导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题

导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题

第一部分：历届导数高考压轴题

年全国2理

设函数f (x )＝(x ＋1)·ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围． 全国1理

已知函数()11ax x f x e x

-+=-. （Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；

（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围.

全国1理

设函数()e e x x

f x -=-．

（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；

（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 全国2理 设函数sin ()2cos x f x x

=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．

辽宁理 设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x

=-+++. ⑴求()f x 的单调区间和极值;

⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()

f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范

围;若不存在,试说明理由. 新课标理

设函数)(x f =2

1x e x ax ---.

（Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间;

（Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围

新课标文

已知函数2

()(1)x f x x e ax =--.

（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. 全国大纲理

设函数()1x f x e -=-.

（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1

x f x ax ≤+，求a 的取值范围. 新课标理

已知函数ln ()1a x b f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >

+-，求k 的取值范围. 10.自编

自编：若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π

∈恒成立，求a 的取值范围.

第二部分：新课标高考命题趋势及方法

1. 新课标高考命题趋势

近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.

2.分类讨论和假设反证

许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.

3.洛必达法则 ∞

∞——数0 型及型函未定式的一种解法0 虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了00

”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.

第三部分：洛必达法则及其用法

1.洛必达法则

洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：

（1）lim ()lim ()0x a x a f x g x →→==；

（2）在()U a 内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠；

（3）()lim ()x a f x A g x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）. 则()()lim lim ()()x a

x a f x f x A g x g x →→'=='.（可连环使用） 注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。

新课标理的常规解法

已知函数ln ()1a x b f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x

>

+-，求k 的取值范围. （Ⅰ）略解得1a =，1b =.

（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法 由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x =++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--. 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22

(1)(1)2'()k x x h x x -++= (i)当0k ≤时，由22

2

(1)(1)'()k x x h x x +--=知，当1x ≠时，'()0h x <.因为(1)0h =， 所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得

21()01h x x

⋅>-；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，可得 21()01h x x ⋅>-，从而当0x >且1x ≠时，ln ()()01x k f x x x -+>-，即ln ()1x k f x x x

>+-； （ii ）当01k <<时，由于当1(1,)1x k

∈-时，2(1)(1)20k x x -++>，故'()0h x >，而(1)0h =，故当1(1,)1x k ∈-时，()0h x >，可得21()01h x x ⋅<-，与题设矛盾.