一道高考试题的多视角解法探究
一道高考模拟题的多视角探究与思考
２ Ｘ ２ ．— ３
．— ————— ———— 。 ＿ ————— —一 ≤ ４ｘ‘
— —
（ Ｓ △ Ⅲ） … ＝ ——。 。 ＝ ＝６ ．
５—４ Ｘ÷
、
／ （ ｘ
２
－
— — —
－
５） ＋１ ６
—
— 一 ， 消 除变量 是 难 点． 解 法 １通 过 消
除一 个变 量 角 ， 统 一 利用 长度 作 为 自变 量 来 求 最 值， 然 后通 过配 方法来 求最 大值． 当然 ， 在求 解过 程
同合作 ， 从不 同视 角对该题 进行 一一 探究．
２ 探 究过程
中， 也 可 以消去 变量 ， 用角度 作为变量 来求 最值．
分 调动 学生 的积极 性 ， 深 挖 题 目条 件 ， 通过 师生 共
围． 由三 角形 的 三 边 关 系 可 得 ＋ ＞３， ３＋ ＞
２ ｘ ， 从 而 １＜ ＜３ ， 当且仅 当 ＝ ５ ， 即 ＝ ４ ３ － 时等 号 成立． 故（ ｓ 。 ） …＝ ６ ．
点评 大部 分学 生都 能够想 到 解法 １ ， 目标 式
生： 解法 ３ 如 图 ２， 设Ｂ Ｃ＝
因 此 ｓ ＝ ・ ２ 。 ・ ６ ＝ ｎ ６ ＝ ÷ ・ ３ ａ ・ ６ ≤ ÷ × － ６ ，
当且 仅 当 ｂ＝３ ａ ， ９ ａ ＋ｂ ３ ６ ， 即 口＝ ， ｂ＝３
时， 等号 成 立．
２ ｙ ， Ａ Ｂ＝ Ａ Ｃ＝２ ｘ ， 则Ａ Ｄ＝ ， 过点 Ａ
解 法 ２用 角 度作 为 自变 量 ， 通过求导 ，
判断函数的单调性来求函数的最大值． 在这里容易
一道高考试题的多维视角探析
由余弦定理知：cosA=b2+c2-a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3.
点评第一问入口比较简单，大部分同学都会运用正弦定理，把已知条件转化成边的关系，然后结合余弦定理得出结果，此解法较为简洁流畅.当然也可以运用三角恒等变形直接得出结论，但相比上述方法计算较为繁琐，此处不再赘述.
将b=2c-2代入上式得：cosθ=32c-2.
在RT△BCD中，CD2=BC2-BD2，即cos2θ=1-32c2，可得32c-22=1-32c2，解得c=32±66，由于c=12b+22>22，所以c=32+66，所以sinθ=32c=6+24，即sinC=6+24.
点评本题以C为原点建立直角坐标系，结合三角函数的定义，构造出关于c的一元二次方程，使问题得以解决，该做法很好得体现了坐标法在解决平面几何问题中的优越性.
即22sinA+cosAsinB=sin（A+B），整理得22sinA=sinAcosB，由于sinA>0，所以cosB=22，得B=π4.所以sinC=6+24.
点评常规的思路是转化为关于sinC的一元二次方程，计算量较大，灵活运用三角形内角和定理和特殊角的三角函数值，转化化归，先求出B=π4，大大地减少了运算量，思路非常巧妙.
视角3坐标法
由于利用三角恒等變形解决此问题时，牵扯的公式较多，部分学生可能出现因遗忘公式而思路受阻的现象，而坐标法可以避免这种状况的发生，学生会有一种柳暗花明又一村的感觉.
方法5数形结合的思想（以数释形）
如图2，以C为原点，以CA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，令CB=1，∠BCA=θ，以点C为圆心作单位圆，作BD⊥CA，垂足为D，则B（cosθ，sinθ），BD=32c=sinθ，AD=12c，CD=cosθ，CD=AC-AD，即cosθ=b-12c.
多视角探求北京高考解析几何题
建立模型
根据题目要求，建立相应的代数模型，将几 何问题转化为代数问题。
整合答案
将计算结果整合为答案，注意答案的完整性 和规范性。
03
几何视角下的解析几何题
几何方法在解析几何中的应用
01
02
03
定义法
通过解析几何的基本概念 和性质，利用定义进行求 解。
坐标法
通过建立坐标系，将几何 问题转化为代数问题，利 用代数方法求解。
具体步骤
按照解题策略逐步推导，注意每一步的逻辑 严密性和计算准确性。
总结提高
解题后进行总结和反思，提炼解题方法和技 巧，提高解题能力。
06
总结与展望
对北京高考解析几何题的总结
考察知识点广泛
北京高考解析几何题涵盖了直线、圆、椭圆 、双曲线、抛物线等知识点，考察范围广泛 。
解题方法多样
解析几何题往往有多种解题方法，如代数法、几何 法、参数法等，北京高考题也体现了这一特点。
件。
求解模型
利用三角函数的性质和技巧， 对模型进行求解。
建立模型
根据题目的要求和所给条件， 建立相应的数学模型。
验证答案
最后需要对答案进行验证，确 保答案的正确性和合理性。
05
综合视角下的解析几何题
代数、几何、三角函数的综合应用
代数方法
利用代数方法，如坐标法、参数法等，将几何问题转化为代数问题 ，通过计算和推理求解。
更加注重思维能力的考察
未来高考解析几何题将更加注重思维能力的考察，要求考生具备更 高的思维能力和创新意识。
THANKS
谢谢您的观看
了不同的难度和考察范围。
02
考察知识点全面
北京高考解析几何题考察的知识点比较全面，涉及到了解方程、求轨迹
由一道高考试题的一题多解浅谈微专题教学设计
的重要指导作用ꎬ进而促使他们对此项内容产生深入了解的兴趣.２.从教学内容中挖掘数学思想方法在人们传统的认知观念中数学教材当中的内容仅仅为学生们提供了在当前阶段应掌握的知识点ꎬ是教师开展基础教学活动的依据ꎬ但是很多人忽略了其中在知识的产生㊁发展以及应用过程中暗涵的思想方法ꎬ这就使得教师的实际授课过程缺乏了数学学科应有的 灵魂 ꎬ而且学生掌握的知识更多的是流于形式ꎬ对他们思维能力以及相关素养的提升并没有什么有效的帮助.针对此种情况ꎬ笔者建议教师在数学教学过程中可以从课程内容当中挖掘思想和方法ꎬ这样一来ꎬ不但能够有效增强学生对基础知识的理解能力ꎬ而且也开阔了他们的数学思维.３.引导学生进行思想方法的强化练习数学思想方法是从课程基础知识的学习或者练习题的解答过程中提炼出的ꎬ因此ꎬ教师在进行这部分内容的教学活动时会有非常多的局限性.比如ꎬ在多种因素的影响下ꎬ某种方法在讲解之后学生很少有机会进行使用ꎬ随着时间的推移他们便会忘记ꎻ而当再次遇到后ꎬ教师仍旧需要重新介绍ꎬ这就降低了课堂教学的效率.依据于知识点的思想方法教学过于零散ꎬ缺乏系统性ꎬ往往容易让学生在实际学生过程中造成混淆ꎬ从而对教学质量的提高起到相反的作用.综上所述ꎬ高中数学教师在日常教学过程中渗透相关的思想方法ꎬ不仅可以增强学生对基础知识的理解能力ꎬ使他们的数学思维方式得到有效锻炼ꎬ而且能够有效提高学生分析以及解决各类问题的能力ꎬ并为他们处理相关的难题提供思路和技巧.除此之外ꎬ教师能够通过思想方法的教学提升课堂的质量和水平ꎬ让知识以条理化和系统化的形式展现出来ꎬ从而让学生的学习活动变得更加高效.㊀㊀参考文献:[１]熊永欣.提高高中数学函数学习效率和把握数学思想的探索[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１８(０１):１３０.[２]陈瑞.高中数学函数教学中数学思想方法的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(０１):７６.