(数学试卷高一)第5-7章算法统计和概率综合测试(苏教版必修3)
高中数学必修三：概率与统计()
高中数学必修三：概率与统计1．要从已编号(1－50)的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( ).A．5，10，15，20，25B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5D．2，4，8，16，322．从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是( ).A．300克 B．360千克C．36千克D．30千克3．以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则,x y的值分别为（）A．2,5B．5,5C．5,8D．8,84．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都分别相等，且值分别为s与t，那么下列说法正确的是( ).A ．直线l1和l2一定有公共点(s ，t)B ．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s ，t)C ．必有直线l1∥l2D ．直线l1和l2必定重合5..设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( ).A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 6．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（ ） A ．r 越大，相关程度越大 B ．()0,r ∈+∞，r 越大，相关程度越小，r 越小，相关程度越大 C ．1r ≤且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小 D ．以上说法都不对7、.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标准差分别为sA 和sB,则（ ）(A) A x ＞B x ，sA ＞sB(B) A x ＜B x ，sA ＞sB (C) A x ＞B x ，sA ＜sB(D) A x ＜B x ，sA ＜sB8.山东采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）19某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）（A ）7 （B ）15 （C ）25 （D ）3510..样本（12,,,n x x x ）的平均数为x ，样本（12,,m y y y ）的平均数为()y x y ≠，若样本（12,,,n x x x ，12,,m y y y ）的平均数(1)z ax a y =+-，其中102α<<，则n ,m 的大小关系为( )A ．n m < B ．n m > C ．n m = D ．不能确定 11．某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显着差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是（ ） A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法12 ．总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。
高中数学 概率与统计测试题
高中数学概率与统计测试题一、选择题：（本题共10小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件 ②“当x 为某一实数时可使02x ”是不可能事件 ③“明天广州要下雨”是必然事件④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件， 其中正确命题的个数是 （ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 32．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )．A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a 3． 下列说法一定正确的是 （ ）A ．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B ．一枚硬币掷一次得到正面的概率是21，那么掷两次一定会出现一次正面的情况 C ．如买彩票中奖的概率是万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D ．随机事件发生的概率与试验次数无关 4．下列说法中，正确的是( )． A ．数据5，4，4，3，5，2的众数是4 B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数6．从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K ”的概率是( )． A ．154B ．127C ．118D ．2275．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( )．A ．14 B ．19 C ．16 D ．1126．在所有的两位数(10~99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )．A ．56 B ．45 C ．23 D ．127．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40％，甲不输的概率为90％，则甲、乙两人下成和棋的概率为A ．60％B ．30％C ．10％D ．50％ 8．下列说法正确的是A ．某厂一批产品的次品率为110，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品 B ．气象部门预报明天下雨的概率是90﹪，说明明天该地区90﹪的地方要下雨，其余10﹪的地方不会下雨C ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D ．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5．9．如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的( )．A ．平均数不变，方差不变B ．平均数改变，方差不变C ．平均数不变，方差改变D ．平均数改变，方差改变10．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为( )．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案填写在答题纸上） 11. 对于①“一定发生的”，②“很可能发生的”，③“可能发生的”，④“不可能发生的”，⑤“不太可能发生的”这5种生活现象，发生的概率由小到大排列为(填序号) 。
苏教版必修3高二 数学第5-6章算法与统计单元测试卷及答案解析
高二年级数学综合系列训练一班级_______ 姓名__________一、选择题：1．下列说法中不正确的是（ C ）A 、简单随机抽样是从个体数较少的总体中逐个抽取个体；B 、系统抽样是从个体较多的总体中，将总体均分为若干部分，再按事先确定的规则抽取；C 、系统抽样是将差异明显的总体分为相应的若干部分，再进行抽取；D 、分层抽样是将差异明显的总体分为相应的若干部分，再在每个部分中进行抽取． 2．有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（ D ）A 、5，10，15，20，25；B 、5，12，31，39，57；C 、5，15，25，35，45；D 、5，17，29，41，53． 3．语句“For I From 1 To 2006 Step 2”表示（ C ）A 、从1到2006的所有自然数；B 、从1到2006的所有偶数；C 、从1到2006的所有奇数；D 、从1到2006的所有实数． 4．循环语句“While 表达式循环体 End While ”中说法正确的是（ C ）A 、总是执行循环；B 、执行一次循环；C 、表达式为真，则执行循环；D 、遇到End 就结束． 5．如右图的算法，最后输出的x ，y 的值是（ C ）A 、3，8；B 、8，4；C 、8，3；D 、4，8． 6．下列一段伪代码的目的是（ A ）01ForI From 1 To 42End For Pr ints a a a s s a a←←←⨯←+A 、计算2342222+++；B 、计算23222++；C 、计算32；D 、计算42 7．算法的三种基本结构是（ C ）A 、顺序结构、模块结构、条件结构；B 、顺序结构、循环结构、模块结构；C 、顺序结构、条件结构、循环结构；D 、模块结构、条件结构、循环结构． 8．在输入语句中，若同时输入多个变量，则变量之间的分隔符号是（ A ）A 、逗号；B 、空格；C 、分号；D 、顿号．9．从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2006人中剔除6人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（ C ） A 、不全相等； B 、均不相等； C 、均相等； D 、无法确定．10．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需要从他们中间抽取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人分别抽取的人数各是（ A ）A 、6，12，18；B 、7，11，19；C 、6，13，17；D 、7，12，17． 二、填空题：11．某一城市共有38000名高考考生，据资料可知其中报考理化、生化、史政、其它的人数之比为：5.5∶2∶1∶1.5，现要用分层抽样的方法从全部考生中抽取一个500人的样本，那么应该在报考理化、生化、史政、其它的考生中各抽取的人数为_275_、_100_、_50_、_75_． 12．下面的程序运行的结果是__4__N 0I 0While I 30I (I 1)(I 1)N N 1End While PrintN←←<←+⨯+←+ 13．一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率为30和0.25，则n =__120__． 14． Read xIf 9<x And x <100 Thena ←x \10b ←x Mod 10 （注：“＼”是x 除以10的商，“x Mod 10”是x 除以10的余数） x ←10b +a Print xEnd If上述伪代码运行后，输出x 的含义是_将两位数x 的个位与十位对换位置_. 三、解答题：15．分别用辗转相除法和更相减损术求840与1764的最大公约数. 解：辗转相除法： 更相减损术：1764=2×840+84 840=10×84+0故：840与1764的最大公约数是84．16．用秦九韶算法计算函数：43()2354f x x x x =++-，当2x =时的函数值．解：()(((23))5)4f x x x x x =++-；2×2＋3＝7； 2×7＝14； 2×14＋5＝33；2×33－4＝62； 故当2x =时的函数值为62．17．某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下： 甲：102，101，99，98，103，98，99； 乙：110，115，90，85，75，115，110． （1）这种抽样方法是哪一种方法？（2）计算甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：（1）采用的方法是：系统抽样；（2）1102101999810398991007x =++++++=甲（）；11101159085751151101007x =++++++=乙（）；214114941 3.428577S =++++++=甲（）；21100225100225625225100228.577S =++++++=乙（）；∴ 22S S <乙甲 故甲车间产品比较稳定．18．为了了解某地区高二年级男生的身高情况，从该地区中的一所高级中学里选取容量为60的样本（60名男生的身高，单位：cm ），分组情况如下：（1）求出表中a ，m 的值；（2）画出频率分布直方图和频率折线图． 解：（1）因为0.160m=，即6m =； 又因为606216270.456060a ---===；所以0.45a =，6m =．（2）频率分布直方图和折线图如下：151.5158.5165.5172.5179.5Ocm频率组距19．某次考试，满分100分，按规定：80x ≥者为良好，6080x ≤<者为及格，小于60者为不及格；试设计一个当输入一个同学的成绩x 时，就能输出这个同学属于良好、及格还是不及格的算法，并画出流程图． 解：算法如下：S1 输入x ；S2 如果80x ≥，那么输出“良好”，结束； S3 否则，如果60x ≥，那么输出“及格”，结束； S4 否则，输出“不及格”，结束．流程图如下：开始x ≥ 80↓↓输入x 结束↓N 输出“良好”↓Yx ≥ 60↓输出“及格”↓输出“不及格”↓NY20．给出30个数：1，2，4，7，……，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的流程图（如右下图所示）： （1）该算法使用什么类型的循环结构；（2）图中①处和②处应填上什么语句，才能使之完成该题算法功能； （3）根据流程图写出伪代码． 解：（1）是“当型”循环结构；（2）①I 30≤，②P P 1←+； （3）伪代码如下：。
最新高中数学必修1综合测试卷(三套+含答案)教学教材
１、设全集 集合 从 到 的一个映射为 ，其中 则 _________________。
2、已知 是方程 的根， 是方程 的根，则 值为______________。
3、已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时 则当 时
________________。
4、函数 的反函数 的图像与 轴交于点 （如图所示），则方程 在 上的根是
5、设
A、0B、1 C、2D、3
6、从甲城市到乙城市 分钟的电话费由函数 给出，其中 ， 表示不大于 的最大整数（如 ），则从甲城市到乙城市 分钟的电话费为______________。
7、函数 在区间 上为增函数，则 的取值范围是______________。
8、函数 的值域为______________。
令 (0≤t≤ )，则x=t2+1，
∴ …………………………………………………8分
故当t= 时,可获最大利润 万元.……………………………………………………10分
此时，投入乙种商品的资金为 万元,
投入甲种商品的资金为 万元.……………………………………………………12分
21、（1）证明： ，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，…2分
22、解：（1） 是R上的奇函数 ，
即 ，即
即 ∴
或者 是R上的奇函数
，解得 ，然后经检验满足要求。…………………………………3分（2）由（1）得
设 ，则
，
，所以 在 上是增函数…………………………………7分
（3） ，
所以 的值域为(-1，1)
或者可以设 ，从中解出 ，所以 ，所以值域为(-1，1)…12分
高中数学必修1综合测试卷(三套+含答案)
高一数学统计与概率试题
高一数学统计与概率试题1.【答案】(1) 这是一个古典概型，事件A的基本事件为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）．而基本事件的总数为5×5=25，所以事件A发生的概率是．(2) 如图，试验的全部结果所构成的区域为一个正方形区域，面积为SΩ=25，事件A所构成的区域为A={（）/ 0≤a<5,0 ≤b<5,-2<a-b<2},即图中的阴影部分，面积为SA=16,这是一个几何概型，所以P（A）=SA/SΩ=．【解析】略2.从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个黒球与都是黒球C．至少有一个黒球与至少有个红球D．恰有个黒球与恰有个黒球【答案】D【解析】A中至少有一个黒球包括都是黑球，不是互斥的；B中至少有一个黒球包括都是黑球，不是互斥的；C中两个事件都可能是1黑球1红球；D中是互斥事件但不对立【考点】互斥事件与对立事件3.甲乙两人进行相棋比赛,甲获胜的概率是0．4,两人下成和棋的概率是0．2,则甲不输的概率是（）A．0．6B．0．8C．0．2D．0．4【答案】A【解析】甲不输包含甲获胜或两人和棋，为互斥事件，所以概率相加，所以【考点】互斥事件的概率4. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为，中位数为，众数为，则有A．B．C．D．【答案】D【解析】由数据可知众数c=17，中位数b=15，平均数a=14．7，故选D．【考点】平均数中位数众数的概念．5.从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,所选5名学生的学号可能是A．1,2,3,4,5B．5,15,25,35,45C．2,4,6,8,10D．4,13,22,31,40【答案】B【解析】系统抽样抽取的元素编号构成等差数列，公差为组距，本题中组距为10，因此B选项正确【考点】系统抽样6.现有7根铁丝，长度（单位：cm）分别为2.01，2.2，2.4，2.5，2.7，3.0，3.5，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差0.3cm 的概率是．【答案】【解析】从7根铁丝中依次随机抽取两根铁丝可能发生的基本事件有：共21种，其中长度恰好相差0.3cm 的有共3种，因此所求的概率为【考点】古典概型；7.（本小题满分12分）为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“某省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率180．99（1）分别求出的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．【答案】（1）a=5,b=27,x=0.9,y=0.2;（2）第2，3，4组每组各抽取2人，3人，1人；（3）。
高一数学概率试题答案及解析
