一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究
高考数学专题《切线的条数》填选压轴题及答案
专题36 切线的条数【方法点拨】1.按照过一点求切线方程的一般步骤，设切点、求斜率得切线方程、点代入，将切线的条数问题转化为方程解的个数问题；是否存在切线转化为方程有无解的问题.2.有时也可考虑相切为“临界状态”，利用参数的几何意义确定参数的取值范围.【典型题示例】例1 （2022·全国新高考Ⅰ卷·15）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是___________． 【答案】(,4)(0,)-∞-⋃+∞【解析】易知曲线不过原点，故0a ≠ 设切点为()000,()x x x a e+，则切线的斜率为00()(1)x f x xa e '=++所以切线方程为00000()(1))(x x y x a ex a x e x -++=-+又因为切线过原点，所以00000()(1())x x x a ex a e x +++--=即2000x ax a -=+又因为切线有两条，故上方程有两不等实根 所以204a a ∆=+>，解得4a <-，或0a > 所以a 的取值范围是(,4)(0,)-∞-⋃+∞．例2 (2022·江苏南京一中学情调研模拟检测·8)若函数()ln f x x =与函数有公切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1ln,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. ()1,-+∞C. ()1,+∞D. ()2,ln +∞【答案】B【分析】由于2()g x x x a =++中要求0x <，故考虑当=0x 时的公切线所对应的实数a 的值为临界值，当a 增大时，抛物线沿直线1=2x -上移，公切线与2()g x x x a =++相切的切点左移，横坐标减小，故所求大于此时a 的临界值. 【解析】先求当=0x 时，曲线2()g x x x a =++的切线方程 ∵()21g x x '=+，(0)1g '=∴曲线2()g x x x a =++的切线在=0x 处的切线方程为y a x -=，即y x a =+2()(0)g x x x a x =++<再求当曲线()ln f x x =与直线y x a =+相切时（即直线y x a =+为公切线）a 的值 设曲线()ln f x x =与直线y x a =+相切时切点为()00,ln x x 则由导数的几何意义得()0011f x x '==，解得01x =，切点为()1,0 将()1,0代入y x a =+得1a =-∵当a 增大时，抛物线2()g x x x a =++沿直线1=2x -上移，公切线与2()g x x x a =++相切的切点左移，横坐标减小，即切点的横坐标小于0 ∴故所求a 大于此时a 的值，即1a >-.例3 （2022·全国甲卷·文20改编）已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线,则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[)1,-+∞【分析一】由于2()g x x a =+中a 的几何意义为截距，故只需求出3()f x x x =-、2()g x x a =+相切时a 的值，将2()g x x a =+图象往上平移，即a 增大，即为所求.【分析二】设出()g x 上的切点坐标，分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围. 【解析一】设公切点为()3000x x x -，则32000200+312x x x a x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解之得011a x =-⎧⎨=⎩或052713a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（不符合题意，舍去） 故a 的取值范围为[)1,-+∞.【解析二】2()31x f x '=-，则()y f x =在点()11(),x f x 处的切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()2g x x '=，则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭， 令432931()2424h x x x x =--+，则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >， 令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：则()h x 的值域为1,-+∞，故a 的取值范围为1,-+∞.例4 （2022·江苏南通期末·16）已知函数3()2f x x ax =-，若a ∈R 时，直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切，且满足条件的k 的值有且只有3个，则a 的取值范围为_________． 【答案】(0,8)【分析】利用过点(2,0)的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答. 【解析】由3()2f x x ax =-求导得：2()6f x x a '=-，设直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的切点为3(,2)t t at -， 于是得2()6k f t t a '==-，且32(2)t at k t -=-，则32k t =，显然函数32t 在R 上单调递增，因直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的k 的值有且只有3个，则有直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的切点横坐标t 值有且只有3个，即方程2362a t t =-有3个不等实根，令32()26g t t t a =-+，求导得：2()6126(2)g t t t t t '=-=-，当0t <或2t >时，()0g t '>，当02t <<时，()0g t '<，即函数()g t 在(,0)-∞，(2,)+∞上递增，在(0,2)上递减，当0=t 时，()g t 取得极大值(0)=g a ，当2t =时，()g t 取得极小值(2)8g a =-，方程2362a t t =-有3个不等实根，当且仅当函数()g t 有3个不同的零点，因此080a a >⎧⎨-<⎩，解得08a <<，所以a 的取值范围为(0,8). 故答案为(0,8).例5 若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()21(0)x g x a e a =⋅+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．23,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为交点问题，计算a 的范围，即可．【解析】设函数()f x 的切点为()200,1x x +,该切线斜率02k x =,所以切线方程为20021y x x x =-+,()g x 的切点为()11,21x x ae +,所以切线方程为111`12221x x x y ae x ae x ae =-++,由于该两切线方程为同一方程，利用待定系数法，可得 111200122,1221x x x x ae x ae x ae =-+=-++,解得1001,22x x ae x x ==-得到新方程为1122xx ae -=,构造函数()()()2,1xh x e t x x a ==-解得()21x e x a=-,表示()h x 与()t x 存在着共同的交点,而()t x 过定点()1,0,得到()h x 过()1,0的切线方程,设切点为()22,x x e ,则()21x y e x =-,该切点在该直线上,代入,得到()2221x xe e x =-,解得22x =,所以直线斜率为2k e =,要使得()h x 与()t x 存在着交点,则22k e a =≤,结合0a >,所以a 的取值范围为220,e ⎛⎤⎥⎝⎦，故选A ． 例6 (2021·全国Ⅰ卷)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A ．e b a < B ．e b a >C ．0e b a <<D ．0e a b <<【答案】D【分析】结合已知条件，利用导数的几何意义将问题转化成函数的交点问题，然后通过构造新函数，并求出新函数的单调区间以及最值，利用数形结合的方法即可求解.【解析】设切点()00,x y ，00y >，因为'e x y =，即00'|e x x x y ==，则切线方程为0e ()x y b x a -=-，由()00000e exx y b x a y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得()00e 1x x a b -+=， 则由题意知，关于0x 的方程()00e 1xx a b -+=有两个不同的解．设()()e 1xf x x a =-+，则()e (1)e e ()x x x f x x a x a '=-+-=--，由()0f x '=得x a =，所以当x a <时，()0f x '>，()f x 在(,)a -∞上单调递增； 当x a >时，()0f x '<，()f x 在(,)a +∞上单调递减，所以()f x 的最大值为()f a =()e 1e 0a aa a -+=>，当x a <时，0a x ->，所以()0f x >，当x →-∞时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →-∞， 故()f x 的图像如下图所示：故0e a b <<． 故选:D ．【巩固训练】1.过定点()1,P e 作曲线()0xy ae a =>的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是______．2.若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(ln,)2e+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞3.若存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值是（ ） AB ．2eC．D ．24.若过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:x C y xe =相切，则m 的取值范围是（ ） A ．25,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．25,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 5.已知函数2()f x ax =，()g x lnx =，若曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线，则实数a 的取值范围是 ．6.若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a=>：存在公共切线，则实数 a 的取值范围为 ．7.已知函数32()31f x x x =+-，若过点(1,)P m 可作曲线()y f x =的三条切线，则实数m 的取值范围是 ．8.已知函数3()f x x ax =+，若过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切，则实数a 的取值范围是 .【答案或提示】1.【答案】()1,+∞【分析】设切点为00(,)xx ae ，利用导数几何意义求得切线方程为00(1)x y ae x x =-+，由题意知00(2)x e a e x =-在02x ≠上有两个不同解，构造()(2)x eg x e x =-且2x ≠，利用导数研究单调性及值域，进而确定a 的范围.【解析】由x y ae '=，若切点为00(,)x x ae ，则00xy k ae '==>，∴切线方程为00(1)xy ae x x =-+，又()1,P e 在切线上，∴00(2)xae x e -=，即00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，令()(2)x e g x e x =-，即原问题转化为()g x 与y a =有两个交点，而2(1)()(2)x e x g x e x -'=-，（1）当2x >时，()0g x '>，()g x 递增，且lim ()0x g x -→+∞→， （2）当21x >>时，()0g x '>，()g x 递增；当1x <时，()0g x '<，()g x 递减；∴()()11g x g ≥=，又lim ()x g x →-∞→+∞，12x <<时()0>g x 且2lim ()x g x -→→+∞， ∴要使00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，即()1,a ∈+∞.