??++-=C C C
v dx udy i v dy udx dz z f )(。 我们对复变函数积分的性质进行推广，尽管早有意料，尽管这种猜想过程看上去有些多余和没有必要，但是结果最终揭晓，我们还是会欢呼：这是完美的契合！复变函数积分仍然安静地陪伴在实变函数积分的身边，安静凝视，不离不弃，复变函数函数中的可积函数的线性组合积分等于复变函数函数积分的线性组合：???+=+C C C
dz z g h dz z f k dz z hg z kf )()())()((，这是复变函数对实变函数的承诺。 实变函数中在求某些极限值，可以应用若比达法则，复变函数也可以应用若比达法则吗？可以，在复变函数中，对于无穷比无穷型，零比零型，零乘无穷型，若比达法则仍然是通用的，正所谓定义域已非实数域，诺毕达依旧诺毕达。
实变函数中，区间一个连续函数一定是可以可积分的，实变函数积分无所谓与积分路径有关无关，给出一个点X （0）后，再给出另外一个点X ，我们可以构建所谓积分上限函数和积分下限函数。无独有偶，在复变函数，一个解析函数在给出一个点Z （0）后，再给出另外一个点Z ，我们也可以构建所谓“积分上限函数”和“积分下限函数函数”，因为解析函数也是与积分路径无关的。
对于实变函数了解就是由实变函数中的基本初等函数一步步深入到，解析函数在复变函数中所起的作用就如同基本函数在实变函数中所起的作用。一个平面上由横纵两轴构成，谁能想到，交错垂直的两条直线，居然能够将整个平面上的情况进行反映，谁又能够想到，看上去简简单单的解析函数，最终能够为我们搭建一个如何奇妙的世界。
2·复变函数微积分与实变函数微积分的区别
实变函数中，某点导数是某点切线的斜率，导数的推导过程实质上就是对割线的斜率求极限，最后割线不断与切线重合，所以我们接受了导数就是切线斜率这一事实，也就是说，实变函数中导数有其几何上的意义。
在复变函数中，在z （0）处，当z 的该变量.Δz 以任何方式趋于0，只要Δf/Δz 的极限存在，就说f 在这点可导，导数为Δf/Δz 的极限，Δf/Δz 不是割线的斜率，实际上，复变函数是一个二维函数，因为自变量z 的坐标要由两个数字来确定，z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，即复变函数中导数是直接定义的，没有几何上的意义。
究其原因，就是实变函数是将一个坐标轴上的点映射到另外一个坐标轴上，实变函数是有图像的，自变量和因变量的对应一目了然，就像围棋中的黑子与白子遥遥对应，复变函数是将一个复平面上的集合映射到另外一个复平面上，所以复变函数是没有图像的，给出自变量和值域的集合，无法得到确切映射关系。
实变函数和复变函数在说到导数的时候都说到Δz 以任意方式趋于0，实变函数的任意方式其实只有两种，从左趋近以及从右趋近，而复变函数的任意方式则是360度全方位的，
而且除了沿直线趋近还有沿抛物线啊如y =x 3等方式。
实变函数中，导数有着独特的应用，比如，用来求极值点，根据费马定理，如果在点x （0）的某领域内有定义，在该点可导，且该点为f 的极值点，则在该点的导数值为0，罗尔定理也是由此推导而来，在罗尔定理的基础上又衍生出拉格朗日定理以及柯西中值定理。而在复变函数中，由于虚数没有大小的比较，也就没有极值点这一说法，所以实变函数中有关于导数的一些定理在复变函数中无法得到推广。
对于给定的两个点，复变函数的积分与积分路径有关，所以复变函数没有积分中值定理，这点与实变函数不同。
上帝给复变函数关上中值函数这道门，却给它打开了另外一道窗，面对实变函数示威般的积分第一中值定理，第二积分中值定理，复变函数的柯西积分公式，各阶导数公式喷薄而出，浩浩汤汤，气势势不可挡。复变函数中的沿周线积分与周线所围区域中的点的函数值有着密不可分的关系，这就是柯西积分公式，由柯西积分公式可以衍生出来均值公式，而应用均值公式，我们可以得到一个结论：复变函数中使得函数值模长取得最大的点在边界上，这个可以通过反证法实现：
如果模长最大的函数值在点Z 处取得，Z 为区域内一点，则由Z 为内点，可以找到一条环绕的周线全部落在区域内，于是应用均值公式：θθ
d R Z f Z f
e i ?+=π
π20)(21
)(再进行积分估值，最后得出矛盾，假设错误，于是使得函数值模长取得最大的点在边界上。
我们还可以用积分来求在某点的导数，尽管初始条件有点苛刻：解析函数。但是这个还是给我们提供很大的一个便利，因为简洁明显也是数学追求的呀。
复变函数微积分的应用
1·复变解析函数的应用：平面向量场
说到复变函数解析函数的应用，首先我们要说到定常向量场，流量和环量，复势等等一系列概念。
定常向量场；这个这个向量场中的向量是与时间无关的，这样明显有助于讨论；这个向量场中的向量都平行于某平面So ，而且在垂直于So 的任何一条直线上的所有点处，这些点上的向量就大小和方向来说是相等的，我们尽量将平面向量场这个模型简化。取So 为Z 平面，于是向量场中所有向量都可以由一个确定的复数来表示。
定常向量场是用来研究流体流动的，我们假设流体是质量均匀而且具有不可压缩性，即其密度不因为流体所处的位置以及受到的压力而改变，此时流体的形式是平常的平面流动，其厚度可以不加以考虑。
流量与环量：流量是单位时间内流过某两点的有向曲线α一侧流体层的质量，记做Γr 环量是流速在曲线α的切线分量沿该曲线的积分，记做Nr 。环量与流量一起组成所谓的环流量Γr+i Nr ，环流量又称为复速度。无源，无漏的无旋流动的充要条件是复速度在该流动区域内解析。