高一数学概率试题答案及解析1.点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】此题属于几何概型概率问题，在正方形ABCD内到点A距离|PA|＜1的区域是以A为圆心，半径为1的圆面，所以所求事件的概率为.2.面积为S的△ABC中，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为()A．B．C．D．【答案】A【解析】向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.3.x是[－4,4]上的一个随机数，则x满足x2＋x－2≤0的概率是()A．B．C．D．0【答案】B【解析】求出x2＋x－2≤0的解集为[－2,1]，区间[－2，1]的长度为3，区间[－4,4]的长度为8，长度之比即是所求的概率为.故选B.4.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径的概率为() A．B．C．D．【答案】D【解析】选D.如图所示，图中AB＝AC＝OB(半径)，则弦长超过半径，即是动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上，由几何概型的概率计算公式，得P＝＝.故选D.5.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．【答案】【解析】：先求点P到点O的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于1或等于1的概率为：＝，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－＝.答案：6.将[0,1]内的均匀随机数转化为[－2,6]内的均匀随机数，需要实施的变换为()A．a＝a1*8B．a＝a1*8+2C．a＝a1*8-2D．a＝a1*6【答案】C【解析】设变换式为a＝a1k＋b，则有.解之得，故实施的变换为a＝a1]7.从甲地到乙地有一班车在9∶30到10∶00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？【答案】【解析】解：记事件A＝{能赶上车}．(1)利用计算机或计算器产生两组均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，x＝x1](3)统计试验总次数N及赶上车的次数N1(满足x<y的点(x，y)数)．(4)计算频率fn(A)＝即为能赶上车的概率的近似值．8. (2011年云南一模)从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘，积是偶数的概率是()A．B．C．D．【答案】A【解析】任取两个数相乘，共有1×3,1×6,1×8,3×6,3×8,6×8,6种结果，积为偶数的有5种结果，故概率为.9.已知集合A＝{－1,0,1}，点P的坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A.记点P落在第一象限为事件M，则P(M)等于()A．B．C．D．【答案】C【解析】略点P的坐标可能为(－1，－1)，(－1,0)，(－1，1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1，－1)，(0，－1)，(1,1)共9种，其中落在第一象限的点的坐标为(1,1)，故选C.10.下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学．如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是()A．B．C．D．【答案】A【解析】已知有2位女同学和2位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走的是男同学的概率是P＝＝.11.从含有3个元素的集合的子集中任取一个，则所取得的子集是含有2个元素的集合的概率是________．【答案】【解析】{a，b，c}的所有子集共有8个：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含有2个元素的子集共有3个．故所求概率为.12.同时抛掷两颗骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率；(3)点数之和大于3的概率．【答案】(1) (2) (3)【解析】解：从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36个．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．所以P(A)＝＝.(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)＝＝.(3)点数之和小于或等于3的基本事件有(1,1)，(1,2)，(2,1)，其概率为＝，“由点数之和大于3”其对立事件为“点数之和小于或等于3”，所以点数之和大于3的概率为1－＝.13.已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1,1,2,3,4,5}和Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．【答案】【解析】解：函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即a≥2b且a>0.若a＝1，则b＝－2，－1；若a＝2，则b＝－2，－1,1；若a＝3，则b＝－2，－1,1；若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；若a＝5，则b＝－2，－1,1,2.∴事件包含的基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16，又所有基本事件的个数是6×6＝36，∴所求事件的概率为＝.14.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于()A．产生的随机数的大小B．产生的随机数的个数C．随机数对应的结果D．产生随机数的方法【答案】B【解析】随机数容量越大，概率越接近实际数．15.某银行储蓄卡上的密码是一种含4位数字的号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取，某人未记住密码的最后一位数字，如果按密码的最后一位数字时随意按下一位，则恰好按对密码的概率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】只考虑最后一位数字即可，从0至9这10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字，则恰好按对密码的概率为.16.一枚硬币连续投掷三次，至少出现一次正面向上的概率为()A．B．C．D．【解析】连掷三次硬币，所有情况共8种：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正，)，(反，正，反，)，(反，反，正)，(反，反，反)，其中至少出现一次正面向上的情况共7种．17.有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如右图），从中任意一张是数字3的概率是（）A．1/6B．1/3C．1/2D．2/3【答案】B【解析】本题考查了简单随机抽样，思路分析：每一张被抽中的概率均为，其中数字3的卡片有两张，所以，从中任意一张是数字3的概率是1/318.如图,一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等,则随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查了几何概率模型中，事件A发生的概率思路分析：黑色区域占飞镖游戏板的=，故随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是比较简单的几何概率模型19.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题考查了学生的观察能力以及对概率概念的理解。
(压轴题)高中数学必修三第一章《统计》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件2．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为1A ，216,,A A ⋯，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）A ．10B ．6C ．7D ．163．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（ ）A ．48B ．60C ．64D ．724．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生5．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为37．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A ．90.5B ．91.5C ．90D ．918．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位9．某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为 A ．12B ．14C ．16D ．1810．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为7.5ˆyx a =+，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ） A ．97万元B ．96.5万元C ．95.25万元D ．97.25万元11．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为（ ） A ．3B ．5C ．9D ．1112．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( ) A ．112种B ．100种C ．90种D ．80种二、填空题13．用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为1~400，按编号顺序平均分为20个组.若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第17组抽取的号码为________.14．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据()(),1,2,3,,8i i x y i =，其回归直线方程是12y x a =+，且8116i i x ==∑，8148i i y ==∑，则实数a =__________.15．通过市场调查，得到某种产品的资金投入x (单位:万元)与获得的利润y (单位:万元)的数据，如表所示:根据表格提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程为0.36ˆˆybx =-，现投入资金15万元，求获得利润的估计值（单位：万元）为_____________.16．已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人．17．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．18．总体由编号为01，02，⋅⋅⋅，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取样本，选取方法是从随机数表第2行的第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为__________．19．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．20．已知一组数据x ，8，7，9，7，若这组数据的平均数为8，则它们的方差为______．三、解答题21．2020年1月末，新冠疫情爆发，经过全国人民的努力，2月中旬，疫情得到了初步的控制，湖北省以外地区的每日新增确诊人数开始减少，某同学针对这个问题，选取他在统计学中学到的一元线性回归模型，作了数学探究：他于2月17日统计了2月7日至16日这十天湖北省以外地区的每日新增确诊人数，表格如下： 日期 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.132.14 2.15 2.16代号x 123 45 6 78910新增确诊人数y558 509444381 377 312 267221166 115y x y x 计算出： 5.5,335x y ==，()()1013955iii x x y y =--=-∑，()210182.5ii x x =-=∑（1）请你帮这位同学计算出y 与x 的线性回归方程(精确到0.1)，然后根据这个方程估计湖北省以外地区新增确诊人数为零时的大概日期；附：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1012101iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-（2）实际上2月17日至2月22日的新增确诊人数如下：出评价.22．据统计某品牌服装专卖店一周内每天获取得纯利润y （百元）与每天销售这种服装件数x （百件）之间有如下一组数据.该专卖店计划在国庆节举行大型促销活动以提高该品牌服装的知名度，为了检验服装的质量，现从厂家购进的500件服装中抽取60件进行检验，（服装进货编号为001-500）. （1）利用随机数表抽样本时，如果从随机数表第8行第2列的数开始按三位数连贯向右读取，试写出最先检测的5件服装的编号；（2）求该专卖店每天的纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程.（精确到0.01） （3）估计每天销售1200件这种服装时获多少纯利润？ 附表：（随机数表第7行至第9行）84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 23429 78645 60782 52420 74438 15510 01342 99660 27954 参考数据：721280i i x==∑，72145309i i y ==∑，713487i i i x y ==∑.参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-23．某市为了解疫情过后制造业企业的复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月份产值增长率x 的频率分布表如下：企业数13 40 35 8 4（1）估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例； （2）求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.24．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表： 气温()x ℃ 27 29 30 32 33 35 数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y 关于x 的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，，(,)n n x y 的回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=- 25．某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）（2）某老师抽取了10名学生的分数：12310,,,...,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差6s =，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.（参考公式：221nii xnx s n=-=∑（3）该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为60米，南北宽均为20米.其中1号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为40米，3号教学楼在2号教学楼的正东且楼距为72米.现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为35,55,105米，每个售价相应依次为1500,2000,4000元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为100元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：22221044100,19236864,11012100===）26．在社会实践活动中，“求知”小组为了研究某种商品的价格x （元）和需求量y （件）之间的关系，随机统计了11月1日至11月5日该商品价格和需求量的情况，得到如下资料： 日期 11月1日 11月2日 11月3日 11月4日 11月5日 x （元） 14 16 18 20 22 y （件）1210743该小组所确定的研究方案是：先从这五天中选取2天数据，用剩下的3天数据求线性回归方程，再对被选取的2天数据进行检验.（1）若选取的是11月1日与11月5日两天数据，请根据11月2日至11月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2件，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+上且2b =-，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.2．A解析：A 【分析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于90分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于90分的个数数出来，即为输出的结果． 【详解】176A =，1i =，16i ≤成立，190A ≥不成立，112i =+=； 279A =，2i =，16i ≤成立，290A ≥不成立，112i =+=；792A =，7i =，16i ≤成立，790A ≥成立，011n =+=，718i =+=；依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于90分的学生数为10，故选A ． 【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题．3．B解析：B 【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=，求出a ，计算出数据落在区间[90,110)内的频率，即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =，所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=， 所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=， 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.4．C解析：C 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.5．B解析：B 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．D解析：D 【详解】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差7．A解析：A 【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可. 【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95， 所以中位数为90+91=90.52，故选A. 【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】细查题意，根据回归直线方程中x 的系数是 1.5-，得到变量x 增加一个单位时，函数值要平均增加 1.5-个单位，结合回归方程的知识，根据增加和减少的关系，即可得出本题的结论. 【详解】因为回归直线方程是2 1.5ˆyx =-， 当变量x 增加一个单位时，函数值平均增加 1.5-个单位， 即减少1.5个单位，故选C.【点睛】本题是一道关于回归方程的题目，掌握回归方程的分析时解题的关键，属于简单题目.9．C解析：C【解析】【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数.【详解】 根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为421105020=， 则在高三年级抽取的人数是14001625⨯=人， 故选C.【点睛】该题所考查的是有关分层抽样的问题，在解题的过程中，需要明确无论采用哪种抽样方法，都必须保证每个个体被抽到的概率是相等的，所以注意成比例的问题. 10．C解析：C【解析】【分析】首先求出x y ，的平均数，将样本中心点代入回归方程中求出a 的值，然后写出回归方程，然后将10x =代入求解即可【详解】()19.59.39.18.99.79.35x =⨯++++= ()19289898793905y =⨯++++= 代入到回归方程为7.5ˆyx a =+，解得20.25a = 7.25ˆ50.2yx ∴=+ 将10x =代入7.50.5ˆ22yx =+，解得ˆ95.25y = 故选C【点睛】本题是一道关于线性回归方程的题目，解答本题的关键是求出线性回归方程，属于基础题。
