直角坐标系的二重积分
二重积分的计算方法
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
.
D
D1
D2
D3
例 1
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
（6）若D对称于原点，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（7）若D对称于直线y x,则 f ( x, y)d f ( y, x)d .
D1
D2
(或 f ( x, y)d f ( y, x)d ). 对称于直线y x
(t
1 2
sin
2t
)
|04
1
4 说明：
(11分）
形如积分 f ( x, y) d , max{ f ( x, y), g( x, y)}d ,
D
D
min{ f ( x, y), g( x, y)}d , sgn{ f ( x, y) g( x, y)}d
D
D
等的被积函数均应当做分区域函数看待，利用积分的
的可加性分区域积分。
(17)(本题满分 11 分)2008 年数学二、三 y
计算 max{xy,1}dxdy,其中
D
D={(x, y) | 0 x 2,0 y 2}.
解 曲线xy 1将区域D分成
2
D2 D1
o
2x
两个区域D1和D2
D
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是数学中的一种重要的积分形式，常用于计算平面区域上的物理量的总量。
在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过将被积函数表示为被积函数关于自变量的函数进行积分的累次积分方式来进行。
设在平面上有一个闭合区域D，我们要计算函数f(x,y)在该区域上的积分，即要计算二重积分∬Df(x,y)dxdy。
二重积分的计算可以通过转化为极坐标下的积分来简化。
设在直角坐标系下，点(x,y)的极坐标为(r,θ)，则x=r*cosθ，y=r*sinθ。
对于被积函数f(x,y)，若能将其表示为关于极坐标的函数f(r,θ)时，就可以方便地进行极坐标下的积分计算。
此时二重积分可以写为∬Df(r,θ)rdrdθ。
要在直角坐标系下计算二重积分，有两种常用的方法：直接法和间接法。
一、直接法：假设被积函数为f(x,y)，而积分区域D的边界方程为g(x,y)=0（边界方程可以是函数表达式或者隐函数表达式），那么二重积分可以按照以下步骤进行计算：1.求出区域D的边界方程g(x,y)=0，并确定积分区域D的内部。
2.将被积函数f(x,y)表示为关于x和y的函数。
3.对于区域D内部的任意一点(x,y)，可以用参数方程表示为x=x(t)，y=y(t)（通常情况下选取参数t为角度θ，即x=r*cosθ，y=r*sinθ）。
4.计算被积函数在参数方程的变换下的雅可比行列式，即计算J =dx/dt * dy/dt。
根据换元公式，二重积分可以转化为参数方程下的积分，如下所示：∬Df(x,y)dxdy = ∫∫f(x(t),y(t))*Jdtdt。
5.计算在变换后的区域D'上的二重积分：∬D'f(x(t),y(t))Jdtdt。
二、间接法：假设被积函数为f(x,y)，而积分区域D的边界方程为g(x,y)=0（边界方程可以是函数表达式或者隐函数表达式），那么二重积分可以按照以下步骤进行计算：1.求出区域D的边界方程g(x,y)=0，并确定积分区域D的内部。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
直角坐标系下的二重积分的计算
Dx
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
y yx
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
d
xd
y
0
sin x
x
dx
x
0 d
y
0 sin x dx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 17
备用题. 交换下列积分顺序
2
2
dx
1
x xyd y 1
2 1
1 2
xy2
x
1
d
x
2 y
yx
1
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x2
y
2d y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
15
例9. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
3
y
4
y 4x x2
y x2
x
o2
11
例5.