故答案为：()1,+∞ 点评：作为填空题，本着“小题小做”的策略，只需先求出点()1,P e 在曲线()0xy ae a =>上时a 的值为1a =，此时，过点()1,P e 曲线的切线洽有一条，从形上看，当a 增大时，切线就有两条，故答案为1a >. 2.【答案】A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1)ln 1x x x x a⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，∵210x x <<，∴1102x <<． 又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--．设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln 2h t h e >=--=，∴1ln 2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故选A ． 3.【答案】C【解析】存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求a 的最大值，临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线. 设()=2ln f x e x 的切点为111(,)(0)x y x >，122()=,e e f x a x x '∴=. 设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >，2()g x x a x '=∴=，, 所以21212=,2ea x x x e x =∴=.由题得21221212112ln 22,2ln 30e x x ee a x x x x x --==∴+-=-.设111212()2ln 3(0)eh x x x x =+->， 所以211331112424()x ee h x x x x -'=-=，所以函数11212()2ln 3eh x x x =+-在(0,上单调递减，在)+∞单调递增.又22ln 3=1+23=0eh e=--， 当1x →+∞时，11212()2ln 30eh x x x =+->，所以方程另外一个零点一定大于所以max a == 故选：C. 4.【答案】A【解析】设切点为()00,M x y ，∵e xy x =，∴()1e xy x '=+，∴M 处的切线斜率()001e xk x =+，则过点P 的切线方程为()()000001e e xxy x x x x =+-+，代入点P 的坐标，化简得()02001e xm x x =-++，∵过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:e xC y x =相切，∴方程()02001e xm x x =-++有三个不等实根.令()()21e xf x x x =-++，求导得到()()22e xf x x x '=--+，可知()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,1-上单调递增，在1,上单调递减，如图所示，故()20f m -<<，即250em -<<.故选：A. 5.【答案】1(2e，)+∞ 【解析一】根据二次函数和代数函数的性质得：当()()f x g x >时，曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线， 即2ax lnx >在(0,)+∞上恒成立，即2lnxa x >在(0,)+∞上恒成立， 设2()lnx h x x =，312()lnx h x x -'=，令312()0lnxh x x -'==，x =即12max h h e ==，因此，12a e>， 【解析二】取两个函数相切的临界条件：2000012ax lnx ax x⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0x =12a e =， 由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，12a e>， 故a 的取值范围是1(2e，)+∞． 6.【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【提示】取对数转化为曲线2ln y x =与直线ln y x a =-有交点，临界状态是相切. 7. 【答案】()5,3-【解答】 设切点为0(x ，32031)x x +- 切线斜率为：2000()36k f x x x '==+ ∴切线方程为：3220000(31)(36)()y x x x x x x -+-=+-① 又切线过点(1,)P m ，带入①化简为：300261m x x =-+- 令y m = 与3000()261h x x x =-+-(1)5h -=-，h （1）3=，(0)1h =-；200()66h x x '=-+，令01()01h x x '=⇒=-，21x =；0()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞单调递减，(1,1)-上单调递增；过点(1,)P m 可作曲线()y f x =的三条切线，即存在三个0x ，也即是y m =与()h x 有三个交点． 故如图所知：53m -<<．8.【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】设过点(1,1)P 的直线与曲线()y f x =相切于点0(x ，0)y ， 则3000y x ax =+，且切线斜率为200()3f x x a '=+， 所以切线方程为2000(3)()y y x a x x -=+-． 因此3200001()(3)(1)x ax x a x -+=+-， 整理得32002310x x a -+-=． 设32()231g x x x a =-+-，则“过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 只有一个零点”． 2()666(1)g x x x x x '=-=-．当x 变化时，()g x 与()g x '的变化情况如下：当()g x 只有一个零点时，有(0)10g a =-<或g （1）0a =->，解得1a >或0a <． 因此当过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切时，a 的取值范围是1a >或0a <．。
三次函数的对称中心与切线条数
三次函数的对称中心与切线条数问题证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。
提示：可根据奇函数图像的平移得到。
分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++--与32y ax bx cx d =+++比较系数得：2333am b am k c n km am d-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a=- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a-- 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+-将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3320011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程3231010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即32300230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。
三次函数图象切线问题的探究
三次函数图象切线问题的探究作者：杜春晓来源：《文理导航》2011年第04期三次函数是在学习导数时候开始重点接触的一类函数，他的性质很多，也是我们用导数研究函数性质经常遇到的一类函数，对于用这种函数为例分析问题和解决问题学生是很好接受的，对于曲线的切线问题，考查了导数的几何意义，用三次函数的切线性质来引导学生解决复杂曲线问题可以作为这部分教学的切入，高考中三次函数的切线问题也频频出现，下面三次函数切线问题做如下探究。
一、当直线斜率为时的相切情况三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）1.a＞0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＞时，有两条不同的切线；k＜时，没有切线；2.a＜0,斜率k= 时，有且只有一条切线；k＜时，有两条不同的切线；k＞时，没有切线；证明f'（x）3ax2+2bx+c1.a＞0当当k= 时，方程3ax2+2bx+c= 有两个相同解，所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：当k＞时，方程3ax2+2bx+c=k，有两个不同的解x1，x2，且x1+x2=-，即存在两个不同的切点（x1，f(x1)），（x2，f（x2）），且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k的切线有两条。
当k＜时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存在。
2.a＜0时，读者自己证明。
二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f（x）的图象相切。
若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。
证明设p（x1，y1）过点P的切线可以分为两类。
1 P为切点k1=f'（x1）=3ax12+2bx1+c切线方程为：y-y1=（3ax12+2bx1+c）（x-x1）2 P不是切点，过P点作y=f（x）图象的切线，切于另一点Q（x2，y2）∴，也就是说，∴当时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。
由一道文科高考压轴题引出三次函数的一个性质
中学数 学杂 志
２１ ０２年第 １期
由一道 文 科 高 考压 轴题 引 出三 次 函数 的一个 性质
湖 北省 大冶 市 实验 高 中 ４５ ０ ３１０ 项 文 亮
湖北省 大 冶市 实验 高中 ２１ ００年高 考湖北 卷文科 压 轴题第 ２ 题 ： １
一
＋ １ ： ０ ．
不 唯一．
不妨 设 ｆ 曲线 Ｙ ＝厂 与 （ ）相 切 于点 Ａ ， （ 厂 １） Ｂ （ ）， ≠ ． ）其中 假￣Ｙ（ 厂（： ， Ｒ ｘ）＝ ） 由于曲线 ｙ＝ ） 在点 ＿ ） ， （ 所以３ｘ ＋ ｂ１ ｃ＝３ｘ ＋ ｂ ＋ ① ａ ２ｘ ＋ ａ； ２ｘ Ｃ ２ （ ） 及 （： ） ） ）处 的切 线 都 过 点 （ ，） ０２ ， ２ ｘ ＋ｄ ＝一２ ａ 一 ｎ：一ｂ；＋ｄ ⑦ 则下列等式成立 ：
４ ５０ ３ １０
朱豫 鄂
设函 曲线 ｙ ＝
ｙ ＝ １ ．
）＝
一
＋ ｘ＋ ， ｂ ｃ其中０＞０ ．
第一 ： 答案做法 中式子 ④ 后面的过程有点巧 妙， 不容易想到． 实际上将ｎ＝ ＋ 代入 ④很容易 得 到 ＝Ｘ 而得矛 盾． ２ 第二 ： 假 （． ）＝厂（ ） 则两点 （ 。 。） ， ） 及（ ： ）处切 线 为同一 直线 ， ） 即该 直线 与 － ） 厂 （
厂（） —ｔ ， ｔ（ ） 而点 （ ，）在切线 上 ， 以 ２一 ｔ ０２ 所 ）＝ （） 一ｔ ， ｔ（ ） 化简得
ｔ ３
一
号 ＿ ＝ ， 满 的 程 ３ １０ 足方为 一 ２ ＋ 即
（ ０≠０ ， ） 曲线ｙ＝ ） 在点 （ ｔ ） ｔ ） 处的切线方程 为 ： ｔ 厂（） 一 ）且 Ｙ＝（ ａ ＋２ｔ ） ｙ一 ）＝ ｔ （ 口 ３ ｔ ｂ ＋Ｃ ２ｔ ａ 一ｂ ｔ ＋ｄ 假设 ｚ 曲线 Ｙ ＝ ， 与 ） 切， 相 切点
三次函数切线问题
三次函数切线问题【探究拓展】探究1：切线的辩证定义设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。
随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。