[３]张益通.数学思想方法在高中数学中的应用研究[Ｊ].中华少年ꎬ２０１７(３４):１３４－１３５.[责任编辑:杨惠民]由一道高考试题的一题多解浅谈微专题教学设计孙宝金㊀李翠玲(辽宁省朝阳市喀左蒙高中㊀１２２３００)摘㊀要:高考复习常常需要在短时间内突破学生的疑难点和易错点.我们围绕复习的重点和关键点设计出 微专题 ꎬ利用具有紧密相关的知识方法形成专项研究.与大专题复习有机结合ꎬ使得专题复习活而不空ꎬ深而不偏ꎬ促进学生的深度学习.关键词:多种解法和变式教学ꎻ 微专题 复习ꎻ构建方式ꎻ深度学习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)１２－００１８－０２收稿日期:２０１８－０１－２０作者简介:孙宝金(１９７６.１２－)ꎬ男ꎬ辽宁省朝阳市人ꎬ本科ꎬ高中教师ꎬ从事高考备考及竞赛等数学解题研究.李翠玲(１９８４.７－)ꎬ女ꎬ辽宁省朝阳市人ꎬ硕士ꎬ高中教师ꎬ从事高考备考及竞赛等数学解题研究.㊀㊀一㊁问题的提出题目㊀已知抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｘꎬ过点２ꎬ０()的直线ｌ交Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬ圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆(１)证明:坐标原点Ｏ在圆Ｍ上ꎻ(２)设圆Ｍ过点Ｐ－４ꎬ２()ꎬ求直线ｌ与圆Ｍ的方程.这是２０１７年全国统一考试 丙卷(全国卷Ⅲ)理科数学第２０题.本题直线与抛物线的位置关系㊁直线与方程㊁圆的方程ꎬ意在数形结合思想和化归与转化能力ꎬ难度适中ꎬ可以很好地考查学生的平面解析几何的基本素养.㊀㊀㊀二㊁问题的探究１.基本解法的探究笔者在审视这道高考试题时ꎬ发现可以从三个视角完美解决这道试题.８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.视角一: 斜率乘积为－１设出ｌ的方程ꎬ通过联立方程ꎬ证明直线ＯＡ与ＯＢ的斜率之积为－１.(１)设Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()ꎬｌ:ｘ＝ｍｙ＋２.由ｘ＝ｍｙ＋２ꎬｙ２＝２ｘꎬ{得ｙ２－２ｍｙ－４＝０ꎬ则ｙ１ｙ２＝－４.又ｘ１＝ｙ２１２ꎬｘ２＝ｙ２２２ꎬ故ｘ１ｘ２＝ｙ１ｙ２()２４＝４ꎬʑｋＯＡ ｋＯＢ＝ｙ１ｘ１ ｙ２ｘ２＝－４４＝－１.所以ＯＡʅＯＢꎬ故坐标原点Ｏ在圆Ｍ上.(２)略视角二:向量法:证明ＯＡң ＯＢң＝０解法同上:ｙ１＋ｙ２＝２ｍꎬｙ１ｙ２＝－４ꎬｘ１ｘ２＝ｍｙ１＋２()ｍｙ２＋２()＝ｍ２ｙ１ｙ２＋２ｍｙ１＋ｙ２()＋４＝－４ｍ２＋４ｍ２＋４＝４ꎬＯＡң ＯＢң＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝４－４＝０ꎬʑＯＡңʅＯＢң即ＯＡʅＯＢ.所以坐标原点Ｏ在圆Ｍ上.(２)略视角三:点与圆的位置关系由已知可求圆的方程ꎬ再把Ｏ０ꎬ０()代入满足圆的方程ꎬ即得证.解法同上:可设ＡＢ中点为Ｎｘ０ꎬｙ０()ꎬｘ０＝ｘ１＋ｘ２２＝ｍ２＋２ꎬｙ０＝ｙ１＋ｙ２２＝ｍꎬＭ２＋ｍ２ꎬｍ()ꎬ圆Ｍ的半径ｒ＝ｍ２＋２()２＋ｍ２ꎬ所以☉Ｍ方程ｘ－ｍ２－２()２＋ｙ－ｍ()２＝ｍ２＋２()２＋ｍ２.把点Ｏ０ꎬ０()代入检验满足☉Ｍ方程ꎬ所以坐标原点Ｏ在圆Ｍ上.(２)略２.为了进一步让学生理解ꎬ可以对此题进行一些变式ꎬ以便学生对此类方法的理解更加深刻变式一:已知ＡꎬＢꎬＣ是椭圆Ｗ:ｘ２４＋ｙ２＝１上的三个点ꎬＯ是坐标原点ꎬ当点Ｂ不是Ｗ的顶点时ꎬ判断四边形ＯＡＢＣ是否可能为菱形?并说明理由.变式二:已知两点Ａｘ１ꎬｙ１()ꎬＢｘ２ꎬｙ２()(ｘ１ｘ２ʂ０)是抛物线ｙ２＝２ｐｘｐ>０()上的两个动点ꎬＯ是坐标原点ꎬ向量ＯＡңꎬＯＢң满足ＯＡң＋ＯＢң＝ＯＡң－ＯＢңꎬ设圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２－ｘ１＋ｘ２()ｘ－(ｙ１＋ｙ２)＝０ꎬ证明:线段ＡＢ是圆Ｃ上的直径.变式三:(人教Ｂ版ꎬ选修２－１ꎬＰ７１ꎬ习题２－５Ｂ第６题)已知椭圆的中心是坐标圆点Ｏꎬ它的短轴长为２２ꎬ一个焦点Ｆ的坐标为ｃꎬ０()ｃ>０()ꎬ一个定点Ａ的坐标为１０ｃ－ｃꎬ０æèçöø÷ꎬ且０Ｆң＝２ＦＡңꎬ过点Ａ的直线与椭圆相交于两点ＰꎬＱꎬ如果ＯＰʅＯＱꎬ求直线ＰＱ的方程.这样的 微专题 教学ꎬ培养了学生思维的广阔性ꎬ提高了学生的应变能力.关于目标意识ꎬ解题时ꎬ一要通过审体明确题目要求我们做什么ꎬ二要根据题干及结论的特点ꎬ弄清楚我们已知了什么.这样ꎬ当学生用常规思路解决问题而思维受阻时ꎬ就会尝试从结论出发或通过不同渠道去解决.３.微专题设计及教学中教师角色微专题设计以学生为中心ꎬ针对学生的知识漏洞设计成专题ꎬ学生在学习过程中具有更多的主动权ꎬ但这并不意味着学生可以完全离开教师的指导进行探究.事实上ꎬ在整合的过程中ꎬ教师要扮演内容呈现者㊁学习帮助者和课程设计者等多重角色ꎬ教师要在对学生的学习控制和学生的自主活动之间达到一种平衡状态.不断引导学生的思维ꎬ帮助学生顺利穿越 最近发展区 ꎬ获得进一步的发展ꎬ使得学生根据实际的需要寻找或构建支架支持思维能力的提高.４.微专题具有很强的实用性㊁可操作性从学生实际出发ꎬ针对学生的疑难点及解题方法的归纳ꎬ切实帮助其解决实际问题.此时教者对学情及例题难度的把握尤为重要ꎬ过难过易对学生的发展都是无益的.教师可以利用变式训练和问题引申设计来编制微专题ꎬ教学中ꎬ通过设置 典型例题 一题多解 变式训练 来完成微专题ꎬ这样可以达到 由点到面的爆炸式复习 .另外ꎬ微专题教学可以使学生ꎬ从各个不同的方面联系所学知识ꎬ形成横向㊁纵向的知识网.经过这样 深加工 ꎬ学生在解决问题时才能举一反三ꎬ游刃有余.㊀㊀三㊁微专题实践反思教学中的 微专题 复习与大专题复习不是相互对立㊁互不兼容的两种复习方式ꎬ二者是相互渗透ꎬ互为补充的关系.一方面 微专题 积少成多ꎬ能对大专题的自然生成起到一定的补充和完善作用ꎻ另一方面ꎬ大专题的落实需要更多有效的 微专题 进行渗透㊁强化.所以充分发挥微专题的问题集中㊁操作灵活㊁指向性强以及更容易解决具体问题等优势ꎬ将使得大专题复习实而不空ꎬ深而不偏.总之 微专题 复习能有效地帮助学生解决现实问题ꎻ同时教师在研究实践中不断学习㊁思考㊁分析ꎬ寻找出路ꎬ并能有所启发和创新ꎬ这对于教师自身的成长是有益的.㊀㊀参考文献:[１]李宽珍.基于目标意识解题的微专题教学 由一道模拟题谈开去[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１７(４):２６－２８.[２]邱慎海.对一道全国高中数学联合竞赛题的探究[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１７(４):５８－６１.[责任编辑:杨惠民]９１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
一道高考试题的多角度思考及教学启示[1]