化二重积分 D f (x, y)dxdy
y
为二次积分(两种积分次序)。
1 x 1y 1
(1) D {(x, y) | x 1, y 1}
D
1 o
1x
解：法1. 将D看作X–型区域,
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是一个非常重要的数学概念，在多种实际的问题中都得到了广泛应用。
通过对直角坐标系下二重积分的计算，可以深入地理解这个概念的含义。
在本篇文章中，我们将对直角坐标系下二重积分的计算进行详细的讲解。
一、二重积分的定义在直角坐标系下，二重积分可以定义为：如果在平面上有一个区域D，在D中每一点(x,y)都有一个实数f(x,y)，那么二重积分可以表示为：∬Df（x,y）dxdy其中，dxdy是对x和y的区域积分。
从数学上来讲，二重积分可以看做是对一个多元函数在一个二维区域上的积分。
在物理学、工程学和经济学等领域中，二重积分可以用来计算物体的质量、电荷或利润等量。
二、二重积分的计算接下来，我们将具体介绍如何计算直角坐标系下的二重积分。
1、以矩形为例当区域D为矩形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫ab[∫cd f（x,y）dy]dx其中，a、b、c和d是矩形的四个顶点。
从右到左积分是对x的积分，从下到上积分是对y的积分。
这个公式建立在f（x,y）在矩形D内是连续函数的条件下。
如果f（x,y）不连续，那么需要将图形分割成多个子区域，再对每个子区域使用上述公式求解。
如果积分上下限为定值，则直接将定值带入公式中进行计算。
2、以圆形为例当区域D为圆形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫0R[∫0 2πf（rcosθ，rsinθ）rdθ]dr其中，R是圆的半径，r是极径。
θ是极角，取值从0到2π。
这个公式建立在f（x,y）在圆形D内是连续函数的条件下。
如果不连续，需要将圆形分割成多个区域，再对每个区域使用上述公式求解。
3、以三角形为例当区域D为三角形时，可以使用以下公式进行求解：∬Df（x,y）dxdy=∫a b[∫c(x)(d(x)−c(x))/b a f(x,y)dy]dx 其中，a和b是三角形底边的两个端点。
c（x）是左侧斜线的端点函数，d（x）是右侧斜线的端点函数。
求二重积分的方法
求二重积分的方法在数学中，二重积分是一种重要的积分形式，它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
求解二重积分的方法有很多种，本文将介绍几种常见的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握二重积分的计算技巧。
一、直角坐标系下的二重积分。
在直角坐标系下，二重积分的计算通常采用先对x进行积分，再对y进行积分的方法。
对于给定的二元函数f(x,y)，其在有界区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy。
其中积分区域D可以用不等式形式表示为D={(x,y)|a≤x≤b,g1(x)≤y≤g2(x)}，此时二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(x,y)dy)dx。
其中内层积分是对y进行积分，外层积分是对x进行积分。
在实际计算中，可以先对y进行积分，再对x进行积分，也可以反过来进行计算，选择合适的积分顺序可以简化计算过程。
二、极坐标系下的二重积分。
在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算会更加方便。
对于给定的二元函数f(x,y)，其在极坐标下的二重积分可以表示为：∬f(x,y)dxdy=∫(∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ。
其中积分区域D可以用极坐标形式表示为D={(r,θ)|α≤θ≤β, h1(θ)≤r≤h2(θ)}。
在极坐标系下，二重积分的计算可以简化为对r和θ的积分，适用于一些具有极向对称性的函数。
三、变量代换法。
对于一些复杂的二重积分，可以通过变量代换的方法来简化计算。
常见的变量代换包括直角坐标系到极坐标系的转换、直角坐标系到柱坐标系的转换、直角坐标系到球坐标系的转换等。
通过适当的变量代换，可以将原积分区域D变换为一个更简单的区域，从而简化积分的计算。
四、二重积分的性质。
在计算二重积分时，还可以利用二重积分的性质来简化计算。
例如，二重积分具有线性性质，可以将一个复杂的二重积分拆分为若干个简单的二重积分相加；二重积分的积分区域可以进行分割，将原积分区域分割为若干个简单的子区域，分别计算再相加等。
二重积分的计算
例
3。D关于 。 关于
y=x
对称
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( y, x )dxdy D D
例
使用对称性时应注意 1.积分区域关于坐标轴的对称性. 1.积分区域关于坐标轴的对称性. 积分区域关于坐标轴的对称性 2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇 2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇 偶性. 偶性.
