沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程 -直线方程的其它形式(2)教案

直线方程的其它形式（2）

教学目标

1．理解点斜式、截距式和一般式的基本含义，并进一步掌握它们的具体意义联系与区别；

2．会用待定系数法求直线方程，学会直线的方程综合运用。

教学过程

一、 复习与引入

1．复习：默写直线的斜截式方程、点斜式方程、截距式方程、两点式方程、法线式方程；

2．引入：请你说出以上的直线方程是关于y x ,的几次方程？

揭示：关于y x ,的一次方程一定表示直线吗？直线的方程一定是关于y x ,的一次方程吗？

说明：关于y x ,的一次方程一定表示直线（见教材14页，略）；直线的方程一定是一次方程；（略）

二、新课设计

1．直线的一般式方程：0=++C By Ax （B A ,不全为零）

说明：（1）分类讨论；（2）为什么B A ,不全为零；（3）强调一般式的规范写法（最简）。

2．应用举例

例1：已知原点到直线l 的距离为r ，且直线l 两坐标轴在第一象限交成的三角形的面积为3

322

r ，求直线l 的一般式方程。 说明：（1）两解023=-+r y x 或023=-+r y x ；（2）注意截距式、法线式的应用；

（3）最后化为一般式。

例2：求被两直线0103=+-y x 及082=-+y x 所截得的线段平分于点)1,0(P 的直线方程。

说明：（1）044=-+y x ；（2）设所求直线为1+=kx y 时要注意讨论直线0=x ；（3）分析两交点的表达式；（4）利用平行四边形亦可

例3：直线l 过点)2,1(P ，且与x 轴、y 轴正方向于A 、B 两点，若OB OA +最小，求出直线l 的方程。

解法1：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ，1

2-=a a b ，那么 =+b a 32221

2+≥+-+a a ,当且仅当21+=a 时最小。此时22+=b 直线的方程为12

221=+++y x 解法2：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b

a ， 223221)21)((+≥⋅+++=++=+b

a a

b b a b a b a ，（下略）； 解法3：设所求的直线方程为)1(2-=-x k y （0

x 21-=，令0=x 得，k y -=2，于是223)2(3+≥--+=+k

k y x ，（下略）；

解法4：设所求的直线的倾斜角为α，于是)(1απ-+=tg OA ，)(2απ-+=ctg OB ， 223)()(3+≥-+-+=+απαπctg tg OB OA ，（下略）

解法5：设所求的直线方程为1=+b y a x ，于是121=+b a ，设θ2sin 1=a ，θ2cos 2=b

， 那么θθθθθ

θ22222223sec 2csc cos 2sin 1ctg tg b a ++=+=+=+（下略） 解法6；设所求的直线方程为1=+b y a x ，121=+b

a ，于是2)2)(1(=--

b a 那么223)2)(1(23)2()1(3+=--+≥-+-+=+b a b a b a （下略） 说明：（1）直线l 满足两个条件，一是过点)2,1(N ，二是OB OA +最小；

（2）以上的六种解法，都是在确定OB OA +何时最小上的不同技巧；直线的方程设为截距式、点斜式，也可以设为斜截式等；

（3）问题探索：若将OB OA +最小改为||||PB PA ⋅最小，其它条件不变，求直线l 的方程；

（4）问题探索：若将OB OA +最小改为||||OB OA ⋅最小，其它条件不变，求直线l 的方程。 3．小结

4．作业

习题册：习题二9—11；一课一练：84页；

补充作业：

1．求由方程1||2

|1|=+-y x 确定的曲线所构成的图形的面积； 2．若直线02=+-m y x 与坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，求m 的取值范围；

3．已知)2,1(-A 、)2,2(-B ，动点P 满足5||||=+PB PA ，设),(y x P ，（1）求x

y 2+的取值范围；（2）求y x +的取值范围；(3)求22)1(y x ++的取值范围。