![一道高考试题的多角度思考及教学启示[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/1df8d516a76e58fafab0030d.png)
一道高考试题的多角度思考及教学启示2009年浙江省高考理科第9题:过双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右顶点A 作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ,C.若BCAB 21=,则双曲线的离心率是( )A.2B.3C.5D.10本题较好地关注解析几何的本质，很好地体现了坐标法的思想，主要考查了双曲线的有关几何性质，即渐近线，离心率，顶点等，同时又考查了已知两直线求交点，以及向量的坐标表示等问题，考查解析几何的基本思想方法和运算求解的能力，体现了数学知识交汇处命题的特色，解题入口宽，方法多，是考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题能力的一道好题，具有较高的研究价值。
本文就此题的多角度思考谈几点教学启示。
1 试题的多角度思考本题是选择题倒数第2题，属于中档题，学生失分的主要原因是：一是缺乏必要的运算能力，运算出错，半途而废；二是缺乏必要的合理转化能力，不知道如何将复杂问题转化为简单问题求解；三是缺乏对解析几何本质的理解。
其实从题中抓住核心的信息是①过A 的直线斜率为-1；②BCAB 21=.因此在解题时牢牢抓住这两个数量关系，目标是建立a ,b ,c 的数量关系，可以通过求B ，C 的坐标联系平面几何知识，或运用解三角形知识直接在三角形中建立数量关系，从而产生了不同的解题思路。
思路1 利用过A 斜率为-1的直线与两条渐近线相交，求出交点B ，C ，再利用向量的坐标运算，求出a 与b 的关系，从而求得离心率.因为直线AC 的方程为ax y+-=，渐近线OB ，OC 的方程为xab y =，x a by -=，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x a by ax y 得),(2ba abb a aB ++，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=xa by ax y 得))(,(2b a b a abb a aC ≠---，)0,(a A ，BCAB 21=，),(21),(222b a ab ba abb a ab a ab a ab a b a a+---+--=+-+∴，即)(21222ba ab a aa ba a+--=-+∴，a b 2=∴，aba c522=+=，故双曲线的离心率是5=e .思路2 由于解析几何的本质是利用代数的方法来研究平面几何问题，因此，解析几何的问题能否用平面几何的知识来解决呢？回答当然是肯定的，如本题辅之用平面几何的知识去解决，那就大大减少运算量，提高解题的速度。
多视角探究2022_年全国高考甲卷理数第20_题
多视角探究２０２２年全国高考甲卷理数第２０题贺凤梅１㊀李昌成２(１.新疆伊犁巩留县高级中学ꎬ新疆伊犁８３５４００ꎻ２.新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)摘㊀要:蝴蝶定理是平面几何中的一个经典问题ꎬ其意境优美ꎬ结论简洁ꎬ蕴理深刻.在２００３年高考北京卷㊁２００８年高考江西卷㊁２０１０年江苏卷中均出现了以其为背景命制的高考题[１].２０２２年全国甲卷理科圆锥曲线压轴题是在抛物线中以蝴蝶定理为背景的试题.文章通过对其深入研究ꎬ弄清其问题本质.关键词:圆锥曲线ꎻ蝴蝶定理ꎻ研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－０００２－０４收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:贺凤梅(１９７９－)ꎬ女ꎬ湖北省随州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀题目㊀(２０２２年全国高考甲卷理科数学第２０题)设抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ点Ｄ(ｐꎬ０)ꎬ过点Ｆ的直线交Ｃ于ＭꎬＮ两点ꎬ当直线ＭＤ垂直于ｘ轴时ꎬＭＦ＝３.(１)求Ｃ的方程ꎻ(２)设直线ＭＤꎬＮＤ与Ｃ的另一个交点分别为ＡꎬＢꎬ记直线ＭＮꎬＡＢ的倾斜角分别为αꎬβꎬ当α－β取得最大值时ꎬ求直线ＡＢ的方程.１总体分析本题是２０２２年全国甲卷理科数学第２０题ꎬ是本卷压轴题之一ꎬ第(２)问是蝴蝶定理背景下的直线与抛物线的综合题.试题命题立意新颖ꎬ低起点㊁入口宽ꎬ适合多视角探究解答.试题能充分考查学生的运算能力㊁转化与化归的能力ꎬ属于难题.笔者针对此题ꎬ拟从不同的角度进行分析解答ꎬ不断优化解题思路ꎬ揭示问题的本质ꎬ先分享于此ꎬ以飨读者.２试题解答２.１第(１)问解析解析㊀Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)ꎬ则Ｆ(ｐ２ꎬ０)ꎬＭＤʅｘ轴时ꎬｘＭ＝ｐꎬ由抛物线的定义ꎬ得ＭＦ＝ｘＭ＋ｐ２＝３２ｐ＝３ꎬ解得ｐ＝２ꎬ所以Ｃ:ｙ２＝４ｘ.当直线ＭＮʅｘ轴时ꎬ由对称性知ＡＢʅｘ轴ꎬ此时α＝β＝π２ꎬ所以α－β＝０.２.２第(２)问解析解法１㊀(线参法)由题设ꎬ直线ＭＮ斜率存在ꎬ且不为０ꎬ设直线ＭＮ:ｘ＝ｍｙ＋１(ｍʂ０)ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ联立ｘ＝ｍｙ＋１ꎬｙ２＝４ｘꎬ{整理ꎬ得ｙ２－４ｍｙ－４＝０.由根与系数的关系ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝４ｍꎬｙ１ｙ２＝－４.①设ＭＤ:ｘ＝ｎｙ＋２ꎬＡ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＢ(ｘ４ꎬｙ４)ꎬ联立ｘ＝ｎｙ＋２ꎬｙ２＝４ｘꎬ{整理ꎬ得ｙ２－４ｎｙ－８＝０.由根与系数的关系ꎬ得ｙ１＋ｙ３＝４ｎꎬｙ１ｙ３＝－８.所以ｙ３＝－８ｙ１.同理可得ｙ４＝－８ｙ２.由斜率公式ｋＡＢ＝ｙ４－ｙ３ｘ４－ｘ３ꎬ而ｙ２３＝４ｘ３ꎬｙ２４＝４ｘ４ꎬ代入整理得ｋＡＢ＝ｙ４－ｙ３ｙ２４/４－ｙ２３/４＝４ｙ３＋ｙ４＝４(－８/ｙ１)＋(－８/ｙ２)＝４ｙ１ｙ２－８(ｙ１＋ｙ２)＝２ｙ１＋ｙ２＝１２ｍ.所以ｋＭＮ＝１ｍ＝ｔａｎαꎬｋＡＢ＝１２ｍ＝ｔａｎβ.所以ｔａｎ(α－β)＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ＝１/ｍ－１/２ｍ１＋(１/ｍ) (１/２ｍ)＝１２ｍ＋１/ｍ.当ｍ>０时ꎬ２ｍ＋１ｍȡ２２ｍ １ｍ＝２２ꎬ此时０<ｔａｎ(α－β)ɤ１２２＝２４ꎬ当且仅当２ｍ＝１ｍꎬ即ｍ＝２２时取等号ꎻ而当ｍ<０时ꎬα－β无法取得最大值.从而ｍ＝２２时满足题意ꎬ此时ｋＡＢ＝１２ｍ＝２２.所以直线ＡＢ方程为ｙ＝４ｙ３＋ｙ４(ｘ－ｙ２３４)＋ｙ３＝４ｙ３＋ｙ４ｘ＋ｙ３ｙ４ｙ３＋ｙ４＝１２ｍｘ－２ｍ＝２２ｘ－２２.即ｘ－２ｙ－４＝０.