弹性力学及有限单元法
弹性力学基础及有限单元法
第一章1、弹性力学的任务是什么弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？(1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。
实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。
根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。
(2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同，因此，物体各部分的物理性质是相同的。
这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。
钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。
木材不是各向同性的。
(3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。
同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。
(4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。
在研究物体受力后的平衡状态时，可以不考虑物体尺寸的改变。
在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。
(5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。
也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。
物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。
若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。
上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。
弹性力学与有限元的关系
弹性力学和有限元关系：
弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。
位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。
当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。
这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。
通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数。
这种函数称为位移模式或位移函数。
弹性力学及有限单元法教学设计
弹性力学及有限单元法教学设计背景弹性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的弹性变形和应力分布规律。
它在工程领域中具有广泛的应用，如建筑结构、机械设计、汽车工程等领域。
而有限单元法是求解弹性力学问题的一种有效数值方法，具有计算精度高、适应性强、计算速度快等优点，被广泛应用于各个领域。
因此，弹性力学及有限单元法的教学设计对于工程学科专业的学生具有重要的意义。
教学目标通过本课程的学习，学生应具备以下能力：1.掌握弹性力学和有限单元法的基本原理和方法；2.能够使用有限单元软件对具体工程问题进行建模和分析；3.能够独立完成一定难度的工程问题的建模和分析；4.具备团队合作和沟通能力，能够与同学合作完成工程项目。
教学内容弹性力学第一章弹性力学基础介绍弹性力学的基本概念和基本假设，讲解应力、应变、位移等概念，并在简单的力学模型中讲解弹性变形和应力分布的计算方法。
第二章实例分析以基本的力学模型为基础，引入实际工程问题中需要考虑的因素，如材料的非线性特性、载荷的分布情况等，让学生能够对更为复杂的实际问题进行分析和计算。
有限单元法第三章有限单元法概述介绍有限单元法的基本原理和方法，并对不同类型的有限单元进行比较和分析，让学生能够对有限单元法的特点和适用范围有一个全面的认识。
第四章有限单元分析入门讲解有限单元软件的使用方法，如建模、网格划分、边界条件的设置、材料特性的定义等，让学生能够独立完成基本的有限单元分析。
第五章实例分析以具体的工程问题为例，让学生能够独立完成模型的建立和有限单元分析。
在实例分析中，强调工程问题的实际应用性，让学生能够将理论知识应用于解决实际问题。
教学方法本课程采用“课堂讲授+实验”的教学方法。
其中，“课堂讲授”主要是讲解弹性力学和有限单元法的基本原理和方法，让学生能够掌握基本的理论知识；“实验”则是通过有限单元软件的模拟分析，让学生能够将理论知识转化为实际能力。
教学评估本课程采用考试和实验报告相结合的方式进行教学评估。
弹性力学基础及有限单元法教学设计
弹性力学基础及有限单元法教学设计1. 弹性力学基础概述弹性力学是一门研究物体在外力作用下发生形变后能回复原态的力学学科。
弹性力学的应用非常广泛，如土木工程、机械制造等领域都需要用到弹性力学的知识。
因此，在工程学科中，弹性力学是非常重要的一门基础课程。
在弹性力学的学习中，通常需要掌握以下内容：1.杆件的轴向变形2.杆件的弯曲变形3.圆柱体的轴向和圆周向变形4.球体和球壳的变形5.三维问题中的弹性力学问题2. 有限单元法有限单元法是一种利用数值计算方法求解弹性力学问题的技术。
它将问题分割成小网格或单元，并在每个单元中近似求解问题。
最终通过组合各个单元的结果求解整个问题。
有限单元法的基本工作流程如下：1.将问题进行数学建模，确定数学方程2.将问题分割成小网格或单元3.在每个单元中建立数学模型，并进行近似求解4.组合各个单元的结果，求解整个问题有限单元法的优点在于可以处理复杂的三维问题，并且精度较高。
但是，它需要计算大量的数据，并且对计算机性能的要求较高。
3. 弹性力学基础及有限单元法教学设计在弹性力学基础课程中，应该注重理论基础的学习和数值计算方法的训练。
具体来说，建议如下：1.弹性力学基础部分1.分阶段学习杆件、圆柱体、球体等类型的问题，将问题分解并分阶段学习2.加强与实际工程应用的联系，突出应用场景和实际问题3.强化理论知识，做好基本概念和运算符号的记忆和应用2.有限单元法部分1.鼓励学生掌握相关计算软件的使用，如Ansys、ABAQUS等2.分阶段学习单元网格的建立和求解方法3.强化建模和近似求解的能力，提高方法的精度和实用性结合弹性力学基础和有限单元法，可以设计出更加全面、深入的教学方案。
建议使用案例讲解和实验实践等手段来加强学生的理解和应用能力，提高教学效果。
4. 总结弹性力学是机械、土木等学科中的基础课程之一，其理论和实践应用非常广泛。
有限单元法是一种求解弹性力学问题的数值计算方法，其在复杂三维问题的求解中有很大的作用。
《弹性力学及有限单元法》学习指南
第一章绪 论学习指导在学习本章时，要求学生理解和掌握下面的主要内容：1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别；2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处；3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。
