场强与电势的关系
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E）电势不变的空间场强一定为零。 F）场强的单位是伏特/米。
2）已知电势求场强（求导即可） 例一）已知点电荷的电势 U Y Z + 解：
q
2
40 r
q
求E
r
r
X U
x y z
2 2
U qx Ex 2 2 2 3/ 2 x 40 ( x y z ) U qy Ey 2 2 2 3/ 2 y 40 ( x y z )
C）电势为零的地方，场强不一定零。
U 不一定等于零。 U 0, + l q + E ( r ) U 0 , E 0 + o R + q q + + + o + U 0, E 0 q q
+ + a +
D）场强为零的地方，电势不一定为零。
E 0,U const
U a Ub
b
b
一)场强与电势的微分关系
E
b
b
a
E
dl
E cosdl dU E dl dU
a b a b a l a
a
a E dl (Ub U a )
b
E dl
El dl dU
dU El dl
E
dl U E U E U Ex z y z y x U ˆ U ˆ U ˆ E i j k x y z U ˆ U ˆ U ˆ E ( i j k) x y z gradU
El dl dU
在直角坐标中:
例三）有一平面电场， U 3x 4 y 伏特。 求场强并大致地画出电力线与等势线。 Y
E
o
解： E gradU U U X ˆ ˆ i j x y
ˆ 4 j (V / m) 3i Ey 4 arctg arctg Ex 3 233.1
40 x 2 y 2 z 2
qx U Ex 2 2 2 3/ 2 x 40 ( x y z ) 2 2 2 U qy r x y z Ey 2 2 2 3/ 2 y 40 ( x y z ) U qz Ez 2 2 2 3/ 2 z 40 ( x y z ) U ˆ U ˆ U ˆ E i j k x y z ˆ ˆ ˆ q( xi yj zk ) q ˆ r 2 2 2 3/ 2 2 40 ( x y z ) 40 r
E
q0
等势面
a dl b
Aab q0U ab 0
B）电力线与等势面正交。 反证法： 若 E 与等势面上一线元 E 成一不等于 90 度的角 q0 将 q0移动 dl a b
等势面
dl
dA q0 E dl q0 E cosdl 0
除非 等于90度。（证毕）
场强与电势的关系
The Relation Between Electric Field Intensity and Potential
一、电势分布的形象化---等势面 等势 面---电 场中电 势相等 的点所 连成的 面。
场强总是从电势高的地方沿变化最快 的方向指向电势低的地方。
等势面的性质 A）沿等势面移动电荷时，电场力作功为零。
例二）均匀带电圆盘轴线上任一点P的电势为
2 2 Up ( R x x) 2 0
解：
R
求场强。
Baidu Nhomakorabea
P
x
U ˆ E i x X ˆ 2 2 ( R x x )i x 2 0 x ˆ (1 )i 2 2 2 0 R x
画等势面的附加规定 场中任相邻的两等势面之间的电压为常数。
E
U cb Uba const
a
b
Uc Ub Ua
可以看出：
c
A）场强总是从电势高的地方沿变化最快 的方向指向电势低的地方。
B）场强越大的地方，等势面越密。
场强与电势都用来描述电场，二者存在联系！
Ua
a
E dl …..场强电势的积分关系
dU El dl
二）场强、电势关系的应用 1）解释现象 A）场强总是沿电势变化最快的空间方向从 高电势指向低电势处。 gradU 表示沿电势增加最 E 快的方向的一个矢量。
gradU U dU
B）等势面越密的地方，场强越大。
U
E gradU
U ˆ U ˆ U ˆ E i j k x y z
2）已知电势求场强（求导即可） 例一）已知点电荷的电势 U Y Z + 解：
q
2
40 r
q
求E
r
r
X U
x y z
2 2
U qx Ex 2 2 2 3/ 2 x 40 ( x y z ) U qy Ey 2 2 2 3/ 2 y 40 ( x y z )
C）电势为零的地方，场强不一定零。
U 不一定等于零。 U 0, + l q + E ( r ) U 0 , E 0 + o R + q q + + + o + U 0, E 0 q q
+ + a +
D）场强为零的地方，电势不一定为零。
E 0,U const
U a Ub
b
b
一)场强与电势的微分关系
E
b
b
a
E
dl
E cosdl dU E dl dU
a b a b a l a
a
a E dl (Ub U a )
b
E dl
El dl dU
dU El dl
E
dl U E U E U Ex z y z y x U ˆ U ˆ U ˆ E i j k x y z U ˆ U ˆ U ˆ E ( i j k) x y z gradU
El dl dU
在直角坐标中:
例三）有一平面电场， U 3x 4 y 伏特。 求场强并大致地画出电力线与等势线。 Y
E
o
解： E gradU U U X ˆ ˆ i j x y
ˆ 4 j (V / m) 3i Ey 4 arctg arctg Ex 3 233.1
40 x 2 y 2 z 2
qx U Ex 2 2 2 3/ 2 x 40 ( x y z ) 2 2 2 U qy r x y z Ey 2 2 2 3/ 2 y 40 ( x y z ) U qz Ez 2 2 2 3/ 2 z 40 ( x y z ) U ˆ U ˆ U ˆ E i j k x y z ˆ ˆ ˆ q( xi yj zk ) q ˆ r 2 2 2 3/ 2 2 40 ( x y z ) 40 r
E
q0
等势面
a dl b
Aab q0U ab 0
B）电力线与等势面正交。 反证法： 若 E 与等势面上一线元 E 成一不等于 90 度的角 q0 将 q0移动 dl a b
等势面
dl
dA q0 E dl q0 E cosdl 0
除非 等于90度。（证毕）
场强与电势的关系
The Relation Between Electric Field Intensity and Potential
一、电势分布的形象化---等势面 等势 面---电 场中电 势相等 的点所 连成的 面。
场强总是从电势高的地方沿变化最快 的方向指向电势低的地方。
等势面的性质 A）沿等势面移动电荷时，电场力作功为零。
例二）均匀带电圆盘轴线上任一点P的电势为
2 2 Up ( R x x) 2 0
解：
R
求场强。
Baidu Nhomakorabea
P
x
U ˆ E i x X ˆ 2 2 ( R x x )i x 2 0 x ˆ (1 )i 2 2 2 0 R x
画等势面的附加规定 场中任相邻的两等势面之间的电压为常数。
E
U cb Uba const
a
b
Uc Ub Ua
可以看出：
c
A）场强总是从电势高的地方沿变化最快 的方向指向电势低的地方。
B）场强越大的地方，等势面越密。
场强与电势都用来描述电场，二者存在联系！
Ua
a
E dl …..场强电势的积分关系
dU El dl
二）场强、电势关系的应用 1）解释现象 A）场强总是沿电势变化最快的空间方向从 高电势指向低电势处。 gradU 表示沿电势增加最 E 快的方向的一个矢量。
gradU U dU
B）等势面越密的地方，场强越大。
U
E gradU
U ˆ U ˆ U ˆ E i j k x y z