复变函数论文
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复、实变函数的比较与应用作者：阮玲花学号：专业：数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名：阮玲花班级：数学 132数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。
复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的 , 这与实函数有根本的区别。
有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。
例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。
在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。
由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→” , 在实数范围内：当方程判别式小于 0 时，没有实根。
→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。
下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。
（一）实变函数实变函数论即讨论以实数为变量的函数 , 然而实变与常微分方程等不同 , 简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue 创立新积分的原始思路。
Lebesgue 积分：（二）复变函数复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集 E ，对于 E 的每一点 z，按照一定规律，有一个或多个复数值 W 与之相对应，则称 W 为 z 的函数，记作 W f ( z) ，z∈E 邻域：以复数 z0为圆心，以任意小正实数为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为 z0 的邻域。
把复变函数的 f ( z) 的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y) ，f ( z) =u(x,y)+iv(x,y) ，所以，复变函数可以归结为一对二元实变函数。
（三）实变函数及与复变函数比较1．自变量的不同以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。
复变函数论论文
论文目录1．摘要 (1)2．关键词 (1)3．引言 (1)4．理论 (1)5．参考文献 (6)8．英文摘要 (6)全文共15 页2,148 字复变函数论- - 2 -复变函数论（学号：20101101926 刘艳玲）（物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022）指导老师： 孙永平摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。
运用留数定理来求解实变函数的积分。
利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。
关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；1引言了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。
运用留数定理来求解实变函数的积分。
利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。
2复变函数2.1.1复数与复数运算 2.1.1.1复数的基本概念Z=x+iy (1.1.1)这叫作复数的代数式，x 和y 则分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记作Res 和Imz 。
复数z 可表示为三角式和指数式，即 ()ϕϕρsin cos i z +=ϕρi e z =叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。
2.1.2 复数的运算 复数222111,iy x z iy x z +=+=由此明显可见加法的结合律和交换律成立。
商的定义物理与电子信息学院期中论文- 3 -.e )]sin(i )[cos()i(212121212121ϕϕρρϕϕϕϕρρ-=-+-=z z n 次幂应用.e )sin i (cos i ϕρϕϕρn n n n n n z =+=n 次根号的应用.e )sin i (cos /i n n nnnn z ϕρϕϕρ=+=2.1.2复变函数2.1.2.1复变函数定义一般地，当z=x+iy 在复平面上变化时，如果对于z 的每一个值，都有一个或几个复数值ω相对应，则称ω为z 的复变函数。
复变函数小论文
复变函数小论文本学期我学习了复变函数，丰富了数学的见识。
从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。
复变函数是以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为在某些运算提供了帮助。
复数可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义。
虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些没有意义根式也变得有理可寻。
复数的集合复平面是一个二维平面，实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。
复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。
复变函数的极限与连续和实函数一样提到邻域的含义。
复函数是一元实变函数概念的推广，二者表述有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。
2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。
复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个要求，即对极限式要求是与路径和方式无关。
复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程直接关于t的积分。
复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。
通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。
复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。
王琪材料31 2130201019。