§1－1弹性力学的内容弹性体力学，简称弹性力学，弹性理论（Theory of Elasticity或Elasticity），研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
这里指出了弹性力学的研究对象是弹性体；研究的目标是变形等效应，即应力、形变和位移；而引起变形等效应的原因主要是外力作用，边界约束作用（固定约束，弹性约束，边界上的强迫位移等）以及弹性体内温度改变的作用。
首先，我们来比较几门力学的研究对象。
理论力学一般不考虑物体内部的形变，把物体当成刚性体来分析其静止或运动状态。
材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。
结构力学研究杆系结构，如桁架、刚架或两者混合的构架等。
而弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。
因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。
其次，从研究方法来看，弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。
弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。
而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的。
例如，材料力学常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，使问题的求解大为简化；並在许多方面进行了近似的处理，如在梁中忽略了бy的作用，且平衡条件和边界条件也不是严格地滿足的。
一般地说，由于材料力学建立的是近似理论，因此得出的是近似的解答。
但是，对于细长的杆件结构而言，材料力学解答的精度是足够的，附合工程上的要求（例如误差在5%以下）。
2 弹性力学与有限元法
•剪应力
图1
2013-7-21
8
Institute of Mechanical Engineering and Automation
[ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个 角码，例如，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也 沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如， 剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。
[ 几何方程、刚体位移 ]
•求剪应变 xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 •x向线素AB的转角 a y向线素AD的转角 b
y
u u dy y
C'
v
v dy y
D" b D '
D C
•A点在y方向的位移分量 为v； •B点在y方向的位移分量：
v
u
A
A'
a
dy
B'
v v dx x
连续性假设
2013-7-21
完全弹性假设 均匀性和各向同性假设 小变形、小转动假设 自然状态假设（无初始应力）
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Institute of Mechanical Engineering and Automation
基本定律
牛顿定律
动量平衡原理
⇨ 平衡(运动)微分方程
⇨ 应力张量的对称性
u dx x
u
A'
a
A dx 0
2013-7-21
B
u u dx x
B"
x
图2
弹性力学及有限元法：第1章 弹性力学基本理论
（1.7）
z
A
o
y
x
zy
zx
x
yx xz xy
yz x P
xy
xz zx
yz
y yx
B
zy z
zx zy z
图1-2 微小正方体元素的应力状态
其中，σ为正应力，下标表示作用面和作用方向；τ是剪应力，第
一下标表示截面外法线方向，第二下标表示剪应力的方向。
14
1.1.3 应力
应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴 的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正 ，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指 向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方 向为正，沿坐标轴的正方向为负。
4
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学与材料力学的区别
弹性力学与材料力学(Strengths of Materials)在研究对象、研究 内容和基本任务方面有许多是相同的，但是二者的研究方法有较大 差别。
研究对象几何形状
描述方程 求解难易程度
适用范围
材料力学
杆状构件
常微分方程 容易 窄
弹性力学
8
1.1.2 外力与内力
（1）外力
作用于物体的外力通常可分为两类： 面力(Surface Force) 体力(Body Force)
9
1.1.2 外力与内力
面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、 水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情 况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。
弹性力学及有限元
热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有 限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设 计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散 化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、 应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结 构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法 ，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计， 提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理 复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方 便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊 问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问 题，需要采用多场耦合有限元方法等。
弹性力学及有限单元法
目录
34
§1.3 弹性力学中的基本假定 弹力基本假定，确定了弹力的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
目录
35
Mechanics forms the backbone of science and engineering.
