克拉默法则

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线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解． 解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
1 1
1
1
0
0
得
λ = -2 或λ = 1．
[讨论：易见，对 λ = 1，原三个方程，其实只是一个方程；三个变量中，有 两个变量是完全“自由1)；
2；
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解：
D = 1 − 5 3 = −8 ， 1 −1 1 2 1 1 D2 = 1 2 3 = 9 ， 1 −1 1
D1 = 2 − 5 3 = 11 ， −1 −1 1 2 −4 1 D3 = 1 − 5 2 = 6 1 −1 −1
，
∴
x=−
11 , 8
y=−
9 3 , z=− 8 4
．
4.[P.31 例 3] 问 λ 为何值时，方程组
（1）；
若 bi = 0 ， (i = 1,2, L, n) 则称为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组．n 阶 行列式
a11 D= a 21 M a n1 a12 a 22 M L a1n L a2n O M
a n 2 L a nn
称为方程组（1）的系数行列式． 二. Cramer （克拉默）法则 1.法则内容：若 n 元方程组（1）的系数行列式 D ≠ 0 ，则方程组有唯一解
a11 a 21
b1 b2
，
y=
2.三元线性方程组的 Cramer 法则
⎧ a11 x + a12 y + a13 z = b1 ⎪ ⎨a 21 x + a 22 y + a 23 z = b2 ． ⎪a x + a y + a z = b 22 33 2 ⎩ 21 a11 a 21 a 22 a 23 b1 b2 b3 x= D1 D a31 a 32 ， a33 a31 a32 ， a 33
,
b1 D1 = b2 b3 a11 D3 = a12 a13 D2 D
, z=
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23
a31 a32 ， a 33 b1 b2 ， b3
解：本题
D = a12 a13 a11 D2 = a12 a13
若 D ≠ 0 ，则
y=
D3 ． D
⎧2 x − 4 y + z = 1 ⎪ 3. [P.3 例 l]： ⎨ x − 5 y + 3 z = 2 ⎪ x − y + z = −1 ⎩ 2 −4 1 1 −4 1
M M M M a n1 L a n j −1 bn
n
．
2.说明：①.本法则的证明，见教材 P.29-30；首先要习惯（1）式的缩写法
∑a
j =1
ij
x j = bi
(i = 1,2, L , n)
（3）
②. 证明(2)是(1)的解，就是把(2)代入(3)中，成立； ③. 证明(2)是(1)的唯一解，就是先设(1)有某解，再证明它是取(2)的形 式． 3.推论：若全部 bi = 0 ，即对齐次线性方程组， ①.若 D ≠ 0 ，则全部 xi = 0 ；②.若 xi 不全为零，则 D = 0 ．
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三.例题 1.二元线性方程组的 Cramer 法则
⎧ a11 x + a12 y = b1 ． ⎨ ⎩a 21 x + a 22 y = b2
解：本题 D = 若 D ≠ 0 ，则
a11 a 21
a12 a 22
x=
， D1 =
D1 D ,
b1 b2
a12 a 22
D2 ． D
， D2 =