二重积分在极坐标系下的计算
二重积分的极坐标计算公式
考虑典型小闭区域 ——曲边四边形区域 曲边四边形区域
θ + dθ
ρdθ
dρ
∆σ ≈ ρdρdθ
θ
O 极坐标系中的面积元素 dσ = ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
二重积分的变量从直角坐标到极坐 标的变换公式， 标的变换公式，方法如下
x = ρ cosθ y = ρ sin θ
D
1.D关于 轴对称 关于y .
(1) f ( − x , y ) = − f ( x , y ), 即f ( x , y )关于x是奇函数时,
( 2) f ( − x , y ) = f ( x , y ), 即f ( x , y )关于x是偶函数时, I = 2 ∫∫ f ( x , y )dxdy ,
dxdy = ρdρdθ
Dxy ⇒ Dρθ
∫∫ f ( x, y)dxdy
Dxy
=
∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρ dρ dθ
Dρθ
例
sin( π x 2 + y 2 ) dxdy , 求 ∫∫ 2 2 x y 2 ≤ 4.
积分区域关于坐标轴对称, 解 积分区域关于坐标轴对称,被积函数关于坐标 轴对称. 轴对称.
二重积分的计算法直角坐标
二重积分的计算法直角坐标二重积分是计算二元函数在平面区域上的积分。
在直角坐标系中，二重积分的计算通常涉及到积分区域的边界方程、坐标变换、积分次序以及积分方法等。
首先，我们需要确定积分区域的边界方程。
对于一个平面区域D，其边界可以由直线、抛物线、圆和其他型曲线组成。
我们需要将边界方程进行参数化以便于积分求解。
具体的参数化方法视具体情况而定，这里以圆为例进行解释：若积分区域D被圆x^2+y^2=a^2所围成，我们可以将边界方程参数化为x=a*cosθ，y=a*sinθ，其中θ的取值范围为0到2π。
这样，我们就可以将二重积分的计算问题转化为对参数θ的积分。
接下来，我们需要进行坐标变换。
坐标变换的目的是将原有的直角坐标系转化为新的坐标系，以便于积分计算。
常用的坐标变换有极坐标变换和直角坐标系的转换。
在极坐标变换中，我们可以将二重积分的计算问题转化为极坐标系中的积分。
通过将原有的直角坐标系中的x和y用极坐标的r和θ表示，便可以将二重积分转化为极坐标系下的积分。
极坐标变换公式如下：x = r*cosθ，y = r*sinθ。
在直角坐标系的转换中，我们需要利用雅可比行列式对原有的直角坐标系进行转换。
例如，若引入新的变量u和v，则有：x=Φ(u,v)，y=Ψ(u,v)。
对于这种情况，我们需要计算雅可比行列式的值，ΦuΨv - ΦvΨu。
根据直角坐标的转换公式，我们可以计算出du和dv之间的关系。
然后，通过坐标变换将二重积分转化为新的变量u和v上的积分。
在确定了积分区域的边界方程和进行了坐标变换后，我们需要确定积分的次序。
二重积分的次序可以按照水平方向或者垂直方向进行。
选择合适的次序可以简化计算过程，提高计算效率。
对于次序的选择，可以根据积分函数本身的特点，以及积分区域的形状和边界方程进行判断。
通常情况下，我们选择次序是按照从内层到外层的顺序进行。
最后，我们需要选择适当的积分方法对二重积分进行计算。
常用的积分方法有直接计算、分部积分、换元积分、数值积分等。
二重积分与三重积分的计算方法
二重积分与三重积分的计算方法二重积分是求解平面上一块区域上的一些函数的积分，而三重积分是求解空间中一个区域上的一些函数的积分。
二重积分的计算方法包括直角坐标系下的直角坐标法和极坐标法，而三重积分的计算方法则包括直角坐标系下的直角坐标法和柱坐标法、球坐标法。
一、二重积分的计算方法：1.直角坐标法：设区域D在xoy平面上，函数f(x, y)在D上有定义且连续，直角坐标法的二重积分计算公式为：∬f(x, y)dσ = ∫∫f(x, y)dxdy其中积分区域D的边界可以由不等式关系来描述。