复势：如果区域D 内有一无源，无漏的无旋流动，则其对应的复函数为解析函数，其原函数f （z ）称为此流动的复势。令f （z ）=）
，（），（y x i y x ψ?+，则k y x =），（?称为势线，），（y x ψ=k 称为流线。若C 1y x =
），（?）
，（y x ψ=C 2（C 1，C 2为实常
数），这种流动称为均匀流动。
总而言之，复变函数在研究船舶在水中的运动状态，飞机在气体中的运行具有重要作用。平面向量场实质是流体的简化，数学对事物的研究是通过建立简单模型开始的。
2·应用复变函数求积分的几个例子
在实变函数中，我们知道，一个闭区间上的连续函数一定是可积分的，积分的方法也有多种，像依据定义求积分，或者运用牛顿-莱布尼茨公式根据原函数来求积分。但是，很多时候，我们用定义无法求出积分，也找不到原函数，或者原函数过于复杂不便计算。一些特定的情况下，我们可以用复变函数积分求实变函数积分。下面我们来看着这样的几个例子： 一·由积分?
+C 2z dz 之值证明0d cos 45cos 2120=++?θθθπ。 二．由积分
dz z C z e ?，从而证明π）（π=?θθθd sin cos 0cos e 。 对于θθθd cos 45cos 2120?
++π，θθθd sin cos 0cos e ）（π?，直接用实变函数函数是很难做的，但是用复变函数却可以比较轻松计算出来。
四·附注之写在论文后头的话
写在论文后：前面几天整理论文的时候怅然若失，找不到第一天写这个论文的感觉，第一天写了三千五将大纲什么的都整理了出来，当时感觉比较惬意，第二天和第三天每天写一千，渐渐感觉到灵感的缺失。这篇论文的初稿没有一个公式，究其原因，因为公式编辑器没有办法使用，wps 乱码啊，我美其名曰：都用文字总结。也许一直都想把这篇论文弄好，前面两天我不嫌麻烦，从新将电脑系统换了一遍，公式编辑器可以正常使用时我欣喜若狂，挨个儿将舍友抱了一遍。现在我看着自己写下的文字，没有了一开始那种自满的感觉，感觉有些不够，有些心虚。我一直都想很完整地将自己的看法写出来，现在横看竖看还是不满意，可是明天要交了啊，我只能无比忐忑看着自己的“孩子”接受批判。
这篇论文通篇没有百度，也没有太过高深的见解，它表示我一部分对于数学的感悟。
数学一开也许只是从结绳记事而来，当时它记录下来的只是生活，没有美感。后来人类吃上了热食，生活开始变得容易一些以后，他们注意到了水中的光滑鹅卵石还有巨木上面一轮一轮优美年轮。圆的周长和直径存在一种怎么样的比例关系？这样雕塑大理石像才能最有美感？对美的追赶和对未知的探索驱动着人们，他们开始找寻一切的来由，几何学应运而生。食物和其他物质比如武器是需要分配和交换的，这时就有了未知数，有了方程。
人类对于无限的应用和探索一直没有中断，前贤们用多变形去靠近圆，用穷举法解决数项问题，这是一种大智慧，大毅力。麓山罗生，平淡无才，下面用一首数学之歌表示对前贤的景仰：
是什么？打破沉寂
木质的矛还低落着猎物的血
结绳记事
在木杆上刻下参差的日月痕迹
雄伟的金字塔
倾斜角恰如自然的沙锥
割圆法，九十六边行是怎么样的距离危险向你靠近
而你蹲着身
俯瞰着沙滩上的圆
是什么？唤醒无知
勾三股四弦五
莫非真是奇迹
鸡兔同笼
和尚分粥
站在十七边行的高度
这些如此神奇
你依旧沉默微笑
如同千年的约定
复变函数论文
复变函数在GIS上的运用与地位 一摘要 该论文主要研究复变函数在GIS专业上的作用和地位，通过复变函数发展简介和内容，我们认识到复变函数的发展史和学术地位，因为它运用广泛，作为当代大学生，我们应该明白它在学习中起到举足轻重的作用，从学习中的地位延伸到专业中的地位，从而了解他在GIS的运用，借助复变函数推出柯西—黎曼曲面，进而导出复球面的紧性，得出扩充复平面是紧的，得出结论，体会，心德和认识，最后对结论进行推导和运用。 二关键词 复变函数，地理信息系统，复平面，柯西—黎曼曲面 三正文 （一）复变函数的发展简况与内容 复变函数理论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。复变函数理论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。为复变函数理论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。复变函数理论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数理论主要包括解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、积分和级数、广义解析函数等方面的内容。复变函数理论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。
结构动力学 论文
《结构动力学》 课程论文