(典型题)高中数学必修三第三章《概率》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316B ．38C ．14D ．182．福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开，组委会预备在会议期间从3女2男共5名志愿者中任选2名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ）A ．110B ．310C ．12D ．353．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）A ．8πB ．16π C ．18π-D ．116π-4．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1－9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1－9这9个数字表示两位数中，能被3整除的概率是（ ）A ．518B ．718C ．716D ．5165．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） A ．35B ．79C ．715D ．31456．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ） A ．310B ．25C ．825D ．357．将一枚质地均匀的硬币连掷三次，设事件A ：恰有1次正面向上；事件B ：恰有2次正面向上，则()P A B +=（ ） A ．23B ．14C ．38D ．348．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，23CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）A ．12B ．34C ．27D ．389．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．41310．已知三棱锥P ﹣ABC 的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，则从中任意取出的两条，这两条棱长度相等的概率为（ ） A ．815B ．715C ．45D ．3511．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为 A ．0.24B ．0.26C ．0.288D ．0.29212．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）A ．()23323ππ-- B ．()323π-C ．()323π+ D ．()23323ππ-+二、填空题13．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.14．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则至少有1名女医生被选中的概率为__________.15．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．16．五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，则五位德国游客互不相邻的概率为_______.17．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.18．已知四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 2.PA AB ==现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率为______．19．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．20．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________三、解答题21．某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率．22．新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为5 12.（1）根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？（2）若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.附：22(),()()()()n ad bcK n a b c da b a c c d b d-==+++ ++++23．一个盒子里装有m个均匀的红球和n个均匀的白球，每个球被取到的概率相等，已知从盒子里一次随机取出1个球，取到的球是红球的概率为13，从盒子里一次随机取出2个球，取到的球至少有1个是白球的概率为10 11.（1）求m，n的值；（2）若一次从盒子里随机取出3个球，求取到的白球个数不小于红球个数的概率. 24．一次考试结束后，随机抽查了某校高三（1）班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.25．为了弘扬中华民族传统文化，某中学高二年级举行了“爱我中华，传诵经典”的考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示.（1）若该年级共有1000名学生，试利用样本估计该年级这次考试中优秀生人数； （2）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间中点值作代表）； （3）若在样本中，利用分层抽样从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取2人赠送一套国学经典典籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率.26．2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[0,40]，(40,80]，(80,120]，(120,160]，(160,200]得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====.∴1124BCI S ∆==，112242BCI EFGHS S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A. 2．B解析：B 【解析】设3名女志愿者为,,A B C ，2名男志愿者为,a b ，任取2人共有,,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb AB AC BC ab ，共10种情况，都是女性的情况有,,AB AC BC三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为310，故选B. 3．C解析：C 【分析】设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ，由题意求得r ，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设黑色小圆的半径为r ，则黑色大圆的半径为2r ， 由题意可知，88r =，即1r =．∴图中黑色区域的面积为222884412648ππππ⨯-⨯+⨯⨯+⨯=-，又正方形的面积为64．∴在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648ππ-=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意把6根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被3整除即可得概率． 【详解】1根算筹只能表示1,2根根算筹可以表示2和6,3根算筹可以表示3和7,4根算筹可以表示4和8,5根算筹可以表示5和9，因此6根算筹表示的两位数有15,19,51,91,24,28,64,68,42,82,46,86,37,33,73,77共16个，其中15,51,24,42,33共5个可以被3整除， 所以所求概率为516P =．故选：D．【点睛】本题考查古典概型，考查中国古代数学文化，解题关键是用列举法写出6根算筹所能表示的两位数．5．A解析：A【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：139 25P=⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：237 59P=⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率.【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1329 515 2P=⨯=，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：2377 5915P=⨯=，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P=+=+=，故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据部分平均分组分配的方法可求得分法总数和伯爵恰有两人的分法数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C AAA A A⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C CC A C C AA A⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B . 【点睛】本题考查数学史与古典概型概率问题的求解，关键是能够利用排列组合中不平均分组分配的方法确定分法总数和符合题意的分法数.7．D解析：D 【分析】根据题意，列举出所有的基本事件，再分别找出满足事件A 与事件B 的事件个数，分别求出其概率，最后再相加即可. 【详解】根据题意，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，可能出现的情况有以下8种：（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），（反正反），（反反正），（反反反）.满足事件A ：恰有1次正面向上的基本事件有（正反反），（反正反），（反反正）三种，故3()8P A =；满足事件B ：恰有2次正面向上的基本事件有（正正反），（正反正），（反正正）三种，故3()8P B =；因此，3()()()4P A B P A P B +=+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用列举法计算基本事件的个数以及求解事件发生的概率.8．C解析：C 【分析】由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由23CN NG AB ==，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224⨯=，多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为42147=. 故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.9．C解析：C 【分析】 由题意求出7AB BD =，所求概率即为DEF ABCS P S=，即可得解.【详解】由题意易知120ADB ∠=，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即7AB BD =，所以7AB FD =，则所求概率为217DEF ABCSFD P SAB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=，由此能求出这两条棱长度相等的概率． 【详解】解：三棱锥P ABC -的6条棱中，有2条长为1，有4条长为2，从中任意取出的两条，基本事件总数2615n C ==，这两条棱长度相等包含的基本事件个数22247m C C =+=， ∴这两条棱长度相等的概率715m p n ==． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．C解析：C 【分析】首先分析可能的情况：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后计算相应概率. 【详解】因为摸一次球，是白球的概率是0.4，不是白球的概率是0.6， 所以0.40.60.40.40.40.60.60.40.40.288P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查有放回问题的概率计算，难度一般.12．A解析：A 【分析】设2BC =，将圆心角为3π的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233ππ⨯⨯， 等边ABC ∆的面积为212sin 323π⨯⨯=，其中一个弓形的面积为233π-， 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，即222322333πππ⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率()()323312323πππ--=--，故选A.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用定积分求得阴影部分的面积然后利用几何概型的概率计算公式即可求解【详解】由题意结合定积分可得阴影部分的面积为由几何概型的计算公式可得黄豆在阴影部分的概率为【点睛】本题主要考查了定积分的几何解析：1 3【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为311221 (1()|33S dx x x=-=-=⎰，由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为113113 p==⨯．【点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．14．【分析】基本事件总数选中的都是男医生包含的基本事件个数根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者所以随机选取2名医生赴湖北支援共有个基本事解析：7 10【分析】基本事件总数2510n C==，选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，根据对立事件的概率能求出选中的至少有1名女医生的概率.【详解】因为医疗团队从3名男医生和2名女医生志愿者，所以随机选取2名医生赴湖北支援共有2510n C==个基本事件，又因为选中的都是男医生包含的基本事件个数233m C==，所以至少有1名女医生被选中的概率为3711010 P=-=.故答案为：7 10【点睛】本题主要考查了排列组合，古典概型，对立事件，属于中档题.15．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解.16．【分析】基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：由此能求出五位德国游客互不相邻的概率【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照基本事件总数五位德国游客互不相邻包含的 解析：799【分析】基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =，由此能求出五位德国游客互不相邻的概率． 【详解】解：五位德国游客与七位英国游客在游船上任意站成一排拍照，基本事件总数1212n A =，五位德国游客互不相邻包含的基本事件个数为：7578m A A =， ∴五位德国游客互不相邻的概率为75781212799A A m p n A ===．故答案为：799．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．2【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识点有长度解析：2 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可.【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.18．【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积结合几何概型的概率公式进行求解即可【详解】四棱锥扩展为正方体则正方体的对角线的长是外接球的直径即即则四棱锥的条件球的体积为则该点取自四棱锥的内部的概率故答案 23【分析】根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【详解】四棱锥P ABCD -扩展为正方体， 则正方体的对角线的长是外接球的直径， 即32R =，即3R =则四棱锥的条件1822233V =⨯⨯⨯=，球的体积为34(3)433ππ⨯=， 则该点取自四棱锥P ABCD -的内部的概率823343P π==， 故答案为239π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．19．【解析】【分析】由题意从中任取两个不同的数共有中不同的取法再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法利用对立事件的概率计算公式即可求解【详解】由题意从中任取两个不同的数共有中解析：5 6【解析】【分析】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，从1,2,3,4中任取两个不同的数，共有246C=中不同的取法，其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为1,4时，只有一种取法，所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为15166 P=-=.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20．78【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种解析：【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故答案为：．【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．三、解答题21．（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17 18.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13 18.试题（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A,则()11117 133218P A=-⨯⨯=.（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.根据题意,()11111033218P X=-=⨯⨯=, ()2112023329P X==⨯⨯⨯=,()2212103329P X==⨯⨯=,()11112033218P X==⨯⨯=,()21123023329P X==⨯⨯⨯=,()2212403329P X==⨯⨯=.随机变量X的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 22．（1）有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）13203. 【分析】（1）先求出,x y ，再根据独立性检验可得结论； （2）由组合的应用和古典概率公式可求得其概率. 【详解】 （1）由题知2056012y +=，即5y =，∴25x =，35A =，25B =， ∴2260(1052520)10815.42910.828352530307K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效；（2）由题知试验样本中已感染新冠病毒的猕猴有30只，其中注射了重组新冠疫苗的猕猴有5只，则213525533013203C C C P C +==. 【点睛】本题考查补全列联表，独立性检验，以及组合的应用和古典概率公式，求解时注意“至少”，“至多”等，属于中档题. 23．（1）4m =，8n =（2）4255【分析】（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个，利用古典概型、对立事件概率计算公式列出方程组，能求出m ，n ．（2） “一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”分为“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”和“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球数为1个”，由此能求出取到的白球个数不小于红球个数的概率． 【详解】解：（1）设该盒子里有红球m 个，白球n 个.根据题意得221310111m m n m m n C C +⎧=⎪+⎪⎨⎪-=⎪⎩， 解方程组得4m =，8n =， 故红球有4个，白球有8个.（2）设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A .设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为3个”为事件B ，则3831214()55C P B C ==设“一次从盒子里任取3个球，取到的白球个数为2个，红球个数为1个”为事件C ，则。