评注㊀此问的显著特点是有很多的点和线ꎬ但仔细观察发现这些点和线相互关联ꎬ只需定好其中一个点ꎬ就可以很好地联系其他的点和线ꎬ容易寻求相同的结构ꎬ利用同一法求解ꎬ简化运算ꎬ解法１很好地诠释了这一思路和解答过程.解法２㊀(点参法)设Ｍ(ｙ２１４ꎬｙ１)ꎬＱ(ｙ２２４ꎬｙ２)ꎬＡ(ｙ２３４ꎬｙ３)ꎬＢ(ｙ２４４ꎬｙ４)ꎬＭꎬＤꎬＡ三点共线ꎬ则ｋＭＤ＝ｋＡＤꎬ且Ｄ(２ꎬ０).所以ｙ１ｙ２１/４－２＝ｙ２ｙ２２/４－２.整理ꎬ得ｙ１ｙ２３－８ｙ１＝ｙ２１ｙ３－８ｙ３.即(ｙ１－ｙ３)(ｙ１ｙ３＋８)＝０.显然ｙ１ʂｙ３.所以ｙ１ｙ３＝－８ꎬ即ｙ３＝－８ｙ１.因为ＮꎬＤꎬＢ三点共线ꎬ则ｋＮＤ＝ｋＢＤ.同理可求得ｙ２ｙ４＝－８ꎬ即ｙ４＝－８ｙ２.设直线ＭＮ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１(ｍʂ０)ꎬ则ｔａｎα＝１ｍ＝ｙ１－ｙ２ｙ２１/４－ｙ２２/４＝４ｙ１＋ｙ２ꎬｋＡＢ＝ｙ４－ｙ３ｙ２４/４－ｙ２３/４＝４ｙ３＋ｙ４＝４(－８/ｙ１)＋(－８/ｙ２)＝４ｙ１ｙ２－８(ｙ１＋ｙ２)＝－ｙ１ｙ２２(ｙ１＋ｙ２).由解法１中①式可知ｙ１＋ｙ２＝４ｍꎬｙ１ｙ２＝－４.所以ｋＭＮ＝１ｍ＝ｔａｎαꎬｋＡＢ＝１２ｍ＝ｔａｎβꎬｔａｎ(α－β)＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ＝１/ｍ－１/２ｍ１/ｍ １/２ｍ＝１２ｍ＋１/ｍ.由解法１可知ꎬ当ｍ＝２２时ꎬ满足条件ꎬ此时ｋＡＢ＝２２.将ｍ＝２２代入ｙ２－４ｍｙ－４＝０ꎬ得ｙ２－２２ｙ－４＝０.由题设解得ｙ１＝６＋２ꎬｙ２＝－６＋２.所以ｙ３＝－８ｙ１＝－８６＋２＝２(２－６).从而ｘ３＝ｙ２３４＝４(２－６)２４＝８－４３.所以点Ａ(８－４３ꎬ２(２－６)).故直线ＡＢ方程为ｙ＝２２[ｘ－(８－４３)]＋２(２－６).即ｘ－２ｙ－４＝０.评注㊀此解法的特点在于根据三点共线ꎬ斜率存在时ꎬ利用斜率相等找到点的纵坐标之间的内在联系ꎬ进而找到两直线ＭＮ与ＡＢ斜率之间的关系ꎬ借助于基本不等式ꎬ求出当α－β最大时ｋＡＢ的值ꎬ利用取等条件得出ｍ的值.进而求出ｙ１ꎬ导出ｙ３ꎬ再求出ｘ３ꎬ即得点Ａ的坐标ꎬ最后求出直线ＡＢ的方程.只要理清解题思路ꎬ加上适当的计算能力及技巧ꎬ解题可以顺利进行.解法３㊀(向量法)由前面的求解可知Ｆ(１ꎬ０)ꎬＤ(２ꎬ０)ꎬＭ(ｙ２１４ꎬｙ１)ꎬＮ(ｙ２２４ꎬｙ２)ꎬＡ(ｙ２３４ꎬｙ３)ꎬＢ(ｙ２４４ꎬｙ４).所以ＦＭң＝(ｙ２１４－１ꎬｙ１)ꎬＦＮң＝(ｙ２２４－１ꎬｙ２).因为ＦＭңʊＦＮңꎬ所以(ｙ２１４－１)ｙ２－(ｙ２２４－１)ｙ１＝０.化简整理ꎬ得(ｙ１－ｙ２)(ｙ１ｙ２＋４)＝０ꎬ且ｙ１ʂｙ２.所以ｙ１ｙ２＝－４.②由ＤＭңʊＤＡң易得(ｙ２１４－２)ｙ３－(ｙ２３４－１)ｙ１＝０.即(ｙ１－ｙ３)(ｙ１ｙ３＋８)＝０.因为ｙ１ʂｙ３ꎬ故ｙ１ｙ３＝－８.③同理ｙ２ｙ４＝－８.④由②③ꎬ得ｙ３＝２ｙ２ꎬ由②④ꎬ得ｙ４＝２ｙ１ꎬ所以ｋＭＮ＝ｙ１－ｙ２ｙ２１/４－ｙ２２/４＝４ｙ１＋ｙ２ꎬｋＡＢ＝ｙ３－ｙ４ｙ２３/４－ｙ２４/４＝４ｙ３＋ｙ４＝４２ｙ２＋２ｙ１＝２ｙ１＋ｙ２.所以ｋＭＮ＝２ｋＡＢꎬｔａｎα＝２ｔａｎβ.要使α－β最大ꎬ必有α>βꎬ且αꎬβ均为锐角ꎬ所以ｔａｎ(α－β)＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ＝ｔａｎβ１＋２ｔａｎ２β＝１２ｔａｎβ＋１/ｔａｎβɤ１２２.当２ｔａｎβ＝１ｔａｎβ(ｔａｎβ>０)ꎬ即ｔａｎβ＝２２时等号成立ꎬ此时ｔａｎ(α－β)取最大值ꎬ相应α－β最大ꎬ故ｋＡＢ＝２２.设直线ＡＢ:ｘ＝２ｙ＋ｎꎬ由ｘ＝２ｙ＋ｎꎬｙ２＝４ｘꎬ{整理ꎬ得ｙ２－４２ｙ－４ｎ＝０.所以ｙ３ｙ４＝－４ｎ.而ｙ３ｙ４＝４ｙ１ｙ２＝４ˑ(－４)＝－１６ꎬ所以ｎ＝４.故直线ＡＢ方程为ｘ－２ｙ－４＝０.评注㊀此解法亮点有三处:一是利用向量共线寻找坐标关系ꎬ可有效避免讨论相关直线斜率不存在的情形ꎬ使问题的处理简单易行ꎬ学生也容易理解和接受ꎻ二是三组向量共线ꎬ实际上具有相同的结构ꎬ因此详解第一组向量共线后得出坐标关系后ꎬ第二组可以对照简化运算ꎬ而第三组同理可得就变得顺其自然了ꎬ这也是当下应用比较普遍的同一法ꎻ三是根据条件求出满足条件的ｋＡＢ＝２２ꎬ设直线ＡＢ方程的横截式ꎬ与抛物线方程联立后ꎬ利用韦达定理得出ｙ３ｙ４＝－４ｎꎬ结合前面所求ｙ３ｙ４＝４ｙ１ｙ２与ｙ１ｙ２＝－４ꎬ很容易求出ｎ的值ꎬ进而求出直线ＡＢ的方程ꎬ大大简化了运算.解法４㊀(参数法)设抛物线参数方程为ｘ＝ｔ２ｙ＝２ｔ{(ｔ为参数)ꎬ不妨设Ｍ(ｍ２ꎬ２ｍ)ꎬＮ(ｎ２ꎬ２ｎ)ꎬＡ(ａ２ꎬ２ａ)ꎬＢ(ｂ２ꎬ２ｂ)ꎬ且ｍ>０ꎬｂ>０ꎬｎ<０ꎬａ<０ꎬＦＭң＝(ｍ２－１ꎬ２ｍ)ꎬＦＮң＝(ｎ２－１ꎬ２ｎ).因为ＦＭңʊＦＮңꎬ所以２ｎ (ｍ２－１)－２ｍ (ｎ２－１)＝０.化简整理ꎬ得(ｍ－ｎ)(ｍｎ＋１)＝０ꎬ且ｍʂｎ.所以ｍｎ＝－１.同理由ＤꎬＭꎬＡ和ＤꎬＮꎬＢ三点分别共线求得ａｍ＝－２ꎬｂｎ＝－２.从而ａ＝－２ｍꎬｂ＝－２ｎ＝２ｍ.所以ｋＭＮ＝２ｍ－２ｎｍ２－ｎ２＝２ｍ＋ｎ＝２ｍ－１/ｍ＝２ｍｍ２－１＝ｔａｎαꎬｋＡＢ＝２ａ－２ｂａ２－ｂ２＝２ａ＋ｂ＝２－２/ｍ＋２ｍ＝ｍｍ２－１＝ｔａｎβ.所以ｋＭＮ＝２ｋＡＢꎬｔａｎα＝２ｔａｎβ.下同解法３ꎬ求得ｋＡＢ＝２２.此时ｍｍ２－１＝２２.由题设ｍ>０ꎬ解得ｍ＝２＋６２.所以ａ＝－２ｍ＝２－６ꎬａ２＝８－４３.所以Ａ(８－４３ꎬ２(２－６)).故直线ＡＢ方程为ｘ－２ｙ－４＝０.评注㊀此解法用到了抛物线的参数方程ꎬ求解更简洁ꎬ教材对于抛物线的参数方程仅在课本选修４－４中简单提及ꎬ学生不一定熟练掌握ꎬ需要老师们留心.３总结升华抛物线中的蝴蝶模型㊀已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)ꎬ过点Ｍ(ｍꎬ０)作直线交抛物线于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点.已知点Ｎ(ｎꎬ０)ꎬ连接ＡＮꎬＢＮ交抛物线于Ｃ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＤ(ｘ４ꎬｙ４)两点ꎬ则ｋＡＢｋＣＤ为定值.评析㊀此模型即为２０２２年高考真题中寻找两直线斜率关系的部分ꎬ大家利用以上任意一种方法进行运算求解ꎬ均可得到ｋＡＢｋＣＤ＝ｎｍ.所以此真题能得出的关系就是ｋＡＢｋＭＮ＝１２ꎬ如果大家熟知此结论ꎬ或能按部就班推出此结论ꎬ这次的压轴题也就迎刃而解了.通过研究高考真题ꎬ发现在复习备考的征途中ꎬ特别是对于一些有文化背景的题ꎬ教师要有足够的耐心ꎬ深度解析各种方法ꎬ让学生在比较中开拓思路.因此ꎬ我们要充分利用好高考经典试题ꎬ从不同视角㊁不同解法深度解读ꎬ长此以往ꎬ一定能提升复习备考的效果[２].参考文献:[１]成开平.探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０１５(０６):２８－２９.[２]罗增儒.怎样解答高考数学题[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１８(１６):５３－５６.[责任编辑:李㊀璟]。
一道高考题的多视角解题探究