结构动力学在道路桥梁方面的应用 摘要：随着大跨径桥梁结构在工程中的应用日趋广泛，施工控制问题也越来越受重视。结构动力学在各方面都有极为重要的作用，其特性也被广泛应用于桥梁结构技术状态评估中。结构动力学在道路桥梁方面应用十分广泛，比如有限元模型、模态挠度法、桥梁结构（强度、稳定性等）、状态评估、结构模态、结构自由衰减响应及其在结构阻尼识别中的应用、结构无阻尼固有频率与有阻尼固有频率的关系及其应用等，尤其是结合桥梁的检测、桥梁荷载试验与状态评价。本文就其部分内容进行介绍。 关键词：结构动力学道路桥梁应用 如今，科学技术越发先进，结构动力特性越来越广泛地应用于桥梁结构抗震设计、桥梁结构故障诊断和桥梁结构健康状态监测等工程技术领域,由此应用而涉及到的一些动力学基本概念理解的问题应运而生。对于此类知识，我了解的甚少，上课期间，老师虽有讲过这相关内容，但无奈我学到的只是皮毛。我记忆最深的是老师给我们放的相关视频，有汶川地震的，有桥梁施工过程的，还有很多因强度或是稳定性收到破坏而倒塌的桥梁照片。老师还告诉了我们修建建筑物的原则：需做到小震不坏，中震可修，大震不倒。还有强剪弱弯，强柱弱梁，强结点强锚固。桥梁在静止不受外力扰动时是不会破坏的，大多时候在静止的荷载作用下也不会发生破坏，但当桥梁受到动力荷载时就很容易发生破坏了，所以我们在修建桥梁是必须事先计算好最佳强度等等需要考虑的量。下面简单介绍一下结构固有频率及其应用和弹性模量动态测试。 1.结构固有频率及其应用 随着对结构动力特性的深入研究,其被越来越广泛地应用于结构有限元模型修正、结构损伤识别、结构健康状态监测等研究领域.一般情况下,由于结构阻尼较小,因此在结构动力特性的计算分析中,往往不计及结构阻尼以得到结构的振型和无阻尼的固有频率fnj(j=1,2,∧∧);而在结构的动态特性的试验中,识别的却是结构有阻尼的固有频率fdj.理论上有[1,2]fdj 复、实变函数的比较与应用 作者：阮玲花 学号：201310401205 专业：数学与应用数学 复、实变函数的比较与应用 姓名：阮玲花班级：数学132 学号：201310401205数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。 在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→”,在实数范围内：当方程判别式小于0时，没有实根。→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。 （一）实变函数 实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。 Lebesgue积分： （二）复变函数 复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点z，按照一定规律，有一个或多个复数值W与之相对应，则称W为z的函数，记作)(z W=，z∈E邻域：以复数 f z为圆心，以任意小 正实数ε为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为 z的邻域。把复变函数的 (z f=u(x,y)+iv(x,y)，所以，复变函数f的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y)，) ) (z 可以归结为一对二元实变函数。 （三）实变函数及与复变函数比较 1．自变量的不同 以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。 2.实变函数与复变函数的联系区别 因为z=x+yi,所以复变函数y=)(z W= f f的实部与虚部都是x,y的函数，即)(z =u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。然而同时，由于复 复变函数与积分变换论文 题目：阐述复变函数与积分变换对电气自动化专业的作用 阐述复变函数与积分变换对电气自动化专业的作用 复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数。复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。复数起源于求代数方程的根。通过学习《复变函数与积分变换》这门课程，我了解到它既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，同时老师也给我们了解到了更多关于复变函数的历史知识，让我更加对这门产生浓厚的学习兴趣。 《复变函数和积分变换》课程本身应该是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。这门课程对于培养创新人才具有特殊作用，而创新能力的基础是创新思维。复变函数和积分变换作为我们学校的电气工程自动化专业大 学生专业必修课，除了要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法外，更重要的是要培养创新型的思维能力。让学生强化应用、重视实践、淡化专业、消灭书呆子，重视创新能力和实践能力的培养。 我们在复变函数和积分变换课程的学习中面对的处处都是创新模式，没有创新就不能学好该课程。复数域打破了实数域的限制、解析函数突破了二元函数和一元实函数的禁锢、洛朗级数克服了幂级数的局限性、拉普拉斯积分变换是傅里叶积分变换应用方面的创新等等。 在复变函数和积分变换的学习中，我们得到的不仅有作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想、保形变换和积分变换中对称思维、两类积分变换应用的同中求异和理论中的异中求同、复势应用中的猜想与证明，观察与实验等等都体现了创新思维的火花。我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用。因此，复变函数和积分变换课程的教学，有助于学生创新思维能力的训练和培养。