中线的用法(倍长中线法)PPT演示课件
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倍长中线法
倍长中线法的变形可以根据具体问题的需要对倍长中线法进行变形以便更好地解决问题。
拓展学生的解题思路
倍长中线法在数学教育中的价值
培养学生的数学思维和创新能力
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提高学生分析问题和解决问题的能 力
促进数学教育的改革和发展
感谢您的耐心观看
汇报人：
证明倍长中线法的推论
推论：倍长中线法可以证明三角形 中线定理
应用范围：适用于所有三角形包括 等腰三角形、直角三角形等
添加标题
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证明过程：通过倍长中线法将三角 形分为两个小三角形然后利用相似 三角形的性质进行证明
注意事项：在应用倍长中线法时需 要保证中线的长度足够长以便进行 倍长操作
倍长中线法的几何意义
倍长中线法是利用中线的性质来证明线段相等的方法 倍长中线法的几何意义在于将线段延长一倍从而证明线段相等 倍长中线法在几何证明题中应用广泛是解决线段相等问题的重要方法之一 倍长中线法可以通过构造辅助线来证明线段相等使证明过程更加简洁明了
倍长中线法的应用场景
定义：倍长中线法是一种几何证明方法通过延长线段来证明线段相等或三角形全等 应用场景：证明线段相等、三角形全等、平行四边形性质等 适用范围：适用于各种几何图形如三角形、四边形、圆等 注意事项：在应用倍长中线法时需要仔细分析图形确定是否适用该方法
添加副标题
倍长中线法
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 倍长中线法的定义
03 倍长中线法的证明
04 倍长中线法的应用
05 倍长中线法的拓展
添加章节标题
倍长中线法的定义
倍长中线法的概念
拓展学生的解题思路
倍长中线法在数学教育中的价值
培养学生的数学思维和创新能力
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提高学生分析问题和解决问题的能 力
促进数学教育的改革和发展
感谢您的耐心观看
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证明倍长中线法的推论
推论：倍长中线法可以证明三角形 中线定理
应用范围：适用于所有三角形包括 等腰三角形、直角三角形等
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证明过程：通过倍长中线法将三角 形分为两个小三角形然后利用相似 三角形的性质进行证明
注意事项：在应用倍长中线法时需 要保证中线的长度足够长以便进行 倍长操作
倍长中线法的几何意义
倍长中线法是利用中线的性质来证明线段相等的方法 倍长中线法的几何意义在于将线段延长一倍从而证明线段相等 倍长中线法在几何证明题中应用广泛是解决线段相等问题的重要方法之一 倍长中线法可以通过构造辅助线来证明线段相等使证明过程更加简洁明了
倍长中线法的应用场景
定义：倍长中线法是一种几何证明方法通过延长线段来证明线段相等或三角形全等 应用场景：证明线段相等、三角形全等、平行四边形性质等 适用范围：适用于各种几何图形如三角形、四边形、圆等 注意事项：在应用倍长中线法时需要仔细分析图形确定是否适用该方法
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倍长中线法
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 倍长中线法的定义
03 倍长中线法的证明
04 倍长中线法的应用
05 倍长中线法的拓展
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倍长中线法的定义
倍长中线法的概念
平分---倍长中线模型 课件(共15张PPT)-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
专题一 平分模型
§1.1 与“中点”有关的模型
人教版中考第二轮总复习---几何模型
知识要点
目录
01 倍长中线模型 02 倍长类中线模型
03
精讲精练
模型分析
倍长中线模型
考点6-1
图形示例
考查题型
模型分析 解题原理
A (1)以线段拼成三角 当已知条件中出 找到三角形 形为背景考查新定 现中线时,常常 中线,倍长
E
F
②延长ED到点G,使得DG=DE,构造△CGD全等于△BED. B 证法一：如图,延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG.
D
C
∵点D是BC的中点 ∴BD=CD.
.∵∠BDG=∠CDA.AD=GD. ∴△ADC≌△GDB
G
∴AC=GB.∠G=∠EAF .
.∵AF=EF ∴∠EAF=∠AEF
.∵∠AEF=∠. BED. ∴∠G=∠BED
∴BE=BG ∴BE=A.C
典例精讲
倍长中线模型
证法二：如解图②,延长ED到点G,使得DG=DE,连接 CG∵. 点D是BC的中点 ∴BD=CD.
.∵∠BDE=∠CDG,DG=DE ∴△BED≌△CGD. .∴∠G=∠BED,BE=CG.
∵AF=EF. ∴∠FAE=∠AEF=∠BEG ∴∠G=∠E.AF. ∴AC=GC. ∴AC=BE.
在△ABE中,三条边的长度3、4、5是勾股数. ∴△ABE是直角三角形.
∴S△ABE=1/2×3×4=6. 根据平行四边形的性质可知S△ABC=S△ABE. ∴S△ABC=6；
提升能力
A
B
DC
E 图1
强化训练
中点问题的常见模型
(2)如图2,M为AC的中点,连接BM交AD于点F,若AM=MF.