探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点在运动中：探究3：切线问题的辩证策略TnA 1A例1：若直线y x =是曲线323y xx ax =-+的切线，则a ＝ ．（零点法）↑y x =是曲线323y x x ax =-+相切x a x x y )1(323-+-=与x 轴相切↓ ↑ 联立()32323103y xx x a x y x x ax=⎧⇒-+-=⎨=-+⎩有重根→新联立⎩⎨⎧-+-==xa x x y y )1(3023↓ （重根法）变式1：（2020年）曲线px x y +=3与q y -=相切，求证32032p q ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2：方程30xpx q ++=有几个实根？探究4：切线问题的辩证思考：联系——数形结合、函数与方程、转化与化归 发展——量变与质变、运动观点探究5：辩证思维的强化延伸由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()111, P x y ，再由1P 引切线切于不同于1P 的点()222, P x y ，如此继续下去……，得点到(){}, nnnP x y ．（1）求1x ；（2）求1与nn xx +的关系；（3）点列{}nP 有何特点？拓展1：若直线y x =是曲线3231y xx ax =-+-的切线，则a ＝拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线326910y xx x =-+-有且只有一个交点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
专题14 三次函数(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数
专题14 三次函数函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函数,我们可以利用二次函数深入研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点.(一)三次函数的单调性由于三次函数()f x 的导数()f x ¢是二次函数,我们可以利用()0f x ¢=根的情况及根的分布来研究三次函数的单调性,特别是含有参数的三次函数的单调性通常要借助二次方程根的分布求解.【例1】（2024届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点,求m 的取值范围．【解析】（1）()()()()2111f x x mx m x x m =+-+=-++¢,令()0f x ¢=,解得1x =或1x m =--,①当11m -->,即2m <-时,由()0f x ¢>得1x <或1x m >--；由()0f x ¢<得11x m <<--,所以()f x 在(),1¥-和()1,m ¥--+上单调递增；在()1,1m --上单调递减；②当11m --=,即2m =-时,()0f x ¢³恒成立,所以()f x 在R 上单调递增；③当11m --<,即2m >-时,由()0f x ¢>得1x >或1x m <--；由()0f x ¢<得11m x --<<,所以()f x 在(),1m ¥---和()1,¥+上单调递增；在()1,1m --上单调递减；综上,当2m <-时,()f x 在(),1¥-和()1,m ¥--+上单调递增；在()1,1m --上单调递减；当2m =-时,()f x 在R 上单调递增；当2m >-时,()f x 在(),1m ¥---和()1,¥+上单调递增；在()1,1m --上单调递减.（2）因为()f x 有3个零点,所以2m ¹-,当2m >-时,极大值()()221163m f m m æö--=++ç÷èø；极小值()12123f m =--,所以()22106312023m m m ìæö++>ç÷ïïèøíï--<ïî,解得43m >-且1m ¹-,当2m <-时,极大值()12123f m =--；极小值()()221163m f m m æö--=++ç÷èø,所以()22106312023m m m ìæö++<ç÷ïïèøíï-->ïî,解得4m <-,综上,m 的取值范围为()()4,4,11,3¥¥æö--È--È-+ç÷èø.(二)过平面上一点P 作三次函数图象的切线的条数1.此类问题一般是先设出切点Q ()(),t f t ,写出曲线()f x 在x t =处的切线方程,把点P 坐标代入,整理出一个关于t 的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.2.以三次函数为 bx ax x f +=3)(为例,研究一下三次函数的切线问题：若M （x 1,y 1）是三次曲线bx ax x f +=3)(上的任一点,设过M 的切线与曲线y=f （x ）相切于（x 0,y 0）,则切线方程为))((000x x x f y y -¢=-,因点M 上此切线上,故))((01001x x x f y y -¢=-,又13110300,bx ax y bx ax y +=+=,所以))(3()(0120030131x x b ax bx ax bx ax -+=+-+,整理得：0)2()(10210=+-x x x x ,解得,10x x =或210x x -=.综上所述,当点M 是对称中心即01=x 时,过点M 作曲线的切线切点是惟一的,且为M ,故只有一条切线；当点M 不是对称中心即01¹x 时,过点M 作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M 为切点（亦即曲线在点M 处）的切线. 由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一【例2】（2024届福建省泉州市高中毕业班5月适应性练习）已知函数()()32220f x ax x x a a =--+³．(1)当1a =时,若直线3y x b =-+与曲线()y f x =相切,求b ；(2)若直线22y x =--与曲线()y f x =恰有两个公共点,求a ．【解析】（1）当1a =时,()32221f x x x x =--+,()2342f x x x ¢=--,因为直线3y x b =-+与曲线()y f x =相切,设切点为()00,x y ,则切线斜率()2000342k f x x x ¢==--,可得2000032000034233221x x y x by x x x ì--=-ï=-+íï=--+î,解得00121x y b =ìï=-íï=î或00134273127x y b ì=ïïï=íïï=ïî,所以1b =或3127b =．（2）因为直线22y x =--与曲线()y f x =恰有两个公共点,所以方程322222ax x x a x --+=--,即方程()()321210a x x +--=有两个不等实根,因为=1x -是方程()()321210a x x +--=的一个根；当1x ¹-时,方程可化为()2220ax a x a -+++=（*）,依题意,方程（*）有不等于1-的唯一根,因为0a ³,若0a =,则（*）即220x -+=,1x =,满足条件；若0a >,则由()()22202420a a a a a a ++++¹ìïí=+-+=ïîV ,解得：23a =．综上所述,0a =或23a =．【例3】（2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数()()320f x ax bx cx a =++>的极小值为2-,其导函数()f x ¢的图象经过()1,0A -,()10B ,两点.(1)求()f x 的解析式；(2)若曲线()y f x =恰有三条过点()1,P m 的切线,求实数m 的取值范围.【解析】（1）()232f x ax bx c ¢=++,因为0a >,且()f x ¢的图象经过()1,0A -,()10B ,两点.所以当(),1x Î-¥-时,()0f x ¢>,()f x 单调递增；当()1,1x Î-时,()0f x ¢<,()f x 单调递减；当()1,x Î+¥时,()0f x ¢>,()f x 单调递增.所以()f x 在1x =处取得极小值,所以()12f a b c =++=-,又因为()10f ¢-=,()10f ¢=,所以320a b c -+=,320a b c ++=,解方程组3203202a b c a b c a b c -+=ìï++=íï++=-î得1a =,0b =,3c =-,所以()33f x x x =-.（2）设切点为()00,x y ,则30003y x x =-,因为()233f x x ¢=-,所以()20033f x x ¢=-,所以切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--,将()1,P m 代入上式,得32002330x x m -++=.因为曲线()y f x =恰有三条过点()1,P m 的切线,所以方程322330x x m -++=有三个不同实数解.记()32233g x x x m =-++,则导函数()()26661g x x x x x ¢=-=-,令()0g x ¢=,得0x =或1.列表：x(),0¥-0()0,11()1,+¥()g x ¢+0-+()g x ↗极大↘极小↗所以()g x 的极大值为()03g m =+,()g x 的极小值为()12g m =+,所以()()0010g g ì>ïí<ïî,解得32m -<<-.故m 的取值范围是()3,2--.(三)三次函数的极值三次函数()f x 的极值点就是二次函数()f x ¢的零点,所以与三次函数极值有关的问题常借助“三个二次”的关系求解.【例4】（2024届山东省实验中学高三二模）已知函数()()2()(,,)f x x a x b a b a b =--Î<R .(1)当1,2a b ==时,求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；(2)设12,x x 是()f x 的两个极值点,3x 是()f x 的一个零点,且3132,x x x x ¹¹.是否存在实数4x ,使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后构成等差数列？若存在,求4x ；若不存在,说明理由.【解析】（1）当1,2a b ==时,()()2(1)2f x x x =--,则()()()()()()22121135f x x x x x x ¢=--+-=--,故()21f ¢=,又()20f =,所以曲线()y f x =在点()2,0处的切线方程为2y x =-；（2）()()()222()()33a b f x x a x b x a x a x +æö¢=--+-=--ç÷èø,由于a b <,故23a ba +<,令()0f x ¢>,解得x a <或23a b x +>；令()0f x ¢<,解得23a ba x +<<；可知()y f x =在2,3ab a +æöç÷èø内单调递减,在()2,,,3a b a +æö-¥+¥ç÷èø内单调递增,所以()f x 的两个极值点为2,3a b x a x +==,不妨设122,3a bx a x +==,因为3132,x x x x ¹¹,且3x 是()f x 的一个零点,故3x b =.又因为22233a b a b a b ++æö-=-ç÷èø,故4122233a b a b x a ++æö=+=ç÷èø,此时22,,,33a b a ba b ++依次成等差数列,所以存在实数4x 满足题意,且423a bx +=.(四)三次函数的零点1.若三次函数()f x 没有极值点,则()f x 有1个零点；2. 三次函数()f x 有2个极值点12,,x x ,则()()120f x f x >时()f x 有1个零点；()()120f x f x =时()f x 有2个零点；()()120f x f x <时()f x 有3个零点.【例5】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数322()432f x x mx m x =--+,其中0m ³.(1)若()f x 的极小值为－16,求m ；(2)讨论()f x 的零点个数.【解析】（1）由题得22()383(3)(3)f x x mx m x m x m ¢=--=-+,其中0m ³,当0m =时,()0f x ¢³,()f x 单调递增,()f x 无极值；当0m >时,令()0f x ¢>,解得3m x <-或3x m >；令()0f x ¢<,解得33mx m -<<,所以()f x 的单调递减区间为,33m m æö-ç÷èø,单调递增区间为,3m æö-¥-ç÷èø,()3,m +¥,所以当3x m =时,()f x 取得极小值()33218f m m =-,所以321816m -=-,解得1m =.（2）由（1）知当0m >时,()f x 的极小值为()33218f m m =-,()f x 的极大值为31420327m f m æö-=+>ç÷èø,当32180m -<,即m >时,()f x 有三个零点,如图①曲线 ；当32180m -=,即m =,()f x 有两个零点,如图②曲线；当32180m ->,即0<,()f x 有一个零点,如图③曲线；当0m =时,()32f x x =+,易知()f x 有一个零点. 综上,当0m £<()f x 有一个零点；当m ,()f x 有两个零点；当m >,()f x 有三个零点.