Mechanics paves the foundation for the infrastructures of numerous cities in the word.
目录
5
第一章 绪 论
即应力与应变关系可用胡克定律表示（物 理线性）。
目录
31
§1.3 弹性力学中的基本假定
（3）均匀性 ─ 假定物体由同种材料组成。由 此得出 E、μ等与位置(x,y,z)无关。 （4）各向同性 ─ 假定物体各向同性。由此得 出 E、μ等与方向无关。
由（3）,（4）得出 E、μ等为常数。 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。
目录
9
§1.1 弹性力学的内容
材力也考虑这几方面的条件，但不是十分严 格的：常常引用近似的计算假设（如平面截 面假设）来简化问题，并在许多方面进行了 近似的处理。
因此材力建立的是近似理论，得出的是近 似的解答。从其精度来看，材力解法只能 适用于杆件形状的结构。
目录
10
§1.1 弹性力学的内容
研究方法的差别造成弹性力学与材料力 学问题的最大不同。
目录
7
§1.1 弹性力学的内容
结构力学─在材料力学基础上研究杆系结 构(如桁架、刚架等)。
弹性力学及有限单元法则复习提纲
弹性力学及有限单元法复习提纲采矿09级1.材料力学和弹性力学在所研究的内容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法上有何主要区别？研丸对象的不同：材料力学•呈木卜.只研究杆状构件，也就於长度远远大于高度和宽度的构件。
非杆状结构则在弹性力学里研兗研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结來比较梢确.2.什么是弹性，什么是20性？弹性力学有哪几条基本假设？弹性：指物体在外力作用卜•发生变形.当外力撤岀后变形能够恢复的性质.塑性：指物体在外力作用卜•发生变形，当外力撤出后变形不能够完全恢毀的性质。
基本假设：（1）连续性，＜2）完全弹性，（3）均匀性.⑷*向同性，⑸假定位移和形变足微小的3.弹性力学的平術微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？由材料连续性和各向同性的假定.根据平衡条件可导出：表示区域内任一点的微分体的平衛条件。
4.为什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什么？闵为平衡微分方程有两个方程，三个木知虽，这就确定了应力分虽问题足超静定的，耍考虑几何学和物理7的条件（边界条件）来解答：它圧假定弹性体受力后，弹性体的点发生移动而推导出来的：表示弹性体受力后的线应变和切应变。
5.什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是什么？平面应力问题的物理方程：匕=£（耳-口~）（在平而应力间题中的物理方程中Ey =g ）将£换为冷，U换为亡就得到丫刊=警工缈平面应变问題的物理方程）表示理想弹性体中形变分戢与应力，应变分戢之间的关系6.什么是平面应力？平面应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所需要求解的问题，差别又在何处？如何推导出相应的物理方程？平面应力问题；设所研丸的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z方向无变化，可以认为在整个薄板里任何一点都有：0产0 ,乞=0,乞=0,注盘到剪应力互等关系，可知坯=0,这样只剩F平行于xy |ft|的三个应力分品即（7才0y，Txy=Tyx・它们肚X和y的函敷，不随z而变化平面应变问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，所受的荷载都垂r［于z轴且沿z方向没有变化，则所有一切应力分戢，变形分戢和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束. 使Z在z方向无位移，则任何一个懂裁卿在z方向都没有位移，所有变形都发生在xy而里。
弹性力学及其有限元法
弹性力学及有限元分析1、 设试件两定点之间的长度为L 0，其截面积为F 0，加上拉力P 后，L 0 伸长了△L 。
我们把P/ F 0 称为拉伸应力（σ），△L/ L 0 称为拉伸应变（ε），于是有σ＝P/ F 0 ，ε＝ △L/ L 0某种材料的拉伸应力和拉伸应变的比，称为该材料的杨氏模量或弹性模量(E)，即 LF PL E ∆==00εσ，弹性模量E 表征了材料的物理性质。
2、 根据力学特性，固体通常分为韧性固体和脆性固体。