(压轴题)高中数学必修三第一章《统计》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元2．若一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数为5，方差为2，则12323,23,23x x x ---，4523,23x x --的平均数和方差分别为（ ）A ．7，-1B ．7，1C ．7，2D ．7，83．已知变量x ，y 的关系可以用模型kx y ce =拟合，设ln z y =，其变换后得到一组数据下：x 16 17 18 19 z50344131由上表可得线性回归方程4z x a =-+，则（ ） A ．4-B ．4e -C ．109D ．109e4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度5．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（ ）A ．48B ．60C ．64D ．726．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ）A ．45B ．47C ．48D ．637．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08158．如图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图，设1、2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为12s s 、，那么（ ）（注:标准差222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-A ．1212,x x s s >>B ．1212,x x s s ><C ．1212,x x s s <<D ．1212,x x s s9．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，810．某校为了提高学生身体素质，决定组建学校足球队，学校为了解报名学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图），已知图中从左到右3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12,则该校报名学生总人数（ ）A ．40B ．45C ．48D ．5011．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位 D ．y 平均减少2个单位12．已知一组数据12,,,n x x x 的平均数3x =，则数据1232,32,,32n x x x +++的平均数为（ ） A ．3B ．5C ．9D ．11二、填空题13．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高[)120130,，[)130140,，[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为________.14．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______.15．某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取______人. 16．给出下列命题：①若函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称； ②点(2,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,3)；③通过回归方程y bx a =+可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④正弦函数是奇函数，2()sin(1)f x x =+是正弦函数，所以2()sin(1)f x x =+是奇函数，上述推理错误的原因是大前提不正确. 其中真命题的序号是__________． 17．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________．18．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．19．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为__________．20．为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．三、解答题21．某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：月份i 7 8 9 10 11 12 销售单价i x （元） 9 9.5 10 10.5 11 8.5 销售量i y （元）111086514y x （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 22．我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善,也加重了北方地区冬季的雾霾天气.推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命的重要内容.2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加，下面条形图反映了某省2018年1～7月份煤改气、煤改电的用户数量.（1）在给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y 随月份t 变化的散点图，并用散点图和相关系数说明y 与t 之间具有线性相关性；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量.参考数据：7772111y9.24,t39.75,0.53,7 2.646i i ii i iiy=====⋅≈≈∑∑∑（y-y）.参考公式：相关系数()()()()()()11112211,ni i n n nii i i i in ni i ii ii it t y yr t t y y t y t yt t y y======⋅--=⋅--=-⋅-⋅-∑∑∑∑∑∑.回归方程ˆy a bt=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,ni iiniit t y yb a y btt t==⋅--==-⋅-∑∑.23．某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），以[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x的值；并估计出月平均用水量的众数.（2）求月平均用水量的中位数及平均数；（3）在月平均用水量为[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在[10,12)这一组的用户中抽取多少户？（4）在第（3）问抽取的样本中，从[10,12)[12,14)这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？24．学生甲在一次试验中用显微镜观察某种环境下细菌的个数，发现时间x（分钟）时刻的细菌个数为y个，统计结果如下：x12345y23445（Ⅰ）在给出的坐标系中画出x，y的散点图，说明细菌个数和时间是正相关还是负相关.（Ⅱ）根据表格中的5组数据，求y关于x的回归直线方程ˆˆˆy bx a=+，并根据回归直线方程估计从实验开始，什么时刻细菌个数为12.参考公式：（1221ˆˆˆ,ni iiniix y nx yx naxb y bx====---∑∑）25．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：温度（单位：C︒）212324272932死亡数y（单位：株）61120275777经计算：611266iix x===∑，611336iiy y===∑，()()61557i iix x y y=--=∑，()62184iix x=-=∑，()6213930iiy y=-=∑，()621ˆ236.64iiy y=-=∑，8.0653167e≈，其中ix，iy分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i=.（1）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程ˆˆˆy bx a=+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程0.2303ˆ0.06xy e=，且相关指数为20.9522R =.（i ）试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好； （ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C ︒时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-；相关指数为：()()22121ˆ1ni i i niii v vR v v ==-=--∑∑.26．某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）（2）某老师抽取了10名学生的分数：12310,,,...,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差6s =，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.（参考公式：221nii xnx s n=-=∑（3）该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为60米，南北宽均为20米.其中1号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为40米，3号教学楼在2号教学楼的正东且楼距为72米.现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为35,55,105米，每个售价相应依次为1500,2000,4000元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为100元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：22221044100,19236864,11012100===）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：根据线性回归方程=50+80x 的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可． 解：根据线性回归方程为=50+80x ，得；劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A 正确； ∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B 正确；劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C 错误；当月工资为210元时，210=50+80x ，解得x=2， 此时劳动生产率约为2000元，D 正确． 故选C ．考点：线性回归方程．2．D解析：D 【分析】根据平均数的性质,方差的性质直接运算可得结果. 【详解】令23(1,2,,5)i i y x i =-=1234555x x x x x x ++++==,1234523232323232310375x x x x x y x -+-+-+-+-∴==-=-=，（也可()(23)2()32537E y E x E x =-=-=⨯-=） ()()()2y 232428D D x D x =-==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查方差及平均值的性质的简单应用，属于中档题.3．D解析：D由已知求得x 与z 的值，代入线性回归方程求得a ，再由kxy ce =，得()kx kx lny ln ce lnc lne lnc kx ==+=+，结合z lny =，得z lnc kx =+，则109lnc =，由此求得c 值．【详解】 解：1617181917.54x +++==，50344131394z +++==． 代入4z x a =-+，得39417.5a =-⨯+，则109a =．∴4109z x =-+，由kx y ce =，得()kx kx lny ln ce lnc lne lnc kx ==+=+， 令z lny =，则z lnc kx =+，109lnc ∴=，则109c e =． 故选：D ． 【点睛】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属于中档题．4．A解析：A 【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误． 【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ．【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．5．B解析：B 【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=，求出a ，计算出数据落在区间[90,110)内的频率，即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =，所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=， 所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=，【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可. 【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63， 最中间的数为：45，所以，中位数为45． 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．A解析：A 【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为10002050= 所以抽取的第40个数为1520(401)795+⨯-=选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.8．C解析：C 【分析】由茎叶图分别计算出两组数的平均数和标准差，然后比较大小 【详解】读取茎叶图得到两组数据分别为： (1)53565758617072，，，，，， (2)54565860617273，，，，，，()()11503678112022617x kg =+⨯++++++=，()()215046810112223627x kg =+⨯++++++=，1s ==，2s == 则1212,x x s s << 故选C 【点睛】本题给出茎叶图，需要求出数据的平均数和方差，着重考查了茎叶图的认识，样本特征数的计算等知识，属于基础题．9．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图10．C解析：C 【分析】根据频数关系，求出前三段每段的频数，由直方图求出四五组的频率，进而求出前三组的频率和，从而可求该校报名学生的总人数. 【详解】从左到右3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12，∴从左到右3个小组的频数分别为6,12,18，共有36人，第4,5小组的频率之和为()0.03750.012550.25+⨯=， 则前3小组的频率之和为10.250.75-=， 则该校报名学生的总人数为360.7548÷=，故选C. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.11．C解析：C 【解析】 【分析】细查题意，根据回归直线方程中x 的系数是 1.5-，得到变量x 增加一个单位时，函数值要平均增加 1.5-个单位，结合回归方程的知识，根据增加和减少的关系，即可得出本题的结论. 【详解】因为回归直线方程是2 1.5ˆyx =-， 当变量x 增加一个单位时，函数值平均增加 1.5-个单位， 即减少1.5个单位，故选C. 【点睛】本题是一道关于回归方程的题目，掌握回归方程的分析时解题的关键，属于简单题目.12．D解析：D 【解析】分析：一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数；；依此规律求解即可．详解：：∵一组数据12,,,n x x x 的平均数为3， ∴另一组数据1232,32,,32n x x x +++的平均数121211323232[32]33211n n x x x x x x n n n=++++⋯++=++⋯++=⨯+=（）（）， 故选D.点睛：本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．二、填空题13．3【分析】先由频率之和等于1得出的值计算身高在的频率之比根据比例得出身高在内的学生中抽取的人数【详解】身高在的频率之比为所以从身高在内的学生中抽取的人数应为故答案为：【点睛】本题主要考查了根据频率分解析：3 【分析】先由频率之和等于1得出a 的值，计算身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比，根据比例得出身高在[]140,150内的学生中抽取的人数. 【详解】(0.0050.010.020.035)101a ++++⨯=0.03a ∴=身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150的频率之比为0.03:0.02:0.013:2:1= 所以从身高在[]140,150内的学生中抽取的人数应为11836⨯= 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题.14．3【分析】根据频率分布直方图求得不小于40岁的人的频率及人数再利用分层抽样的方法即可求解得到答案【详解】根据频率分布直方图得样本中不小于40岁的人的频率是0015×10+0005×10=02所以不小解析：3 【分析】根据频率分布直方图，求得不小于40岁的人的频率及人数，再利用分层抽样的方法，即可求解，得到答案． 【详解】根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2， 所以不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人， 在[50，60）年龄段抽取的人数为0.0051010012320⨯⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．40【分析】设应从B 校抽取n 人利用分层抽样的性质列出方程组能求出结果【详解】设应从B 校抽取n 人某市有ABC 三所学校各校有高三文科学生分别为650人500人350人在三月进行全市联考后准备用分层抽样的解析：40 【分析】设应从B 校抽取n 人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果． 【详解】设应从B 校抽取n 人，某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人， 在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，120n650500350500∴=++，解得n 40=．故答案为40． 【点睛】本题考查应从B 校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．②③【解析】分析：根据函数的周期性可判断①；根据垂直平分线的几何特征可判断②；根据回归直线的实际意义可判断③；根据演绎推理及正弦函数的定义可判断④详解：①若函数满足则函数是周期为2的周期函数但不一定解析：②③ 【解析】分析：根据函数的周期性，可判断① ；根据垂直平分线的几何特征，可判断②；根据回归直线的实际意义，可判断③；根据演绎推理及正弦函数的定义，可判断④.详解：①若函数()y f x =满足()()11f x f x -=+，则函数()f x 是周期为2的周期函数，但不一定具有对称性，①错误；②点()()2,1?0,3确定直线的斜率为1-，与直线 10x y -+=垂直，且中点()1,2在直线10x y -+=上，故点()()2,1?0,3关于直线10x y -+=的对称，②正确； ③通过回归方程ˆˆˆy bx a =+可以估计和观测变量的取值和变化趋势，③正确；④正弦函数是奇函数，()()2sin 1f x x =+是正弦函数，所以()()2sin 1f x x =+是奇函数，上述推理错误的原因是小前提不正确，④错误，故答案为②③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的周期性、点关于直线对称、以及回归分析与“三段论”，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.17．②④⑤【解析】分析：根据方程性质回归方程性质及其含义卡方含义确定命题真假详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程若变量增加一个单位时则平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐解析：②④⑤ 【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假. 