§1.1 与“中点”有关的模型
人教版中考第二轮总复习---几何模型
知识要点
目录
01 倍长中线模型 02 倍长类中线模型
03
精讲精练
模型分析
倍长中线模型
考点6-1
图形示例
考查题型
模型分析 解题原理
A (1)以线段拼成三角 当已知条件中出 找到三角形 形为背景考查新定 现中线时,常常 中线,倍长
E
F
②延长ED到点G,使得DG=DE,构造△CGD全等于△BED. B 证法一：如图,延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG.
D
C
∵点D是BC的中点 ∴BD=CD.
.∵∠BDG=∠CDA.AD=GD. ∴△ADC≌△GDB
G
∴AC=GB.∠G=∠EAF .
.∵AF=EF ∴∠EAF=∠AEF
.∵∠AEF=∠. BED. ∴∠G=∠BED
∴BE=BG ∴BE=A.C
典例精讲
倍长中线模型
证法二：如解图②,延长ED到点G,使得DG=DE,连接 CG∵. 点D是BC的中点 ∴BD=CD.
.∵∠BDE=∠CDG,DG=DE ∴△BED≌△CGD. .∴∠G=∠BED,BE=CG.
∵AF=EF. ∴∠FAE=∠AEF=∠BEG ∴∠G=∠E.AF. ∴AC=GC. ∴AC=BE.
在△ABE中,三条边的长度3、4、5是勾股数. ∴△ABE是直角三角形.
∴S△ABE=1/2×3×4=6. 根据平行四边形的性质可知S△ABC=S△ABE. ∴S△ABC=6；
提升能力
A
B
DC
E 图1
强化训练
中点问题的常见模型
(2)如图2,M为AC的中点,连接BM交AD于点F,若AM=MF.
第二讲中线倍长法
第二讲：全等三角形之倍长中线法图1：△ABC 中，AD 是BC 边中线 图2：方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE图3：方式2：间接倍长，在AB 上取点M ，延长MD 到N ， 使DN=MD ，连接CD 图4：方式3：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，连接BE 典型例题例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。
例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：（2004•郑州）已知：如图，△ABC （AB ≠AC ）中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF∥BA 交AE 于点F ，DF=AC ．求证：AE 平分∠BAC ．FEC AB DFEDABC例5：如图，D 是△ABC 的BC 边上一点且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线． 求证：∠C=∠BAE ．例6：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ．例7：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+例8：已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法).pptx
D
G E
A
B
F
C
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
奉爱树教育个性化辅导
7.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 上的点， 且 ED⊥FD.以线段 BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直 角三角形，或者是钝角三角形？
A
E F
B
D
A
B
D
E
C
F
3
奉爱树教育个性化辅导
做辅助线思路二：构造中位线法
经典例题 2：梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线 EF 与对角线分别相交于 H 和
G，则 GH 的长是
.
【课堂训练】 1.已知，如图，四边形 ABCD 中，AB＝CD，E、F 分别是 AD、BC 的中点，BA、FE 的延长 线相交于点M，CD、FE 的延长线相交于点N.求证：∠AME＝∠DNE.
1 别为 AF、CE 的中点.求证：（1）OM＝ CE；（2）OB＝ 2 OM.
2
4.如图，∠DBC＝∠BCE＝90°，M 为 DE 的中点，求证：MB＝MC.
教
学
后
记
学生签名：
家长签名：
8
2.如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，点 M、N 分别是 BC、DE 的中点， 1 求证：MN⊥DE；
MN
2 连结 ME、MD，若∠A＝60°，求 的值.
DE
7
奉爱树教育个性化辅导
3.如图，△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点 E、F 分别在 AB、AC 上，且 AE＝EF，点 O、M 分
G E
A
B
F
C
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
奉爱树教育个性化辅导
7.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 上的点， 且 ED⊥FD.以线段 BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直 角三角形，或者是钝角三角形？
A
E F
B
D
A
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奉爱树教育个性化辅导
做辅助线思路二：构造中位线法
经典例题 2：梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线 EF 与对角线分别相交于 H 和
G，则 GH 的长是
.
【课堂训练】 1.已知，如图，四边形 ABCD 中，AB＝CD，E、F 分别是 AD、BC 的中点，BA、FE 的延长 线相交于点M，CD、FE 的延长线相交于点N.求证：∠AME＝∠DNE.
1 别为 AF、CE 的中点.求证：（1）OM＝ CE；（2）OB＝ 2 OM.
2
4.如图，∠DBC＝∠BCE＝90°，M 为 DE 的中点，求证：MB＝MC.
教
学
后
记
学生签名：
家长签名：
8
2.如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，点 M、N 分别是 BC、DE 的中点， 1 求证：MN⊥DE；
MN
2 连结 ME、MD，若∠A＝60°，求 的值.
DE
7
奉爱树教育个性化辅导
3.如图，△ABC 中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点 E、F 分别在 AB、AC 上，且 AE＝EF，点 O、M 分
初中数学倍长中线型生长探究公开课精品课件
∴△BDE≌△CDH（SAS）. ∴BE=CH,∠1=∠2.
B
构造全等
∵BE=AC，
∴CH=AC.