培养我们运用基本理论和方法解决实际问题的意识、兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变换在解微分方程中的应用和求广义积分，培养我们打破思维定式，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换，就是说变量从实数到复数，积分从直线到曲线，尤其是封闭曲线。 我们从这门课程上可以学到傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换。通过我们专业课的实验学习，深刻了解到傅里叶变换在处理和分析工程实际中的一些问题的重要作用。通过变换技术，从另一个角度对问题进行处理和分析，使问题的性质更清楚、更便于分析，也使问题的求解更方便，更便于解决。我以前总认为学这些东西没有用处，只是一些很落后和过时的理论，通过实验学习，我看到了它的重大作用。在我以后的学习中，也要在掌握基本理论的同时，去挖掘生活中的问题，并努力用所学的知识去解决，那样才能更好的理解和运用。我还学到积分变换可以把微分方程变换为初等方程，求解方便。另外求线性系统的响应，用积分变换不用考虑初始状态，非常方便。可以实现时域和频域的变换，方便对谐波进行分析计算。使用复频域的状态变量解法可以方便的用计算机对系统进行求解。 通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用到现实中的数学建模，其在很多运算中都有者不可思议的性质和规律。复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是神奇的留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。 复变函数给我们一个新的概念，让我们不局限于实数的学习范围，给我们一个创新思维的学习。 薄壁管件的屈曲分析 摘要：本文针对薄壁件的失稳问题，采用线性特征值屈曲分析法和非线性屈曲分析法，借助ANSYS有限元商业软件对薄壁圆管进行模拟计算。特征值分析可以确定临界载荷、屈曲模态，特征值屈曲分析法得到的临界载荷作为非线性屈曲分析分析的初步缺陷载荷，接着进行非线性分析，得到结构完整的稳定性能。将两种结果进行对比讨论，可知非线性分析的结论更切合实际。 关键词：结构屈曲，ANSYS软件，特征值分析，薄壁圆管， 1.引言 薄壁钢材具有高强度、轻质、力学性能优良的特点，是一种良好的结构材料。但是实际工程结构中薄壁钢材的截面轮廓尺寸很小，构件细长，如果其在工艺上处理不当，当受到各种载荷时容易发生局部失稳或整体破坏，给人民的生命财产造成不可估量的损失，所以薄壁结构的稳定性问题成为工程设计人员关心的焦点。所谓失稳，就是当载荷仅有微量增加时，应变增长显著。比如圆筒受到环向载荷，其压缩应力尚未达到材料的屈服点时，就突然失去自身原来的形状被压扁或产生褶皱，这种在外力作用下结构突然失去原有形状的现象叫失稳，也称为屈曲。本文针对工程上常采用的薄壁管件的稳定性问题，借助有限元软件，用线性和非线性的分析方法计算其屈曲时的临界载荷。圆筒形构件的失稳分为整体失稳和局部失稳，其中整体失稳又分为侧向失稳和轴向失稳。 图1-1侧向失稳图1-2轴向失稳 1 22. 力学建模 预测结构发生屈曲时的临界载荷和屈曲后的形状通常的方法有两种，即特征值分析和非线性屈曲分析，但是特征值分析是基于材料完全线性无缺陷的，所以得出的结果与实际有较大差距，因此工程直接运用很少，但是它也是有意义的，一般取其第一阶模态作为非线性分析的初始扰动载荷的依据。用特征值分析得到的是屈曲上限，而用非线性分析得到的是屈曲下限，如图所示。 图2-1 特征值屈曲分析示意图 下面简单介绍特征值分析的理论知识。 设在单位外载荷作用下结构的应力刚度矩阵为[]K σ，那么[]K σλ（λ为载荷乘子）就代表另一强度下的应力刚度矩阵，在线性条件下，它们均与位移函数无关。如果基准状态下的位移矩阵[]D 加上虚位移矩阵[]D — ，而作用的载荷[]R 保持 不变，那么，为了使状态[]D 和_D D ??+????保持平衡状态，必须满足： [][][][]()K K D R σλ+=和[][][]_)K K D D R σλ??++=???? （ 将两个方程相减得到：[][]_)0K K D σλ??+=???? （，此即为经典的特征值问题，由[][]det()0K K σλ+=可得到特征值，其中最小的特征值就是临界载荷。 式中的λ是特征值， D ?????? —是位移特征向量，用λ乘以施加的载荷即得到临界载荷cr P ,D ?????? —是屈曲形状。 习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0 数学与信息工程学院数学与应用数学专业 张三 1. 周期函数是一类特殊而又十分重要的函数,中学数学中 ,对于周期函数的定义是这样定义的：对于 函数) (x f y=,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,) ( ) (x f T x f= +都成立,那么就把函数) (x f y=叫做周期函数,不为零的常数T叫做函数的周期.这一定义简洁明快,但由于它的“简单性”,其“先天不足”随时可能导致人们出现错误的判断.因此,在进行周期函数的教学时,非经严格论证,绝对不能想当然地搬用其它定义下的周期函数的性质.周期函数) (x f, 2. 2.1周期函数的性质与特征 根据周期函数的定义，在文献[6，7]中介绍了周期函数的一般性质： （1）周期函数不一定有最小正周期. 