(五)三次函数图象的对称性三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++¹的图象有六种,如图：10010200200f x ()x10010200200f x ()x100102000200f x ()x对函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++¹,原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数当a 为正时,原函数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5、（4）、（6）三种情况.当0D >时,二次方程()0f x ¢=有两相异实根1x ,故函数()f x 存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4,且在根的两边()f x ¢的符号相同,这时函数()f x 只存在驻点1）、（2）两种,当0D <时；方程()0f x ¢=无实根,()f x ¢）两种.仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设n x m f x m f 2)()(=++-,得n d x m c x m b x m a d x m c x m b x m a 2])()()([])()()([2323=++++++++-+-+-整理得,n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++.据多项式恒等对应系数相等,可得ab m 3-=且d mc bm am n +++=23,从而三次函数是中心对称曲线,且由)(m f n =知其对称中心))(,(m f m 仍然在曲线上.而abm 3-=是否具有特殊的意义？对函数)(x f 进行两次求导,b ax x f 26)(+=¢¢再令等于0,得abx 3-=,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足0)(=¢¢m f 的m 正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图象吻合.【例6】对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++¹,给出定义：设()f x ¢是函数()y f x =的导数,()f x ¢¢是()f x ¢的导数,若方程()0f x ¢¢=有实数解0x ,则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．若32115()33212f x x x x =-+-,请你根据这一发现.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）计算122020()(()()20212021202120213f f f f +++×××+.【解析】（1）2()3,()21f x x x f x x ¢¢¢=-+\=-Q ,令()0f x ¢¢=,即210x -=,解得12x =,321111115()(()3123222212f \=´-´+´-=,由题中给出的结论,可知函数()f x 的对称中心为1(,1)2.（2）由（1）知函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心为1(,1)2,所以11()()222f x f x ++-=,即()(1)2f x f x +-=,故120202201920201()()2,(()2,(()2202120212021202120212021f f f f f f +=+=×××+=,所以1220201()()((220202020202120212021202312f f f f +++×××+=´´=. (六)三次函数与韦达定理的交汇由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题【例7】设21,x x 是函数)0(23)(223>-+=a x a xb x a x f 的两个极值点,且2||||21=+x x(1)求a 的取值范围； (2)求证：934||£b .【解析】(1)22')(a bx ax x f -+=,'12,()0x x f x =是的两个实根,又a ＞0a bx x a x x -=+<-=2121,0,a ab x x x x 4||||||222121+=-=+由2||||21=+x x 得22232244444(1)b a b a a a a a +==-=-，即1002£<\³a b Q (2)设,44)(322a a a gb -==则)32(4128)(2'a a a a a g -=-=22()(0)(1)33g a 在，在单调递增，在，上单调递增max 216[()](327g a g ==,934£\b 【例8】（2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习）对三次函数()32,0f x ax bx cx d a =+++¹,如果其存在三个实根123,,x x x ,则有123122331123,,b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=-++==-.称为三次方程根与系数关系.(1)对三次函数()32f x ax bx cx d =+++,设()()g x f x =¢,存在0x ÎR ,满足()()()0000f x g x g x =¹¢=.证明：存在10x x ¹,使得()()()210f x a x x x x =--；(2)称()f x 是[],m M 上的广义正弦函数当且仅当()f x 存在极值点()12,,x x m M Î,使得()(){}()(){}12,,f x f x f m f M =.在平面直角坐标系xOy 中,(),A a b 是第一象限上一点,设()()()2,()4bf x x a xg x x a x b x =-+=--.已知()g x 在()0,a 上有两根03x x <.（i ）证明：()f x 在()0,¥+上存在两个极值点的充要条件是327a b >；（ii ）求点A 组成的点集,满足()f x 是[]03,x x 上的广义正弦函数.【解析】（1）因为()00f x =,所以不妨设()()()()()012,0f x a x x x x x x a =---¹,所以()()()()()()()()()010212,0g x f x a x x x x a x x x x a x x x x a ¢==--+--+--¹,因为()()000g x g x =¢¹,所以()()()()()0001020,0g x f x a x x x x a ¢==--=¹,所以不妨取02x x =满足题意,且此时必有10x x ¹,否则若0x x =,则有()()30f x a x x =-,()()()203g x f x a x x ¢==-,()()06g x a x x ¢=-,而此时()()00060g x a x x ¢=-=与已知()()000g x g x =¢¹矛盾,综上所述,存在10x x ¹,使得()()()210f x a x x x x =--.（2）（i ）(),A a b 是第一象限上一点,所以0,0a b >>,因为()()b f x x a x x =-+,所以()()32222,0,0b x ax b f x a x a b x x-+-¢=--=>>,设()322h x x ax b =-+-,则()00h b =-<,而x ®-¥时,()h x ®+¥,x ®+¥时,()h x ®-¥,所以()3220h x x ax b =-+-=存在负根,因为()f x 在()0,¥+上存在两个极值点,等价于方程()3220x ax bf x x -+-¢==在()0,¥+上有两个根,等价于方程()3220h x x ax b =-+-=在()0,¥+上存在两个根,注意到三次方程最多有3个根,所以方程()3220h x x ax b =-+-=有一个负根,两个不同的正根,而()262h x x ax ¢=-+,当03a x <<时,()2620h x x ax ¢=-+>,()h x 单调递增,当3a x >时,()2620h x x ax ¢=-+<,()h x 单调递减,所以当且仅当33320327927a a a a h b b æö=-+-=->ç÷èø,即当且仅当327a b >,综上所述,命题（i ）得证；（ii ）容易验证,327a b >时,()0g x =也恰好有两个正根03,x x ,此时：由于对0x >来说,()0f x ¢=等价于3220x ax b -+=,()0g x =等价于()240x a x b --=,所以对0x >,如果()0g x =,那么()()()32202444a x a a x x a x a x f b b -----æö¢=-+=+=ç÷èø,这意味着3012,22a x a x x x --==,然后,对两个不相等的正数()()()(),,b u v f u f v u v a u v uv éù-=--+-êúëû,所以()()f u f v =当且仅当bu v a uv++=,那么如果1t x =或2x ,就有02a t x -=或3x ,故()()2f t g a t ¢=-,此时()()()()()()2322222222b t a t b b t at bt a t a t a a a t a t t a t t a t t a t ---++-+=-+=+=+=----,所以()()2f t f a t =-,这意味着()()()()0213,f x f x f x f x ==,最后,由于()()322m x h x x ax b =-=-+有一个极值点3a x =,所以12,x x 都不等于3a （12,x x 是不相等的正零点,同时该方程还有另一个负零点,但3a只要是根就是二重的,所以3a不可能是根）,这就说明1302,x x x x ¹¹,结合()f x 的单调性以及()()()()0213,f x f x f x f x ==,必有0123x x x x <<<,所以此时()f x 一定是广义正弦函数,综上所述,满足题意的(){}3,|27A a b ab =>.【例1】（2024届福建省泉州市高三5月适应性练习）已知函数()()32220f x ax x x a a =--+³．(1)当1a =时,若直线3y x b =-+与曲线()y f x =相切,求b ；(2)若直线22y x =--与曲线()y f x =恰有两个公共点,求a ．【解析】（1）当1a =时,()32221f x x x x =--+,()2342f x x x ¢=--,因为直线3y x b =-+与曲线()y f x =相切,设切点为()00,x y ,则切线斜率()2000342k f x x x ¢==--,可得2000032000034233221x x y x by x x x ì--=-ï=-+íï=--+î,解得00121x y b =ìï=-íï=î或00134273127x y b ì=ïïï=íïï=ïî,所以1b =或3127b =．（2）因为直线22y x =--与曲线()y f x =恰有两个公共点,所以方程322222ax x x a x --+=--,即方程()()321210a x x +--=有两个不等实根,因为=1x -是方程()()321210a x x +--=的一个根；当1x ¹-时,方程可化为()2220ax a x a -+++=（*）,依题意,方程（*）有不等于1-的唯一根,因为0a ³,若0a =,则（*）即220x -+=,1x =,满足条件；若0a >,则由()()22202420a a a a a a ++++¹ìïí=+-+=ïîV ,解得：23a =．综上所述,0a =或23a =．【例2】（2024届福建省泉州第五中学高考热身测试）已知函数()32,f x x ax a =-+ÎR .(1)若2x =-是函数()f x 的极值点,求a 的值,并求其单调区间；(2)若函数()f x 在1,33éùêúëû上仅有2个零点,求a 的取值范围．【解析】（1）()23f x x a =¢-,()2120f a =¢--=,得12a =,当12a =时,()23120f x x ¢=-=,得2x =-或2x =,()(),,x f x f x ¢的变化情况如下表所示,x(),2¥--2-()2,2-2()2,¥+()f x +0-+()f x ¢增区间极大值18减区间极小值14-增区间所以函数()f x 的增区间是(),2¥--和()2,¥+,减区间是()2,2-；（2）令()320f x x ax =-+=,1,33x éùÎêúëû,得3222x a x x x+==+,令()22g x x x =+,1,33x éùÎêúëû,()()32221220x g x x x x-=-==¢,得1x =,如下表,x131,13æöç÷èø1()1,33()g x ¢-0+()g x 559减区间极小值3增区间293因为函数()f x 在1,33éùêúëû上仅有2个零点,即y a =与()y g x =有2个交点,如图：即5539a <£.【例3】（2024届陕西省铜川市高三下学期模拟）已知函数()()322312R h x x x x m m =+-+Î的一个极值为2-．(1)求实数m 的值；(2)若函数()h x 在区间3,2k éùêúëû上的最大值为18,求实数k 与m 的值．