高等数学附录2

m2
m3
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
m4
m3 2
m5
结束
阿基米德螺线
r a
a0
a0
• 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又 以定速 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为 阿基米德螺线 v r

结束
阿基米德螺线(续)
• 等距性: 过极点的射线与曲线 它们之间的间隔都是
a 2
F2
O
P
x
OF1 OF2
• 双纽线上的点 M 满足 : MF1 MF2
2
• 以 F1 为圆心 , 1 a 为半径作圆, 自O 作射线交圆于P, Q 则双纽线右支上的点满足 : OM PQ 由对称性 , 左支也有类似结果
结束
1 a2 2
伯努利双纽线的另一形式 即 • 结点(同拐点) : 在该点的切线为 x , y 轴 • 顶点:
y C
O
B
A
a
x
• 极值点:
极 值:
D
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
对应点:
• 曲率半径:
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
a
O

a x
O
x
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
精品课件！
结束
精品课件！
结束
四叶玫瑰线
a
O

x
O
a
x
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
t • 曲率半径: R 4 a sin 2
• 一拱长:
8a • 一拱面积: S 3 π a 2
• 渐屈线: 仍为摆线,
y O

M
在 O 坐标系下
与原摆线一致
πa 2πa
O
结束
x

心形线
y
x y ax a x y 或 r a(1 cos )
2
2
2
2

O
x
• 轨迹: 外摆线的一种
• 与 x 轴之间的面积: 1
结束
箕舌线
• 轨迹 : M是直径为a 的圆上的动点,
或
y a
t
Q是射线OM与 y = a 的交点,
QP⊥x 轴 , MP∥x 轴 P点轨迹即为箕舌线 .
x
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
O
• 渐近线: y = 0 • 曲线与渐近线之间的面积:
蔓叶线
y
Q
或
• 轨迹:
结束
对数螺线 (等角螺线) r e a
• 等角性 : 曲线与所有过极点的射线
A 1

O
的交角 都相等:
• 等比性: 过极点的射线与曲线交于 成等比级数, 公比为
A1 A0
A2
M
M 2x
M1
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
, A1 , A0 , A1 , 则 , OA 1 , OA0 , OA1 , 各线段
• 弧长 :
动画走向为
• 曲率半径 :
结束
双曲螺线 r a
• 曲线由两支组成 , 它们关于 y 轴对称 • 渐近点 : 极点 O

y
a M 2
M1
O
x
( ) • 渐近线 : y a • 曲率半径 : R a
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
1 2

3
11 12
点击图中任意点 动画开始或暂停
2 3 πa 2
结束
b t x (a b) cos t b cos a b 外摆线 (圆外旋轮线) 族 b t y (a b) sin t b sin a b 定圆圆心为 (0,0), 半径为 a, 动圆半径为 b, m b a
m = 1为心形线
y
t 1
O

x
参数的几何意义: t tan
π t (,1) ( π , ) 2 4
图形在第四象限 图形在第二象限
t (1, 0] ( 34π , π]
动画走向: －∞→－1 －1→+∞
t [0 , ) [0 , π ) 2
动圆直径 = 定圆直径 = a • 尖点: (0, 0)
点击图中任意点 动画开始或暂停
2 π a • 面积: 3 2
• 弧长: 8a
结束
心形线的另一种形式
x2 y2 a x a x2 y2
即 r a(1 cos )
y

O
a
x
• 尖点: (0, 0) • 面积: • 弧长: 8a
图形在第一象限
结束
笛卡儿叶形线(续)
Biblioteka Baidu
y
x
3at3 1 t
3at 1 t 3
2
A

t 1
y
• 结点:
a O a
x
在该点与 x 轴 y 轴相切, 曲率半径为 • 顶点:
• 渐近线: • 圈套所围面积:
• 曲线与渐近线之间的面积:
结束
摆线
x a( sin ) y a(1 cos )
(t tan )
M
O
P

a
x
播点 放击 开图 始片 或任 暂意 停处
M 是半径为 a 的母圆上的动点 , 满足 OM = PQ 之点 P 的轨迹即为 蔓叶线 • 渐近线:
• 曲线与渐近线之间的面积:
结束
笛卡儿叶形线 3at x 1 t3 2 3at y 1 t3
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
结束
• 扇形 M1O M 2 的面积 ：
S
动画走向为
a2 2
伯努利双纽线
或 • 结点(同拐点) : 在该点的切线斜率为±1 •顶 点:
B
y
D D
C
O

C
A x
• 极值点:
极 值: 对应点: • 曲率半径: • 双纽面积:
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
伯努利双纽线的轨迹特点 y
M Q
F1
M2 M 1 A3 A A1 2
交于 A1 , A2 , A3 ,,
M O
x
2π a 2 ( 1 arsh ) • 弧 长 : LOM a 2
其中arsh ln( 1 2 )
• 曲率半径 : R a
3 ( 2 1) 2
2 2
2 2 2 • 扇形 M 1O M 2 的面积 : S 1 a ( 1 2) 6
三次抛物线
y
半立方抛物线
y
O
x
O
x
• 拐点: (0, 0) • 关于原点对称
• 尖点: (0, 0) • 在尖点处与 x 轴相切 • 关于 x 轴对称
结束
概率曲线
A
y
B
O
x
• 拐点: • 拐点处切线斜率:
• 渐近线: • 与 x 轴之间的面积:
• 关于 y 轴对称
设 服从标准正态分布 , 则其概率密度函数为 1 x22 f ( x) e 2π • 拐点:
• 轨迹: 半径为 a 的圆周沿直线 无滑动地滚动时 , 其上
y
M
O
a
x
定点 M 的轨迹即为摆线 .
点击图中任意点动画开始或暂停
结束
摆线(续)
•周
x a( sin ) y a(1 cos )
y
M
期: T 2 π a
a
O
x1
2πa x
• 极大点: xk (2k 1) π a (k 1, 2 ,)