详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位； 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.18．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力解析：1 【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数，计算结果.详解：7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=． 点睛：本题考查平均数，考查基本求解能力.19．12【解析】分析：由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率即可求出第三组中有疗效的人数得到答案详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人分布唉区间第一组与第二组的频率解析：12 【解析】 分析：由频率=频数样本容量，以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案.详解：由直方图可得分布在区间第一组和第二组共有20人，分布唉区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16，所以第一组有12人，第二组8人第三组的频率为0.36，所以第三组的人数为18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组由疗效的有12人.点睛：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法，分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.20．35【解析】79+78+80+80+x+85+92+967=85解得x=5根据中位数为83可知y=3故yx=35 解析：【解析】,解得,根据中位数为,可知,故.三、解答题21．（1） 3.240ˆyx =-+；（2）可以认为所得的回归直线方程是理想的；（3）该产品的销售单价为7.5元/件时，获得的利润最大． 【分析】（1）计算x 、y ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）根据回归直线方程，计算对应的数值，判断回归直线方程是否理想； （3）求销售利润函数W ，根据二次函数的图象与性质求最大值即可． 【详解】 （1）因为1(99.51010.511)105x =++++=，1(1110865)85y =++++=，所以23925108ˆ 3.2502.5510b -⨯⨯==--⨯，则8( 3.2)00ˆ14a =--⨯=， ∴y 关于x 的回归直线方程为 3.240ˆyx =-+ （2）剩余数据为12月份，此时8.5x =，14y =，现进行检测，当8.5x =时，ˆ 3.28.54012.8y=-⨯+=，则ˆ||12.814 1.22y y -=-=<，所以可以认为所得的回归直线方程是理想的． （3）令销售利润为W ，则22( 2.5)( 3.240) 3.248100 3.2(7.5)80W x x x x x =--+=-+-=--+．∴当7.5x =时，W 取最大值．所以该产品的销售单价为7.5元/件时，获得的利润最大． 【点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系，如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .22．（1）散点图见解析，y 与t 的线性相关性相当高，理由见解析；（2）0.920.1011 2.02y =+⨯=，2.02万户.【分析】（1）根据表格中对应的t 与y 的关系，描绘散点图，并根据参考数据求r ，说明相关性；（2）根据参考数据求ˆb和ˆa ，求回归直线方程，并令11t =，求y 的预测值.【详解】（1）作出散点图如图所示：由条形图数据和参考数据得()()7722114,0.53iii i t t t y y ===⋅-=⋅-≈∑∑，()()77711139.7549.24 2.79ii i i i i i i tty y t y t y ===⋅--=-=-⨯=∑∑∑，2.790.990.532 2.646r ≈≈⨯⨯.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关性相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由9.24 1.327y ==及（1）得()()()717212.79ˆ0.1028iii i i t t y y b t t==⋅--==≈⋅-∑∑， ˆˆ 1.320.1040.92ay bt =-≈-⨯=，所以，y 关于t 的回归方程为：0.920.10y t =+. 将11t=代入回归方程得：0.920.1011 2.02y =+⨯=，所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户. 【点睛】关键点点睛：本题考查回归直线方程，此类问题的关键是根据参考数据和公式相结合，求ˆb和ˆa ，一般计算量较大，需计算严谨，准确. 23．(1) x =0.075，7；(2) 6.4，5.36；(3) 2；（4）23. 【分析】（1）根据频率和为1，列方程求出x 的值；（2）根据频率分布直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，由最高矩形的数据组中点为众数；中位数两边的频率相等，由此求出中位数；（3）求出抽取比例数，计算应抽取的户数； （4）利用列举法，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】(1)根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x +0.05+0.025)=1， 解得x =0.075；由图可知,最高矩形的数据组为[6,8)，所以众数为()16872+=； (2) [2,6)内的频率之和为 (0.02+0.095+0.11)×2=0.45；设中位数为y ，则0.45+(y −6)×0.125=0.5， 解得y =6.4，∴中位数为6.4；平均数为()210.0230.09550.1170.12590.075110.025 5.36⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (3)月平均用电量为[10,12)的用户在四组用户中所占的比例为0.0520.1250.0750.050.02511=+++，∴月平均用电量在[10,12)的用户中应抽取11×211=2(户). （4）月平均用电量在[12,14)的用户中应抽取11×111=1(户)， 月平均用电量在[10,12)的用户设为A 、B , 月平均用电量在[12,14)的用户设为C ，从[10,12)，[12,14)这两组中随机抽取2户共有 ,,AB AC BC ，3种情况， 其中，抽取的两户不是来自同一个组的有,,AC BC ，2种情况， 所以，抽取的两户不是来自同一个组的概率为23. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.24．（Ⅰ）图象见解析，正相关；（Ⅱ）ˆ0.7 1.5yx =+，当15x =时细菌个数为12个. 【分析】（Ⅰ）根据数据描点即得散点图，看图即判断结果； （Ⅱ）利用公式代入数据计算即可. 【详解】解：（Ⅰ）图形如下，观察图像可知细菌个数和时间是正相关.（Ⅱ）由数据计算得，()11234535x =⨯++++=，()123445 3.65y =⨯++++=，1122334445561ni ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，22222211234555n i i x ==++++=∑。
高中数学统计检测考试试题试题含答案解析
本章达标测评（满分:150分;时间：120分钟）、 「（本大题共10小题,每小题5分，共50分）1. 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2 007名学 生中抽取50名进行调查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样法从2 007 人中剔除7人，剩下2 000人,再按系统抽样法进行，则每人入选的机会（） A. 不全相等 B.均不相等 C.都相等 D.无法确定2. 有20位同学，编号从1至20,现在从中抽取4人做问卷调查，用系统抽样方法 确定所抽的编号为（） A. 5, 10, 15, 20 B. 2, 6, 10, 14 C. 2, 4, 6, 8D. 5, & 11, 143. 一个容量为20的样本，各组频数如下:（10, 20], 2; （20, 30], 3; （30, 40], 4; （40, 50], 5; （50, 60], 4; （60, 70], 2.则样本在（10, 50]上的频率为（） A. 0. 9 B. 0. 7D. 0. 254. 已知样本数据｛x n x :, x a ｝的平均数为h, ｛y n y 2,…,y tt ｝的平均数为k,则把两 组数据合并成一组以后，这组样本数据的平均数为（）nh+mkD. ---------------m+nC.⑵(4)D.⑵⑶C. 0.5C nk+mh m+nD.吐 m+n5.在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ yA. (1) (2)y(2)⑶(4)6. A, B 两名同学在5次数学考试中的成绩的茎叶图如图所示，若A, B 两人的平均 成绩分别是&心则下列的结论正确的是（）C. y 二-2x+60D. y 二-3x+788. “小康县”的经济评价标准为①年人均收入不小于7 000元;②年人均食品支 出不大于收入的35%.6 000 8 000 10 000 12 000 5 67 5则该县（） A. 是小康县B. 达到标准①,未达到标准②，不是小康县C. 达到标准②,未达到标准①，不是小康县A. X A <X B , B 比A 成绩稳定B. Xx>X B , B 比A 成绩稳定C. X A <X B , A 比B 成绩7.下表是某小卖部某5天内卖出热茶的杯数与当天气温的对比表: 气温 x/°C 18 13 10 4 杯数y24343951-1 63若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（） A. y 二x+6B. y=x+42年人均收入/元0 2 000 4 000 人数/万人635000 3某县有40万人，调查数据如下:D.两个标准都未达到，不是小康县9.由小到大排列的一组数据:X,, X：, x3, x.… X5,其中每个数据都小于-2,则样本2,- X1, X：, X3, -X.|, X5的中位数可以表示为（）A.注B.g2 2C. —D.2 210.在100个零件中，有一级品20个,二级品30个,三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法,将零件编号为00, 01, 02,…,99,抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个,三级品中抽取10个.则（）A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是£B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是右③并非如此C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是吉②并非如此D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同（本大题共5小题,每小题5分，共25分）11.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1 000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生_____ .12.如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生3 000人，请根据统计图计算该校共捐款 ______ 元.13.已知200辆汽车通过某一段公路时的速度的频率分布直方图如下图所示（每组包含左端点，不含右端点），则速度在［60, 70）内的汽车大约有辆.14.已知x与y具有线性相关关系，它们之间的儿组数据如下表所示：x 0 1 2 3y 1 3 5-& 7+a则y关于x的回归直线必过定点_________ ・15.某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x, y, 10,11, 9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,贝ij|x-y|的值为 _________ .、（本大题共6小题，共75分）16.（本题12分）某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比为5 ： 3 ： 2,从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应釆用哪种抽样方法更合理?中、青、老年职工应分别抽取多少人？17.（本题12分）某单位有工程师6人,技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体; 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体•求样本容量n.18.(本题12分)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，把成绩分组，得到的频率分布表如下：组号分组频数频率第1组[160,165)50. 05第2组[165, 170)①0. 35第3组[170, 175)30②第4组[175, 180)200. 20第5组[180, 185]100. 10总计100 1.00(1)求出频率分布表中①、②位置的相应的数据；(2)这次笔试成绩的中位数落在哪组内？(3)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中分层抽样抽取6名学生进行第二轮面试，求笫3、4、5组每组各抽多少名学生进行第二轮面试？19.(本题12分)对屮、乙两名自行车赛车手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲:27, 38, 30, 37, 35,31;乙:33, 29, 38, 34, 28, 36.(1)画出茎叶图，山茎叶图能获得哪些信息？(2)分别求出甲、乙两名自行车赛车手最大速度的平均值、中位数、极差、标准差.20.(本题13分)为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议•现对他前7次考试的数学成绩X、物理成绩y进行分析.下面是该学生前7次考试的成绩.数学88 83 117 92 108 100 112物理94 91 108 96 104 101 106⑴他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明；(2)已知该学生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该学生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少.并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该学生在学习数学、物理上的合理建议.21.(本题14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产中产品过程中，中产品的产量x吨与相应的生产能耗y吨标准煤的儿组对照数据：x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5一、选择题1.C简单随机抽样与系统抽样是等可能抽样.2.A系统抽样是有规律性的等距抽样,结合定义知选A.3.B （2+3+4+5）4-20=0.7.4.B两组样本数据的总和为nh+mk,则平均数为竺泄.5. D （2）（3）图形具有一定的规律性，具有相关关系.6.A由茎叶图知,X A=-X （91+92+96+103+128）二102, X B^X （99+108+107+114+112） =108,5 5••・XXX B,且B比A更稳定，故选A.7.C算出平均数元歹,代入验证，可知方程y二-2x+60最接近.8.B由题中图表可知,年人均收入为7 050元>7 000元，达到了标准①;年人均食品支出为2 620元,而年人均食品支出占收入的|■磐X 100%^37%>35%,未达到/ U DU标准②，所以不是小康县.9.C由题意知,可将样本2, -x t, x2, x3, -x（, X5按从小到大排列为x2, X3, x s, 2, -x” - X’，则中位数为乎.10.A无论采用哪种抽样，每个个体被抽到的概率相等.二、填空题11.*答案3 700人童解析由分层抽样知高中部共有185=3 700（人）.185-75-6012.€答案37 770代解析山扇形统计图可知：高一有3 000X32%二960（人），臥二有3000X33%二990（人），高三有3 000X35%二1 050（人），则该校共捐款15X960+13X990+10X1 050=37 770（元）.13.*答案80€»析200 X 0. 04 X 10=80 （辆）.14.•答案（彳,4）老解析计算出平均值疋尸4,回归直线必过样本点的中心（元刃，即C，4）.答案4IT解析山题意可得x+y二20,①（x-10）:+（y-i0）2=8,即x3+y2=208,②将①式平方得x'+y'+2xy二400,③将②式代入③式得2xy=192,故x-y二厶2 +尸_2繆二J208-192二后二4.故填4.三、解答题16.g解析由于中、青、老年职工有明显的差异，所以釆用分层抽样法更合理.按照抽样比抽取中、青、老年职工的人数分别为：—X400=200, —X400=120, -X400=80,10 10 10因此应抽取中、青、老年职工分别为200人、120人、80人.17.代解析总体容量为6+12+18二36.当样本容量是n时，山题意知，系统抽样的间隔为二分层抽样的抽样比是三，抽取工程师£><6三人,抽取技术员三><12斗n36 36 6 36 3人，抽取技工18二扌人.所以n应是6的倍数,36的约数，即n二6, 12, 1& 36.36 2当样本容量为n+1时，采用系统抽样时，总体容量是35,系统抽样的间隔为芈，n+1 因为弓必须是整数，所以n只能取6,即样本容量n二6.n+118.*解析（1）山题意知笫2组的频数为100-5-30-20-10=35（或100X0. 35=35）;第3 组的频率为1-0. 05-0. 35-0. 20-0. 10=0. 30（或卷=0. 30）.⑵第1组和第2组的频数和为40,第4组和第5组的频数和为30,所以这次笔试成绩的中位数落在笫3组内.（3）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3组抽取兽X 6二3（人），第4组抽取孚X6二2（人）；第5组抽取60 60秽X 6二1（人）.60所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.19・金解析（1）茎叶图如下，中间数为数据的十位数字.15 7 0 833 8 4 6(1) 请画出上表数据的散点图；(2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求岀y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)已知该厂技术改造前，生产100吨中产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程，预测技术改造后生产100吨中产品的生产能耗比技术改造前降低了多少吨标准煤？£ XiVi-nx• y_参考:b二------ ,a=y-bx.E x?-n5T i=l 1 2。
高一数学 概率与统计
第三章 概率3.1.1概率的意义知识点：例题与习题1． 我们把在条件S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S 的________事件。
2． 在条件S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S 的_________事件。
3． 必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的______事件。
4． 在条件S 下,可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S 下的_______事件。