【解析】（1）由()()322312R h x x x x m m =+-+Î,得()()()26612621h x x x x x ¢=+-=+-,令()0h x ¢=,得2x =-或1x =；令()0h x ¢<,得2<<1x -；令()0h x ¢>,得<2x -或1x >．所以函数()h x 有两个极值()2h -和()1h ．若()22h -=-,得()322(2)3(2)1222m ´-+´--´-+=-,解得22m =-；若()12h =-,得3221311212m ´+´-´+=-,解得5m =．综上,实数m 的值为－22或5．（2）由（1）得,()(),h x h x ¢在区间3,2æù-¥çúèû的变化情况如下表所示：x(),2-¥-2-()2,1-131,2æöç÷èø32()h x ¢+－+()h x Z 极大值20m +]极小值7m -Z92m -由表可知,①当312k £<时,函数()h x 在区间3,2k éùêëû上单调递增,所以最大值为3922h m æö=-ç÷èø,其值为253-或12,不符合题意；②当2k =-时,函数()h x 在()2,1-上单调递减,在31,2æöç÷èø上单调递增,因为()220h m -=+,3922h m æö=-ç÷èø,()322h h æö>ç÷èø,所以()h x 在3,2k éùêúëû上的最大值为()220h m -=+,其值为2-或25,不符合题意；③当2k <-时,函数()h x 在(),2k -上单调递增,在()2,1-上单调递减,在31,2æöç÷èø上单调递增,因为()220h m -=+,3922h m æö=-ç÷èø,()322h h æö>ç÷èø,所以()h x 在3,2k éùêúëû上的最大值为()220h m -=+,其值为2-或25,不符合题意；④当21k -<<时,()h x 在(),1k 上单调递减,在31,2æöç÷èø上单调递增,若()h x 在区间3,2k éùêúëû上的最大值为3922h m æö=-ç÷èø,其值为12或253-,不符合题意,又因为若22m =-,则()2202h m -=+=-．那么,函数()h x 在区间3,2k éùêúëû上的最大值只可能小于－2,不合题意,所以要使函数()h x 在区间3,2k éùêúëû上的最大值为18,必须使()32231218h k k k k m =+-+=,且5m =,即()322312518h k k k k =+-+=．所以322312130k k k +--=,所以3222213130k k k k k +++--=．所以()()()22111310kk k k k +++-+=,所以()()221310k k k +-+=．所以22130k k +-=或10k +=,所以k =10k +=．因为21k -<<,所以k =舍去．综上,实数k 的值为1,m -的值为5．【例4】（2023届江苏省徐州市睢宁县高三下学期5月模拟）已知函数32()2f x x mx =-+,R m Î,且()|()|g x f x =在(0,2)x Î上的极大值为1．(1)求实数m 的值；(2)若()b f a =,()c f b =,()a f c =,求,,a b c 的值．【解析】（1）2()|2|g x x x m =-,02x ££,① 0m £时,32()2g x x mx =-,∴2()620g x x mx ¢=-≥,无极值．② 4m ³时,32()2g x x mx =-+,∴()2(3)g x x m x ¢=-,当23m³,即6m ³时,()0g x ¢³,无极大值；当46m £<时,3m x <时,()0g x ¢>；23mx <<时,()0g x ¢<,∴()g x 在3m x =处取极大值,即3(1327m m g ==,∴3m =,舍去．③04m <<时,()32322,022,22m x mx x g x m x mx x ì-+££ïï=íï-<£ïî,∴()()()23,0223,22m x m x x g x m x x m x ì-££ïï=íï-<£î¢ï,03m x <<时,()0g x ¢>；32m m x <<时,()0g x ¢<；22mx <<时,()0g x ¢>．∴()g x 在3m x =处取极大值3127m =,∴3m =符合题意．综上,3m =．（2）由（1）可知,32()23f x x x =-+,()2()6661f x x x x x =-+=-+¢,令()0f x ¢>可得10x -<<,令()0f x ¢<可得1x >或0x <,如图所示．① 当0a <时,()0b f a =>,当302b <≤时,0()1c f b <=≤,则()0a f c =>,矛盾；当32b >时,()0c f b =<,∴()0a f c =>,矛盾．② 当0a =时,符合题意．③ 当102a <<时,102x <<时,()f x x <,∴10()2b f a a <=<<,则10()2c f b b <=<<,10()2a f c c <=<<,∴a cb a <<<,矛盾．④ 当12a =时,符合题意．⑤ 当112a <<时,112x <<时,()f x x >,∴11()2b f a a >=>>,则11()2c f b b >=>>,11()2a f c c >=>>,∴a cb a >>>,矛盾．⑥ 当1a =时,符合题意．⑦ 当312a <£时,0()1b f a =<≤,则0()1c f b =<≤,∴()1a f c =<,与1a >矛盾．⑧ 当32a >时,()0b f a =<,()0c f b =>,∴()1a f c =≤,与32a >矛盾．综上,0abc ===,或12a b c ===,或1a b c ===．【例5】（2023届重庆市第十一中学校高三上学期11月质量检测）已知函数()3233f x x x ax =-++,()f x 在1x 处取极大值,在2x 处取极小值.(1)若0a =,求函数()f x 的单调区间；(2)在方程()()1f x f x =的解中,较大的一个记为3x ,在方程()()2f x f x =的解中,较小的一个记为4x ,证明：4132x x x x --为定值.【解析】（1）当0a =时,()3233f x x x =-+,定义域为R,()236f x x x ¢=-,当()0f x ¢>时,2x >或0x <；当()0f x ¢<时,02x <<；即函数()f x 的单调增区间为(),0¥-,()2,+¥；单调减区间为(0,2).（2）由()236f x x x a ¢=-+,根据题意,得2360x x a -+=的两根为12,x x ,且12x x <,即36120a D =->,得3a <,122x x +=,所以121x x <<,因为()()1f x f x =,则32321113333x x ax x x ax -++=-++,可知323211133x x ax x x ax -+=-+,因为()10f x ¢=,即21163a x x =-,即()()()()233222211111111133323230x x x x ax ax x x x x x x x x x x x éù-+-+-=-+--+=-+-=ëû,可知3132x x =-,同理,由()()2f x f x =,可知()()()()233222222222222233323230x x x x ax ax x x x x x x x x x x x éù-+-+-=-+--+=-+-=ëû；得到4232x x =-,所以()1412123212111232113211x x x x x x x x x x x x ------====------.【例6】已知函数3211()(0)32f x ax bx cx a =++>．(1)若函数()f x 有三个零点分别为1x ,2x ,3x ,且1233x x x ++=-,129x x =-,求函数()f x 的单调区间；(2)若1(1)2f a ¢=-,322a c b >>,证明：函数()f x 在区间(0,2)内一定有极值点；(3)在（2）的条件下,若函数()f x求ba的取值范围．【解析】（1）因为函数3221111()()(0)3232f x ax bx cx x ax bx c a =++=++>,又1233x x x ++=-,129x x =-,则30x =,123x x +=-,129x x =-因为12,x x 是方程211032ax bx c ++=的两根,则332b a -=-,39c a =-,得2ba=,3c a =-,所以222()()(23)(1)(3)b c f x ax bx c a x x a x x a x x aa¢=++=++=+-=-+．令()0f x ¢=解得：1x =,3x =-当()0f x ¢>时,3x <-或1x >,当()0f x ¢<时,31x -<<,故()f x 的单调递减区间是(3,1)-,单调递增区间是(,3)-¥-,(1,)+¥．（2）因为2()f x ax bx c ¢=++,1(1)2f a ¢=-,所以12a b c a ++=-,即3220a b c ++=．又0a >,322a c b >>,所以30a >,20b <,即0a >．0b <．于是1(1)02f a ¢=-<,(0)f c ¢=, (2)424(32)f a b c a a c c a c ¢=++=-++=-．①当0c >时,因为(0)0f c ¢=>,1(1)02f a ¢=-<,而()f x ¢在区间(0,1)内连续,则()f x ¢在区间(0,1)内至少有一个零点,设为x m =,则在(0,)x m Î,()0f x ¢>,()f x 单调递增,在(,1)x m Î,()0f x ¢<,()f x 单调递减,故函数()f x 在区间(0,1)内有极大值点x m =； ②当0c £时,因为1(1)02f a ¢=-<, (2)0f a c ¢=->,则()f x ¢在区间(1,2)内至少有一零点．设为x n =,则在(1,)x n Î,()0f x ¢<,()f x 单调递减,在(,2)x n Î,()0f x ¢>,()f x 单调递增,故函数()f x 在区间(1,2)内有极小值点．综上得函数()f x 在区间(0,2)内一定有极值点．（3）设m ,n 是函数的两个极值点,则m ,n 也是导函数2()0f x ax bx c ¢=++=的两个零点,由（2）得3220a b c ++=,则b m n a +=-,32c bmn a a ==--．所以||m n -=由已知³,则两边平方得2(2)23b a ++³,得出21b a +³,或21b a +£-,即1b a ³-,或3ba£-,又232c a b =--,322a c b >>,所以3322a a b b >-->,即334a b a -<<-．因为0a >,所以334b a -<<-．综上分析,b a的取值范围是[1-,3)4-．1.（2024届江苏省连云港市高三下学期4月阶段测试）已知函数()32123f x x x mx n =-++在1x =时取得极值．(1)求实数m 的值；(2)存在[]2,4x Î,使得()2f x n >成立,求实数n 的取值范围．2.设函数()()()31f x x ax b x =---ÎR ,其中,a b 为实常数．(1)若3a =,求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在极值点0x ,且()()10f x f x =其中10x x ¹．求证：1023x x +=；3.（2024届海南省琼中县高三上学期9月全真模拟）已知函数()()24f x x x m =-,0m >．(1)当4m =时,求()f x 在[]1,1-上的值域；(2)若()f x 的极小值为2-,求m 的值．4.（2024届贵州省贵阳第一中学高三上学期适应性月考）已知函数()323f x x x =-.(1)求函数()y f x =在0x =处的切线方程；(2)若过点()1,P t -存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围；(3)请问过点()0,0A ,()1,1B --,()1,3C -,()1,1D -,()1,2E -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（请直接写出结论,不需要证明）5. （2024届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数3219()32f x x ax x =-++．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()F x f x x =-有2个零点,求a 的值．（注：()3322()x a x a x ax a -=-++）6．（2024届江苏省南通市模拟预测）设0a >,函数3()21f x ax x =-+．(1)当1a =时,求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程：(2)12,x x 是函数()f x 的两个极值点,证明：()()12f x f x +为定值．7．已知曲线()33f x x x l =-+在点()()A m f m ，处的切线与曲线的另外一个交点为B P ，为线段A B 的中点,O 为坐标原点．(1)求()f x 的极小值并讨论()f x 的奇偶性．