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刘汗 青 （ 山东省单县 第一 中学）
摘要 ：以２ ０ １ ４年 高考 数 学全 国 Ⅱ卷 理 科 第 ｌ ６ 题 推理演算能力及化归转化意识的要求 比较高 ，并且学 以考 查 基 （ 文科 第 ｌ ２ 题 ） 为例 ，探 究 高 中数 学 解析 几何 中档 试 生 还 要 有一 定 的 创 新能 力 。试题 充 分 体 现 “ 题 切入 多样 、解 答灵 活的特 点 。 础 知 识 为依 据 、考查 基 本思 想 为 手 段 ” 的命 题立 意 ，
———１ 解题研究
点Ｄ （ ０ ， ０ ） ，Ｍ（ ｘ 。 ， １ ） 和单 位圆 Ｅ 的点Ⅳ。 若设Ｎ （ ｃ ｏ ｓ ， ｓ ｉ ｎ ， 所带来的直观 、简洁。 则 可列 出等式 ｃ 。 ｓ Ｄ 删 ＝ — Ｏ Ｍ ２ ＋ Ｍ Ｎ ２ － Ｏ Ｎ ２ ＝ … 学 （ ２ ） 巧借直线间的夹角公式。 如图 ２ ， 当点 在 圆 ０： ＋ Ｙ ＝１ 外 时 ，有 过 点 生试图利用方程 的根来得出 。 的取值范围，但计算烦 的切线 （ 除， ， ＝１ ） 。若保证存在满足条件 的点 Ⅳ， 琐 、讨论复杂 、运算量大 ，所 以屡试屡败 。按常规 的 则需要满足 Ｌ Ｏ Ｍ Ｎ￣Ａ Ｏ Ｍ Ｐ，问题转化为 Ｏ Ｍ与 。 的 解答方法 ，直接翻译成几何条件是容易让学生联想到 夹角大于或等于 ４ ５ 。 。 的切 人 方 式 ，但 也 是 难 以 获 得 成 功 的 途 径 。 由此 可 ① 若切线 的斜率不存 在时 ，此时 的点 Ｐ即为 见 ，此题是对学生的观察 、归纳 、推理和转化等综合 点Ⅳ，得 ｌ ＝ １ ； 能 力 和数学 素养 的考查 。 ② 若 切 线 的 斜 率 为 ｋ时 ，则 设 ： ｙ ＝
说题:多维视角下解析一道高考试题
说题：多维视角下解析一道高考试题傅婷【期刊名称】《中学数学教学》【年(卷),期】2018(000)003【总页数】4页(P37-40)【作者】傅婷【作者单位】浙江省宁波中学 638400【正文语种】中文笔者有幸参加宁波教研室组织的高中数学说题比赛.在参加比赛之前，笔者的学生问了这样一个问题：已知一个抛物线型的酒杯，杯口宽4cm,杯深4cm,若将一个玻璃球放进酒杯中，当玻璃球的半径在什么范围内，玻璃球一定会触及酒杯底部？笔者在给学生解答的过程中，发现这个酒杯中的数学与2016年浙江高考理科数学试卷第19题其实是同一类型的问题.遂选择了这个题目进行说题，题目如下：如图，设椭圆(I)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a、k表示)；(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.1 解法分析考点弦长公式;圆与椭圆的位置关系;椭圆的离心率几何条件含参圆与椭圆至多有三个交点;离心率范围目标动态圆锥曲线交点问题的转化第(I)题：考查直线与椭圆相交的位置关系，涉及到线段长，可以考虑用弦长公式，解法如下：由题意可得：解得：x1=0,.直线y=kx+b被椭圆截得的线段长为：·第(II)题：考查的是双二次曲线的交点问题，本题中有动态和恒成立两个难点，故问题的解决关键在于交点问题的转化.视角一代数视角由于圆锥曲线的交点个数可以转化为方程有解问题，便有解法1.解法1 方程在区间上根的分布问题由得(a2-1)y2+2y+r2-1-a2=0(*)先考虑有四个交点情况，则需要方程(*)在(-1,1)上有两不同根，由得当时，存在这样的r, 使得方程(*)在(-1,1)上有两解，圆与椭圆有4个交点.故圆与椭圆至多有3个公共点时，1<a≤,椭圆的离心率范围是0<e≤.知识圆与椭圆的对称性、根的分布问题策略正难则反思想方程思想方程的有解问题可以转化为函数的交点问题，故有解法2.解法2 函数在区间上的交点个数(1-a2)y2-2y+1+a2=r2.令f(y)=(1-a2)y2-2y+1+a2(-1≤y≤1) ，得而1-a2<0，假设存在r，使函数t=f(y)与t=r2在(-1,1)上有两个不同的交点，则需求函数f(y) 在 (-1,1)不是单调函数，只需,即a2>2.当a2>2时，圆与椭圆有4个不同的公共点.所以当1<a≤时符合题意,椭圆的离心率范围是0<e≤.思想函数与方程思想、数形结合思想视角二几何视角椭圆具有对称性，要保证圆与椭圆至多有3个公共点，则圆与椭圆y轴单侧不可能有2个公共点，即弦长在y轴单侧处处不相等.将两条动态曲线的交点问题转化为弦长问题,再代数解决.解法1 弦长相等(浙江省考试院提供的参考答案)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P、Q，满足AP=AQ,记直线AP、AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0，k1≠k2．由(1)知·,·,故··，所以.由于k1,k2>0，k1≠k2，得：.①因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是：1+a2(a2-2)>1,所以.因此，以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a2≤2.离心率,因此椭圆的离心率范围是0<e≤.知识圆与椭圆的对称性、弦长公式思想函数与方程思想在解法1的基础上，若AP=AQ,则三角形APQ为等腰三角形，连接PQ，取其中点M，连接AM，如图所示，则AM垂直PQ.涉及中点、垂直的位置关系，可以考虑用点差法，将弦长相等的数量关系转化为几何的位置关系.解法2 点差法假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点P、Q，满足AP=AQ.设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为M(x0,y0).则两式相减得：. 即(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，得x0+a2y0·.②由AP=AQ，得AM⊥PQ,即kAM··.所以,代入②式得：x0+a2y0·,由得：a2>2.因此，以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤.离心率,因此椭圆的离心率范围是0<e≤.知识圆与椭圆的对称性、点差法思想设而不求思想、函数思想视角三函数视角圆与椭圆至多有3个公共点，即当点P从上定点逆时针旋转到下定点时,PA处处不相等，即弦长在y轴左侧单调.可以考虑构造函数，将交点问题转化为函数的单调性.解法1 弦长在y轴单侧单调递增由(1)知，设k2=t,则在区间(0,+∞)内单调递增.只需t2+t≤,即t≤恒成立，得≥1,即a2≤2.离心率,因此椭圆的离心率范围是0<e≤.知识弦长公式、单调性思想函数思想在解法1的基础上，弦长单调递增，即意味着弦长是具有最大值的.反思解法1，利用弦长公式构造出的函数，较为复杂，不便于研究.点P为椭圆上的任意动点，可以利用椭圆的方程进行三角换元来设点P的坐标，则PA为P、A两点间的距离公式.