复变函数论文
复变函数论文复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展有极大的推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
复变函数的主要内容已成为理工科很多专业的必修课程。
复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广，甚至可以用来解决一些复杂的计算问题。
复变函数可以应用在地理信息系统中，因为GIS对复杂函数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的应用也渗透到了这个领域，它对复杂函数的计算能力使得在GIS上的应用也不可或缺。
GIS的操作对象是空间数据和属性数据，即点线，面，体这类有三维要素的地理实体。
空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，实现对其定位，定性和定量的描述，这是其技术难点之所在。
而复变函数中的黎曼曲面理论就是用来解决这种问题的。
复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面，利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。
对于某一个多值函数，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
复变函数作为最丰饶的数学学科的分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。
特别是在解析函数的微分理论，积分理论等方面的应用，而在这些方面，它与一个实际的电路是一一对应的关系，是为我们求解响应与激励的关系服务的，这也就是它的基础应用。
针对连续系统和离散系统的时域分析，相对应的有三个变换域或傅立叶变换，拉普拉斯变换和Z变换。
变换域是信号与系统的核心内容，也是比较难的一部分，原因是变换域的分析方法涉及到工程数学的知识很多，如果没有扎实的基础，学起来就有一定的难度。
复变函数中还有很多知识点都可以对应到电路中，这可以使我们在求解电路问题时，使问题变得简单化。
复变函数论文
复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。
文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。
【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。
但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。
随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。
当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。
但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。
分析问题：虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。
例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向2端，R=10Ω，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。
解：因换路前电路已达稳态，故可知()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为()()()+++-0c u dtt di Lt Ri ⎰-td i C0)(1ττ=10)(t ε对上式进行拉普拉斯变换，得()()()[]+-+-0i s sI L s RI sCs I su c )()0(+-=s10解得 ()s I =sCsL R s u Li sc 1)0()0(10++-+--代入已知数据得()s I =ss s s25010210++-=2501082++s s =2215)5(15158++⨯s用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为()At t et i t)(15sin 1585ε⋅=-例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设Ω=1R 、C=1F 。
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复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。
由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。
文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。
关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。
1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。
例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。
《复变函数》可视化教学实践论文
关于《复变函数》可视化教学的实践摘要：探讨利用matlab 软件可视化复变函数的教学心得，旨在加深学生对知识的理解，提高教师课堂教学效果。
关键词：可视化复变函数教学实践随着科技的发展，计算机已经走入千家万户，高校教学手段也发生了相应地改变，越来越多的教师尝试将数学课程与计算机结合起来，通过可视化手段增强学生对抽象的数学问题的理解，锻炼学生的自我动手能力，这也是高校教学改革的一个重要方面。
复变函数是高等数学的一个重要分支，是很多专业的基础课程，该课程内容抽象，定理证明复杂，大部分教材侧重理论分析，复变函数可视化内容难得一见。
目前对于复变函数可视化教学实践主要包含理论分析、计算机编程、教育意义的思考等，不仅从理论上探讨了可视化的可行性与重要性，还从教学实践的层面上分析了可视化在教学中所存在的问题及相应的对策，有很多一线教师总结了复变函数可视化教学的实施经验，还开发了一系列有创意的可操作的课题学习案例，其中有来自于数学知识内部的，也有来自于实际生活中的，甚至还有和其它学科相关联的课题等等。
本文是作者根据自己教授《复变函数》的教学实践，总结的一些教学心得。
1 复变函数可视化有利于学生熟练掌握计算机编程语言复变函数的可视化需要借助计算机来实现，因此教师和学生本身必须熟悉计算机编程语言。
原则上，可以通过c，fortran等语言来实现，但是基于成本考虑，个人更倾向于matlab语言编程。
matlab 是美国mathworks 公司20 世纪80 年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。
