七年级数学思维探究(23)相交线与平行线(含答案)

阿基米德，公元前287年出生在意大利西西里岛的叙拉古，11岁时在被称为“智慧之都”的希腊中心亚历山大城学习，他博阅群书，钻研《几何原本》．阿基米德通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演绎方法推出许多杠杆命题，并给出严格的证明，其中就有著名的“阿基米德原理”，阿基米德是兼数学家与力学家的伟大学者，享有“力学之父”的美称。

23．相交线与平行线

解读课标

在我们生活中存在大量的图形，它们为人类带来无穷无尽的直觉源泉，相交线与平行线随处可见，它们构成同一平面内两条直线的基本位置关系，它们的性质和位置关系是认识和学习其他图形性质的基础．

相交线与平行线都与角相关：两直线相交，对顶角相等；两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．

我们还可以用角之间的关系来判断两直线是否平行．

与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下两方面应用： 1．角的计算与证明； 2．两直线位置关系的确定． 问题解决

例1 如图，已知AB DE ∥，90ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，则BCD ∠=__________．

D

A

B

C

E

试一试 ABC ∠、CDE ∠、BCD ∠表面上看很难联系起来，过C 点作CF DE ∥，问题就迎刃而解了．

例2 如图，AB CD EF GH ∥∥∥，AE DG ∥，点C 在AE 上，点F 在DG 上，设与α∠相等的角的个数为m （不包括α∠本身），与β∠互补的角的个数为n ，若αβ≠，则m n +的值是（ ）．

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

α

βF E

C B

A H G

D

试一试 略

例3 如图，已知12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠．

2

1

F

E C

B

A

D

试一试 从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系是解这类问题的基本思路．

例4 如图，AB 、CD 是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A 、C 两点，点E 是橡皮筋上一点，拽动E 点将橡皮筋拉紧后，请你探索A ∠、C ∠、AEC ∠之间具有怎样的关系？并说明理由．

D A

B

C

E

试一试 这是一道结论开放的探究性问题，由于E 点位置的不确定性，可引起对E 点不同位置的分类讨论（如夹在AB 、CD 之间或之外、内折或外折等），这是解本例的关键．

例5 平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．

（1）你能画出各直线之间的交点个数为n 的图形吗？其中n 分别为6，12，15． （2）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 分析与解 设7条直线交点的个数为n ，则021n ≤≤．（为什么？）

（1）如图①，得到的交点个数为6个；如图②，得到的交点个数为21个；如图③、④，得到的交点个数分别为12、15．

（2）n 的大小直接取决于7条直线中互相平行的直线的数量，因为7条直线中可能有： 一组平行线（2条；3条；4条；5条；6条；7条）；

二组平行线（2条，2条；2条，3条；2条，4条；2条，5条；3条，3条；3条，4条）； 三组平行线（2条，2条，2条；2条，2条，3条）； 没有平行线，

所以当我们探求本题的完整的答案时，可以分为上述四种情况，分别加以研究． 实际上本题的答案共有15个，即

0n =，6，8，10，12，14，15，15，16，17，18，18，19，20，21，其中重复数字表示

交点

个数相等但图形不同的答案．

图①

图②

图③

图④

平移变换

例6 平面上有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31︒． 分析 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多．

证明 在平面上任取一点O ，过O 点分别作这6条直线的平行线1'l ，2'l ，3'l ，4'l ，5'l ，6'l ，则由平行线的特性，知1'l ，2'l ，3'l ，4'l ，5'l ，6'l 之间互成的角与原来的6条直线1l ，2l ，3l ，4l ，5l ，6l 之间互成的角相等．

l 2

l 1l 3

l 4

l 5l 6

O

l 6'

l 5'l 4'

l 3'

l 1'

l 2'

现在我们考虑1'l ，2'l ，…，6'l 的情况，我们只考察1'l 与2'l ，2'l 与3'l ，…，5'l 与6'l ，6'l 与1'l 所成的角，由图不难发现这6个角成一个平角，即这6个角的和为180︒．

假设这6个角没有一个小于31︒，则这6个角都大于或等于31︒，从而这6个角的和至少为316186︒⨯=︒，这是不可能的，所以，这6个角中至少有一个小于31︒，不妨设1'l 与2'l 所成的角小于31︒，

则原来的直线1l 与2l 所成的角也必小于31︒．

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1．如图，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角174∠=︒，那么吸管与易拉罐下部夹角2∠=________度．

2

1

2．如图，已知AE BD ∥，1130∠=︒，230∠=︒，则C ∠=________．

2

1

D

A

B

C

E

3．将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与1∠互余的角是_______．

1

23

4

56

4．如图，AD EG BC ∥∥，AC EF ∥，则图中与1∠相等的角（不含1∠）有______个；若150∠=︒，则AHG ∠=________．

1F E

C

B

A H

G

D

5．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52︒，现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）

． A ．北偏西52︒ B ．南偏东52︒ C ．西偏北52︒ D ．北偏西38︒

6．如图，直线l m ∥，将含有45︒角的三角板ABC 的直角顶点C 放在直线m 上，若125∠=︒，则2∠的度数为（ ）．

A ．20︒

B ．25︒

C ．30︒

D ．35︒

2

1m l

C

B

A

7．如图，已知AB CD ∥，那么A C AEC ∠+∠+∠=（ ）．

D A B

C

E

A ．360︒

B ．270︒

C ．200︒

D ．180︒