解法2 弦长的最大值圆与椭圆至多有3个公共点，即当点P从上顶点逆时针旋转半圈到下顶点时,PA 单调递增，即当且仅当点P(acosθ,sinθ)为下顶点B(0,-1)时，PAmax=2.PA2=a2cos2θ+(sinθ-1)2=(1-a2)sin2θ-2sinθ+1+a2,(-1≤sinθ≤1)因为PA的最大值当且仅当sinθ=-1时取到，且1-a2<0,所以对称轴≤-1,又a>1,得1<a≤.离心率,因此椭圆离心率的取值范围为知识距离公式、二次函数最值思想函数思想、数形结合思想对于一个复杂的动态圆锥曲线的交点问题，若直接处理起来比较困难，有时候可以考虑特殊位置.视角四特殊视角若需满足题目条件，只需当临界情况，即半径r=2时，椭圆完整在圆内，否则只需半径再大一点就会有4个交点.取相同y时，,即(1-y2)a2<4-(y-1)2,所以，当-1<y<1时，a2≤2.离心率∈(0,.策略考虑临界位置思想函数思想、数形结合思想解法小结对于本题，解法众多，但笔者认为最理想的解法是转化为距离(弦长)的最值.2 背景分析2.1 本质研究本题所涉及的动态圆与椭圆的交点问题，其本质是y轴上的定点A到圆锥曲线椭圆上动点P的距离PA的最值问题.解决步骤如下：(1)两点坐标；(2)距离公式;(3)构造函数；(4)函数最值.深入研究本问题，还是得到一些其他的结论：在y轴单侧，PA单调递增时，圆与椭圆的交点个数为2或1或0个；在y轴单侧，PA不单调时，圆与椭圆的交点个数为4或3个.2.2 问题链接以下两个问题也是定点到圆锥曲线(椭圆、抛物线)上动点的距离的最值问题. (1990年全国卷)已知椭圆的中心为坐标原点，长轴在x轴上，已知点P(0,到椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.有一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4米，深8米，称之为抛物线酒杯，当玻璃球的半径为多大时，玻璃球一定会触及到酒杯底部.3 拓展变式对于2016年浙江高考理科数学试卷第19题，定点A在y轴上的位置比较特殊，恰为椭圆的上顶点，故对这个问题还可以进行拓展.变式1 点A在y轴上，椭圆外设椭圆,若任意以点A(0，tb)(t>1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点，求离心率e的取值范围.变式2 点A在在y轴上，椭圆内设椭圆,若任意以点A(0，tb)(0<t<1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求离心率e的取值范围.变式3 点A在y轴正方向上运动设椭圆,若任意以点A(0,tb)(t>0)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求e,t满足的条件.解设椭圆上动点为P(acosθ,bsinθ),则PA2=a2cos2θ+(bsinθ-tb)2=(b2-a2)sin2θ-2b2tsinθ+t2b2+a2,(-1≤sinθ≤1),由≤-1得0<e≤.一般结论点A在y轴上时，当0<e≤(t≠0)时，至多有3个交点；点A在y轴上时，当(t≠0)时，有4个交点；变式5 点A在x轴正方向上运动设椭圆,若任意以点A(ta,0)(t>0)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求e、t所满足的条件.解设椭圆上动点为P(acosθ,bsinθ),则PA2=(acosθ-t)2+b2sin2θ=(a2-b2)·cos2θ-2atcosθ+t2+b2(-1≤cosθ≤1),由≥1得0<e≤.一般结论：点A在x轴,当0<e≤(t≠0),至多有3个交点；点A在x轴,当(t≠0),有4个交点；变式6 圆与抛物线的交点问题设抛物线方程为x2=2py(p>0),若任意以点A(0,t)(t>0)为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，求t、p需满足的条件.解设抛物线上点为p(x0,y0),则，当≤0时,t≤p.变式7 点A为平面上任意一点设椭圆,若任意以点A(m,n)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求离心率e的取值范围.4 教学启示通过对这道高考试题的研究，笔者得到了一些启发.任何一个复杂解析几何问题的解决，都需要用到基本知识，因此在教学的过程中应该注重学生基础知识、基本技能的夯实；引导学生从不同视角下进行研究，挖掘问题的本质；关注解析几何问题(比如交点问题)转化中的通性通法，方程与函数、数形结合等思想的应用.通过对问题的变换、推广和转化，可以有效培养学生思维的广阔性.。
一道高考试题 一番学生探究 一串教学感悟——一道高考数学试题的多视角开发利用
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图 １
评析
这是一道解 几 、 向量 、 函数 、 导数 、 不
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出蕊 ∥确 ， 得
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学生 通过 从结 论 到证 法 上 移 植 ， 快 获 很
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人的“ 陈年老 酒” —— 练习 、 研究 、 拓展 一道 高
考 题 的快乐 “ 程 ” 旅 ．
１ 品 味 试 题 。 觉 常 规 熟 悉 感
物线 的切线 ， 其 交 点 为 Ｍ 证 明 ： 设 确
为 定值 ． 证明 如 图 １ 由 ，
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４ 的焦点 为 Ｆ， Ｂ 是抛 物 线 上 的 两 动点 ， Ａ、
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第 ３ 卷 第 ３期 ｌ
２１ 年 ３ ０２ 月
数 学 教 学研 究
３ ｌ
一
道高考试题 一番学生探究 一串教学感悟 道高考数学试题的多视角开发 利用
— —
一
黄 学波
（ 东省 南 雄 市 第 一 中学 广 ５２０） １４ ０
高考 试题 ， 是命 题专 家潜 心研 究 、 匠心独
运 、 心设 计 的试 题 精 品 ， 有 很高 的练 习 、 精 具
味道 ， 与学 价值极 其 有 限． 教
感知·感悟探究·素养——一道高考试题的多视角剖析
教学
２０２０年７月 新颖试题
参谋
思维方法，这样的解题思路对新结论和新成果的产生
往往容易奏效，通常也是高考命题的惯用手法．
２．新结论的探索
正待探究即将收场之际，一名学生举手提问：“老
师，这里以犃，犅 为切点的切线相交于点 犕，那么当点
（ ） （ ） 可得狓１
狔２
狆 －２
狆 －狓２ 狔１ － ２
＝０，且狓１ ≠狓２，化
简可得狓１狓２＝－狆２．由狓２＝２狆狓，可得狔＝２狓狆２ ，两侧同