例如，函数1 ) (= x f是一个常函数，任意的非零实数都是函数的周期，但在正实数集中无最小值.…… 2.2周期函数的判定及其应用 周期函数的判定除了用定义判断外，还可以用定理的形势给出.设a,b是实常数，函数) (x f的定义域为集合A,且对、 、 、 、a x y x y x A y x± ± ± ∈) ( 2 1 ,b x±、x b x a- -、也都 A ∈，则由定义可得，) ( ) (b x f a x f- = +，则) (x f是以) (b a+为周期的函数；…… 3.周期函数的微积分性质及应用 …………………………，如表１所示。 表 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………，如图2.9所示， [1]李万山,张沛和.周期函数的对称性质[J].嘉应大学学报(自然科学[2]牛保才 .周期函数的一组判定定理[J].数学通讯,1998,(2):26-29. Notes,2001, 69(3):313-319. [4]G.A.Dzyubenko,J.Gilenice.Copositive problems approximation of Periodic Functions[J].Acta Math.Hungar,2008,120(4):301-314. [5]堵秀凤.周期函数的导函数的周期问题[J].齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版),1993,(13):8-10. [6]费定辉,周学圣. 题目：自行车力学探究 摘要：自行车是我们日常生活中见到的最普遍的交通工具，然而当我们骑车时它的具体受力情况是怎样的我们却不太清楚，本实验目的主要是探究自行车轮胎的摩擦力系数的测定，并在此基础上探究它在转弯的时候的受力情况。 关键词：摩擦力系数、力偶、杠杆、自行车 引言： 自行车上的力学、结构方面应用了很多科学知识，简单举例：1、杠杆原理：车闸，你在车闸处轻轻一握，就可以产生一个很大的拉动刹车装置的力量。 2、滑动磨擦（两种情况的利用）：刹车、车轮，刹车是利用了滑动磨擦使车子停下来，而车轮则正好相反，他利用了滑动磨擦，使车子向前行进，车轮上的花纹就是为了增大他的磨擦系数的。 3、滚动磨擦：他的目的是为了省力。自行车用滚动磨擦的地方 很多，比如在转向装置、车轮轴里安装的轴承，就是利用了滚动磨擦。 4、力偶的原理：手在车把上产生的力正在是以前车叉为原点的一对力偶，力偶比一个单向力更容易控制，也更省力。 5、弹性碰撞的原理：说白了主要就是减震，充气轮胎、车子上的弹簧，都是把钢性碰撞改变成弹性碰撞，从而减少对人体的冲击力，使人骑起来更舒适。 对于本实验，考虑到自行车运动时与地面的摩擦是滚动摩擦，于是用自行车轮胎制成滑块测出橡胶与地面的摩擦系数。我们采用在不同场地多次测量取平均值的方法，来测橡胶轮胎与摩擦面的摩擦系数，在进行这个实验时要注意两点：一是拉力保持水平；二是尽量使滑块保持匀速运动。 器材：5个弹簧秤、2个滑轮、自行车（说明：多个弹簧秤和滑轮是打算在单个弹簧秤不足时用的） 数据： 表一水磨地 表二水泥地 结果：摩擦力系数：水磨地取平均值：0．38 水泥地取平均值：0．72 讨论：当过弯半径R分别为50m、20m、10m时，在水泥地上骑车最大速度Vm分别为多少。受力图如下： 自行车M：10 Kg 人m：60 Kg (M+m)Vm^2/R=μG Vm=（μGR/(m+M)）^1/2 当转弯半径为50m时：Vm=18.2m/s 当转弯半径为50m时：Vm=11.9m/s 当转弯半径为50m时：Vm=8.4m/s 结论： 1、橡胶轮与水磨地的摩擦力系数为0．38 橡胶轮与水 泥地摩擦力系数为0．72； 复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ- 中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 复变函数发展历程 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 校内发展的历史 《复变函数论》，又称《复分析》，是在《数学分析》的基础上，应用分析与积分方法研究复变量复值解析函数的一门分析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程的重要基础。复变函数论是数学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。 随着学校的升本成功，该门课程已在本科层面授课两届。 针对学生普遍基础薄弱的特点，在教学中，着力要求任课教师将基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，对学生的基本运算能力的训练也严格要求。教材选用了国内较成熟且讲解较为简单明了的钟玉泉的复变函数论(第2版)，方便学生学习。 实际教学中注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学 结构力学论文 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: 成绩 土木工程与建筑学院 结构力学论文 (201６—2017 学年度第一学期) 课程名称：结构力学 论文题目: 浅谈位移法 任课教师： 姓名: 班级： 学号： 2０17 年 1 月 1 日 浅谈位移法 摘要位移法是超静定结构分析的基本方法之一，也称变位法或刚度法,通常以结点位移作为基本未知数。