专题01 因动点产生的等腰三角形问题(解析版)

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律

专题01因动点产生的等腰三角形问题

【类型综述】

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.

【方法揭秘】

我们先回顾两个画图问题：

1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．

已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．

①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么

1

2

AC=AB cos∠A；③如图3，如果CA＝CB，那么

1

2

AB=AC cos∠A．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．

【例1】抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0），B（5,0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，

（

A B

P

，求出直线C E的表达式为y=x+2-⎪⋅⋅⋅②，联立①②并解得：

3

m

，求出F 2-,0⎪，利用V PCF的面积为5，求出m即可；

3

图1图2图3

【典例分析】

2

9

点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C,D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x

轴于点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当V PCF的面积为5时，求点P的坐标；

(3)△当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

思路点拨

(1)把（-1,0），（5,0）代入函数,利用交点式求解即可.

(2)先求出点C，设点（2，m），然后得函数PB的表达式为：y=-1mx+5m⋯①，，根据CE⊥PE，

33

得故直线C E表达式中的k值为

3⎛6⎫

m⎝m⎭

x=2-2m⎛

2m⎫

3⎝⎭

( ) y = - （x + 1）(x-5) = - x 2 - 4 x - 5 = - x 2 + x + .

2 2 2 ， 2

( A B 故抛物线解析式为 y =- x 2 + x + C 2 P ， x + 2 - ⎪ ⋅⋅⋅ ② 故点 F 2 - ,0 ⎪ ＝ ⨯ PC ⨯ DF ＝ （2 - m ) 2 - - 2 ⎪ = 5， 2m 3 (3) P ⎛ 2, 3 ⎫⎪ 或 (2, -2 )． P

(3)由点 F 的坐标得： C P 2＝（2 - m ），CF 2＝（ 2m ） + 4, PF 2＝（ 2m ） + m 2 分别算出 C P ＝CF ，

3

3

CP ＝PF ， CF ＝PF 时的 m 即可.

满分解答

(1) 将抛物线化为交点式： y = - 2 x 2 + bx + c = - （x + h ）x + k ) 9 9

将 （

-1,0），（5,0）代入可得

2 2 2 8 10 9 9 9 9 9

2 8 10

9 9 9

.

(2)抛物线的对称轴为 x = 1 ，则点 （2，），

设点 （2，m ）

， 将点 P , B 的坐标代入一次函数表达式： y = sx + t 并解得：

1 函数 PB 的表达式为： y = - mx +

3

5m 3

⋯①，

Q CE ⊥ PE 故直线 CE 表达式中的 k 值为

将点 C 的坐标代入一次函数表达式，

3 m

，

同理可得直线 C E 的表达式为： y =

2m 联立①②并解得： x = 2 -

3

2m ⎫

⎛

3

⎭

⎝

3 m ⎛ 6 ⎫ ⎝ m ⎭

S VPCF 1 1 ⎛ ⎫

2 2 ⎝ ⎭

解得： m = 5 或 -3 （舍去 5 ），

故点 （2, -3）;

⎝ 2 ⎭

考点伸展

CP2＝（2-m）2，CF2＝（

2m

）2+4,PF2＝（）2+m2，

CP＝CF时，即：(2-m)=⎛

⎪+4，解得

CP＝PF时，(2-m)2=⎛

⎪+m

P 2,⎪或(2,-2)．

第（3）问的解题过程是这样的：

由

(2)确定的点F的坐标得：

2m

33

①当

2m⎫2

⎝3⎭

m=0：或36

5（均舍去），

②当

2m⎫2

⎝3⎭

2，解得：m=

3

2或3（舍去3），

③当CF＝PF时，同理可得：m=±2（舍去2），

故点

⎛3⎫

⎝2⎭

【例2】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点△M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．

2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答