首先分析韧性材料，材料在受力变形过程中，明显地有四个特性点划分三各阶段。
a. 弹性阶段，这一阶段的明显特征是，当外力逐渐去掉时，变形也逐渐消失，物体能够恢复到原来的形状，物体的这种性质称为弹性，存在一个应力极限称为弹性极限。
随着外力的消失而消失的变形称为弹性变形；去掉外力后仍然保留的变形称为残余变形或永久变形。
弹性阶段另一个明显特征是，应力与应变保持线性关系。
设受力方向为x 方向，x xE εσ=，这就是简单拉伸时的虎克定律，弹性模量E 为常数，表示应力与应变成正比例。
通常把弹性极限和比例极限规定为一个值。
b. 塑性阶段，超过弹性极限后，材料开始失去弹性，进入塑性阶段，这时产生较大的永久变形，应力应变关系不再是线性的。
当曲线超过s 点（屈服极限）后，材料开始屈服，即在应力几乎不增加的情况下，应变会不断的增加，称s 点为屈服极限；当变形大到一定程度后，材料开始强化，要继续增加变形必须再增加外力，到达b 点后产生颈缩。
从弹性极限到b 的变形范围统称为塑性阶段，属于塑性力学的研究范畴。
c. 断裂阶段，试件产生颈缩后，开始失去抵抗外力的能力，最后发生断裂，相对于b点的应力称为强度极限。
脆性材料：它的拉伸曲线图没有明显的三个阶段之分，也没有明显的屈服应力点，材料亦不再满足虎克定律。
为了分析上的需要，往往以切线斜率作为弹性模量，即εσd d E =。
如果对脆性固体材料加载，应力应变曲线将沿着OA 上升，若到A 点后即行卸载，应力应变曲线并不沿着原来的途径回复到原点，而是沿着直线AB 下降，当全部载荷卸去之后，试件中尚残存一部分永久变形''ε。
弹性力学及有限元方法-空间问题
4．2 应变与应力
– 将假定的位移代入式(4．12)，得到单元内应
变为：
– 将应变矩阵[B]按节点分块表示为：
– 由(4．12)，得到应变矩阵[B]中任一子矩阵 [Bi] 为：
• 其中bi、ci及D如前，而
• 按物理关系式，有应力 • 注意轴对称问题三角形单元的形函数虽与平面
问题三角形单元相同，但其应变、应力则不相
• 同理，用v式可求得a5到a8 ，用w求得a9到 a12 ,为：
• 用矩阵记法统一表达为：
• [N]为形状函数矩阵，可表示为：
• [I]为三阶单位矩阵，而各节点的形状函数 可按下式计算得到，即
• 如记矩阵
为四面体单元的体积，其他系 数皆可由[L]确定，如
• 为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样 可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn等， 它们是矩阵[L]第二、三、四行元素的代数 余子式。
• 轴对称问题中，上述截面内任一点p，实 际上代表一个半径为r的圆周(图4-2)，当 此圆周上各点都有径向位移u时，圆周被 拉伸，多出一个环向应变q。有：
• 全部应变的4项分量与两项位移分量之间 的几何关系（几何方程），以矩阵表示为:
• 轴对称问题的4项应力分量，以列阵表示为：
• 轴对称问题的应力与应变间的物理关系仍写为：
用位移法，就是只研究这个代表截面的位 移求得一个截面的位移分布，也就有了整 个三维结构内的位移分布，从而可以求得 体内任一点的应变及应力。这样，一个三 维问题，就可以转化为一个二维问题。 由于结构的变形是对称于中心轴的，因而 子午面内各点都只有沿径向r的位移u和沿 轴向z的位移w，一般应为截面坐标r，z的 函数，即
• 单元内应变为常值，按物理方程，单元内的 应力也是常值。当然，一般受力情况下，三 维体内有限大小的四面体内的应力并不是常 值，用常应力单元来代替它，只是近似的。 • 对此单元，单元间的应力是不连续的。只有 当单元划分得较小时，单元内的应力才会接 近于常值，此时计算的应力在单元间的不连 续才会比较小，因而可以作为真实应力分布 的近似。 • 一般，把这种单元应力的计算值作为单元中 心一点的应力近似值是比较适当的。
弹性力学中的有限单元法
∑N y
i
∑N
由插值基函数的性质及坐标变换的定义,可得 u = a0 x + a1 y + a 2
v = b0 x + b1 y + b2 即,在节点位移分布满足刚体模式或常应变模式时,对于等 参数插值,单元内的位移模式也满足刚体模式或常应变模式
刚体模式或常应变模式的一般形式为
u = a0 x + a1 y + a 2 v = b0 x + b1 y + b2
i 0 i 1 i 2
则根据插值模式,单元内任一点的位移为
u= v=
∑N u
i =1 8 i =1
8
i i
= a0 = b0
∑N x ∑N x
i =1 i =1 8
8
i i
+ a1 + b1
∑N y
i i =1 8 i i =1
8
i
+ a2 + b2
∑N
i =1 8 i i =1