由于matlab不区分实数、复数和整数之间的区别，所有数都采用双精度表示，再加上matlab中具有丰富的数学函数库使得计算更加简便，所以利用matlab 编写复变函数程序更加方便，实现复变函数的数据计算以及图形显示更加快捷。
在《复变函数》教学中matlab的应用非常广泛，可以用来可视化函数，计算残数，分析傅里叶级数，理解平面场问题，应用到傅里叶变换和拉普拉斯变换中等，有兴趣的读者可以参考文献[1]。
复变函数论文
复变函数论文复变函数论文复变函数的精确之美学习复变的感想对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度。
因为所有的推导、证明以及应用，归根结底都是在基本概念的基础上衍生而来的。
因此只有将相关概念真正理解同时牢记于心，才可以真正地走进一门学科，真正的领略一门学科的美妙与精华所在。
在我的理解看来，复变函数从某种意义上来说可以看成是大一所学的高等数学的一种延伸与拓展。
在高等数学，也就是我们通常所说的微积分学中，我们所研究讨论的对象都是实函数，也就是函数的定义域与值域所代表的集合都是实数集合。
这样的研究将许多生活中遇到的数学问题用实变函数的微分与积分表达出来，让我们能够很快地了解一些微积分中的基本概念、知识以及应用技巧。
但是同时，实变函数的应用范围十分狭窄。
尤其是电气工程等方面的计算和问题中，实变函数几乎可以算是毫无用武之地。
因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，我们便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的定义、定理、方法以及技巧。
精确是所有理科研究学科，尤其是数学学科的一个重要特点，这一点在复变函数中也体现的尤为明显。
复变函数是将复数域之间的映射的特点和关系进行全面系统的总结和归纳。
其研究对象就是复数域之间映射的函数关系。
因此在复变函数的研究中基本都是代数运算，没有带数字之后为计算方便而出现约等的情况。
当然复变函数的精确美远远不止表现与这些方面。
为了解决问题的方便，复变函数的研究中总结归纳了许多的定理和方法。
但每一种的定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。
这是为了保证它们在被使用于求解相应问题时不出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误。
比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。
此外，复变函数在许多相似概念的区分上也做到了精确二字。
如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。
作为一门研究数的学科，复变函数对于结果的精确程度是有着相当高的要求的。
复变函数与积分变换论文
复变函数论文复变函数在反馈系统稳定性中的应用姓名：李欢欢学号：0914101 21学院(系)：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化指导教师：秦志新评阅人：完成日期：2011年12月25日星期日复变函数在反馈系统稳定性中的应用一、摘要:Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。
但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。
通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。
辐角定理与奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。
二、关键词:反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点三、正文: 【提出问题】:在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一Xi 为输入量，Xi ’为电路中信号净输入量，Xf 为反馈量，“ ”为反馈系统在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。
由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。
所以如何保持反馈系统稳定工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。
【分析问题】:如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的 关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)]则闭环传输函数）（s H s H s H s X s Y s H 211)(1)()()()(+==而开环传输函数）（）（s H s H s H 21)(='将H （s ）进行拉氏反变换得∑∑==--=-==ni ni pit kie pi s kig s H g t h 1111][][)(）（式中Pi 为H （s ）的极点。
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复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。
由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。
文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。
关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。
1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。
例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。
复变函数论文完整版
摘要:在自动控制原理中,应用比较多的一种数学模型是频率特性,频率特性是系统频率响应与正弦输入信号之间的关系,频率特性虽然是一种稳态特性,但它不仅反映系统稳态性能,而且还可以用来研究系统稳态性和暂态性能。
在实际应用中,求解正弦信号稳态响应时,用解析方法求解往往十分复杂,对于高阶系统就更加困难,因此常常在频域分析中把输出的稳态响应和输入的正弦信号用复数表示,可化为实频和虚频特性并且利用图解分析法,从复数的角度更容易理解和计算。
关键词:复数,时域，频域，频率特性,自动控制,实频,虚频,稳态特性在自动控制中，分析系统首先要建立数学模型,然后采用各种方法对系统进行分析,由于多数控制系统是以时间作为独立变量,所以往往用时间域的分析方法,即用解析方法求解系统的稳态响应,虽然用解析的方法不难求出线性定常量一、二阶系统的稳态响应,但是如果遇到高阶系统用求解的方法就会十分复杂。
随着科学和技术的发展,复数理论已越来越显示出它的作用,它不仅对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且在解决系统分析中,系统常常通过从实域变换到频域中研究频率特性起到重要作用。
