热统新教案第18次课

7．7固体热容量的爱因斯坦理论用玻耳兹曼分布讨论定域系统把固体中原子的热运动看成N 3个频率相同的振子的振动。

振子的能级为)21(+=n n ωε ，=n 0，1，2，配分函数∑-=ll leZ βεω1∑∞=+-=0)1(n n eωβ ∑∞=--=02/)(n neeωβωβ ωβωβ ---=e e 12/ 固体内能=∂∂-=1ln 3Z NU β)]1ln(21[3ωβωββ ----∂∂-e N 1323-+=ωβωω e N N 1323-+=ωβωω e N N式中第一项是N 3个振子的零点能，与温度无关；第二项是温度为T 时N 3个振子的热激发能。

定容热容量22)1()(3)(-=∂∂=kT kTV V e e kT Nk T U C ωωω引入爱因斯坦特征温度E θ，满足ωθ =E k ，则内能和热容量表述为1323-+=TE eNk Nk U V E θθθ22)1()(3-=TEV EE e e TNk C θθθ高温近似当E T θ>>时称为高温近似。

利用 +++=2!21xx e x的前两项近似和1≈E e θ，e E TEθθ≈-1 22)1()(3-=TEV E E ee TNk C θθθNk 3=结果与能均分定理结果一致，原因是当ωθ =>>E k kT 时，能级趋于连续，经典统计适用。

低温近似当E T θ<<时称为低温近似。

利用T TE E e eθθ≈-1，22)1()(3-=TTEV E E ee TNk C θθθT EE e TNk θθ-=2)(3容易证明上式随温度趋于零而趋于零，与实验结果定性相符。

但在定量上与实验结果符合得不好。

在低温范围，振子能级间距ω 远大于kT ，能级分立，振子必须取得能量ω 才有可能跃迁到激发态。

在E T θ<<的情形下，振子取得ω 的热运动能量而跃迁到激发态的概率是极小的。

因此平均而言，几乎所有振子都冻结在基态。

当温度升高时，他们几乎不吸收能量，因此对热容量没有贡献。

习题7.1证明： 3L V =，则31VL =∴)(2222322z y x l n n n V mh ++=-ε 由∑∂∂-=Va P ε，考虑∑=l l a U ε，则 35V a 32V a P -∑∑=∂∂-=ε)n n n (m 2h 2z 2y 2x 2++∑=⋅=VU32a V 132ε ∴ VU32P ⋅=成立。

证毕。

习题7.2证明：对极端相对论粒子212z 2y 2x )n n n (LhC ++= ε212z 2y 2x 31)n n n (VCh ++=由∑∂∂-=Va P ε，考虑∑=l l a U ε，则 ∑∑=∂∂-=a 31V a P ε212z2y 2x 34)n n n (V Ch ++ VU31a V 31⋅==∑ε∴VU31P ⋅=成立。

证毕。

习题7.8证明：∵我们推导的分子动量的最概然分布是在系统的静止坐标系中进行的。

所以我们在系统上固着一坐标系z 'y 'x '0'-，则分子的最概然分布为()322'2'2'h dp dp Vdp ea z y x P P Pmz y x '''++--⋅=βα （1）现在我们在静止坐标系上观察，气体以恒定速度k v v o o=沿z 轴作整体运动。

令00mv p =则''x x x mv p p ==''y y y mv p p ==o z o z z z p p v v m mv p +=+=='')( (2)∴o z z p p p -='两坐标系下动量的微分相等，z z dp dp =','y y dp dp =,'x x dp dp =将（2）式中各量代入（1）式，得分子在静止坐标系中的最概然分布为：[]3)(2222h dp dp Vdp ea zy x P P P Pmo z y x ⋅=-++--βα∴原式成立。