8
i
∑N v
i i
i i
N 1II = 0.25(1 ξ )(1 η ) 0.5 N 8II
ξ
7
N 2II = 0.25(1 + ξ )(1 η ) N 3II = 0.25(1 + ξ )(1 + η ) N 4II = 0.25(1 ξ )(1 + η ) 0.5 N 8II
N 8II = 0.5(1 ξ )(1 η 2 ) 在节点1,2和3构成的边上 II u P = 0.5[(1 η ) (1 η 2 )]u1 + 0.5[(1 + η ) (1 η 2 )]u 2 + (1 η 2 )u 3
弹性力学及有限单元法-精品课程
A
q
o r
+ B(1+ 2ln ρ) + 2C, ρ2 A σϕ = − 2 + B(3+ 2ln ρ) + 2C, ρ τρϕ = 0.
(d)
四、课程考核
开卷考试
做法之一：全开卷考试，可带教材、笔记本和作业本。 做法之一：全开卷考试，可带教材、笔记本和作业本。既考 核学生对弹性力学基本概念、 核学生对弹性力学基本概念、基本方程和基本解法的总结和 理解，又考核了学生利用弹性力学方法解题的能力， 理解，又考核了学生利用弹性力学方法解题的能力，还可根 据学生的特长，鼓励个性化发展，培养创新能力。 据学生的特长，鼓励个性化发展，培养创新能力。 做法之二：半开卷考试，仅带教材。 做法之二：半开卷考试，仅带教材。这种考试方式可减轻学 生在考前对弹性力学公式的死记硬背， 生在考前对弹性力学公式的死记硬背，学会灵活运用弹性力 学的解题思路和方法，有利于学生自主学习。 学的解题思路和方法，有利于学生自主学习。
三、课程教学
若干知识点教学
1.基本概念 1.基本概念 讲清物理量的定义、表示、量纲、符号规定。 讲清物理量的定义、表示、量纲、符号规定。 定义 规定 2.基本假定 2.基本假定 讲清为什么在弹性力学中要提出一些基本假定以及基本假定在建立弹 讲清为什么在弹性力学中要提出一些基本定以及基本假定在建立弹 性力学基本方程中作用，培养学生建立力学计算模型的能力。 性力学基本方程中作用，培养学生建立力学计算模型的能力。
二、课程建设
立体化教材建设
1. 2. 3. 4. 主教材 辅助教材 加深或参考教材 网络教学环境
二、课程建设
立体化教材建设
主教材
《弹性力学简明教程》（第三版），为”十五” 弹性力学简明教程》 第三版），为 十五” ）， 国家级规划教材，高等教育出版社，2002.8； 国家级规划教材，高等教育出版社，2002.8；并 被评为2005年度的江苏省高校精品教材。 2005年度的江苏省高校精品教材 被评为2005年度的江苏省高校精品教材。第三版 2002-2006年度已发行12.3万余册 年度已发行12.3万余册； 在2002-2006年度已发行12.3万余册；一、二、 三版(1979,1983,2002)的累计印数为50万余册。 (1979,1983,2002)的累计印数为50万余册 三版(1979,1983,2002)的累计印数为50万余册。
第二章 弹性力学平面问题的有限单元法
求解上式，可以将参数a1、a2、a3、a4、a5、a6用结点位移 表示出来，即 a1=(aiui+ajuj+amum)/2A a4=(aivi+ajvi+amvm)/2A a2=(biui+bjuj+bmum)/2A a5=(bivi+bjvj+bmvm)/2A a3=(ciui+cjuj+cmum)/2A a6=(civi+cjvj+cmvm)/2A 式中 ai=(xjym-xmyj), bi=yj-ym, ci=xm-xj aj=(xmyi-xiym), bj=ym-yi, cj=xi-xm am=(xiyj-xjyi), bm=yi-yj, cm=xj-xi
2-8
§2.3 三角形单元分析
从离散体系中任取一个单元，如图所示。三 个结点按反时针方向顺序编号为i、j、m。结点坐 标分别为(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。 一、单元的结点位移和结点力向量 由弹性力学平面问题可知，一个连续体，每点 应有两个位移，因此每个结点应有两个位移分量， 则三角形共有六个自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm 。如图 b所示。各结点位移向量可写成
2-15
(2)位移模式必须包含单元的刚体的位移。这是因 为每个单元的位移一般总是包含着两个部分：一部 分由本单元的变形引起的，另一部分是与本单元的 变形无关的，即刚体位移，它由其他单元发生的变 形连带引起。 (3)位移模式必须包含单元的常量应变。这从物理 意义上就可以理解。因为当单元的尺寸取得很小时， 单元中各点的应变也将相差很小，而当单元的尺寸 取得无限小时，单元内各点的应变应趋近于常量。 通常把满足上述第一个条件的单元，称为协调(或 连续)单元；满足第二、第三个条件的单元称为完备 单元。理论和实践都已证明：为了使有限单元法的 解答在单元尺寸逐渐取小时能够收敛于正确解答， 条件(2)(3)是必要条件，而再加上条件(1)就是充分条 件。