在复变函数中,复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位,复数有多种表示方法,诸如向量表示,三角表示,指数表示等,欧拉在1748年发现了关系式后,并且第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位,虚数实际上不是想象出来的,而它是确实存在的,德国数学家在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数都能用一条数轴表示,同样虚数也能用一个平面上的点来表示,这就是复数的复平面特性,在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并且这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点c就表示复数a+bi ,复数z=a+bi(a,b=R)与有序实数对(a,b)是一一对应的关系,这是因为对于任何一个复数z=a+bi由复数相等定义可知,可以有一个有序实数对(a,b)唯一确定,如z=3+2i可以由有序实数对(3,2)确定,又如z=-2+i可以由有序实数对(-2,1)来确定,又因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,由此可知,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系,点z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可以用点z(a,b)表示,这个建立直角坐标系来表示的平面就是复平面。
复变函数论文
复变函数的孤立奇点及其应用摘要: 本文讨论了孤立奇点的定义、的判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用. 关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数. Isolated singularities and its application Abstract ：This paper mainly discusses the definition of the singularity of isolation and identification method and isolated singularities application in residue calculation. Keywords: Isolated singularities; Definitions; Identifying method; residue. 引言: 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1.孤立奇点的定义如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是)(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点. 2.孤立奇点的判别方法设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，外处处解析，C C 是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1z f s i dz z f nk a z Ck åò===p 一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了就可以了..但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利..例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数便的求导数与求极限的方法得到留数.. 函数在极点的留数函数在极点的留数2.1 函数在极点处留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=- 法则2：设)()()(z Q zP z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(¹z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s ¢=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s mm m z z --=---）（.2.2 函数在无穷远点留数设¥为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在圆环域+¥<<z R 内解 析，则称析，则称dz z f i Cò)(21p （R z C >=r ：） 为)(z f 在点¥的留数，记为]),([Re ¥z f s ，这里-C 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）然地可以看作是绕无穷远点的正向）. . 如果)(z f 在+¥<<z R 的洛朗展开式为å¥-¥==n nn z C z f )(，则有1],[Re --==¥C f s . 这里，我们要注意，¥=z 即使是)(z f 的可去奇点，)(z f 在¥=z 的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方这是同有限点的留数不一致的地方. .如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇（点（包包括无穷远点在内），设为¥,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零在各点的留数总和为零. . 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则((z 1其中其中 ÷÷øöççèæ++-++-=+ )!12()1(!71!516)(1266n z z z nn j 在+¥<z 内解析，0560¹=！）（j .故0=z 是函数)6(sin 6633-+z z z 的15阶零点阶零点..例2 2 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的..即若不恒为零的函数)(z f 在R a z <-内解析，0)(=a f ，则必有a 的一个领域，使得)(z f 在其中无异于a 的零点（解析函数零点的孤立性）数零点的孤立性）. .分析分析 由于解析函数由于解析函数)(z f 不恒为零且0)(=a f ，所以利用)(z f 在点a 的泰勒展开式可知，总存在自然数1³m ，使0)()()()1(===¢=-a f a f a f m ，0)()(¹a fm（否则独所有m ，0)()(=a fm，由泰勒定理0)(!)()(0)(º-=å¥=m m m a z m a f z f 矛盾）.