时对狓 求导，可得狔′＝狆狓 ．则抛物线狓２ ＝２狆狓 在点
犃（狓１，狔１）的切
线
斜
率
为狓１，切 狆
线
犃犕
的方程为狔 －
２狓狆２ １ ＝狓狆１（狓－狓１），即狔＝狓狆１狓－２狓狆２ １ ①，同理可得切线
生，这 一 问 题 也 是 解 析 几 何 的 基 本 问 题 和 重 点 问 题．
通过深入研究和发散思维，学生从对原题的探究中跨
越到一个更高层次的研究领域，今后应用此种方法求
证会更加得心应手．
３．数形结合
问题已然解决，但笔者意犹未尽，适时继续引导：
从上述两个 命 题 和 图 形 中，大 家 是 否 有 什 么 新 发 现
证明：动点 犕 的轨迹为一
条定直线．
证明：如图２，据命题１的
证明过程，由 ① ×狓２ － ② × 狓１， 可 得 （狓２ － 狓１）狔 ＝
狓２１狆狓２（狓２
－狓１）＝－
狆 ２
（狓２
－
图２
狓１）．又因为狓１ ≠狓２，则有狔＝－狆２，所以动点犕 的轨
迹为一条定直线，且为抛物线的准线狔＝－狆２．
评析：事实上，对 于 这 样 的 轨 迹 问 题 学 生 并 不 陌
一道高考题的多视角解法
１ ） （ ｎ＋１＋ｂ＋３ ）＝ １ ８ ， ． 。 ． 口＋１＋ ６＋３≤ ３
当 且 仅 当 ｛ ： ， ＋ ３ ’ 即 ｛ ’ 时 等 号 成
立， 故（
化 去 思考．
１ ）＋（ ６＋ ３ ）＝９ ， 即（ 而
令 ＝ ￣ ／ ／ ， Ｙ＝ ￣ ／ ／ 丽
ｒ ＞ １，
） ＋（ 而
） ＝９ ．
， 则 问题就转化成在 约
＿ 『 ＋丽
） ＝３
视角 ３ 从 式子的无理式结构 向有理式结构转
束 条件｛ Ｙ＞ ， 下， 求目 标函 数 为 ＝ ＋ ｙ 的 最
＝
．
０ｎ
＋
卫
Ｃ
，
令６ ：１ 这样 ， 问题 就 可 以转 化为
，
变应 万变 的复 习效 果．
０
一
道 高 考 题 的 多 视 角 解 法
江西省信丰 中学 （ ３ ４ １ ６ ０ ０ ） 曹群林
题目 设０ ， ｂ＞０ ， ０＋６＝５ ， 贝 ９／ ａ＋１＋
６＋３的最 大值 为 ． 本 题源 自于 ２ ０ １ ５年 重庆 高 考卷 文科 数 学 第 １ ４ 题， 该 题考察 的是有 条件 限制 下 的二元无 理 函数 的最
【 ＋ ｙ ２：９
・
４ ６・
中学数 学研 究
，
－
－
２ ０ １ ５第 １ １ 期
／ ａ ８ ／ ！ ａ＋１ － — ＿ ＝ ＝ ２／ａ １ ＝ 一 ，８ ／ ， 令厂（ 口 ）＝。 ， 解 得
一道高考题求解视角探索
14 题，问题要求的是在约束条件（ 实数 x，y 满
足 x2 + y2 ≤ 1） 下，以 x，y 为变量的二元函数
（ | 2x + y － 2 | +| 6 － x － 3y | ） 的最小值． 问题
将绝对值和 函 数 最 值 问 题 结 合 起 来，题 干 新
颖，表述简洁，背景深刻，命题方法不落俗套．
5
从而 F ≥ 8 －
5 2
（
x2
+
y2 ）
－
5 2
≥ 3，
即x
=
3 5
，y
=
4 5
时，F ≥ 3．
评注 此处通过待定系数法使用基本不
等式，实现 了 把 自 变 量 从 一 次 到 二 次 的 转 化
（ 即向已知条件靠拢） ． 另辟蹊径，给人以美的
享受，也是学生容易掌握的一种方法．
方法 3 为了求当 2x + y － 2 ≤ 0 时，F = 8 － （ 3x + 4y） 的最小值，由 x2 + y2 ≤ 1，我们可
a，b 是待定的正常数） ，从而
x
≤
x2
+ a2 2a
，y
≤
y2
+ 2b
b2
．
因此，F = 8 － 3x － 4y
( ) ( ) ≥ 8 － 3x2 + 2y2 － 3a + 2b ，
2a b
2
{ { 3 2a
=
2 b
，
其中 a2 + b2 = 1，
a
=
3 5
，
解得
b = 4．
2a + b － 2 ≤ 0，
一道高考题的多视角研究
轨迹 １ 设 Ｐ Ｑ是双 曲线 一 ＝ １ ０＞ （
ｂ＞０ 的弦， Ｐ ） 且 Ｑ与 轴垂直， １ ２ Ａ 、Ａ 是双 曲 线 的左、右顶点， 则直线 Ｐ 和 Ｑ 交点 的轨 Ａｌ ２
是双曲线 一 ＝１０＞ｂ ） （ ＞０．
由对称性， 不妨设点Ｐ（，） ｘＹ 在 轴上方， 即 Ｙ＞０而椭圆的左、右焦点为Ｅ（ ／２ ｂ，） ， 一、ｎ 一 ２０、 ／ Ｆ（／２ ２０， Ｚ ＰＦ ＝ 可得 、 一ｂ，）设 Ｅ ／ ０ ，
＝
证明： 不妨设Ｐ ｘ ， ） （ｏ一 ｏ． （ｏ ｏ、Ｑ ｘ ， ｙ） 又知 ｙ
＝
取 号即 且 当 ｌ南 等 ，当 仅 ｌ ＝ ＝ ：
一
时等 ‘ 取号
＝
ｔ ｎ６ ≥一— ａ ｔｎ ｌ 一 ａ ≥
— ｂ’ ２．
－
们得到 定理 １ 设 Ｅ 、Ｆ是椭 圆 ＋ ｙ ２
当且仅当（２ 。 ４ ｎ —６） ５ ＝ ｌ。＞ （
ｙ２
２
＝
时
６＞ ０的左、 右焦点， ） Ｐ是双 曲线 ２ Ｘ
／ ＼ Ｆ／ 八 Ｅ０ ／ ＼
、 ～
／
＼
若将 曲线互换进行研究， 可得到对称的结论．
／
图２
＼
轨迹 ２ 设 Ｐ Ｑ是椭 圆 ＋ ＝ １０ ＞ （ ｂ ） ＞０ 的弦， ＰＱ与 轴垂直，Ａ 、Ａ 是椭 圆 且 １ ２ 的左、右顶点， 则直线 ＰＡ 和 Ｑ ２ ｌ 交点的轨迹
＿
ｋ￣ ２
ｏ＜ 一
：
．
（ － ＋￣ ａ ｂ） － ２ ｙ － －
一道高考题的多视角解析与探究
维 变通 能力．上 述 解法 的巧 妙 之处 在 于 从 一 个 等式 、 一个 不 等 式
朋 ≥ 瘙
直 等 １任 一 均 椭 ｃ，线 椭 的 线 上 意 点 在 圆外直 与 圆 公
征 出发 ， 行 适 当 变 形 ， 现 “ 量 关 系 ” “ 等关 系 ” 进 实 等 向 不 的转 化 ，
试题 研究 ＞ 题探究 试
数学教学通讯 （ 教师版 ）
投 箱： ｊ ｖ ３ｏ 稿邮 ｓ ｋ ｉ１ ｒ ｘ ＠ ｐ ６ ｃｎ
ห้องสมุดไป่ตู้
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一
道高考题的多视角解析与探究 逼
椎 林 风 ５ ０ 错犏 法多 考｝ 福 建， 三 中 ３ ００ ０ ． ．ｑ 福 州 丹 Ｉ 同如＿ ＿ 一 ： Ｉ
为０ ．
＋ ｏ＝ 与 椭 圆的公 共 点 的个 数 ｙ １ ｙ
数学 教 学 有 引领 作 用 ， 并成 为高 中数 学 教 学 的 经典 案例 ，００ ２ １湖
北高 考 （ １ ） 是 其 中有 代表 性 的一 道 佳题 ． 文 ５便
． ＝一
评 析 直 接 从直 线 与 圆锥 曲线 的位 置 关 系 人 手 ， 通过 联 立 方
＋
々
因 此 直 线 与 椭 圆 的 公 共 点 的 个 数
１
糍 得 ）５１ ｙ ０ 制・ 磊 ＬＨ １ ．
评 析 抓 住 “ ” 本 质 ． 椭 圆上 的点 用 参 数 表 示 ， 助 参 点 的 将 借 数 方 程 有 效 地 将 解 析几 何模 式转 化 为 三角 模 式 ， 而 实 现解 题 从 ２ 慨 ２ 一 方 向 的巧 妙 “ 身 ”这 是 对 本题 数 学 本 质 的深 刻 领 悟 ， 最 终 借 转 ， 并
一道高考题的多角度研究
减得二-与，代入④得kpA・kpB =
%2 —
Hale Waihona Puke 兀2 +a
-q,是定值.