弹性力学与有限元法分析及实例讲解
弹性力学与有限元法分析弹性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性固体在受外力作用、温度改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。
有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。
有限元法的基本思想就是化整为零，分散分析，再集零为整。
即用结构力学方法求解弹性力学问题，实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，单元体之间仅仅通过结点相连，实现化无限自由度问题为有限稀有度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。
有限元方法经过近半个世纪的发展，目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法，而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。
有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁，它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力，进一步促进了有限元方法的发展。
ANSYS 软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。
ANSYS 软件的组成：（一）前处理模块该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，可以方便的构造有限元模型，软件提高了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。
包括：1.实体建模：参数化建模，布尔运算及体素库，拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。
2.自动网格划分，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。
3.在集合模型上加载：点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。
4.可扩展的标准梁截面形状库。
（二）分析计算模块该模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。
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二、课程建设
立体化教材建设
辅助教材 学习指导：《弹性力学简明教程学习指导》，高等教育 出版社，2004年1月；供学生深入理解、提高分析问题和 解决问题的能力。 电子教案：《弹性力学简明教程电子教案》，高等教育 出版社，2007年12月；供教师上课时使用的示范教案， 并可修改后形成自己的教案。 程序汇编：《有限单元法教学实习程序汇编》，高等教 育出版社，2007年12月；供学生上机实习时使用。
四、课程考核
有条件免考试
做法之一：对平时学习考核（包括课堂教学、作业等）优秀 的学生，考试前安排课程小论文公开答辩，根据小论文的质 量、答辩情况评定成绩。小论文成绩可作为期终考试成绩。 如学生对小论文的成绩不满意，仍可参加期终考试。 做法之二：对平时学习考核（包括课堂教学、作业等）优秀 的学生，考试前安排面试，强调对弹性力学基本理论（基本 概念、基本方程和基本解法）的掌握程度和定性分析弹性力 学问题的能力，由课程面试小组评定成绩。如学生面试成绩 不满意，仍可参加期终考试。
题的简化。
4.圣维南原理及其应用 圣维南原理强调小边界和静力等效；注重理论的提升和推广应用能
力的培养，提高分析和实际应用能力。
三、课程教学
若干知识点教学
5.平衡条件 比较理论力学、 材料力学和弹性力
学中平衡要求。
三、课程教学
若干知识点教学
6.位移单值条件
q
按应力求解时，对于多连体 须要校核位移的单值条件。
7.应力有限值条件 无应力集中现象时，ρ 0 , 或
A
o r
x, y 0, 处的应力的有限值条件。
B(1 2 ln ) 2C , 2 A 2 B(3 2 ln ) 2C , 0.