(2)直线OP 的斜率记为k ,若()0,2m "Î,18k ³,求证：7l £-．8．设函数()321132f x x x ax =-+,a ÎR ．(1)若2x =是()f x 的极值点,求a 的值,并讨论()f x 的单调性．(2)已知函数()()21223g x f x ax =-+,若()g x 在区间()0,1内有零点,求a 的取值范围．(3)设()f x 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点()()11,x f x ,()()22,x f x 的直线能否过点()1,1,若能,求a 的值；若不能,说明理由．9．已知函数()314f x x ax =++,()ln g x x =-,用{}min ,m n 表示m ,n 中的最小值,设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>,讨论()h x 零点的个数．10．（2024届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点,求m 的取值范围．11．（2023届上海市嘉定区高三三模）已知函数32()(R)f x x bx cx b c =++Î、,其导函数为()f x ¢,(1)若函数()f x 有三个零点123x x x 、、,且123133,9x x x x x ++==-,试比较(3)(0)f f -与3(2)f ¢的大小.(2)若(1)2f ¢=-,试判断()f x 在区间(0,2)上是否存在极值点,并说明理由.(3)在（1）的条件下,对任意的,R m n Î,总存在[0,3]x Î使得|()|f x mx n t ++³成立,求实数t 的最大值.12.设函数()3213f x x a x b =-+,其中a ,b 为常数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有3个零点,求3b a 的取值范围．13．（2024届湖南省岳阳市高三教学质量监测三）已知ABC V 的三个角,,A B C 的对边分别为,,a bc 且2c b =,点D 在边BC 上,AD 是BAC Ð的角平分线,设AD kAC =（其中k 为正实数）．(1)求实数k 的取值范围；(2)设函数325()22b f x bx cx =-+-①当k =时,求函数()f x 的极小值；②设0x 是()f x 的最大零点,试比较0x 与1的大小．。
第18讲 三次函数的切线条数(解析版)
第十八讲三次函数的切线条数知识与方法研究过点(),P a b 可以作出三次函数()32f x ax bx cx d =+++()0a ≠图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为()()00,x f x ，则切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-，将点P 的坐标代入切线方程可得()()()000b f x f x a x '-=-，这一关于0x 的方程有几个实数解，过点P 就可以作出函数()y f x =图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示：典型例题【例题】已知函数322()27,R f x x ax a x a =-+-∈．（1）若1x =是()f x 的极大值点，求a 的值；（2）若过点(0,1)A 可以作曲线()f x 的三条切线，求a 的取值范围．【解析】（1）22()34f x x ax a '=-+，由2(1)340f a a =-+='解得1a =或3a =，当1a =时，2()341(31)(1)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得13x <或1x >，由()0f x '<得113x <<，即()f x 在1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意，舍去，当3a =时，2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--'，由()0f x '>得1x <或3x >，由()0f x '<得13x <<，即函数()f x 在(,1),(3,)-∞+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减，()f x 在1x =处取得极大值，所以3a =.（2）设过点(0,1)A 作曲线()f x 的切线的切点为00(,)P x y ，则切线方程为()()()322220000002734y x ax a x x ax a x x --+-=-+-，将点(0,1)A 的坐标代入，整理得320040x ax -+=，令32()4h x x ax =-+，依题意，()h x 有三个零点，22()3233a h x x ax x x ⎛⎫=-=- ⎝'⎪⎭，当0a =时，()0,()h x h x '≥在(,)-∞+∞上单调递增，则()h x 只有一个零点，当0a <时，由()0f x '>得23ax <或0x >，由()0f x '<得203a x <<，即()h x 在2,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在23a x =处取极大值，在0x =处取极小值，而(0)40h =>，则()h x 只有一个零点，当0a >时，由()0f x '>得0x <或23a x >，由()0f x '<得203ax <<，即()h x 在2(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，在20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，函数()h x 在0x =处取极大值，在23ax =处取极小值，而(0)40h =>，要使()h x 有三个零点，当且仅当32440327a a h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得3a >，所以a 的取值范围是(3,)+∞．强化训练1．已知函数()3f x x ax =-，若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则实数a =________.【解析】解法1：由题意，()23f x x a '=-，设()3000,P x x ax -为函数()y f x =图象上的任意一点，则()f x 在点P 处的切线方程为()()()3200003y x ax x a x x --=--，将点()1,0A 代入整理得：320230x x a -+=①，过点A 可作函数()y f x =图象的两条切线等价于关于x 的方程①有两个实数解，设()3223g x x x a =-+()x ∈R ，则()g x 有两个零点，易求得()()61g x x x '=-，所以()0 0g x x '>⇔<或1x >，()001g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,1上，在()1,+∞上，故()g x 有极大值()0g a =，极小值()11g a =-，所以()g x 有两个零点的充要条件是()()()01 10g g a a =-=，解得：0a =或1.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()23f x x a '=-，所以()f x 在原点处的切线为y ax =-，要使若过点()1,0A 可作函数()y f x =图象的两条切线，则点A 在切线y ax =-或()y f x =的图象上，所以0a -=或10a -=，解得：0a =或1.【答案】0或12．已知函数()33f x x x =-，若过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则实数m 的取值范围是________.【解析】解法1：由题意，()233f x x '=-，设过点A 的直线与()f x 的图象相切于点()3000,3P x x x -，则该切线的方程为()()()320000333y x x x x x --=--，将点()2,A m 代入整理得：32002660x x m -++=①，过点A 可作函数()y f x =图象的三条切线等价于关于0x 的方程①有三个实数解，设()32266g x x x m =-++()x ∈R ，则()g x 有三个零点，易求得()()62g x x x '=-，所以()00g x x '>⇔<或2x >，()002g x x '<⇔<<，从而()g x 在(),0-∞上，在()0,2上，在()2,+∞上，故()g x 有极大值()06g m =+，极小值()22g m =-，所以()g x 有三个零点的充要条件是()()()()02620g g m m =+-<，解得：62m -<<.解法2：显然()f x 图象的对称中心是原点，易求得()233f x x '=-，所以()f x 在原点处的切线为3y x =-,要使过点()2,A m 可作出函数()y f x =的图象的3条切线，则点A 应夹在切线和()f x 的图象之间，如图，点A 应在直线2x =上的B 、C 两点之间，将2x =分别代入3y x =-和33y x x =-可求得6y =-，2，所以B 、C 两点的纵坐标分别为6-和2，故m 的取值范围是()6,2-.【答案】()6,2-3.设函数()32132a f x x x bx c =-++()0a >，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =.（1）确定b 、c 的值；（2）设曲线()y f x =在()()11,x f x 及()()22,x f x 处的切线都过点()0,2，证明：当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠（3）若过点()0,2可作曲线()y f x =三条不同的切线，求a 的取值范围.【解析】（1）由题意，()2f x x ax b '=-+，且()00f b '==，()01f c ==.（2）由（1）可得()321132a f x x x =-+，()2f x x ax '=-，所以曲线()y f x =在()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111y f x x ax x x -=--，将点()0,2代入整理得：321121032a x x -+=①，同理可得：322221032a x x -+=②，下面用反证法证明当12x x ≠时，()()12f x f x ''≠，假设()()12f x f x ''=，则221122x ax x ax -=-，整理得：()()12120x x x x a -+-=，所以12x x a +=③，由①－②整理可得：()()2121212220332a x x x x x x +--+=，将式③代入得：2124a x x =④，联立③④解得：122ax x ==，这与12x x ≠矛盾，所以当12x x ≠时，()()12f x f x ''=（3）由（2）可得问题等价于关于x 的方程3221032a x x -+=有三个不同的实数解，令()322132a h x x x =-+()x ∈R ，则()h x 有三个零点，且()()2h x x x a '=-所以()00h x x '>⇔<或2a x >，()002ah x x '<⇔<<，从而()h x 在(),0-∞上单调递增，在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()h x 有极大值()01h =，极小值3232112322224a a a a a h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 有三个零点的充要条件是()3010224a a h h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，解得：a >，故a 的取值范围为()+∞.4.已知函数()3f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()(),M t f t 处的切线方程；（2）设0a >，如果过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<.【解析】（1）由题意，()231f x x '=-，所以()231f t t '=-故曲线()y f x =在点M 处的切线方程为()()()3231y t t t x t --=--，整理得：()23312y t x t =--.