a
点评：由命题3可以推出命题1,实际上在命题1
72
中，由命题3得kAB - kPB =-而kpA = 2% ,所以 a
r\ 12
kPA - kPB =_刍.另夕卜，将命题3类比到双曲线中，可 a
得下面命题：
2
2
命题4 设弦过双曲线冷-吕=1, （a9b >
ab
0）的中心O,P点是双曲线上的一动点（异于A,B）,
12
则直线的斜率乘积kPA - kPB二《（是定值）.
点评:命题3与命题4能否有统一形式呢?研究
2
2
后发现可用离心率来表示，即在椭圆告+归= 1,（。
a b2
> b > 0）中,kAB - k0M = - $ = -—= e2 - 1 ；在
a
a
—、考题展示
（19年全国卷n理2i题
改编）如图1,已知点4（-2,
0）,B（2,0）,动点 M（x,y）满」
足直线AM与的斜率之积
X
为记M点的轨迹为曲
线C.
图1
（1） 求C的方程，并说明
C是什么曲线；
（2） 过坐标原点的直线交C于两点，点P
在第一象限,PE丄％轴，垂足为E,连结QE并延长交
曲线C于点G,证明:APQG是直角三角形.
71 + 2k2
是直线QG的斜率为寺,方程为y = y（% - “）.
y = £(% - “)，
由2
2
-x— 4 + 4y22- = 11
得(- ^uk2X + k2 U
一道高考数学试题的多视角开发利用
若对本题的练习和研究到此停止， 本题就是一道常规练习题 ， 似乎没有什么特别的味道 ， 与学 的价值没有充分提升． 教
二 、 中投 石 ， 起阵 阵涟漪 湖 激
１特 殊 联 想 一 般 ． ．
为厂 充分开发挖掘本题的练习和研究价值 ， 笔者在平静的“ 湖 面”Ｉ ： 投下一“ 小石子” ——作为一种很 自然的想法 ， 善于研究的 同学应该思考 ： 试题 中的结论具有一般性吗？ 即将 ＝ ｙ ４ 换成 ＝
线 的 切线 ， 其 交 点 为舱 设
点 ， 那么 ， 当Ａ、 运动时 ， Ｂ 动点 的轨 迹会是什么呢 ？通过探 索 ， 生欣喜 学 的 发 现 了如 下 精 美 的 结论 ．
［ 题２ 命 ］已 知 抛 物 线ｘ＝ｐ （＞ ２２ｙ ｐ ０ 的焦 点 为Ｆ 』、是 抛 物 线 上 的两 动 ） ， 曰 ４
下 面命 题 ３ ． ［ 题３ 命 ］已 知 抛 物 线 ＝ｐ （ ＞ ） ２ ｙｐ ０ 的焦 点 为 ＦＡ、 是 抛 物 ， Ｂ
学生通过从结论到证法上 的移植 ， 很快获得下面的命题 １ 及
Ｉ ． 止明
［ 题１ 命 ］已 知抛 物 线 ＝ｐ （ ＞ ２ｙｐ
线上的两动点 ， 且 Ａ （ ＞ ） 以Ａ、 两点为切点分别作抛物 庙 Ａ０ ， Ｂ
考 研
试 题 赏 析
高考试题 ， 是命题专家潜 心研究 、 匠心 独运 、 心设计 的试题精品 ， 精 具有很高的练 习 、 究价值． 研 近几 年来 ， 日试题 和部分 全 省市 自主命题更是让试题 如 串串珠 玑 ， 精 彩纷 呈 ， 筑 起 一 座 丰 厚 的试 题 宝 库 ． 高 构 将 考试 题恰 当地引入高 中数 学的教 与学 ， 不
横看成岭侧成峰——一道高考题的多视角解法
思想和化归意识，化静为动，动中求静.
视角四：平面向量视角
解 法8： 构造向量法， 令m=（姨摇 a+1 ， 姨摇 b+3 ），n=
（1，1）， 由 |m·n |≤|m ||n | ， 可 得 姨摇 a+1 + 姨摇 b+3 ≤
5 姨摇 a+1+b+3 ·姨摇 12+12
=3
摇
姨
2
，
当且仅当
m∥n， 即
摇
姨
2
.
2
利用不等式求最值是不等式运用的一个重要方面，
在用不等式求函数的最值时，往往需要配合一定的变形
技巧，才可以把问题转化为求不等式的问题.解法1的核
心是利用算数平均数不大于平方平均数；解法2的核心
是利用几何平均数不大于算数平均数；解法3的核心是
利用几何平均数不大于平方平均数.
视角二：三角视角
解法4：三角换元法，由a+b=5，可得（a+1）+（b+3）=9，
问题就转化成约束件为
9%x>1，
%
y> 姨 %%
摇
$
%
3
，目标函数为z=
%
&%%x2+y2=9，
x+y，如图2所示，可行域为
' '
AB（不含A，B两点），沿直 线l0：x +y =0 往 上 平 移 ， 直
到与AB相切时的P点就为
y
AP
摇
姨
3
B
O1
3x
l：x+y=3
摇
姨
2
l0：x+y=0 图2
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一道高考试题的多视角解法探究
高考试题：有一个容量为V的筒，里面装满了相同体积的小球，如果把小球一个一个取出来，那么最后一个小球取出来时，筒里空出来的空间到底有多大？
从数学角度来看，这个问题可以用几何学的概念来解释。
V有一个体积，当小球一个一个取出来时，里空出来的空间就比原来少了小球的体积，因此最后一个小球取出来时，筒里空出来的空间就是V减去小球的体积。
由于小球都是相同体积的，因此最后空出来的空间也是完全相同的，即V-V/n，其中n是小球的数量。
从物理学角度来看，这个问题可以用力学的概念来解释。
当把小球一个一个取出来时，里的空气会出现变化，空气密度会发生变化，从而影响里空出来的空间。
由于小球都是相同体积的，因此它们在被取出时会比较均匀，而且它们的取出会使里的空气密度发生变化，从而影响最终空出来的空间大小。
从化学角度来看，这个问题可以用化学的概念来解释。
小球可以看作是一种物质，当它们一个一个取出来时，里的空气会发生变化，从而影响最终空出来的空间大小。
由于小球都是相同体积的，因此它们在取出时会比较均匀，而且它们的取出会使里的空气发生变化，从而影响最终空出来的空间大小。
总的来说，这道高考题的答案是V-V/n，其中n是小球的数量。
从数学、物理和化学的角度来看，这道题可以用不同的概念来解释，但最后的结果是一样的。
它们都强调了小球一个一个取出来时，里空出来的空间是它们体积的总和。