位移法有两种计算方式，一种是应用基本结构列出典型方程进行计算,另一种是直接应用转角位移方程建立原结构上某结点或截面的静力平衡方程进行计算。 关键词基本原理典型方程超静定结构 一、简介 位移法以广义位移（线位移和角位移)为未知量，求解固体力学问题的一种方法。位移法的思想是法国的Ｃ.-L.-M.-H.纳维于１82６年提出的。 位移法是解决超静定结构最基本的计算方法,计算时与结构超静定次数关系不大,相较于力法及力矩分配法,其计算过程更加简单，计算结果更加精确,应用的范围也更加广泛，可以应用于有侧移刚架结构的计算。此外，对于结构较为特殊的体系,应用位移法可以很方便地得出弯矩图的形状,位移法不仅适用于超静定结构内力计算，也适用于静定结构内力计算，所以学习和掌握位移法是非常有必要的。 二、计算种类 1.典型方程法 位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩:典型方程法和平衡方程法。下面给出典型方程法的解题思路和解题步骤。 1.1位移法典型方程的建立： 欲用位移法求解图a所示结构,先选图b为基本体系。然后,使基本体系发生与原结构相同的结点位移,受相同的荷载，又因原结构中无附加约束，故基本体系的附加约束中的约束反力（矩)必须为零，即:R1=0，R2=０。 而Rｉ是基本体系在结点位移Ｚ1，Z2和荷载共同作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）,按叠加原理Rｉ也等于各个因素分别作用时（如图c,d,e所示）产生的第i个附加约束中的反力(矩)之和。于是得到位移法典型方程： 复变函数与积分变换 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解） 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+== 反余弦函数 )1(1 cos 2-+= =z z Ln i z Arc w 复变函数与积分变换 结课论文 题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师： 学号： 姓名： 班级： 学院： 拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用 摘要 拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。 关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程 一、拉普拉斯变换的概念及其性质 1.1问题的提出 我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。 虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。[1] 对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数t β-e （β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因 此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。 1.2拉普拉斯变换的定义 当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)( t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。（s=β+jω）[2] 我们称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换（或称为像函数），记为F(s)= )]( [t f L 。 相反的，从F(s)到f(t)的对应关系称为拉普拉斯逆变换（或称为像原函数）。即 )]([)(1s F L t f -=. 1.3拉普拉斯变换的性质 1、线性性质[3] 设α、β为常数，且)()]([),()]( [s G t g L s F t f L ==，则有 0 ()()st F s f t e dt +∞ -=? 结构力学小论文参考题目 1、不同结构型式主要内力及其特点分析 说明：相同跨度和相同荷载（全跨受均布荷载q），可以比较简支梁、伸臂梁、三角形三铰拱、抛物线三铰拱、梁式桁架、组合结构等。 2、各类平面桁架内力分布情况的比较。 说明：桁架的外形对桁架的内力分布影响很大，分析常见的平行弦桁架、三角形桁架、抛物线桁架、折线形桁架的内力分布情况。 3、桁架结构结点按铰接点计算的依据 说明：桁架结构的结点并不是理想铰，但是实际中可以按照铰接点来进行计算，原因、理由？ 4、影响组合屋架内力的主要因素分析 说明：影响组合屋架（如：下撑式五角形组合屋架）内力状态的主要因素有高跨比f/l，已经高度f确定以后，f1与f2的比例不同影响结构内力 5、单位移动荷载是水平方向或者斜向时，做结构某个量值（内力或者支座反力）的影响线。分析其含义和做法与竖向移动单位荷载下影响线的异同。 6、含有均布荷载的移动荷载时确定荷载最不利位置 7、杆件截面对中性轴不对称，则对温度改变引起的位移的影响 说明：课本上再推导温度改变引起的位移计算时，是假设杆件截面对中性轴对称，而实际工程结构中杆件截面不一定是对称的，如果不对称，则对位移的计算有什么影响？ 