∴∠2=∠3. ∵∠1=∠4，
转移线段 转移角度
A
3 4
F
E 1
D
C
2 H
∴∠3=∠4. ∴AF=EF.
二、应用体验
基
A
F E
B
D
C
提 H
炼
本图形
基本特征 AD是中线
基本方法
（倍长过中点的线段）
倍长中线
A
1 4
F
E 3
D
C
2 G
∴∠1=∠4. ∴AF=EF.
应二用、体应验用体验
点D是BC中点
问题1 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且
BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF.
证明 延长ED至点H，使得DH=DE，连结CH.
∵AD是中线， ∴BD=CD.
倍长中线
∵DH=DE，∠BDE=∠CDH，
基本图形生长探究微课程
倍长中线型基本图形
学习目标
倍长中线型基本图形
1
探索“倍长中线型”基本图形，发现图形特征，总结基本方法， 得出基本结论；
2 能利用提炼的基本模型解决求线段长度等问题；
3 在应用“倍长中线型”基本图形解决问题过程中提高几何直观能
力，体会利用全等转移线段和角度.
一、探索发现
2＜BC＜8
图1
图2
图3
图4
2. 如图2，已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE.
3. 如图3，已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.求证： ∠C=∠BAE.
倍长中线与截长补短法ppt课件
故可在AB上截取AN等于AC
，得AB-AC=BN
再连接PN，则PC=PN，又
N
在△PNB中，PB-PN<BN
即：AB-AC>PB-PC。
B
A 1 2
P C
D
图6 1
M
精选2021版课件
12
证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在△APN和△APC中
AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC=PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有 PB-PN<BN （三角形两边之差小于第 三边）
又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。
A 1 2
P
N
D
C
B 精选2021版课件
图6 1
M
14
精选2021版课件
15
左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD，
E 图5 1
即加倍中线，
把所要证的线段转移到同一个三角形中去
精选2021版课件
7
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知）
A
∴BD=CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等）
E
F
∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90°
∴∠FDM=∠EDF =90° 在△EDF和△MDF中
12 34
C
B
D
ED= MD （辅助线作 法）
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C
2 3
A E 1B
F
证明：延长AE到点F,使得CE=EF,连结BF。
∵E是AB的中点 ∴AE=EB
∵CE=EF,∠AEC=∠BEF
∴△AEC≌△BEF(SAS)
∴∠A=∠1,∠F=∠ACE,FB=AC
D
∵ AC=AB=BD ∴∠2=∠3, FB=BD=AC=AB
∵∠CBF=∠1+∠3,∠CBD=∠A+∠2
全等原因：SAS
注意：往左往右都可以，只连一条。
2020/5/24
3
题型识别： 出现中线
口诀： 倍长中线
步骤： 延长一倍 构造全等 边角关系
【例1】如图AD是△ABC的中线，求证AB+AC>2AD
A
证明：延长AD到点E,使得AD=DE,
1
连结BE。
B
D
E
∵AD是△ABC的中线 ∴BD=DC
C ∵BD=DC, ∠BDE= ∠ADC,
∴ ∠CBF=∠CBD
∵CB=CB
∵△CBF≌△BCD SAS
∴CD=CF
∴CD=2CE 7
（2013·台州市中考）在△ABC中，AD为BC边上的中线， 且AD平分∠BAC，则△ABC为___________三角形。
A
B
D
C
8
THANK YOU
9
接上题，BE=AC=3,AB+AC>2AD
5
3
∵三角形两边之差小于第三边
∴AB-BE<AE
B
D
C ∴AB-BE<2AD
∴AB-BE<2AD<AB+BE
∴2<2AD<8
E
∴1<AD<4
5
题型识别： 出现中线
口诀： 倍长中线
步骤： 延长一倍 构造全等 边角关系
【例3】如图在△ABC，AC=5，中线AD=7，则AB边
中线的妙用
针对对象：初二学生 期末分值：8~10分
1
（2013·台州市中考）在△ABC中，AD为BC边上的中线， 且AD平分∠BAC，则△ABC为___________三角形。
A
B
D
C
2
造全等——倍长中线法
A
A
2
B
1D
C
2
B
D1
C
E
E
倍长中线造法：延长AD到点E,使得AD=DE,连结BE（或者EC）。
AD=DE ∴△ADC ≌ △BDE (SAS) ∴AC=BE,∠E=∠1,∠EBD=∠C
∵三角形两边之和大于第三边 ∴AB+BE>AE ∴AB+AC>2AD
4
题型识别： 出现中线
口诀： 倍长中线
步骤： 延长一倍 构造全等 边角关系
【例2】如图在△ABC，AB=5，AC=3，则中线AD
的取值范围是？ A
的取值范围是？ A 75
接例1，BE=AC=5， AE=2AD=14
B
D
C ∵在△ABE中,
AE-BE<AB<AE+BE
∴9<AB<19
E
6
题型识别： 出现中线
口诀： 倍长中线
步骤： 延长一倍 构造全等 边角关系
【例4】如图在△ABC,AB=AC,延长AB到D,使得BD=
AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证CD=2CE。