于是可设a 为)(z f 的m 阶零点，然后由零点的特征来讨论阶零点，然后由零点的特征来讨论. .证（不妨设）证（不妨设）a a 为)(z f 的m 阶零点)()()(z a z z f m j -=Û，其中R a z z <-在)(j 内解析，0)(¹a j .因)(z j 在a a 处解析，则有处解析，则有0)()(lim¹=®a z a z j j ，可取)(a j e =，存在着0>d ，当d <-a z 时，)()()(a a z j e j j =<-，由三角不等式，由三角不等式)()()(z a a z j j j j -³-）（ 便知当d <-a z 时)()()()(a a z z a j e j j j j =<-£-）（ 即有0>）（z j ，故在a 的d 邻域内使0)(¹z j .例3 3 确定函数确定函数[])1(/1)(33-=ze z zf 的孤立奇点的类型的孤立奇点的类型.. 解解 因为úûùêëé-+++=-1!2)(1)1(233333z z z e z z+++=1296!31!21z z z ，所以所以 0=z 是分母的六阶零点，从而是函数)(z f 的六阶极点的六阶极点. .例4 4 判别函数判别函数11sin)(-=z z f 的有限奇点的类型的有限奇点的类型. . 解 因为)(z f 在1=z 没有定义，更不解析，所以1=z 是)(z f 的奇点，在+¥<-<10z 内，展开)(z f 为洛朗级数：为洛朗级数：+-+---=-53)1(!51)1(!311111sinz z z z å¥=+-+-=012)1()!12(1)1(n n nz n ，， 有无穷多负幂项，故1=z 是)(z f 的本性奇点的本性奇点. . 例5 5 考察函数考察函数11sec)(-=z z f 在点1=z 的特性的特性. . 解 因为)(2/11,11cos111sec是整数k k z z z k p p ++=-=-是分母11cos -z 的零点，所以这些点是11sec -z 的极点的极点......从而知从而知1=z 是这些极点的极限点)(¥®n ，不是孤立奇点孤立奇点. .例6 6 求出函数求出函数)1/()(44z z z f +=的全部奇点，并确定其类型的全部奇点，并确定其类型. .解 分母41z +有四个一阶零点)3,2,1,0(4)2(=+k e k i p p ，它们不是分子的零，它们不是分子的零因此是函数)(z f 的一阶极点的一阶极点. .又11lim 44=+¥®z z z ，所以¥=z 是)(z f 的可去奇点的可去奇点..例7 7 求出函数求出函数z z z f 1cot )(-=的全部奇点，并确定其类型的全部奇点，并确定其类型. .解解 容易求得)(为整数k k z p =是z cot 的一阶极点，这是因为()0)1(c o s si n ¹-==¢=kk z kz p p.当00==z k ，时，而，而z 1z1sin 在!31,1sin ,!31,1sin =-=z z .。
复变函数论文
复变函数论文复变函数在数学和物理学中具有广泛的应用，是一门研究复数域上的函数性质的学科。
复变函数是指定义在复数域上的函数，即自变量和函数值都是复数。
复变函数研究的对象包括函数的连续性、可导性、解析性、奇点、级数展开等方面。
本文就复变函数的定义、主要性质及其在物理学中的应用进行了较为详细的讨论。
首先，复变函数的定义与实变函数类似。
设$z=x+iy$是复平面上的一个点，其中$x$和$y$是实数，$i$是虚数单位。
如果存在一个规则使得对于任意给定的$z$，有唯一确定的$w$与之对应，则称$w$是关于$z$的函数值。
这样的函数就是复变函数。
复变函数的一些重要性质包括连续性、可导性和解析性。
连续性是指函数在定义域内的收敛性，即当自变量趋向于某一点时，函数值也趋向于某个常数。
可导性是指函数在某一点处存在导数。
解析性是指函数在定义域内处处可导。
复变函数的导数和积分也有着独特的性质。
复变函数的导数可以通过极限定义来计算，与实变函数的导数在形式上类似。
但是，在复变函数的可导性上有一些额外的要求，即柯西—黎曼方程。
如果函数在某一点处可导，则其必须满足柯西—黎曼方程的实部和虚部。
复变函数在物理学中的应用十分广泛。
一些传统的物理学问题，如电场、磁场和流体力学中的速度场，都可以通过复变函数来描述。
例如，电场可以用复函数的实部，磁场可以用虚部来表示。
此外，复变函数还可以用来解决热传导、量子力学和场论的问题。
在电工学中，复变函数被广泛应用于交流电路的分析中。
通过使用复变函数，可以将交流电路中的电流和电压描述为复数，从而简化计算。
此外，复变函数还可用于计算电路的传输函数和频率响应。
在量子力学中，复变函数被用来描述波函数的演化。
波函数是用来描述粒子在量子力学中的运动状态的函数。
它的复变性质使得我们可以用复变函数来描述粒子的位置和动量，从而解决薛定谔方程。
总结起来，复变函数在数学和物理学中都有广泛而重要的应用。
它的研究涉及函数的连续性、可导性、解析性、积分等方面。
复变函数与积分变换论文
复变函数与积分变换论文复变函数与积分变换论文复变函数与积分变换是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数，复数起源于求代数方程的根。
通过学习《复变函数与积分变换》这门课程，我了解到它既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，同时老师也给我们了解到了更多关于复变函数的历史知识，让我更加对这门产生浓厚的学习兴趣。
《复变函数与积分变换》课程本身应该是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。
复变函数与积分变换对于我们的专业——电气工程自动化，十分重要。
除了要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法外，更重要的是要培养创新型的思维能力我们在复变函数和积分变换课程的学习中面对的处处都是创新模式，没有创新就不能学好该课程。
复数域打破了实数域的限制、解析函数突破了二元函数和一元实函数的禁锢、洛朗级数克服了幂级数的局限性、拉普拉斯积分变换是傅里叶积分变换应用方面的创新等等。
在复变函数与积分变换的学习中，我得到的不仅有作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想等等。
我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用。
通过对复变函数和积分变换的学习，培养我们运用基本理论和方法解决实际问题的意识、兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变换在解微分方程中的应用和求广义积分，微分方程变换为初等方程，培养我们打破思维定式，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换。
我们从这门课程上可以学到傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换。
自从我接触了一些我们的专业课知识，就深刻了解到傅里叶变换在处理和分析工程实际中的一些问题的重要作用。
