初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学竞赛专题选讲

识图

一、内容提要

1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。

2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。

3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。

线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。

面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。

4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。

识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题

例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）乙图中有几个等腰三角形丙图中有几全等三角形丁图中有几对等边三角形

解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。

乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC

丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)

△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。

丁图中共有等边三角形48个：

边长1个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＋4＋5＝15

顶点在下▼的个数有1＋2＋3＋4＝10

边长2个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＋4＝10

顶点在下▼的个数有1＋2＝3

边长3个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＝6

边长4个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＝3

1

边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1

以上要注意数一数的规律

例2.设平面内有6个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段试画出图形。

（1989年全国初中数学联赛题）解：从点A1与其他5点连线有5条，从点A2与其他4点（A1除外）连线有4条，从A3与其他3点连线有3条（A1，A2除外）……以此类推，6个点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点连线共5×6再除以2（因重复计算）。

要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A1A4，A2A5，A3A6A5A4

A3

12

例3.如图水平线与铅垂线相交于O，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在O点时，乙离点O为500米，2分钟后，

2

3

甲、乙离点O 相等；又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。

解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2

乙2

为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每

分钟x,y

米，根据题意得

⎩⎨

⎧-=-=500101025002y x y

x 甲 O

甲1

甲2

解得12x=8y

乙1

∴x ∶y=2∶3

乙0

答甲和乙的速度比是2比3。

例4.在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形三个顶

点，共6个点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？

（1989年全国初中数学联赛题）

解：如图△ABC中一个点D，与A，B，C各点连结可得3个不重迭的三角形；再增加1个点E，这时可连结不重迭的三角形共5个，再增加1个点F，又可增加2个不重迭的三角形，共有7个。

一般规律是每增加1个点，可增加不重迭的三角形2个

A A

A

F

D E E B C D D

B C B

C

三、练习

1.数一数：甲图中有直角三角形＿＿个，乙图中有等腰直角三

角＿＿个，丙图中有全等三角形＿＿对。

A

D

B B

甲乙B丙 C 2.平面上有5个点A，B，C，D，E，其中A，B，C三点在同

一直线上，那么以这5个点为端点的线段共有＿＿＿条，记作_____＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

4

5

3. 以O 为端点画6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE,OF,那么可

组成的角（小于平角）最多是＿＿个，最少是＿＿＿个，试分别画出草图。

4. 在三角形内有n 个点（n 为整数）与原三角形3个顶点共n ＋3

个点，以这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有＿＿＿＿个。

5. 下图中三角形＿＿＿个其中等腰三角形＿＿个，直角三角形＿＿＿个，

全等的等腰三角形＿＿组，每组＿＿个，

全等的直角三角形＿＿＿组，每组＿＿个。

6. 如图长方形ABCD 中，E ，F ，G 分别在边 BC ，CD ，DA 上，以A 在B ，C ，D ，E ，F ，G 中任选，总共可组成的

三角形的个数是＿＿（1987年泉州市初二数学双基赛题）