五年级奥数.几何.正方体与长方体表面积与体积(B级).学生版

一、立体图形的体积计算常用公式：

重点：观察并找出． 难点：三视图法

【例 1】 大正方体的棱长是小正方体棱长的4倍，那么它的表面积是小正方体表面积的______倍．

【巩固】边长l 米的正方体2100个，堆成了一个实心的长方体。它的高是10米，长、宽都大于高。问长

方体的表面积和体积是多少?

【例 2】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表

重难点

知识框架

例题精讲

表面积与体积

面积．

【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

【例3】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?

【巩固】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．

【例4】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？

【巩固】按照上题的堆法一直堆到N层(3

N )，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值是多少？

【例5】由27个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，若自上而下去掉中间的3个小正方体，如图所示，则剩下的几何体的表面积是。

【巩固】如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长．

【例6】有一个棱长为5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积．

【巩固】 如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215

⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？

【例 7】 若长方体的三个侧面的面积分别是6，8，12，则长方体的体积是 。

【巩固】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加

固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米

?

高

长

【例 8】 如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体

木块，木块浮出水面的高度是2厘米。若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米。

【巩固】有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？

【例9】如图,已知A、B、C分别是相邻的三条棱的中点．沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角．如果原来的立方体棱长为8，求：

⑴切掉的小部分的体积是多少？

⑵剩下的大部分的体积是多少？

B

C A

【巩固】一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积(如下图所示)和正方体体积的比是多少？

【例 10】 如图，是一个正方体，将正方体的A 、C 、B '、D '四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已

知正方体的边长为3，求正四面体的体积.

D′

C′

B′

A′

D

C B

A

【巩固】 连接正方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）。已知正方体之边长为12cm ，请问正八

面体之体积为多少立方厘米？

第4题

1． 一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，则体积减小48平方厘米；如果宽增加3厘米，长和

高不变，则体积增加99平方厘米；如果高增加4厘米，长和宽不变，则体积增加352平方厘米，那么，原长方体的表面积是（ ）平方厘米。

2. 右图是一个边长为5厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的

正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）

3. 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，求该图形的表面积。

A

4. 一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三等分点，从这个正方体切下一个角，

这样一共切下八个角，则余下部分的体积(如下图所示)和正方体体积的比是多少？

课堂检测

1． 某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为235厘米、445厘米、515厘米的尼

龙带进行加固（如下图），若每根尼龙带加固时截头重叠都是5厘米，那么这个长方体包装箱的体积是立方 米。

2． 如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小

正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？

3． 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，

接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1

2

厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为

1

4

厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

4． 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，求该图形的表面积。

家庭作业