三、课程教学
若干知识点教学
1.基本概念
讲清物理量的定义、表示、量纲、符号规定。
2.基本假定 讲清为什么在弹性力学中要提出一些基本假定以及基本假定在建立弹
性力学基本方程中作用，培养学生建立力学计算模型的能力。
三、课程教学
若干知识点教学
3.两种平面问题 突出如何从结构形式、受力方式、约束情况三方面阐述两种平面问
四、课程考核
多次考试、全面记分
一是增加考试次数。即教一部分就考一部分，促使学生
及时复习，但要保持课程的系统性。
二是全面衡量学生的成绩。对各次考试、大小作业均要 进行记分。
三是课程总成绩评定。根据若干考试、作业成绩综合加
权评定。
五、若干思考
力学系列课程
①每门课程各自为政，淡化了知识结构的完整性，导致了知识割 裂和课程之间不必要的重复以及同一原理叙述的不协调； ②各门力学课程过分追求自身的完整和独立，以致内容过多、过 细甚至陈旧，起点低、耗时多；
3．精品课程是分层次、多样化的。
二、课程建设
立体化教材建设 教学内容的改革
二、课程建设
立体化教材建设
1. 2. 3. 4. 主教材 辅助教材 加深或参考教材 网络教学环境
二、课程建设
立体化教材建设
主教材
《弹性力学简明教程》（第三版），为”十五” 国家级规划教材，高等教育出版社，2002.8；并 被评为2005年度的江苏省高校精品教材。第三版 在2002-2006年度已发行12.3万余册；一、二、 三版(1979,1983,2002)的累计印数为50万余册。
一、课程定位
理论力学 材料力学 结构力学 弹性力学及有限单元法 理论力学 技术基
一、课程定位
弹性力学及有限单元法的定位
它是一门理论性与应用性并重的专业基础课。 是从变形体力学的角度上、运用严格力学分析方法 的首门课程；它将理论力学、材料力学、结构力学 等课程中所发展的力学分析和建模以及求解水平上 升到工科本科生培养达到“力学境界”的最高程度。
二、课程建设
什么是精品课程？
据教育部相关文件，国家精品课程具有： 一流教师队伍 一流教学内容 一流教学方法 一流教材 一流教学管理等特点的示范性课程。
精品课程的特点：
先进性、互动性、整体性、开放性和示范性。
二、课程建设
精品课程的理解
1．精品课程定位：高水平的、前沿的、特 色化课程体系。 2．精品课程建设是一个统一的整体。
三、课程教学
加强与工程实践的结合
1.本课程理论性和实用性较强，作为工科学生一门重要的专业基
础课，在教学工程中，特别注意与工程实践的联系;
2.结合教师的科研工作，提出一些新问题，引导学生参与研讨， 激发学生的学习兴趣和学习潜能。
例如，在力学模型的建立方面，注意培养学生如何从实际复杂的工程
问题中抓住矛盾的主要方面提炼出合适的力学模型；在问题的求解方面， 量化计算固然重要，还注重引导学生应用所学知识进行定性和概念分析。
三、课程教学
教学方法与手段
1. 以课堂教学作为传授知识的主要手段，并辅以电子教案（电
子版书+教师讲课）方式进行教学；
2. 针对不同专业，对教学内容进行整合，将课程内容模块化， 以适应不同专业学生学习的需要；
3. 合理运用黑板、粉笔、电子教案等多种媒体，取长补短、优化
组合，重视批改作业和课外答疑等辅助环节； 4. 设臵例题讲解和习题作业，并安排有限单元法上机实习环节。
③工程概念和实践性环节不强；
④反映现代知识少，缺乏时代气息。教学为学分制，课程要求为 模块化，加强课程的综合性和应用性，广泛使用计算机、现代数学工
具和多媒体。
五、若干思考
力学课程的设置和学时
理论力学、材料力学和结构力学在工科大多专业教学 计划中列为必修课，并安排了相对充足的学时；而弹性力 学在某些专业要么未设臵，已设臵的其学时安排也很少。 据统计： 理论力学：64-80学时；材料力学：64-96学时；
结构力学：60-80学时；弹性力学：30-45学时。
建议提要弹性力学及有限单元法的学时，并设臵为必 修课。
请批评与指正!