5． 在相同条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A出现的______,称事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的______。
6． 由于事件A 发生的次数至少为0,至多为n ,因此事件A 的频率范围为____________。
7． 概率及其记法:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A 的___ _。
8． 判断以下现象是否是随机现象：① 某路中单位时间内发生交通事故的次数；② 冰水混合物的温度是0℃；③ 三角形的内角和为180°；④ 一个射击运动员每次射击的命中环数；⑤ n 边形的内角和为()2n - 180°。
９．下面事件：①在标准大气压下,水加热到80℃时会沸腾；②抛掷一枚硬币,出现反面；③实数的绝对值不小于零；其中是不可能事件的是 ( )A. ②B. ①C. ① ②D. ③10.有下面的试验：①如果 ,a b R ∈,那么 a b b a ⋅=⋅ ；②某人买彩票中奖；③实系数一次方程必有一个实根；④在地球上,苹果抓不住必然往下掉；其中必然现象有 ( )11.下面给出四个事件：①明天天晴；②在常温下,焊锡熔化；③自由下落的物体作匀加速直线运动；④函数x y a =(0a >,且1a ≠)在定义域上为增函数；其中是随机事件的有A. 0B. 1C. 2D. 3 ( )12.从12个同类产品(其中有10个正品,2个次品)中,任意取3个的必然事件是A.3个都是正品B.至少有1个是次品 ( )C.3个都是次品D.至少有1个是正品13.下列事件是随机事件的有 ( )A.若a 、b 、c 都是实数,则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 。
高中数学必修三 计数,概率,统计与分布列知识梳理 含答案
计数，概率，统计与分布列知识梳理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法．那么，完成这件事共有_____________种方法．(也称加法原理)2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法．那么，完成这件事共有__________________种方法．(也称乘法原理) 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[方法与技巧]1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．分类标准要明确，做到不重复不遗漏．3．混合问题一般是先分类再分步．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．[失误与防范]1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．10.2排列与组合1．排列与组合的概念2.(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．2．排列、组合问题的求解方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．[失误与防范]求解排列与组合问题的三个注意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．10.3二项式定理1．二项式定理(1)0≤r≤n时，C r n与C n－r的关系是______n(2)二项式系数先增后减________最大当n为偶数时，第_____项的二项式系数最大，最大值为__；当n为奇数时，第____项和_______项的二项式系数最大，最大值为______和_____(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝____，C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝____【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为______(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按_____排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按_____排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.，___(4)二项式的系数从____，C1n，一直到C n－1n[方法与技巧]1．通项T r＋1＝C r n a n－r b r是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，而不是第r项，这里r＝0,1，…，n.2．二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．3．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．4．运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．[失误与防范]1．项的系数与a、b有关，二项式系数只与n有关，大于0.2．求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”．3．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法．4．展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．11.1随机抽样1．抽样调查(1)抽样调查通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行_________，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出_______，这就是抽样调查．(2)总体和样本调查对象的______称为总体，被抽取的_______称为样本．(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点：①______________；②节约人力、物力和财力．2．简单随机抽样(1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率______(2)通常采用的简单随机抽样的方法：__________________3．分层抽样(1)定义：将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．4．系统抽样系统抽样是将总体中的个体进行编号，_______分组，在第一组中按照___________抽取第一个样本，然后按____________ (称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样．[方法与技巧]1．简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距．2．系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．3．分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．[失误与防范]进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.\11.2统计图表，用样本估计总体1．统计图表统计图表是_____和_____数据的重要工具，常用的统计图表有____________,______________,______________,______________等．2．数据的数字特征(1)众数、中位数、平均数众数：在一组数据中，出现次数_____的数据叫作这组数据的众数．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．平均数：样本数据的算术平均数，即x＝________________在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．(2)样本方差、标准差标准差s＝______________________________其中x n是样本数据的第n项，n是___________，x是________标准差是刻画数据的离散程度的特征数，样本方差是标准差的____.通常用样本方差估计总体方差，当____________________时，样本方差很接近总体方差．3．用样本估计总体(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用_____________________________，另一种是用____________________________(2)在频率分布直方图中，纵轴表示______，数据落在各小组内的频率用______________表示，各小长方形的面积总和等于____.(3)在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的_____开始，用线段依次连接各个矩形的__________，直至右边所加区间的中点，就可以得到一条折线，称之为频率折线图．(4)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它没有信息的缺失，而且___________，方便表示与比较．[方法与技巧]1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．3．若取值x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n；若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x ＋b，方差为a2s2.[失误与防范]频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．11.3变量间的相关关系，统计案例1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的_______(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为_______(3)在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是__________的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是___________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是__________ 2．线性回归方程(1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)线性回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝∑n i ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2＝∑n i ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x .3．回归分析(1)定义：对具有________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，________称为样本点的中心．(3)相关系数①r ＝∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2∑n i ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y(∑n i ＝1x 2i －n x 2)(∑n i ＝1y 2i －n y 2)；②当r >0时，表明两个变量_______；当r <0时，表明两个变量_________当r ＝0时，表明两个变量_________．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关程度_______.r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关程度越低．4．独立性检验设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B 1；2×2列联表：构造一个随机变量χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B没有关联的；当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．[方法与技巧]1．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．2．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度．[失误与防范]1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．2．独立性检验中统计量χ2的值的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错．12.1随机事件的概率1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的_____________(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S_____________(3)___________________________统称为相对于条件S的确定事件．(4)______________________________的事件，叫作相对于条件S的随机事件．(5)___________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．频率与概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有_______．这时，我们把_______叫作随机事件A的概率，记作P(A)．3．事件的关系与运算互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下发生的两个事件A与B称作互斥事件．事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B______________________对立事件：不会______发生，并且___________发生的事件是相互对立事件．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：________________(2)必然事件的概率P(E)＝____(3)不可能事件的概率P(F)＝____(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝________________②若事件A与事件A互为对立事件，则P(A)＝______________．[知识拓展]互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[方法与技巧]1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于_________, 因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为______，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的_______．[失误与防范]1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的__________条件．2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．12.2古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_______的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_____________的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型．(1)试验的所有可能结果_____________，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性__________3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝ ________ .4．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. [方法与技巧]1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．2．确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．[失误与防范]1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．2．概率的一般加法公式：P (A ＋B )＝___________________．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A ＋B 的概率，当AB ＝∅时，A 、B 互斥，此时P (AB )＝0，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ＋B )，需要求P (A )、P (B )，更重要的是把握事件AB，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．12.3几何概型1．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝___________，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是_______之比或_________之比．3．借助_________可以估计随机事件发生的概率．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看__________的个数是有限个还是无限个．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与_____有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与______有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与_______有关的几何概型．[失误与防范]1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内_________所求结果.12.4离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量的分布列(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于________，这种_______称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够______________，这样的随机变量称为离散型随机变量．(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：_____________ (i＝1,2，…)，或把上式列表：称为离散型随机变量X(4)性质：①p i___0，i＝1,2，…；②p1＋p2＋…＝___.2．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝______________ (其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．[方法与技巧]1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的______以及取这些值的______．2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．[失误与防范]掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．12.5二项分布及其应用1．条件概率在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的___________，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝__________ (P(B)>0)．2．相互独立事件(1)一般地，对两个事件A，B，如果有________________，则称A、B相互独立．(2)如果A、B相互独立，则_________________________________也相互独立．