8、如何减小荷载作用引起的结构位移？ 说明：比如，增加各杆刚度？ 9、位移计算时忽略轴向变形和剪切变形时误差分析 说明：选取矩形截面细长杆（h/l=1/8~1/18），分析荷载作用下，忽略轴向变形和剪切变形对位移有多大的误差？ 10、用力矩分配法求结点转角 说明：用力矩分配法计算出每根杆件的杆端弯矩，将该端各次所得分配力矩相加，再除以该杆的转动刚度，得结点角位移的渐进值。 11、支座移动和温度变化时，用力矩分配法计算的条件 12、对称性在结构内力计算中的应用 13、对称性在力法中的应用 14、对称性在结构力学中的应用 15、结构各杆刚度改变对静定结构和超静定结构内力的影响？ 毕业论文开题报告 数学与应用数学 复变函数解析的判定及其应用 一、 选题的背景、意义 复变函数论是数学中既古老又成熟的一门学科，复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支，在复变函数的解析性质，多值性质，随机性质以及多复变函数方面都取得了重要成果。而复变函论研究的中心对象就是解析函数。 在18世纪，欧拉和达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数(,)x y Φ与流函数(,)x y ψ有连续的偏导数，且满足偏微分方程组 x y ?Φ?ψ=??，y x ?Φ?ψ=-??， 并指出()(,)(,)f z x y i x y =Φ+ψ是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复变函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。黎曼从这一定义出发对复变函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程（简称C.-R.方程），或柯西-黎曼条件。魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。 解析函数的研究之所以如此至关重要，是因为它具有很好的性质，例如无穷可微性，唯一性以及可以用幂级数展开等，数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用。解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的增长受到某种限制等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题。 如果设函数()f z 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则()0c f z dz =?。这就是著名的柯西积分定理。这个定理告诉我们，解析函数在单连通区域 内的积分与路径无关。 解析函数在其定义域中某点领域内的取值情况完全决定着它在其他部分的值。有如下定 浅议“动力有限元法” 摘要：有限元法是目前应用最为广泛的一种离散化数值方法，其基本思想就是人为地将连续体结构分为有限个单元,规定每个单元所共有的一组变形形式，称之为单元位移模式或插值函数。该方法在工程中有着广泛的应用，比如：桥梁，建筑上部和建筑基础等。 关键词：有限元；动力；位移 Abstract: Finite element method is currently the most widely used as a discrete numerical method. Its basic idea is going to artificially continuum structure which is divided into a finite number of units. Each unit provids common to a group of deformed form, which is known as an unit displacement mode or interpolation function. This method works with a wide range of applications. Example: bridges, buildings and construction base and so on. Key words: Finite element; Force;Displacement 1 动力有限元法基本过程 有限元法是目前应用最为广泛的一种离散化数值方法，其基本思想就是人为地将连续体结构分为有限个单元,规定每个单元所共有的一组变形形式，称之为单元位移模式或插值函数[1]。动力学的有限元法同静力学问题, 是把物体离散为有限个单元体, 考虑单元的惯性力和阻尼力等动力因素的特性。在运动物体单位体积上作用的体力可以用下式表达: {}{}δδδνδρt t a -=22a - } Ps { P} { (1-1) 式中 {Ps}——静力; {δ}——位移; {}δρ22 a t a ——惯性力; {}δδδνt ——阻尼力。 用有限单元法求解动力问题的位移模式: {}e δ ] [N f} {= (1-2) 式中 [N]——形函数矩阵; {}e δ——单元节点位移矩阵。 