二、课程建设
立体化教材建设
加深或参考教材
（1）《弹性力学》（徐芝纶，第四版）（高等教育出版社，2006.12） （2）《Applied Elasticity》 （徐芝纶）（ Higher Education Press, Wiley Eastern Limited,1992） （3）《弹性力学简明教程》（第三版，英文版），供双语教学使用 （4）《弹性力学》（吴家龙）（高等教育出版社，2001.6） （5）《弹性力学》（杨桂通）（高等教育出版社，1998.6） （6）《弹性力学教程》（王敏中等）（北京大学出版社, 2002） （7）《弹性理论基础》（陆明万等）（清华大学出版社，1990）
《弹性力学及有限单元法》
课程建设与实践
河海大学 邵国建
二ＯＯ九年八月
主 要 内 容
一、课程定位
二、课程建设
三、课程教学 四、课程考核 五、若干思考
一、课程定位
力学系列课程定位
力学系列课程（含理论力学、材料力学、 结构力学、弹性力学及有限单元法）是许多工 科专业的重要技术或专业基础课，它不仅是相 关专业后续课程的基础，而且它们自身的科学 方法具有直接解决工程实际问题的能力。
四、课程考核
非常规闭卷考试
做法之一：将考试分作资格考试和水平考试两种，先进行资 格考试，只有资格考试通过了才允许参加水平考试。资格考 试考学生必须掌握的知识，多为平时的作业题，水平考试是 为了拉开层次，考学生灵活运用知识解决问题的能力，题目 相对较活、较难。 做法之二：闭卷考试，可带一张A4纸由学生考前自主总结。 这种考试方式强调学生在考前课程的总结和理解，加深对弹 性力学的基本概念、基本方程和基本解法的理解和掌握。
现代力学知识，充分体现基础性、先进性和前沿性。
二、课程建设
教学内容的改革
2. 将力学分析的平衡律、协调律和本构律这个最基
本、最重要的理论工具进行了强化和贯通，始终贯穿于不
同材料、不同类型问题的分析求解过程中，突出了弹性力
学的基本理论。
二、课程建设
教学内容的改革
3. 有限元法中在注重基本理论的同时，安排学生课外 上机实习，并提供相关程序，培养学生利用有限元法解决
四、课程考核
开卷考试
做法之一：全开卷考试，可带教材、笔记本和作业本。既考 核学生对弹性力学基本概念、基本方程和基本解法的总结和 理解，又考核了学生利用弹性力学方法解题的能力，还可根 据学生的特长，鼓励个性化发展，培养创新能力。 做法之二：半开卷考试，仅带教材。这种考试方式可减轻学 生在考前对弹性力学公式的死记硬背，学会灵活运用弹性力 学的解题思路和方法，有利于学生自主学习。
二、课程建设
立体化教材建设
网络教学环境
网上资源：课程指导、力学漫谈、课后作业、典型例题
和习题分析等。 网络课程：《弹性力学简明教程》网络课程，供远程教 学和学生自学使用，已送高等教育出版社出版。
二、课程建设
教学内容的改革
1.《弹性力学及有限元法》课程包含弹性力学和有限 元法两部分内容，对教学内容进行了精选优化，在保证力 学知识结构完整性的前提下，强化工程应用和实践，引进
工程实际问题的能力。
三、课程教学
教学设计
1.课程内容根据各专业人才的培养需求设计；
2.实施课堂教学时，任课教师还要根据专业特点，采取相应的教学
方法（教学内容与专业课怎样联系结合，课堂例题如何挑选等） ； 3.选用合适的教材、推荐适宜的教学参考书、选择适合该专业的创
新实践课题等；
4.在教学过程中，灵活使用各种教学方法和充分利用多媒体教育技 术，使用各位老师自己研制的课件。