通过变换技术，从另一个角度对问题进行处理和分析，使问题的性质更清楚、更便于分析，也使问题的求解更方便，更便于解决。
复变函数小论文
复变函数积分方法的教学思考数学与信息工程学院数学与应用数学专业王旭义1.引言复变函数是许多工科专业如自动化控制、交通工程、电子信息等必修的数学课程，学好复变函数可以为工科学生学习后续专业课程打下良好的数学基础.但是，由于课程内容抽象琐碎，学生学习这门课程有一定难度，容易失去学习兴趣.鉴于此，教师在教学过程中，如何帮助学生寻找合适的“窍门”，降低学习难度，激发学习兴趣，对学生学好复变函数非常重要.考虑到复变函数是高等数学的后续课程，学生对高等数学中实变量的函数积分非常熟悉，而纵观复变函数整个课程的内容，积分理论在大部分章节都占据了重要地位，并且它把许多经典内容如柯西—古萨定理、复合闭路定理、留数定理等有机地结合起来了，那么在复变函数的教学过程中，若把积分理论作为整个复变函数课程内容的一条线索，就会帮助学生理解得更加具体，从而提高学生学习的兴趣.本文集中讨论复变函数积分的常用理论和方法，并辅以适当的例题加深理解.根据积分路径的不同，复变函数积分大致可分为以下两类：沿非封闭曲线的积分和沿封闭曲线的积分.另外，本文还讨论了一个特殊情形的积分，即无穷限的广义积分.一、沿曲线C（非封闭）的积分f（z）dz当积分路径是非封闭的曲线时，可以用参数法和牛顿—莱布尼兹积分公式法.1.参数法路径是光滑的有向曲线C且可以表示成参数方程z=z（t），α≤t≤β，参数α、β分别对应C的起点和终点，则曲线积分可以用如下的公式计算：f（z）dz=f［z（t）］z′（t）dt.例1．计算zdz，其中C为从原点到1+3i的直线段.解：将C的方程写作z=（1+3i）t，0≤t≤1，则：zdz=（1+3i）td（1+3i）t=（1+3i）dt=-8+6i.2.线积分法如果f（z）=u（x，y）+iv（x，y）是连续函数，C是光滑曲线y=g（x），则f（z）dz 可以转变为两个二元实变函数的线积分，即：f（z）dz=udx-vdy+ivdx+udy.例2．计算积分（x+yi）dz，其中C为抛物线y=2x，0≤x≤1.解：u=x，v=y，则：（x+yi）dz=xdx-（2x）d（2x）+i（2x）dx+xd（2x）=（x-16x）dx+i（4x+4x）dx=-+i.3.牛顿—莱布尼兹积分公式法如果f（z）在单连通区域D内处处解析，G（z）为f（z）在区域D的一个原函数，z 与z是区域D内两点，则：f（z）dz=G（z）-G（z）.例3.沿区域Im（z）≥0，Re（z）≥0内的圆弧|z|=1计算积分dz的值.解：被积分函数在所给区域内处处解析，它的一个原函数为ln（z+1），则：dz=ln（z+1）|=［ln（1+i）-ln2］=--ln2+i.二、沿封闭曲线C的积分f（z）dz1.参数法如果积分路径是光滑的封闭曲线C且有参数方程z=z（θ），0≤θ≤2π，则曲线积分可以通过如下的公式计算：Cf（z）dz=f［z（θ）］z′（θ）dθ例4．计算C，其中C为以z为中心，r为半径的正向圆圈，n为整数.解：将C的方程写作z=z+re，0≤θ≤2π，代入积分式得：C=dθ=edθ=2πi，n=00，n≠0.2.利用柯西—古萨基本定理积分法如果f（z）在单连通区域B内处处解析，C是B的一条封闭曲线，则：Cf（z）dz=0.例5.计算积分Cdz，C：|z|=2.解：因为f（z）=在圆周|z|=2内处处解析，所以积分结果为0.3.利用高阶导数积分法如果f（z）是区域D上的解析函数，C是区域D内围绕z的一条正向简单封闭曲线，则：C=（n=1，2，…）例6.计算|z|=3dz解：|z|=3dz=（cosπz）［４］|=-.4.利用级数积分法若f（z）在圆环域B内处处解析，C是B内的一条封闭曲线，将f（z）展开成洛朗级数，f（z）=c（z-z），则：f（z）dz=c.例7.计算积分|z|=２dz解：f（z）=在1＜|z|＜+∞内解析，|z|=2在此区域内，则按洛朗级数展开有：f（z）=-=-（1+++…）（1+++…）=-1---…，则C=-2，所以|z|=２dz=2πi·（-2）=-4πi.5.利用留数积分法设函数f（z）在区域D内除有限个孤立奇点z，z，…，z外处处解析，C是D内包含这些奇点的一条封闭曲线，则Ｃf（z）dz=2πiRes［f（z），z］.例8.计算积分|z|=２解：被积函数f（z）=在区域|z|≤2的奇点是-i与1，所以|z|=２=2πi{Res［f（z），-i］+Res［f（z），1］}=-.注意：若函数f（z）在封闭曲线内的奇点个数较多，曲线外的奇点个数较少，则根据f （z）在扩充复平面上的所有奇点（包括∞）的留数的总和必为零这一结论可得：Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］（曲线外只有奇点∞）或Ｃf（z）dz=-2πi{Res［f（z），∞］+Res［f（z），z］}（z，z，…，z，∞为曲线外的奇点）.例9．计算积分|z|=２dz解：的奇点±1、±i在圆周|z|=2内，圆周外的奇点只有∞，则：Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］=2πiRe s［f（），，0］=2πiRes［，0］=0.总之，复变函数的积分理论是实变量函数积分理论的推广，但比实积分理论的内容要丰富和复杂得多.因而教师在讲授时应帮助学生理解复变函数积分理论与高等数学中积分理论的联系，同时又要强调二者的不同，这对学生掌握复变函数整个课程内容大有裨益.参考文献：［1］钟玉泉.复变函数论［M］.北京：高等教育出版社，2004.［2］陆庆乐.工程数学-复变函数（第四版）［M］.北京:高等教育出版社，1996.［3］王绵森.复变函数学习辅导与习题选解［M］.北京:高等教育出版社，2003.［4］王燕.复变函数积分的解法分析［J］.数学学习与研究，2009，12:90-91.［5］唐宝庆，杨润生，欧阳文等.对复变函数积分Ｃf（z）dz的计算在教学上的探讨［J］.数学理论与应用，2010，1（30）:120-122.。
《复变函数的复杂性》论文
《复变函数的复杂性》论文
复变函数是数学里一个很有用的概念，它以抽象的形式表达因果对应关系，并将复杂的问题转化为简单易于理解的形式，成为数学和工程应用中的重要工具。
但当介入复变函数时，很容易不经意间将其复杂性忽略。
复变函数的复杂性来源于它的定义，数学定义是指复变函数在实数域上的可微性，即它不仅依赖于单个参数，而且还受到它所有参数的影响。
每个参数都会改变函数的值，使参数变化不能简单地按照单一参数进行建模，这就是复变函数的复杂性。
此外，它的复杂性还与函数的分析有关。
复变函数的可微性意味着，如果要确定函数的局部特征，那么就必须用分析的方法去推导这些特征，这意味着，需要深入的数学知识和工具，对于普通的学生来说，要想准确知道复变函数的特定特征，则非常困难。
在复变函数的应用中，它的复杂性也体现得淋漓尽致。
如果要用复变函数来解决实际问题，就必须将多个参数及其变化范围考虑在内，而参数的变化会改变函数的值，这就要求对复变函数的计算和求解必须更加灵活，以便在给定参数变化范围内正确预测函数的变化趋势。
因此，复变函数的复杂性不可忽视，也必须正确理解它。
它可以帮助我们简化复杂的问题，但只有通过深入的数学分析，才能更好地研究它的复杂性，并有效地推导出它的局部特征。