(3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有：P(A1A2…A n)＝_________________________．3．二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；(3)各次试验是___________．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝_____________ (k＝0,1,2，…，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．[方法与技巧]1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝____＝_____，其中，在实际应用中P(B|A)＝n(AB)n(A)是一种重要的求条件概率的方法．2．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为____________．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为_______________．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是____个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是__个A事件与____个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是_________.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k. [失误与防范]1．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．2．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件．12.6离散型随机变量的均值与方差，正态分布1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…r)．(1)均值EX＝________________________，EX刻画的是_____________________(2)方差DX＝_______________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的____________________2．二项分布的均值、方差若X～B(n，p)，则EX＝_____________，DX＝______________3．正态分布(1)X～N(μ，σ2)，表示X服从参数为__________的正态分布．(2)正态分布密度函数的性质：①函数图像关于___________对称；②_________________决定函数图像的“胖”“瘦”；③P(μ－σ<X<μ＋σ)＝__________；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝__________；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝__________[方法与技巧]1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝__________，D(aX＋b)＝_______(a，b为常数)．(2)若X服从两点分布，则EX＝___，DX＝_______．(3)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝_____，DX＝________．2．求离散型随机变量的均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为____.[失误与防范]1．在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式．2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．计数，概率，统计与分布列知识梳理答案10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1. N＝m1＋m2＋…＋m n 2 .N＝m1×m2×…×m n10.2排列与组合1. 一定的顺序2.(1) 所有排列(2) 所有组合3. (1) n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ,n！(n－m)！(2) A m nA m m,n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！,n！m！(n－m)！(3) 1 , n！(4) C n－mn , C m n＋C m－1n10.3二项式定理1．C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n, r＋12. (1) C r n＝C n－rn .(2)中间项,n2＋1 ,2Cnn，n＋12, n＋32,12Cnn-,12Cnn+.(3)2n 2n－1.【知识拓展】(1) n＋1. (3) 降幂, 升幂(4) C0n, C n n.11.1随机抽样1．(1) 调查或观测, 推断(2) 全体, 一部分(3)①迅速、及时；2．(1) 相同．(2) 抽签法和随机数法．4. 等距,简单随机抽样, 分组的间隔11.2统计图表，用样本估计总体1．表达, 分析, 条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图2．(1) 最多, 最中间, 1n(x1＋x2＋…＋x n)．(2)1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2]，, 样本容量, 平均数, 平方, 样本容量接近总体容量3．(1) 样本的频率分布估计总体的频率分布, 样本的数字特征估计总体的数字特征．(2) 频率组距, 各小长方形的面积, 1 (3)中点, 顶端中点(4) 可以随时记录11.3变量间的相关关系，统计案例1．(1)散点图．(2)曲线拟合．(3)线性相关, 非线性相关, 不相关的．3．(1) 相关关系(2) (x，y) (3)②正相关, 负相关, 线性不相关, 越高12.1随机事件的概率1．(1)必然事件(2)不可能事件(3)必然事件与不可能事件(4)在条件S下可能发生也可能不发生(5)确定事件和随机事件2．稳定性, 这个常数3．不能同时, 至少有一个发生，同时, 一定有一个4．(1)0≤P(A)≤1. (2)1. (3)0. (4)①P(A)＋P(B)．②1－P(A).[方法与技巧]1. 概率P(A)2. 空集, 补集[失误与防范]1.必要不充分12.2古典概型1．(1)互斥(2)基本事件2．(1)只有有限个，(2)相同3．m n.[失误与防范]2.P(A)＋P(B)－P(AB) 12.3几何概型1．G1的面积G的面积2．体积，长度3．模拟方法[方法与技巧]。
高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案
高中数学必修三第三章《概率》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是（）A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%2．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是（）①选出1人是班长的概率为140；②选出1人是男生的概率是125；③选出1人是女生的概率是115；④在女生中选出1人是班长的概率是0．A．①②B．①③C．③④D．①④3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（）A．12B．13C．14D．184．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不是对立事件D．以上答案都不对5．在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（）A．110B．310C．710D．9106．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为（ ） A ．16B ．16．32C ．16．34D ．15．968．在区间(15，25]内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数满足17<a <20的概率是（ ） A ．13B ．12C ．310D ．7109．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0．23，则摸出黑球的概率为（ ） A ．0．45B ．0．67C ．0．64D ．0．3210．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为（ ） A ．9100B ．350C ．3100D ．2911．分别在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为（ ） A ．710B ．310 C ．35D ．2512．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）A ．4πB ．12π C ．14π-D ．112π-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0．2，重量在[]200,300内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件A B +发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)15．先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b ．将a ，b ，5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．16．设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：（1（2）至少3人排队等候的概率是多少？18．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂．（1）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．19．(12分)在区间(0，1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程20+=有x m实根的概率．20．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．（1）用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；（2）求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；（3）求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．21．(12分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆．（1）求z的值；（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4，8．6，9．2，9．6，8．7，9．3，9．0，8．2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【答案】D【解析】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D选项，概率为90%，即可能性为90%．故选D．2．【答案】D【解析】本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为255408=；“选出1人为女生”的概率为153408=，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0．故选D．3．【答案】C【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此两个正面朝上的概率14P =．故选C ． 4．【答案】C【解析】由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．故选C ． 5．【答案】B【解析】从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为310P =．故选B ． 6．【答案】A【解析】从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．A 选项正确． 7．【答案】B 【解析】由题意204300S S =阴矩，∴204=24=16.32300S ⨯阴．故选B ． 8．【答案】C【解析】∵(]15,25a ∈，∴()201731720251510P a -<<==-．故选C ．9．【答案】D【解析】摸出红球的概率为45.45100=0，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为10.450.230.32--=．故选D ． 10．【答案】A【解析】任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0，1，2，…，9)；(1，i )(i ＝0，1，2，…，9)；(2，i )(i ＝0，1，2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0，1，2，…，9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3，3)，(3，6)，(3，9)，(6，3)，(6，6)，(6，9)，(9，3)，(9，6)，(9，9)．共有9种． 故所求概率为9100．故选A ． 11．【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m >n 的点应在梯形OABD 内， 所以所求事件的概率为7=10OABD OABCS P S =梯形矩形．故选A ． 12．【答案】C 【解析】4144P --ππ===-正方形面积圆锥底面积正方形面积．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0.3【解析】所求的概率10.20.50.3P =--=． 14．【答案】23【解析】事件A 包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；B 表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A 与B 是互斥的，故()()()112333P A B P A P B +==+=．15．【答案】718【解析】基本事件的总数为6×6＝36．∵三角形的一边长为5，∴当a ＝1时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝2时，b ＝5符合题意，有1种情况； 当a ＝3时，b ＝3或5符合题意，即有2种情况； 当a ＝4时，b ＝4或5符合题意，有2种情况； 当a ＝5时，b ∈{1，2，3，4，5，6}符合题意， 即有6种情况；当a ＝6时，b ＝5或6符合题意，即有2种情况． 故满足条件的不同情况共有14种， 所求概率为1473618=．36【解析】基本事件总数为36个，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b 2≥4c ．当c ＝1时，b ＝2，3，4，5，6；当c ＝2时，b ＝3，4，5，6； 当c ＝3时，b ＝4，5，6；当c ＝4时，b ＝4，5，6； 当c ＝5时，b ＝5，6；当c ＝6时，b ＝5，6．符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x 2－bx ＋c ＝0有实根的概率为1936．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）0.56；（2）0.44．【解析】记“有0人等候”为事件A ，“有1人等候”为事件B ，“有2人等候”为事件C ，“有3人等候”为事件D ，“有4人等候”为事件E ，“有5人及5人以上等候”为事件F ，则易知A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥．（1）记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ， 所以()()()()()=0.10.160.30.56P G P ABC P A P B P C =++＝＋＋＝．（2）记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44． 也可以这样解，G 与H 互为对立事件， 所以()()110.560.44P H P G --===．18．【答案】（1）A ，B ，C 分别抽取2人，3人，2人；（2）1121． 【解析】（1）工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为71639=，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2人，3人，2人．（2）设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为()1121P X =．8【解析】在平面直角坐标系中，以x 轴和y 轴分别表示m ，n 的值，因为m ，n 在(0，1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件A 表示方程20x nx m +=有实根，则事件()40,0101n m A m n m n ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎪=<<⎨⎨⎬⎪⎪⎪<<⎩⎩⎭，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为18，故()18S P A S ==阴影正方形，即关于x的一元二次方程20x nx m +=有实根的概率为18．20．【答案】（1）见解析；（2）19；（3）23．【解析】（1）甲、乙两人下车的所有可能的结果为：(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)． （2）设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A ，则()19P A =．（3）设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B ，则()121393P B =-⨯=．21．【答案】（1）0.05；（2）40元．【解析】（1）把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3． 从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB 1、AB 2、AB 3、AC 1、AC 2、AC 3、A 12、A 13、A 23、BC 1、BC 2、BC 3、B 12、B 13、B 23、C 12、C 13、C 23、123， 共20个．事件E ＝{摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123， ()10.0520P E ==． （2）事件F ＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P (F )＝2/20＝0．1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F 发生有10次，不发生90次．则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元． 22．【答案】（1）400；（2）710；（3）34． 【解析】（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得5010100300n =+，所以n ＝2000． 则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400． （2）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得40010005a=，即a ＝2． 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”， 则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)共7个．