（2）将点(),a b 代入()23312y t x t =--整理得：32230t at a b -++=①，过点(),a b 可作曲线()y f x =的三条切线等价于关于t 的方程①有三个实数根，设()()3223g t t at a b t =-++∈R ，则()g t 有三个零点，易求得()()2666g t t at t t a '=-=-，因为0a >，所以()00g t t '>⇔<或t a >，()00g t t a '<⇔<<，从而()g t 在(),0-∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，故()g t 有极大值()0g a b =+，极小值()32323g a a a a a b a a b=-⋅++=-++所以()g t 有三个零点的充要条件是()()()()300g g a a b a a b =+-++<，故3a b a a -<<-，即()a b f a -<<.5.已知函数()323f x x x =-.（1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在三条直线与曲线()y f x =相切，求实数t 的取值范围；（3）过点()1,2A -、()2,10B 、()0,2C 分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?（只需写出结论）【解析】（1）由题意，()2216366222f x x x x x ⎛⎛⎫'=-=-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭当[]2,1x ∈-时，()2022f x x '>⇔-≤<-或212x <≤，()22022f x x '<⇔-<<，所以()f x 在2,2⎡--⎢⎣⎭上单调递增，在22⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，又323222f ⎛⎫⎛⎛-=⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11f =-，所以()12f f ⎛> ⎝⎭，故()f x 在[]2,1-.（2）设过点()1,P t 的直线与曲线()y f x =相切于点()3,23Q a a a -则该切线的方程为()()()322363y a a a x a --=--，将点()1,P t 代入整理可得：324630a a t -++=①，因为过点P 存在三条直线与曲线()y f x =相切，所以关于a 的方程①有三个不同的实数解，设()32463x x x t ϕ=-++()x ∈R ，则函数()x ϕ有三个零点，易求得()()21212121x x x x x ϕ'=-=-，所以()00x x ϕ'>⇔<或1x >，()001x x ϕ'<⇔<<，从而()x ϕ在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()x ϕ有极大值()03t ϕ=+，极小值()11t ϕ=+，所以()x ϕ有三个零点的充要条件是()()()()01310t t ϕϕ=++<，解得：31t -<<-，故实数t 的取值范围是()3,1--.（3）显然函数()y f x =的对称中心是原点，且函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-，如图，A 、B 、C 三点与函数()y f x =的图象的位置关系如图所示，由图可知过点A 、B 、C 分别可作曲线()y f x =的3条、2条、1条切线.。
过哪些点能够作三次函数图象的三条切线
过哪些点能够作三次函数图象的三条切线中图分类号： 文献标识码： 文章编号：2007年高考全国卷理22题为已知函数3()f x x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f x -<<．此题第（II ）小题的结论颇赖人寻味。
通过研读相关资料上所提供的“参考答案”能够发现：当0a >时，()a b f x -<<也是过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线的充分条件．并且易知y x =-为()y f x =在其对称中心(0,0)处的切线．于是，我们有如下更直观的结果：设函数3()f x x x =-，则过点(,)M a b ' （0a >）可作曲线C ：()y f x =的三条切线当且仅当点M '位于曲线C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的右侧区域内（边界除外）．（如图１）．我们更感兴趣的是，对于一般的三次函数，是否仍有类似结论？ 通过探索可知，答案是肯定的．定理 过点M 可作三次函数图象C的三条切线，当且仅当点M 位于图象C 与C 在其对称中心处的切线l 所夹的左、右两个区域内（边界除外）．为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图1）负（如图2）画出相对应的示意图如下：____________________收稿日期：2007-08-图1 三次函数图2 三次函数证 设三次函数为 32()f x ax bx cx d =+++ （0a ≠），点M 的坐标为00(,)x y ，点(,())A t f t 为三次函数()y f x =图象C 上的一点．则点A 处 的切线方程为 ()()()y f t f t x t '-=-．于是，切线过点M ，等价于存有实数t ，使00()()()y f t f t x t '-=- (1) 注意到（1）是关于t 的三次方程（易知3t 的系数不为0），则过点M 可作C 的三条切线，当且仅当关于t 的方程（1）有三个相异的实数根．记 00()()()()g t y f t f t x t '=---，则 0()()()()()g t f t f t x t f t '''''=---+0()()t x f t ''=-02()(3)t x at b =-+．若03b x a=-，则20()6()g t a t x '=-，()g t 为R 上的单调函数，方程()0g t =有且仅有一个实数根．若03b x a ≠-，则()g t '在点0x 附近的函数值异号，在点3b a-附近的函图3 三次函数数值也异号，故0x 和3b a-都是()g t 的极值点．于是结合函数()g t 的单调性知，方程()0g t =有三个相异的实数根，当且仅当003()()03b x a b g x g a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪⋅-<⎪⎩即 000003[()][()()()]0333b x a b b b y f x y f f x a a a ⎧≠-⎪⎪⎨⎪'-⋅----+<⎪⎩（2） 由文[1]、[2]知，三次函数()y f x =的图象有唯一对称中心(,())33b b N f a a--．而C 在点N 处的切线l 的方程为 ()()()333b b b y f f x a a a'--=-+ 故直线0x x =与C 及l 的交点纵坐标分别为0()f x 及 0()()()333b b b f f x a a a '-+-+． 因为03b x a≠-，故上述两纵坐标不相等。
过三次函数图象上一点能作几条切线
Ｂ 口 Ｙ＝ （ ３ ａ ｘ ； ＋ ２ ｂ ｘ 。 ＋ ｃ ） ｘ 一 ２ 一 ｂ ｘ ＋ ｄ ．
・ ．
・
‘ ． ．
ｃ 宦 作 ２条或 ３ 条切线
Ｄ ． 能作 １ 条或 ２条或 ３条切线
且 口ａ ｍ 。 ＋ ｂ ｍ ＋ ｃ ｍ＋ ｄ＝ （ ３ ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｍ一 ２ ｎ 一 ＋ ｄ ，
— — — 一
４ｄ
．
’ ｙ’ ＝３ ａ ｘ ＋ ２ ｂ ｘ＋ｃ，
．
下面的问题供 同学们练习．
・ ．
切线斜率ｋ＝３ 锻 ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ｃ ，
１ ． 过 曲线Ｙ ＝ 一 ３ ｘ 上一点 （ １ ， ＿ ２ 舴 切线 ， 求切线方程． ２ ． 过曲线Ｙ＝Ｘ 一 ３ ｘ ＋ ＋ｌ 上 一点Ａ （ １ ， １ ） 作切线 ， 求切线
用综合除法分解因式得
解
设切点 为Ｐ （ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） ， 因为Ｙ ’ ＝ ３ ｘ ， 所 以， 以Ｐ 为 切点 的
（ 一 ［ ２ ａ ｘ ｏ ＋ （ ａ ｍ＋６ ） ］ ＝ ０ ．
ａ ｍ＋ｂ
切 线 的 斜 率 ＝３ ， 切 线 方 程 为 Ｙ— Ｙ 。 ＝ｋ （ ｘ — 。 ） ，即
方程．
切线方程为Ｙ — Ｙ 。 ＝（ ３ ａ ｘ ＋ ２ 撕。 ＋ ｃ ） 一 Ｘ ｏ ） ，
‘
．
‘ ｙ ０＝
＋ｈ ＋“ ０ ＋ｄ ，
’ ．
Ｙ ＝（ ３ ． ４＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｘ 一 （ ３ ＋ ２ ｂ ｘ ０ ＋ ｃ ） ｘ ｏ ＋ Ｙ ０
３ ． 过曲线Ｙ＝ 一 ９ ｘ ＋ ２ 上一 点 （ ３ ， ２ ） 作切线 ， 求切线方程． ４ ． （ 选择题 ）过三次 函数Ｙ＝ 上任一点作曲线 的切线 ， 则
第一章导数与函数的图像专题四三次函数切线问题微点1三次函数切线问题
第一章导数与函数的图像专题四三次函数切线问题微点1 三次函数切线问题专题四三次函数切线问题微点1三次函数切线问题由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是中学数学中的重要内容，所以三次函数的相关问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点．纵观近几年的高考试题，三次函数出现频率很高，如2023年：全国乙卷文数第8题；2022年：新高考I卷第10题，全国甲卷第20题；2021年：全国乙卷文数第12题理数第10题，全国乙卷文数第21题，全国Ⅲ卷理数第21题；2020年：全国Ⅲ卷文数第20题，全国Ⅲ卷理第21题，江苏卷第17题；2019年：全国Ⅲ卷文理第20题，北京卷文理第20题，江苏卷第19题，浙江卷第4题；2018年高考全国Ⅰ卷文6理5等．这些试题主要涉及三次函数的单调性、极值与最值、对称性、零点、切线等问题．有些涉及四次函数、分式函数的试题也可以转化为三次函数来解决．本文介绍三次函数切线切线相关定义、三次函数切割线性质、三次函数切线的几个基本问题及其解法．设函数()y f x =上点()()00,A x f x ()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB ()()()(00000AB f x x f x f x k x x x +∆-+==+∆-证明：先考虑0a >的情形．以()(),M t f t 为切点的切线l ()()232322y at bt c x at bt d =++-+-，若切线M l 过定点(P（为叙述方便简洁，下面按03b x a >-和03bx a<-分类讨论中结果相同的部分合在一起）当()000cx d y h x +-=或003b cx d y h a ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭时，两函数图象有两个交点，有两个解，即过点P 的切线有两条．由()000cx d y h x +-=化简得320000y ax bx cx d =+++，说明点P 在曲线上；由00cx d y h ⎛+-= ⎝23002327b b y c x d a a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，说明点P 在l 上（除去点N ）．A ．3211()293f x x x x =--B ．3211()42f x x x =+-A ．314y x x =-B ．14y =D ．y =-类型二 曲线在某点处切线方程的求法【反思】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与(1)确定该飞机模型的降落曲线方程；(2)求开始下降点0x 所能允许的最小值（精确到类型四 三次函数切线条数问题【典例6】13．已知函数3()23f x x x =-.[2,1]-参考答案：【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与11．(1)答案见解析；(2) 和3当时，的解为：时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，与联立得综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和(2) (3)g x()即时，过点值范围是.，（2）由（1）3()(3)3g x x m x =+--，2()3(3)g x x m '=+-，()g x 在(1,2)是递增，则2()3(3)0g x x m '=+-≥在(1,2)上恒成立，233m x ≥-，(1,2)x ∈时，29330x -<-<，所以0m ≥．。
对三次函数图象的切线的探究
＜０ 表示的平面区域内时； 可以作三条． 结论３ 中， 在划分平面区域时， 直线１ ： ｙ ＝ｆ （劝
有一条
盯。 ＋ｂ 口 。
蕊 甲 一 一以 ｐ
ｘ。 ａ ＋ ｂ口 。
李时 ， 切 线 只
Ｏｇ
当ｘ ０ 宁亡一 —
厂（ ｏ） ｘ ＝３ ｘ。 ａ ’ ＋２ 故。 ＋： 代人上述方程，
整理得
乙ａ
ｘ 。 护 一 李 时 ， 切 线 有 两 条 ．
数学通报
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第９ 期