只
有认真地学习复变函数，才能充分利用它的多变性，为现实世界的问题提供更有效的解决方案。
复变函数结课论文
复变函数结课论文——《论复变函数的历史发展及专业应用》复数的概念源于求解方程组的根。
二次、三次代数方程的求根公式中就出现了负数开方的情况。
在16世纪中期，意大利的数学家卡尔丹诺在解三次方程时，首先产生了复数开平方的思想。
在17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。
复变函数论产生于18世纪，由数学家欧拉做出。
同时，复变函数是我国数学工作者从事研究最早也是最有成效的数学分支之一。
我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面的研究成果，也都达到了当时的国际水平。
复数的一般形式是a+bi，i是虚数单位。
一复数作为自变量的函数叫做复变函数，与之相关的呢就是欧拉所做的复变函数论了。
解析函数是复变函数中具有解析一类性质的函数，复变函数论就是研究复数域之中的解析函数。
复变函数的许多概念理论等都是实变函数在复数范围内的推广与发展。
所以他们之间有着很大的相似之处。
但复变函数和事变函数也同样有着不同之处。
函数的理论、方法和概念在数学、自然科学和工程技术中都有着广泛的应用。
能够解决例如流体力学、热学、电磁学和弹性理论值的平面理论等诸多问题，在自然科学和生产技术发展的同时极大的推动了复变函数的发展并丰富了其内容。
我们在学习之中要正确的理解和掌握复变函数的数学概念和方法，逐步培养利用这些方法概念去解决实际问题的能力。
复变函数在很多领域都有非常重要的应用，其涵盖的范围十分广泛，甚至也已用来解决一些复杂的计算问题。
作为最富饶的科学的一类分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。
特别是在解析函数的微分理论（cauchy-riemann方程），积分理论（cauchy积分定理与积分公式），weierstrass的级数理论（taylor级数和laurent级数）等方面的应用。
除了这些之外，在别的领域里面的应用也是非常常见的。
比如说，物理学上有很多的不稳定场，所谓的场就是每点对应的有物理量的一个区域，对他们的计算就是通过复变函数来解决的。
论复变函数在专业中的应用复变函数论文-V1
论复变函数在专业中的应用复变函数论文-V1正文：复变函数是数学中极为重要的一个分支，也是物理、工程、计算机科学等众多领域的基础前提。
因此，复变函数在专业中的应用不可小觑。
本文将以下面的结构，重新整理《论复变函数在专业中的应用复变函数论文》的内容：一、复变函数定义及性质简介复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值均为复数。
在数学中，复变函数具有诸多性质，比如围道积分、柯西—黎曼方程、罗朗级数表示等等。
这些性质使得复变函数在实际应用中具有广泛的应用。
二、物理学中的应用物理学中有很多理论是基于复变函数的。
比如，复数阻抗在电路中的应用、量子力学中的路径积分、电动力学中的矢量分析等等。
更重要的是，在波动理论中，复变函数是频率域和时域之间转换的媒介，进而实现了信号处理和通信技术的快速发展。
三、工程学中的应用复变函数在工程学中的应用也尤为广泛，如控制理论、通信工程、机械工程、化学工程等。
比如，控制理论中的反向模型、通信工程中的信号处理、机械工程中的振动分析及优化、化学工程中的模拟和反应分析等。
四、计算机科学中的应用计算机科学中，复变函数的应用更是多方面，如图像处理、数据挖掘、计算机图形学等等。
比如，图像处理中的空间频率、数据挖掘中的神经网络、计算机图形学中的三维建模等。
五、结语综上所述，复变函数在专业中的应用是十分广泛的。
虽然每个领域有其具体的应用形式，但都离不开复变函数的数学基础。
因此，在学习复变函数理论的同时，我们也必须注重其实际应用，才能更好地把握它在专业中的价值。
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期中考试复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用学院：数学与计量经济学院班级：10级数学与应用数学01班姓名：***学号：***********一·复变函数微积分理论1复变函数微分 (3)2复变函数积分 (4)二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5)2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6)三·复变函数微积分理论在实际中的应用1复变解析函数的应用：平面向量场 (7)2应用复变积分求积分的几个例子 (8)四.附注之写在论文后头的话 (8)1·复变函数微分仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义，我们说的是，在某点在Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限z f ∆-∆+→∆)(z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。
同样，仿照实变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。
如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。
这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz cπ=⎰，其中C 为绕点a 的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。
解析函数有着一些特殊的性质，一个复变函数可以表示成为两个二元函数的组合f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ），当复变函数可微的时候，这两个二元函数u （x ，y ），v （x ，y ）也要可微，它还要满足柯西—黎曼方程y v x u ∂∂=∂∂，xv -y u ∂∂=∂∂。
我们对初等解析函数的认识过程：借助实变函数的符号e ，我们定义了指数函数f （z ）=e z ，因为z 的i 次方我们是知道的，所以接受此概念对我们而言，自然而然就接受了。
我们又由e 的iy （y 为实数）isiny cosy e iy +=，isiny -cosy e -iy =推出siny=i 2-ee -iy iy π这样的形式，如果将y 替换成为复数z 按照上面形式，以后人为定义复变函数sinz=i 2-e e -iziz π，这是一次推广，就像数域的扩张，实数是复数一个子集，定义域从实数推广到复数，恰似一道原本合拢的窗帘，现在将它拉开了，于是，一种静谧的美扑面而来。
正如上所言，双曲函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数在定义域推广以后在复数的世界生根发芽。
至此，解析函数的家族不断扩大。
我们对复变函数的了解也由浅而深。
