周期信号的分解与合成

实验二：周期信号的分解与合成

实验目的

(1) 深入理解在一个周期内满足绝对可积的任意周期信号 fT(t) 都可以用振幅和初相角不同的各次谐波（含直流分量）之和表示。

(2) 理解相加的谐波分量愈多，时域信号的边沿愈陡，即边沿愈陡的信号包含愈多的高次谐波分量。

实验内容:

针对下图所示周期信号

(1) 写出 fT(t) 的级数表达式。

(2) 用MA TLAB 语言编程计算出该级数的求和程序。

(3) 在3个周期的时间内画出其前3项、前7项、前20项和前100项的图形。

(4) 改变级数式中振幅或相角的变化轨律，看合成信号是什么形状？ 实验分析:

(1) 讨论时域信号的上升沿、下降沿、顶部同包含的谐波分量的关系。

(2) 画出该周期信号的频谱图。

实验过程

按照三角形式的傅里叶级数理论，满足一定关系的直流信号和无限多项正弦( 或余弦) 信号才能逼近原信号。但在实际中只可能用有限次谐波合成来逼近原周期信号，这必将引起误差。在实际应用中经常采用有限项级数来代替无限级数。 符合狄利赫利条件的周期信号可以分解成直流分量、不同频率正弦分量和余弦分量的叠加。满足一定关系的直流分量和一系列的谐波分量之和可以近似表示周期信号。本文运用 Matlab 软件分析了方波信号的构成，仿真了直流信号和有限次谐波近似合成方波信号。可以发现随着合成谐波的项数增加，合成波形越接近原方波信号，并且对方波信号合成中出现的吉布斯现象和均方误差进行分析。这对于理解信号分解与合成理论以及信号和系统的分析和设计有非常重要的作用。

T = 1;

A = 1;

omega0 = 2*pi/T;

y = zeros(size(-T:1e-3:T)); f T (t )

t

T /2

-T /4

1

-1

for k=1:100

ck = -2*A/(k*pi) * (cos(k*pi) - cos(k*pi/2));

ck = ck + 8*A/(T*T) * ( -2*(T/4)*cos(k*pi/2)/(k*omega0) + 2*sin(k*pi/2)/(k*omega0)^2 );

y = y + ck*sin(k*omega0*(-T:1e-3:T));

end

plot(-T:1e-3:T, y);

实习总结：

通过本次实习，我深入理解在一个周期内满足绝对可积的任意周期信号fT(t) 都可以用振幅和初相角不同的各次谐波（含直流分量）之和表示。理解了相加的谐波分量愈多，时域信号的边沿愈陡，即边沿愈陡的信号包含愈多的高次谐波分量。