2.极坐标法：当函数f(x,y)在此区域上具有简单的表示形式f(r,θ)时，采用极坐标法可以简化计算。
极坐标法的二重积分计算公式为：∬f(x, y)dσ = ∫∫f(rcosθ, rsinθ)rdrdθ其中积分区域D的边界可以由不等式关系来描述。
二、三重积分的计算方法：1.直角坐标法：设区域V在xyz空间中，函数f(x, y, z)在V上有定义且连续，直角坐标法的三重积分计算公式为：∭f(x, y, z)dV = ∫∫∫f(x, y, z)dxdydz其中积分区域V的边界可以由不等式关系来描述。
2.柱坐标法：当函数f(x,y,z)在此区域上具有简单的表示形式f(ρ,θ,z)时，采用柱坐标法可以简化计算。
柱坐标法的三重积分计算公式为：∭f(x, y, z)dV = ∫∫∫f(ρcosθ, ρsinθ, z)ρdρdθdz其中积分区域V的边界可以由不等式关系来描述。
3.球坐标法：当函数f(x,y,z)在此区域上具有简单的表示形式f(ρ,θ,φ)时，采用球坐标法可以简化计算。
球坐标法的三重积分计算公式为：∭f(x, y, z)dV = ∫∫∫f(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ²sinφdρdθdφ其中积分区域V的边界可以由不等式关系来描述。
以上是二重积分和三重积分的计算方法的基本原理和公式，具体应用中还需要根据具体的题目和区域形状选择合适的计算方法。
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下，二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分。
它的计算可以通过几何方法或者代数方法来进行，下面我们将介绍二重积分的计算方法以及一些相关的概念和定理。
一、二重积分的概念1.二重积分的定义设函数f(x, y)在平面区域D上有界，D在xOy平面上的投影为Ω，若Ω上有限个点构成的网格P={ (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) }，其中每个小区域ΔS1,ΔS2,...,ΔSn（ΔSk的形状和大小可以不一样）,则每个ΔS_k上取点(xi_k)Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,称为这些和的极限Σf(xi_k, yi_k)ΔS_k,当格数无穷，网格直径趋于0时，如果此极限存在，则称此极限为平面区域D上函数f(x, y)的二重积分，记为∬D f(x, y)dxdy。
2.二重积分的几何意义从几何意义上理解，二重积分可以表示在平面区域D上函数f(x, y)的值在x轴与y轴所确定的平面区域上的总体积。
通过对平面区域上的小区域求和得到总体积。
3.二重积分的代数意义从代数意义上理解，二重积分可以将一个平面区域上的函数表示为两个单变量函数的积分，即先对y进行积分，再对x进行积分。
这种方法可以简化对复杂函数的积分运算。
二、计算二重积分的方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过对x或y进行积分，然后再对另一个变量进行积分来进行。
具体而言，对于函数f(x, y)，可以先对y进行积分，再对x进行积分，或者先对x进行积分，再对y 进行积分。
这种计算方法又称为换序积分。
2.计算中间量的选择在进行二重积分计算时，为了简化计算，可以选择合适的中间量来进行变量替换。
例如，可以选择极坐标中的r和θ来替代x和y，从而简化计算过程。
3.区域的划分在计算二重积分时，需要将平面区域D划分为若干小区域，然后对每个小区域进行积分。
可以选择直线或者曲线来进行划分，也可以选择矩形或者圆形等形状的小区域来进行划分。
二重积分在直角坐标系下的计算
x.
y
3 x 3 y
x 2y
1D
x
O2
2y
3
3 y
0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx
2
3 x
0 dx1 x f ( x, y)dy.