一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i π ππ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i + 解：()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2 221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα ?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos 3sin 3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin 1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解： 3/4 11cos 3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) a ib + 解： 1ar 2ar 2 2 22 4 21ar 2 2421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a b i ctg a b i ctg a a i b a b e a b e a b e a b e ππ?? ?? ++ ? ? ?? ?? += += +?+?=? ?-+? (2) 3 i 解：6 226 36346323 2332 2322 i k i i i i k i e i i e e e e i π ππππππππ?? ??++ ? ???????+ ?????+ ??? ?=+ ?? ??====-+? ??=-? 复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用 姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系 专业：自动化 指导教师：秦志新 评阅人： 复变函数与积分变换在自动控制原理中的 应用 【摘要】： 复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。 【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换 【正文】： 提出问题： 众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了 我们的首要问题。 分析问题： 虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。 例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向 2端，R=10 Ω ，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。 解：因换路前电路已达稳态，故可知 ()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为 ()()()+ ++-0c u dt t di L t Ri ?- t d i C 0)(1ττ=10)(t ε 对上式进行拉普拉斯变换，得 桥梁中不同结构的比较 班级：土木二班姓名：孙俊若学号：201300206104 设计桥梁可有多种结构形式选择：石料和混凝土梁式桥只能跨越小河；若以受压的拱圈代替受弯的梁，拱桥就能跨越大河和峡谷；若采用钢桁架可建造重载铁路大桥；若采用主承载结构受拉的斜拉桥和悬索桥，不仅轻巧美观，而且是跨越大江和海峡大跨度桥梁的优选形式。桥梁中不同结构有不同的优点和缺点，通过比较选择合理、经济的结构是我们应该研究的问题。下面阐述了一些结构形式的比较，以及改善的方法。 桁架桥的特点 桁架是由一些用直杆组成的三角形框构成的几何形状不变的结构物。杆件间的结合点称为节点(或结点)。根据组成桁架杆件的轴线和所受外力的分布情况，桁架可分为平面桁架和空间桁架。屋架或桥梁等空间结构是由一系列互相平行的平面桁架所组成。若它们主要承受的是平面载荷，可简化为平面桁架来计算。 桁架桥是桥梁的一种形式，一般多见于铁路和高速公路；分为上弦受力和下弦受力两种。桁架由上弦、下弦、腹杆组成；腹杆的形式又分为斜腹杆、直腹杆；由于杆件本身长细比较大，虽然杆件之间的连接可能是“固接”，但是实际杆端弯矩一般都很小，因此，设计分析时可以简化为“铰接”。简化计算时，杆件都是“二力杆”，承受压力或者拉力。 由于桥梁跨度都较大，而单榀的桁架“平面外”的刚度比较弱， 因此，“平面外”需要设置支撑。设计桥梁时，“平面外”一般也是设计成桁架形式，这样，桥梁就形成双向都有很好刚度的整体。 有些桥梁桥面设置在上弦，因此力主要通过上弦传递；也有的桥面设置在下弦，由于平面外刚度的要求，上弦之间仍需要连接以减少上弦平面外计算长度。 桁架的弦杆在跨中部分受力比较大，向支座方向逐步减小；而腹杆的受力主要在支座附件最大，在跨中部分腹杆的受力比较小，甚至有理论上的“零杆”。 不同简支梁式桁架的比较 不同形式的桁架，其内力分布情况和适用场合也各不同。简支梁式桁架分为平行弦桁架、折弦桁架、三角形桁架；在均布荷载作用下，简支梁的弯矩分布图形是抛物线形的，两边小中间大。 a、在平行弦桁架中，弦杆的力臂是一常数，故弦杆内力与弯矩的变化规律相同，即两端小中间大。竖杆内力与斜杆的竖向分力各等于相复变函数论文
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