证毕。

习题7.9解：由7.8题知，当气体以恒定速度以o v 沿z 轴方向作整体运动时分子动量的最概然分布[]3)(2222hdp dp Vdp ea zy x P P P Pmo z y x ⋅=-++--βα满足总分子数为N 的守恒条件[]3)(2222h d d Vd eN zy x P P P Pmo z y x ⋅=-++--⎰⎰⎰βα233)2(βπαm h V e -= 233)2(mV Nh eπβα=-代回最概然分布，[]z y x P P P P mdp dp dp em N a o z y x ⋅=-++-222)(223)2(βπβ麦氏动量概率分布=z y x z y x dp dp dp p p p w ),(,[]z y x P P P Pmdp dp dp em o z y x ⋅-++-222)(223)2(βπβ一个分子的平动能量为：)(21222z y x p p p m++=ε 一个分子的平均能量为：zy x z y x dp dp dp p p p w ⎰⎰⎰=),,(εε[]z y x p p p p mz y x dp dp dp e p p p m m o z y x ⋅++=-++-⎰⎰⎰222)(222223)()2(21βπβ 23)2(21πβm m ={xP mx dp eP x 222β-∞∞-⎰yP mdp ey 22β-∞∞-⎰z )P P (m2dp e2o z --∞∞-⎰βx P mdp ex 22β-∞∞-⎰+y P mydp ep y 222β-∞∞-⎰⋅z )P P (m2dp e2o g --∞∞-⎰⋅βxP m2dp e2xβ-∞∞-⎰+yP mdp ey 22β-∞∞-⎰⎭⎬⎫--∞∞-⎰z P P mz dp eP o z 2)(22β (4)以上积分有三种类型 （1）212)2(2βπβm dp eP m=-∞∞-⎰（2）2322)2(22βπβm dp ep p m=-∞∞-⎰（3）z P P mzdp ep o z 2)(22--∞∞-⎰βz )p p (m220z 020z dp e]p p p 2)p p [(20z --∞∞-⎰-+-=βy m22p 2dy ey 2+=-∞∞-⎰β)p p (d e)p p (0z )p p (m20z 20z ----∞∞-⎰βz )p p (m220dp ep 20z --∞∞-⎰+βy m22p 2dy ey 2+=-∞∞-⎰βdy ye2y m2β-∞∞-⎰dy ep2y m220β-∞∞-⎰+23)2(2βπm =320)2(βπm p + （5） 所以一个分子的平动能量为{)2(2123πβεm m =++312121123)2(2)2()2()2()2()2(2βπβπβπβπβπβπm m m m m m ]})2()2(2[)2()2(2021232121p m m m m βπβπβπβπ+ 202123p m +=β22123mv kT += 习题7.10解：考虑处于长度为L 的二维容器中自由电子气的运动状态。

将周期性边界用于二维自由电子气，该粒子在两个方向动量的可能值为x x n L pπ2=，=x n 0，1±，2±， y y n Lp π2=，=y n 0，1±，2±，在宏观尺度下，粒子的动量值和能量值是准连续的，这时往往考虑在面积2L V =内，动量在x p 到x x dp p +，y p 到y y dp p +的动量范围内的自由粒子量子态数。

在x p 到x x dp p +的范围内可能的数目为x x dp Ldnπ2=在y p 到y y dp p +的范围内可能的数目为y y dp Ldnπ2=在面积2L V =内，在x p 到x x dp p +，y p 到y y dp p +的动量范围粒子量子态数为==y x zy x dp dp L dn dn 2)2( πy x dp dp hL 22 此即二维自由电子气的简并度，由玻耳兹曼分布，处在面积V 内，在y x dp dp 的动量范围内分子数为y x p p m l dp dp e hL a y x )(22222+--=βα参数由总分子数N 决定，N dp dp eh V y x p p my x =+--∞⎰⎰)(2222βαN dp e e hV x p m x =-∞+∞--⎰222)(2βα 利用απα21)0(2==-∞+⎰dx eI x ，22)(2x p mdp e x β-∞+∞-⎰βπm 2=， 得)2(22mkT h LNeπα=-，代回（1），得质心动量在y x dp dp 范围内的分子数为y x p p kmTdp dp e mkTN a y x )(2122)21(+-=π如果用速度作变量，作代换x x mv p =，y y mv p =，可得在y x dv dv 范围内的分子数为y x v v kTmdv dv e kTm n a y x )(222)2(+-=π此即二维自由电子气的麦氏速度分布。

对应的麦氏速度分布函数y x v v kT my x y x dv dv e kTm n dv dv v v f y x )(222)2().(+-=π 满足条件n dv dv v v f y x y x =⎰⎰∞),(在速度空间的平面极坐标中，麦氏速度分布律θπθθvdvd e kTm n d vdv v f v kTm22)2(),(-=两边完成速度空间所有方向的积分，θθπd vdv v f dv v f ),()(20⎰=θππd dv v e kT m n v kT m ⎰-=2022)2(dv v e kT m n v kTm22)(-=此即在单位面积内，速率在dv 范围内的分子数，称为麦氏速率分布律dv v e kTm n dv v f v kTm22)()(-= （3）函数)(v f 称为速率分布函数，满足条件n dv v f =⎰∞)(麦氏速度概率分布：=y x y x dv dv v v w )(,n dv dv v v f y x y x /),(， 麦氏速度概率密度分布：n v v f v v w y x y x /),()(,=， 麦氏速率概率分布：n dv v f dv v w /)()(= 麦氏速率概率密度分布：n v f v w /)()(=；最可几速率：使速率分布函数)(v f 取极大值的速率。