2
例
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
D : 2ax x2 y 2ax
0 x 2a
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx .
00
例 改变积分
y 1 x
y2 x y 2x x2
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
D1 : 0 y 2x x2 , D2 : 0 y 2 x, 0 x 1,
0 x 1, y 2x x2 , ( x 1)2 y2 1
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 求I 1dx 1ey 2dy .
0
x
解 ： 由 于 函 数e y2的 原 函 数 不 是 初 等 函 数， 所 以 这 个
二次积分无法直接积出. 注意到二重积分可以有两种
的直线与区域边界的交点不多于两个.
2） Y型区域
积分区域表示为：
c y d, 1( y) x 2( y).
的区域，称为Y型
利用直角坐标系计算二重积分
利用直角坐标系计算二重积分二重积分是多重积分中的一种，用于计算在平面上一些有界区域上的二元函数的积分。
在直角坐标系中进行二重积分的计算，需要了解区域的边界以及函数在该区域上的性质。
在计算二重积分之前，我们首先需要了解如何在直角坐标系中描述一个有界区域。
一个有界区域可以用其边界曲线所代表的方程来表示。
一般来说，有两种常见的描述方法：参数方程和隐式方程。
对于参数方程表示的曲线，我们通常使用参数t来定义曲线上的点。
例如，对于条曲线C，可以使用x=f(t)和y=g(t)来定义曲线上的点(x,y)。
我们可以通过变换t值来沿曲线移动，并计算函数在曲线上的积分。
对于直角坐标系中描述的有界区域，我们可以使用y=g(x)或x=h(y)来表示边界曲线，其中g(x)或h(y)是连续函数。
这意味着，通过给定x或y的值，可以计算出y或x的值，进而确定边界上的点。
这种描述方法通常用于计算水平矩形或平行于x轴的直线包围的区域。
隐式方程是另一种表示有界区域边界的方式，它使用方程F(x,y)=0来表示。
F(x,y)是在边界上连续的函数，通过将给定的x和y代入方程中，可以计算出对应的函数值。
这种描述方法通常用于计算斜线或环状曲线等包围的区域。
在计算二重积分时，我们需要考虑函数在积分区域上的连续性和可导性。
如果函数在积分区域上是连续的，并且在区域内的每个点上都有连续的偏导数，那么我们可以使用Fubini定理将二重积分转化为两个单变量积分的乘积。
Fubini定理指出，如果函数在矩形区域R=[a,b]x[c,d]上连续，那么二重积分的计算可以通过以下公式进行：∬Rf(x,y)dA = ∫[a,b]∫[c,d]f(x,y)dydx其中，R表示积分的矩形区域，f(x,y)是在该区域上的连续函数。
上述公式将二重积分转化为先对y进行积分，再对x进行积分，即先对每个固定的x值在区域内进行垂直方向的积分，再将这些结果在区域内进行水平方向的积分。
当积分区域不是矩形，而是由曲线边界表示时，我们需要对曲线进行参数化或使用隐式方程来描述。
二重积分的计算法直角坐标
二重积分的计算法直角坐标二重积分是微积分中的重要概念，用来计算平面区域上的其中一种性质，比如面积、质心等。
在直角坐标系中，二重积分的计算需要将被积函数表示成两个变量的函数，并确定积分区域的边界。
下面将介绍二重积分的计算方法及其应用。
一、二重积分的定义二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分，其定义如下：设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上有定义，且$D$为$x$轴上$[a,b]$的一个闭区间，$y$轴上$[c,d]$的一个闭区间，将$D$划分为有限个小区域，每个小区域用$(\Delta x_i,\Delta y_j)$表示，其中$i=1,2,...,m$，$j=1,2,...,n$，则二重积分$\iint_D f(x,y)dxdy$定义为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(x_{ij}^*,y{j}^*)\Delta A_{ij}$$其中$x_{ij}^*,y_{ij}^*$为$(x,y)$在第$i$行第$j$列小区域内的任意一点，$\Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j$为第$i$行第$j$列小区域的面积，$\lambda$为小区域的最大直径，$\lambda=\max\{\Deltax_1,\Delta x_2,...,\Delta x_m,\Delta y_1,\Delta y_2,...,\Delta y_n\}$。