ｙ 一ｆ （ ｏ） ｘ 二厂（ 与） （ ｘ 一ｘ ｏ）
ｙ＝ 了 （ ｘ ）
个数．
消去ｙ 得了 （ ） 一ｆ ｘ （ｘ ０） ＝厂（ 与） ｘ一与） （ ．
将ｆ （ｘ ） ＝ａ ｌ， ＋酝， ＋以＋ｄ ， （ｘ ｆ ０） ＝ａ ｘ。 ３ ＋酝。 ２ ＋ｃ ｘ。 ＋ｄ ，
图２ ）， 方程分别为１ ２ ｘ 一３ ｙ 一１ ６ ＝０ 与３ ｘ 一３ 夕 ＋２
， ／２ 尹十酝 十‘ ／ 。， ： 二二二 ： ，，率，
１二 尧一
工 一， ， 一１
为ｙ 一ｆ （两） 二厂（ 两） ｘ一两） （ ，
（ △ ， ＝ 护一４ （ ｃ 一１ ） ‘０ ，
接着笔者给出了如下变式， 请同学们继续思考． 变式 已知 曲线 ｙ＝
求过点 告 ， 上 一 点 ； （ ２，
普）
尸的切线的方程． 经过讨论， 我们对“ 曲线 过点 Ｐ的切线” 和“ 曲线在点 尸处的切线” 进行了区别， 并 求得变式题的切线有两条（ 如
图２
点， 过曲线上一点 尸可以作两条直线与曲线相切， 这与学生以往对切线的认知产生了强烈的冲突， 以 此为契机， 笔者引导学生重温了切线是割线的极限 位置这一切线“ 新概念” ， 并对上述现象进行了解 释， 澄清了以前对切线的一些“ 偏见” ． 正以为教学 可以告一段落， 一个学生提出： 问题１ 经过计算发现， 另一条切线１ ２ｘ 一３ ｙ 一 ６ 二０ １ 与曲线也有两个交点， 是不是三次函数的图 象 Ｃ的切线与Ｃ都有两个交点？ 问 题２ 过直角坐标平面内任意一点， 都能作 两条直线与三次函数的图象相切吗？ － 对此， 笔者一时无法作答 ， 课后， 翻遍手头资料 并上网查阅， 均无结果， 于是， 笔者 自己作了些探 究， 整理成文， 请专家和同行斧正． 探究１ 三次函数ｆ （ｘ ） ＝ａ ｘ３ ＋阮２ ＋二＋ｄ （ａ 铸０ ） 的图象Ｃ的切线１ 与Ｃ有多少个交点？ 解 设切点为尸 （ ｏ， ｘ （ｘ ｆ ０） ） ， 则切线 １ 的方程
过任一定点的三次函数切线的条数问题
过任一定点的三次函数切线的条数问题山 石过任一定点的三次函数切线的条数问题在2007年全国（II ）卷高考题中出现。
题目：已知函数3)(x x f =-x （I ）求曲线)(x f y =在点M ))(,(t f t 处的切线方程； （II ）设a ＞0，如果过点(b a ,)可作曲线)(x f y =的三条切线， 证明：-a <b <)(a f题中提到过点作曲线)(x f y =的三条切线问题，那么点在什么区域内作曲线y 3x =-x 的切线能有三条呢? 点在什么区域内切线能有一条，最多能有几条切线呢？下面我们研究过任一点N(b a ,)作曲线x x x f -=3)(切线的条数问题。
解:设过点N(b a ,)作曲线3x y =-x 的切线为l ,切点为M ))(,(t f t 则切线l 的方程为b y -=(32t -1)(a x -) ∵l 过点M ))(,(t f t ∴有))(13(23a t t b t t --=-- 整理得23t -3a b a t ++2=0 ……① 方程①有多少个解,切线l 就有多少个.下面解决方程①解的个数问题。
设)(t g = 23t -3a b a t ++2 )('t g =ta t 662- 令)('t g =0 得t =0 t =a 1．当a ＞0，易知：当t =0时，)(t g 有极大值b a +；当a t =)(t g 有极小值b a a ++-3(1)当b a +=0或b a a ++-3=0时，方程①有两根,即当点N(b a ,)在曲线x y -= (x >0)或x x y -=3 (x >0)上时,过点N 作曲线3x y =-x 的切线只有两条.(如图1点N (2)当b a +<0或b a a ++-3>0时，方程①有一根,即当点N(b a ,)满足y <x - (x >0)或y >x x -3 (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x (如图2点N 在阴影部分)(3)当b a +>0且b a a ++-3<0时，方程①有三根,xx -即当点N(b a ,)满足y >-x (x >0)且y <3x -x (x >0)时, 过点N 作曲线3x y =-x的切线有三条.(如图3点N 在阴影部分.) 2．当a <0, 即点N(b a ,)在y 轴左侧，方法同前可得, 过点N 作曲线3x y =-x 的切线条数如图4。
过定点的三次函数图像切线条数问题
过定点的三次函数图像切线条数问题要研究过定点的三次函数图像切线的条数问题，需要首先了解三次函数的一般形式和性质，然后探讨在过定点的情况下切线可能的情况。
三次函数的一般形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为实数且a不等于0。
三次函数具有以下性质：1.三次函数的图像是一个非常光滑的曲线，没有拐点。
2.在自变量趋近正无穷或负无穷时，函数值也会趋近正无穷或负无穷。
3.在自变量趋近正负无穷时，函数值呈现与自变量同号的趋势。
4. 三次函数的导函数是一个二次函数，即f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。
考虑过定点的三次函数图像，即函数图像经过特定的点(x0,y0)。
根据函数性质，通过给定的点可以确定三次方程的另一条特殊直线。
这条直线与函数图像在给定点处相切，且切线斜率等于该直线的斜率。
切线的斜率等于函数在给定点处的导数值（即f'(x0)）。
根据情况的不同，过定点的三次函数图像可能有以下几种切线条数：1.一条切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)存在且唯一，那么函数图像在该点处只有一条切线。
这意味着图像在该点处与导函数图像相切，并且只有唯一的斜率满足这个条件。
2.两条切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)存在但不唯一，那么函数图像在该点处有两条切线。
这是因为存在两个斜率满足图像与导函数图像相切的条件。
3.无切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)不存在，那么函数图像在该点处无切线。
这是因为函数图像在该点处的斜率不存在，无法与导函数图像相切。
那么如何确定过定点的三次函数图像是否有多个切线呢？我们可以通过计算函数在给定点处的导数值来判断。
导数公式为f'(x) = 3ax^2 +2bx + c，将x0代入导数公式得到导数值f'(x0)。
若f'(x0)存在且唯一，即f'(x0) ≠ 0，那么函数图像在给定点处有一条切线。
谈谈三次曲线的切线问题 (2019高考)数学考点分类解析
可以观察出 满足题设的所有条件，所以数列 是满足题设的唯一数列，得 .
另解 因为 ①
由题设得 ，再由①知 是唯一确定的数列 .再同上得 .
题5 (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 N*)，其中 为常数.
(3)①因为点 不在曲线 上，所以可设切点为 ，得
或
所以可得过点 存在3条直线与曲线 相切．
②因为点 在曲线 上，所以点 可以是切点也可以不是切点．
当点 是切点时，曲线 过点 的切线是1条．
当点 不是切点时，可设切点为 ，得
所以此时过点 的切线是1条．
得过点 存在2条直线与曲线 相切．
③因为点 不在曲线 上，所以可设切点为 ，得
(1)求 与 的值；
(2)证明数列 为等差数列；
解(1) .
(2) N*)， ②
所以 是唯一确定的数列， 也是唯一确定的数列.
又由 知，若 为等差数列，则 ，于是 .
容易验证 满足②，所以题中的 ， 为等差数.
题6 已知数列 满足 ，求 ；
解首先，由首项 及递推关系 知，满足题意的数列 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.
例谈用验证法解题
——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解
题1解方程：(1) ；(2) ；(3) .
解(1)容易观察出 均是该方程的解.
按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.
而已经找到了原方程的两个解 ，所以这两个解就是原方程的所有解.
过三次函数图象上一点能作几条切线
过三次函数图象上一点能作几条切线作者：雷元明来源：《神州·下旬刊》2013年第02期例1 过原点作三次函数■的图象的切线，能作几条？写出其方程.解设切点为■，因为■，所以，以■为切点的切线的斜率■，切线方程为■，即■，由于切线过原点，所以，■，∴■，从而■，■，∴只能作一条切线，其方程为■.例2 过曲线■上一点■作曲线的切线，能作几条？写出其方程.解设切点为■，则■.∵ ■，∴切线斜率■，切线方程为■，整理得■，∵切线过■，∴ ■，■，■，当■时切线方程为■，切点为■，当■时切线方程为■，切点为■.做完这两题，自然想到下面的问题：过三次函数■的图象上一点■作切线，究竟能作几条？下面进行探索.设切点为■，则■.∴切线斜率■，切线方程为■，■即■.∵切线过点■，∴ ■，即■，整理得■.因为■可以是切点，所以猜测上述方程有根■，用综合除法分解因式得■.此方程有解■或■又■，于是有定理设■是三次函数■的图象上一点，则（1）当■时，过■仅能作一条切线，这时切点为■，切线方程为■；注因为■，所以，■，这正是三次函数的拐点，因此，上述结论也可如下记忆：三次函数图象上，只有过拐点才能作唯一切线.（2）当■时，过■恰能作两条切线：以为切点的切线方程为■，不以■为切点的切线方程为即■.下面的问题供同学们练习.1. 过曲线■上一点■作切线，求切线方程.2. 过曲线■上一点■作切线，求切线方程.3. 过曲线■上一点■作切线，求切线方程.4.（选择题）过三次函数■上任一点作曲线的切线，则下列说法正确的是（）.A.只能作一条切线B.能作1条或2条切线C.能作2条或3条切线D.能作1条或2条或3条切线。
探究三次函数的切线条数
探究三次函数的切线条数
楼志权
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2009(000)003
【摘要】在高三复习过程中,学生曾问过这样一个问题：过点A（2,2）作曲线C：y=3x-x3的切线,则这样的切线有几条？
【总页数】2页(P94-95)
【作者】楼志权
【作者单位】浙江宁波北仑职业高级中学,315806
【正文语种】中文
【中图分类】G455
【相关文献】
1.一道三次函数切线问题的探究式学习 [J], 龚浩生
2.三次函数图象切线问题的探究 [J], 杜春晓
3.过定点的三次函数图像切线条数问题 [J], 叶秋平
4.三次函数图象切线问题的探究 [J], 杜春晓
5.GeoGebra探究过任意点作三次函数切线条数问题 [J], 韩毅;张华
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关于切线条数问题的探究
关于切线条数问题的探究
谢伟帆;丁荣辉
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）（上半月）》
【年(卷),期】2024()1
【摘要】对不同类型函数的切线条数问题的探究,发现它们在解法上有一致性:从数的角度考虑,基本上是将切线条数问题转化为函数零点的个数问题;从形的角度考虑,如果函数的图象中心对称,那么切线条数会呈现对称分布的规律,体现了数学的统一性和对称美,这一发现也为命制切线条数的问题拓宽了思路.
【总页数】3页(P48-48)
【作者】谢伟帆;丁荣辉
【作者单位】广东省佛山市实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.探究三次函数的切线条数
2.GeoGebra探究过任意点作三次函数切线条数问题
3.基于GeoGebra探究指数函数与对数函数公切线条数--对2018年高考天津卷第20题的深度探究
4.函数的凹凸性与切线的条数探究
5.过一点作曲线的切线的条数问题
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一道高考压轴题引发的对三次函数切线条数的探究
本文针对的是高考压轴题，一道关于三次函数切线条数的探究，文章字数在
500字左右，不低于三百字，可超出，不高于一千五百字。
三次函数，又名系数多项式函数，是一类广义上常出现的数学函数，它可以完
美地描述各类数据及图形变化，因此在日常工作中经常用到。
同时，把三次函数的切线与一般函数的切线不同一般视为一种特殊情况，也吸引了人们的眼球。
那么，关于三次函数切线条数的探究，该如何来回答呢？首先我们要知道，切
线是三次函数图像的简化版。
把切线条数可以分为三种情况：第一，一次函数和锥形函数有三条切线。
而三次函数，从多次剖分角度看，切线条数至少有三条。
其次，从控制函数角度看，三次函数的切线条数也可以多于三条。
最后，从泰勒级数的点的连接角度看，三次函数的切线条数也可以无限多条，取决于点的连接情况。
综上，把三次函数的切线条数进行总结，可分为三种情况：第一，至少三条切线；第二，控制函数可以多于三条；第三，最多无数条。
这三类情况可以通过相应的实例来加以说明，对三次函数切线条数有一定的了解。
总之，三次函数切线条数的多少，取决于多种情况。
只有在清楚了解三次函数
的特性和表达式的计算关系时，才能够确定三次函数的切线条数。