求数列通项公式方法经典总结归纳

求数列通项公式方法

（1）．公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项

1..数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

2.设数列}{n a 满足01=a 且111

111=---+n

n a a ，求}{n a 的通项公式 3.已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列}{n a 满足2122142++=⋅==n n n a a a a a 且，（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

5.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

6.已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；

7.数列已知数列{}n a 满足111

,41(1).2

n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式=

（2）累加法

累加法适用于：1()n n a a f n +=+

若1()n n a a f n +-=，则

21321(1)

(2)

()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得111

()n

n k a a f n +=-=∑

例：1.已知数列{}n a 满足1

41,

2

12

11-+

==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3.已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4.设数列}{n a 满足21=a ，12123-+⋅=-n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式

（3）累乘法

适用于：1()n n a f n a += 若

1()n n

a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，

， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==⋅∏ 例：1.已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 11+=+，求n a 。

3.已知31=a ，n n a n n a 2

3131

+-=+)1(≥n ，求n a 。 （4）待定系数法

适用于)

1≠,0≠(+=1

+p p q pa a n n

例：1.已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式

2.（重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项

n a =_______________

3.（福建.理22.本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式；

（5）递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩⎨

⎧-==+q

st p

t s

1.已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。

2.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈

（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式； 3.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

13

2

12+=++，求n a

（6）递推公式中既有n S

分析：把已知关系通过11,1

,2

n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相

应的方法求解。

1.（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113

n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．

2.（山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．

3．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2

1-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列②求数列{}n a 的通项公式

4.已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1

(1)(2)6

n n n S a a =++，且249

,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。