二、二重积分的计算在直角坐标系中，二重积分的计算分为三种情况：换序积分、累次积分和极坐标积分。
下面将依次介绍这三种情况的计算方法。
1.换序积分当被积函数是可分离变量的函数时，可以进行换序积分。
换序积分可以简化计算过程。
设函数$f(x,y)=g(x)h(y)$，则有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^bg(x)dx\int_c^dh(y)dy$$也可以先对$y$积分再对$x$积分，即：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_c^dh(y)dy\int_a^bg(x)dx$$2.累次积分对于一般的被积函数，可以通过累次积分的方法进行计算。
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分计算的四种方法
直角坐标系下二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在计算物理量、求解微分方程等方面有着广泛的应用。
在计算二重积分时，我们可以采用以下四种方法：
1. 矩形法：将积分区域划分为若干个矩形，然后在每个矩形内
求出对应的积分值，最后将这些积分值相加即可得到二重积分的值。
2. 改变积分次序：将二重积分中的积分顺序改变，然后利用Fubini 定理将其化为两次一重积分，最后再分别求解两次一重积分，最终得到二重积分的值。
3. 极坐标变换法：将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系
下的二重积分，然后再利用极坐标下的积分公式进行计算。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：利用牛顿-莱布尼茨公式，将原函数在
积分区域的两个端点处的函数值相减，即可得到二重积分的值。
这四种方法各有优劣，具体使用哪种方法取决于积分区域的形状、积分被积函数的特点等因素。
熟练掌握这些方法，有助于提高二重积分计算的效率和准确度。
- 1 -。
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是多元函数在二维平面上的积分运算，它可以用来求取平面区域内某个函数的平均值、质心、面积等。
在直角坐标系下进行二重积分的计算，需要掌握对被积函数的区域进行分割、积分区域的确定、积分的限制条件和积分计算的方法等基本步骤。
本文将从这些方面展开讨论，并通过数个例题来具体说明二重积分的计算过程。
一、二重积分的基本概念1.二重积分的定义二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上进行积分运算，其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D上有界，且D的边界为简单闭曲线，记为∂D，D的面积为A(D)。
如果对于任意的(x,y)∈D，都有f(x,y)≥0，那么称f(x,y)在D上可积，记为∬D f(x,y) dxdy，其中dxdy表示对x和y的积分。
2.二重积分的几何意义二重积分在几何上表示为对某个闭区域D上的函数f(x,y)进行投影，并对其投影面积进行积分。
它可以用来求取区域D的面积、平均值、质心等几何量。
3.二重积分的存在性对于某个区域上的函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分只有在f(x,y)有界、D为有界闭区域且f(x,y)在D上几乎处处连续时才存在。
二、二重积分的计算步骤1.区域的分割对于给定的被积函数在闭区域D上的二重积分运算，首先需要对D 进行分割，使得D可以用简单区域的边界和分割线将其分成若干小区域。
2.积分区域的确定确定积分区域后，需要找出在此积分区域上的极限条件，即确定积分的上下限。
3.积分的限制条件在确定积分区域和积分的上下限后，需要根据积分区域的特点建立积分的限制条件。
4.积分计算利用二重积分的性质和积分的定理来进行具体的积分计算。
以上是进行二重积分计算的基本步骤，下面通过数个例题来具体说明二重积分的计算过程。
例1：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上的二重积分。
解：根据给定的区域D，我们可以很容易地确定积分的上下限，并进行积分区域的分割。
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的 次 序 .
