北师大版高中数学选修1-1阶段质量评估4.docx

第四章 导数应用

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数f (x )＝x 3

＋ax 2

＋3x －9，已知f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1x 2等于( ) A ．9 B ．－9 C ．1

D ．－1

解析： ∵f ′(x )＝3x 2

＋2ax ＋3， ∴x 1x 2＝1. 答案： C

2．函数f (x )＝x 3

＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在点x ＝－3处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

解析： f ′(x )＝3x 2

＋2ax ＋3，

又f (x )在点x ＝－3处取得极值，所以f ′(－3)＝3×(－3)2

－6a ＋3＝0，所以a ＝5. 答案： D

3．函数f (x )＝13x 3

＋ax ＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，则f (1)

为( )

A.73 B ．1 C.13

D ．－1

解析： ∵f ′(x )＝x 2

＋a ，又f ′(－1)＝0， ∴a ＝－1，f (1)＝13－1＋1＝1

3.

答案： C

4.如果函数y ＝f (x )的图像如右图，那么导函数y ＝f ′(x )的图像可能是下图中的( )

解析： 由f (x )的图像可知，函数f (x )从左至右有四个单调区间，依次为递增、递减、递增、递减，故f ′(x )的图像从左至右应有四个部分，其函数值依次为正、负、正、负，故选A.

答案： A

5．函数f (x )＝x 2

－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1]

B ．[1，＋∞)

C ．(－∞，－1]，(0,1)

D ．[－1,0)，(0,1]

解析： f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2

－1)

x

≤0.

又∵x ＞0，∴x 2

－1≤0，∴0＜x ≤1. 答案： A

6．已知函数f (x )＝13

x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2

－2m －7)x ＋2在(－∞，＋∞)上是增函数，

则( )

A ．m ≤2或m ≥4

B ．－4≤m ≤－2

C ．2≤m ≤4

D ．以上皆不正确

解析： f ′(x )＝x 2

－2(4m －1)x ＋(15m 2

－2m －7)≥0恒成立， 所以4(4m －1)2

－4(15m 2

－2m －7)≤0恒成立， 所以4m 2

－24m ＋32≤0， ∴2≤m ≤4. 答案： C

7．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭

⎪⎫－32，3内可导，其图像如图所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )

A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－13，1∪[2,3) B.⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83 C.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－32，12∪[1,2) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－3

2

，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，3

解析： 由条件f ′(x )≤0知，选择f (x )图像的下降区间即为解． 答案： A

8．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2

＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a ＜0或a ＞21

D ．a ＝0或a ＝21

解析： f ′(x )＝3x 2

＋2ax ＋7a ，

令f′(x)＝0，

当Δ＝4a2－84a≤0，

即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，

函数不存在极值点．故选A.

答案： A

9．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )

A．6千台B．7千台

C．8千台D．9千台

解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，

∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)，

令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值又是函数的最大值点．答案： A

10．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)＞－f(x)恒成立，且常数a，b 满足a＞b，则下列不等式一定成立的是( )

A．af(b)＞bf(a) B．af(a)＞bf(b)

C．af(a)＜bf(b) D．af(b)＜bf(a)

解析：令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，

由xf′(x)＞－f(x)，得xf′(x)＋f(x)＞0，

即F′(x)＞0，所以F(x)在R上为递增函数．

因为a＞b，所以af(a)＞bf(b)．

答案： B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

11.如图是一个三次多项式函数f(x)的导函数f′(x)的图像，则当x＝________时，函数f(x)取得极小值．

解析： 由f ′(x )的图像可知，f (x )在(0,4)内单调递减，在(4，＋∞)内单调递增，故当x ＝4时，f (x )取得极小值．

答案： 4

12．已知函数f (x )＝x 3

＋ax 2

＋bx ＋27在x ＝1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a －b ＝________.

解析： ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 则1,3是方程3x 2

＋2ax ＋b ＝0的两根， ∴1＋3＝－2a 3，1×3＝b

3，

∴a ＝－6，b ＝9， ∴a －b ＝－15. 答案： －15

13．函数f (x )＝x ln x (x >0)的单调递增区间是________． 解析： ∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1.

由f ′(x )≥0，即ln x ＋1≥0，∴x ≥1

e

.

∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞. 答案： ⎣⎢⎡⎭

⎪⎫1e ，＋∞

14．已知函数f (x )＝2ln x ＋a

x

2(a ＞0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．

解析： f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2

ln x ，