解析函数具有无穷可微性及其他等等奇妙的性质，而这些性质会在实变函数和复变函数的比较中一一例举出来，复变函数函数向我们展示其奇异雄伟的一面。
复变函数积分的定义与实变函数积分的定义如出一帜，我们将一条有向曲线C 切割开来，分作许多小段，在每一个小段任意取一个点ζ（k ），做成和数S （n ）=∑∆=n 1k k z k ）（ζ，我们将曲线无限细分使得弧段长度的最大值趋于0时，S （n ）会向着一个数J 不断靠近，我们称J 为f （z ）沿C 的积分。
根据积分的定义，我们得到了求复变函数积分的第一个方法，我们将复变函数积分变成了两个实变函数第二类曲线积分：⎰⎰⎰++-=C C C vdx udy i vdy udx dz z f )(，一切是如此神奇，就像造物在虚空中说：“要有光”，于是就有了光，我们获得这一方法，然后跃跃欲试。
在我们涨红了脸，运用第一种方法的时候，参数方程法不期而至：θθβαd z z f dz z ⎰⎰=C )(')()(f 。
我们初闻到春日淡淡香味，一抬头，已经来到了夏天，馥郁的气息盈满整个空间，数学往往以更简单轻便给我们以惊喜，于是我们欢喜，讴歌数学的巧妙。
复变函数积分的性质，由一些函数的线性组合组成的函数沿曲线C 的积分等于这些函数沿曲线C 的积分的线性组合，函数f(z)沿曲线C 的积分可以表示成为该函数沿数个曲线C 1,C 2,...,C n 积分的和。
积分估值，积分的模长小于等于函数值的最大模长与曲线C 长度的乘积，换成公式形式：⎰⎰⎰=≤≤C CML dz M dz z f dz z f )()(C 。
柯西积分定理，函数f （z ）在单连通区域D 解析，则f （z ）沿D 内任意周线C 的积分值为0，数学形式⎰=C 0)(dz z f 。
看上去这么简单的一句话，实际上并不证明，古莎先证明了周线为三角形的情况，又在此基础上证明了多边形（将多边形进行分割，使之成为许多正三角形）的情况，对于曲线，他采用用多变形去靠近曲线的方法。
古莎大师在不添加附加条件的情况下证明了柯西积分定理，人类的智慧在这里得到充分的展示，我想起很久以前古老中国的割圆法，古代希腊的穷举法，一时心宽神怡，这是前人如同遥遥星河中恒星闪耀的智慧。
柯西积分定理的推广，除了上述情况，如果C 是一条周线，D 为C 的内部，函数f(z)在由C+D 组成的闭区间上解析，则f （z ）沿C 的积分值为0;如果f （z ）在D 内解析，在D+C 上连续，仍有f （z ）沿C 的积分值为0，这个的证明的思想是由内部的周线靠近边界线，再根据函数的连续性。
当周线本身发生变化，比如变化成复周线时，通过将内部的周线以往复的两条线段的连接的方式，我们将这个区域分成了两个单连通区域，柯西积分由此得到推广。
解析函数中的“积分上限函数”，因为解析函数的积分值只与起点和终点有关，对于一个解析f （z ），在给出一个起点Z 0以后，再任意给出另外一个点Z ，f （z ）沿任意以Z 0为起点Z 为终点的曲线积分，所得积分值为一个确定的数，这样我们就可以确定一个以z为自变量的函数F （z ）=⎰Z Z )(0dz z f 。
其实在这里，我们已经得到一个求f(z)原函数的方法，这样就有类似于实变函数中牛顿-莱布尼茨的定理，这为我们求积分提供了便利。
柯西积分公式，在讨论复变函数沿复曲线积分的时候，我们知道f （z ）沿周线C 的积分等于f （z ）沿C 围成的区域中某圆周线的积分，这样我们就能证明柯西积分公式)(2)(C z if dz Z f π=-⎰ξξ，柯西积分的特殊形式是解析函数平均值定理θθd R Z f Z f e i ⎰+=ππ20)(21)(。
解析函数具有无穷可微性，若f （z ）在区域D 内解析，则f （z ）在区域D 内有各阶导数即它的各阶导数都是解析，并且可以通过公式求其具体的值ζζζd f i n z C n n z ⎰-+=)(f 1)(2!)(π）（。
这是通过归纳法来做的，因为n+1阶导数是定义在第n 阶导数的基础上。
而由解析函数的无穷可微性，摩勒拉定理得到充分证明:若函数f （z ）在单连通区域D 内连续，且对于D 内任一周线C ，有⎰=C 0dz z f ）（，则f （z ）在D 内连续。
柯西不等式R n n R M n a )(!)(f )(≤，其中M(R)=max )(z f ，它的证明应用了之前的积分估值，应用了刚才的柯西不等式。
由解析函数函数有界，可以证明其在任意一点导数值为0：0)()(f (1)→≤R R M z ，我们得到刘维尔定理，从而一旦一个在整个复平面上解析的解析函数有界，那么它必然为常函数，然后就是应用反证法证明代数基本定理：多项式一定在复数域上存在解。
这上面的证明一气呵成，如河奔入海，又如水银泻地，无懈可击。
复变函数微积分与实变函数微积分······永恒的对手或者同伴？1·复变函数微积分与实变函数微积分的联系我们知道，在复变函数中，导数的定义与实变函数形式一模一样，如果单纯将z 看做一个字符，不考虑其所在区域，那么我们会觉得复变函数导数异常熟悉，在实变函数中的记忆纷至沓来，z 以任意方式趋于z （0），在区域内处处可导的概念是那么的亲切。
有了导数，微分也随之出现，可导与可微的等价，我们又仿照实变函数，如果实变函数可微，Δf=f'(x(0))+o(Δx),如果复变函数可微，Δf =f （Z 0）+o （z ∆）。
复变函数微分与实变函数微分宛如双子座，它们完美契合，数学的对称，和谐发挥得淋漓尽致。
复变函数微分的性质也与实变函数保持了高度的一致性，常函数求导等于0，多个可导函数的线性组合求导等于它们求导以后的线性组合：d(kf(z)+hg(z))=kdf(z)+hdg(z),以及df(z)g(z)=g(z)df(z)+f(z)dg(z)，(f(g(z)))`=f`(g(z))g`(z)dz 。
面对这样的一致，我们欣赏无比，当我们验算，我们会发现这一切无懈可击，巧合？这是数学无限神奇。
复变函数的积分与实变函数微分，我们仔细看复变函数积分的定义，我们会发现，咦，它怎么会和我们的实变函数第二型曲线积分那么相似。
视角拉回到复变函数的定义域，我们看到积分曲线的起点和终点静静地躺在复平面上，如同河床上安静的鹅卵石，我们沿着一条连接起点和终点的C曲线对函数积分，曲线蜿蜒如同在静默大地上奔走的河流，我们明悟了复数函数与实数函数的差别，复变函数的自变量z本身就是个二元函数呀，Z=x+iy，于是这一切瞬间变得理所当然。
而且，复变函数积分不仅是长得像实变函数第二型曲线积分而已，对于复变函数积分的求法，前面已经提到，复变函数积分可以分开成为求两个实变函数第二型曲线积分：⎰⎰⎰++-=C C C vdxudyivdyudxdzzf)(。
我们对复变函数积分的性质进行推广，尽管早有意料，尽管这种猜想过程看上去有些多余和没有必要，但是结果最终揭晓，我们还是会欢呼：这是完美的契合！复变函数积分仍然安静地陪伴在实变函数积分的身边，安静凝视，不离不弃，复变函数函数中的可积函数的线性组合积分等于复变函数函数积分的线性组合：⎰⎰⎰+=+C C Cdz zghdzzfkdzzhgzkf)()())()((，这是复变函数对实变函数的承诺。
实变函数中在求某些极限值，可以应用若比达法则，复变函数也可以应用若比达法则吗？可以，在复变函数中，对于无穷比无穷型，零比零型，零乘无穷型，若比达法则仍然是通用的，正所谓定义域已非实数域，诺毕达依旧诺毕达。