数
解
学
2a
y 2ax
a
电
y 2axx2 xaa2y2
a 2a
子
= 原式
a
a a2y2
0 dy y2
f (x, y)dx
教
2a a 2a
dy 0 aa2y2
f(x,y)dx
2a 2a
a dyy2 f(x,y)dx.
案
2a
高
等 例 4求 (x2y)dx， 其 d中 y D 是 由 抛 物 线 D
第二节利用直角坐标计算二重积分 一、积分区域
二、积分次序
高
等 一、利用直角坐标系计算二重积分
数 如果积分区域为：axb, 1 (x )y2 (x ).
［X－型］
学
y2(x)
电
D
y2(x)
D
子
y1(x)
a
b
y1(x)
a
b
教 其中函数1(x)、2(x) 在区间 [a,b]上连续. 案
高
等 f(x,y)d的值等D于 为以 底，以 z曲面
数
1dx 2xx2f(x,y)d y2dx 2 xf(x,y)d的 y次 序 .
00
10
学 解 积分区域如图 电
y2x y 2xx2
子
教
原 式 0 1d1 2 y y 1 y2f(x ,y)d.x
案
高
等 例 3改 变 积 分 0 2adx2 2a a x xx2f(x,y)dy(a0)
计算积分I
1
2dy
yy
exdx
1
dy
yy
exdx.
1
1
4
2
1 2
y
数
y
解 ex d不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
学
先 改 变 积 分 次 序 .
yx
电
1
xy
子
原式I dx exdy
1 2
x2
y x2
教
1x(eex)dx 3e1 e.
1 2
82
案
高
等
练习
数
1、改换积分次序
2
D
a 1(x)
学
电 子
Df(x ,y)dc dd y 1 2 ((y y ))f(x ,y)d.x［Y－型］
教
案
数 yx2和 xy2所 围 平 面 闭 区 域 . x y2
学 解 两 曲 线 的 交 点
电
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
y x2
子 (x2 y)dxdy01dxx2x(x2y)dy
教 案
D
1[x2( xx2)1(xx4)d ]x33 .
0
2
140
高
等 例 5 求 x2ey2dx， d其 中 yD是 以 (0,0)(,1,1),
D
数 (0,1)为 顶 点 的 三 角 形 .
学 解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
电
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
子
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx 00
D
教
e1 y2
y3 dy
e 1 y2 y2dy2 1(1 2).
0
3
0
6
6e
案
高
等 例6
2xx2
dx f(x,y)dy
1 2x
学
13
答 案 1d： y1 1y2 f(x,y)dx 0 2y
电6
子
2、 计 (x2 算 y2x)d
D
其 D 是 中由 y2 直 ,yx及 线 y2x所围成的闭区域.
教
案
答案：13/6
高 四、小结 等 二重积分在直角坐标下的计算公式
数
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.y ［X－型］
DLeabharlann 数 f(x,y)为曲顶柱体的体z积 f(． x,y)
z
学 应用计算“平行截
面面积为已知的立
电 体求体积”的方法, y
A(x0 )
子
y2(x)
x
b
x0 a
教 案
得
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.yy1(x)
D
a 1(x)
高
等 如果积分区域为： cyd, 1 (y ) x 2 (y ).
电 若区域如图，则必须分割.
子
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3 D1
D2
教 .
案
D
D1
D2
D3
高
等 例 1 改 变 积 分1 dx 1xf(x,y)d的 y次 序 . 00
数
学 解 积分区域如图
y1x
电
子 教
原 式
1 1y
dy
f(x,y)dx.
00
案
高
等 例 2改 变 积 分
［Y－型］
数
d
d
学 电
x1(y) D x2(y)
c
x1(y) D
c
x2(y)
子 教
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d.x
D
c 1(y)
案
高
等
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
数
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
学 线与区域边界相交不多于两个交点.