故()710P E =，即所求概率为710． （3）样本平均数()19.48.69.29.68.79.39.08.298x =⨯+++++++=．设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有： 9．4，8．6，9．2，8．7，9．3，9．0，共6个，所以()6384P D ==，即所求概率为34． 单元测试题二一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件中，随机事件的个数为（ ）①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军； ②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4°C 时结冰． A ．1B ．2C ．3D ．42．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．233．某班有50名学生，其中男、女各25名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大（ ） A ．异性B ．同性C ．同样大D ．无法确定4．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13B ．2πC ．12D ．235．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0．35B ．0．25C ．0．20D ．0．156．12本相同的书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（ ） A ．3本都是语文书 B ．至少有一本是英语书 C ．3本都是英语书D ．至少有一本是语文书7．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是（ ） A ．34B ．14 C ．13D ．128．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为（ ） A ．15B ．25 C ．35D ．459．已知集合{}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8A =-----，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A ＝{点落在x 轴上}与事件B ＝{点落在y 轴上}的概率关系为（ ） A ．P (A )>P (B )B ．P (A )<P (B )C ．P (A )＝P (B )D ．P (A )、P (B )大小不确定10．如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AC ＝BC ，AB 为圆O 的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在△ABC 内的概率是（ ） A ．1πB ．2πC ．4πD ．12π11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝25外的概率是（ ） A ．536B ．712C ．512 D ．1312．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（ ）A ．49B ．29C ．23 D ．13二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．已知半径为a 的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点， 则落入E 中的概率为________．15．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．16．在体积为V 的三棱锥S ABC -的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S APC -的体积大于3V 的概率是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知函数f(x)＝－x2＋ax－b．若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．18．（12分）假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0．025，其余两个各为0．1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．19．（12分）如右图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上任取一点B，求使△AOB的面积大于等于14的概率．20．(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．21．(12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． （1）求A 1被选中的概率；（2）求B 1和C 1不全被选中的概率．22．(12分)已知实数a ，{}2,1,1,2b ∈--． （1）求直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率； （2）求直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率．答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】C【解析】①张涛获得冠军有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件； ②抽到的学生有可能是李凯，也有可能不是，所以为随机事件； ③有可能抽到1号签也有可能抽不到，所以为随机事件；④标准大气压下，水在4°C 时不会结冰，所以是不可能事件，不是随机事件． 故选C ． 2．【答案】B 3．【答案】A【解析】记“甲碰到同性同学”为事件A ，“甲碰到异性同学”为事件B ，则()2449P A =，()2549P B =，故P (A )<P (B )，即学生甲碰到异性同学的概率大．故选A ． 4．【答案】A【解析】在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，10cos ,,22332x x ππππ⎛⎫⎛⎫<<⇔∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其区间长度为3π，又已知区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的长度为π，由几何概型知133P π==π．故选A ．5．【答案】B【解析】由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为51.25204==0．B 选项正确． 6．【答案】D【解析】由于只有2本英语书，从中任意抽取3本，其中至少有一本是语文书． 故选D ． 7．【答案】D【解析】4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能， 所以2142P ==．故选D ． 8．【答案】B【解析】可能构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，因为是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以采用古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41，42，43，45共4种；以5开头的：51，52，53，54共4种，所以82205P ==． 故选B ． 9．【答案】C【解析】横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．故选C ． 10．【答案】A【解析】连接OC ，设圆O 的半径为R ，记“所投点落在△ABC 内”为事件A ，则()2112AB OCP A R⋅⋅==ππ．故选A ． 11．【答案】B【解析】本题中涉及两个变量的平方和，类似于两个变量的和或积的情况，可以用列表法，使x 2＋y 2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即2173612=． B 选项正确． 12．【答案】A【解析】可求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4＝16(种)，而总的情况有6×6＝36(种)，于是由古典概型概率公式，得164369P ==．故选A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】233π【解析】因为球半径为a ，则正方体的对角线长为2a ，设正方体的边长为x ， 则23a x =，∴23a x =，由几何概型知，所求的概率3323433V x P V a ===ππ正方体球． 14．【答案】16π【解析】如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此214416P π⨯π==⨯．15．【答案】12【解析】记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得()121222P A ⨯==． 16．【答案】23【解析】由题意可知1>3S APC S ABC V V --，如图所示，三棱锥S ABC -与三棱锥S APC -的高相同，因此1>3S APC APC S ABC ABC V S PM V S BN --==△△ (PM ，BN 为其高线)，又PM APBN AB=， 故1>3AP AB ，故所求概率为23(长度之比)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．【答案】1225P =． 【解析】a ，b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b ．因为事件“a 2≥4b ”包含()0,0，()1,0，()2,0，()2,1，()3,0，()3,1，()3,2，()4,0，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为1225P =． 18．【答案】0.225P =．【解析】设A 、B 、C 分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件． 则P (A )＝0．025，P (B )＝P (C )＝0．1，设D 表示军火库爆炸这个事件，则有 D ＝A ∪B ∪C ，其中A 、B 、C 是互斥事件，∴P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0．025＋0．1＋0．1＝0．225． 19．【答案】23P =． 【解析】因为1OA =，14AOB S ≥△，所以11111sin sin 242AOB AOB ⨯⨯⨯∠≥⇒∠≥， 所以566AOB ππ≤∠≤，所以14AOB S ≥△的概率为526603ππ-=π-． 20．【答案】（1）见解析；（2）23；（3）公平，见解析． 【解析】（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，()4,4'，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．（2）甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23． （3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率1512P =，同理乙胜的概率2512P =．因为P 1＝P 2， 所以此游戏公平．21．【答案】（1）13；（2）56．【解析】（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}， 事件M 由6个基本事件组成，因而()61183P M ==． （2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于()()(){}111211311,,,,,,,,A B C A B C A B N C =，事件N 由3个基本事件组成，所以()31186P N ==，由对立事件的概率公式得：()()151166P N P N =-=-=． 22．【答案】（1）14；（2）34． 【解析】（1）由于实数对(a ，b )的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2，1)，(－2，2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－2)，(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(2，－2)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，共16种． 设“直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限”为事件A ，若直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限，则必须满足00a b ≥⎧⎨≥⎩，即满足条件的实数对(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4种．∴()41164P A ==．故直线y ＝ax ＋b 不经过第四象限的概率为14． （2）设“直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点”为事件B ，若直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝11≤，即b 2≤a 2＋1．若a ＝－2，则b ＝－2，－1，1，2符合要求，此时实数对(a ，b )有4种不同取值； 若a ＝－1，则b ＝－1，1符合要求，此时实数对(a ，b )有2种不同取值； 若a ＝1，则b ＝－1，1符合要求，此时实数对(a ，b )有2种不同取值，若a ＝2，则b ＝－2，－1，1，2符合要求，此时实数对(a ，b )有4种不同取值． ∴满足条件的实数对(a ，b )共有12种不同取值．∴()123164P B ==． 故直线y ＝ax ＋b 与圆x 2＋y 2＝1有公共点的概率为34。
高一数学必修三,概率与统计的综合问题知识点及题型
第四节概率与统计的综合问题考点一概率与统计图表的综合问题[典例]学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．[解](1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6，故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6.(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130,140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140,150]的有2人，分别记作m，n.从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn.故选出的两人在同一组的概率P＝715.[对点训练]如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． 解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故x ＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116. (2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个．故P (C )＝416＝14.考点二 概率与随机抽样的综合问题[典例] 已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001,002,003，…，800进行编号．(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号． (2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a ，b 的值．(3)若a ≥10，b ≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 [解] (1)依题意，最先抽取到的3个人的编号依次为785,567,199. (2)由题意可得7＋9＋a100＝0.3，解得a ＝14.因为7＋9＋a ＋20＋18＋4＋5＋6＋b ＝100，所以b ＝17. (3)由题意知a ＋b ＝31，且a ≥10，b ≥8，则满足条件的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，(16,15)，(17,14)，(18,13)，(19,12)，(20,11)，(21,10)，(22,9)，(23,8)，共14组．其中满足“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的(a ，b )有(10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)，共6组．故所求概率P ＝614＝37.[对点训练]某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位：百元)内的手机的利润情况，从2018年度销售的一批手机中随机抽取75部，按其价格分成5组，频数分布表如下：[20,25)内的有几部？(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部，求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率．解：(1)因为在区间[5,10)，[10,15)和[20,25)内的手机的数量之比为5∶10∶15＝1∶2∶3，所以抽取的6部手机中价格在区间[20,25)内的有6×36＝3(部)．(2)这6部手机中价格在区间[5,10)内的有1部记为a ，在区间[10,15)内的有2部，分别记为b 1，b 2，在区间[20,25)内的有3部，分别记为c 1，c 2，c 3，从中任取2部，可能的情况有(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种；设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A ，则事件A 包含的情况有(a ，b 1)，(a ，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共9种．故P (A )＝915＝35.考点三 概率与数字特征的综合问题[典例] (2019·重庆六校联考)2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．(1)求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)用样本估计总体，若高三年级共有2 000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率．[解] (1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x ＝0.02. 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74(分)．由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．设中位数为t 分，则有(t －70)×0.03＝0.1，得t ＝2203，即所求的中位数为2203分．(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于70分的人数为2 000×0.6＝1 200.(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15,10,5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1. 记成绩在[70,80)的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在[80,90)的2名学生分别为d ，e ，成绩在[90,100]的1名学生为f ，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a ，b ，c )，(a ，b ，d )，(a ，b ，e )，(a ，b ，f )，(a ，c ，d )，(a ，c ，e )，(a ，c ，f )，(a ，d ，e )，(a ，d ，f )，(a ，e ，f )，(b ，c ，d )，(b ，c ，e )，(b ，c ，f )，(b ，d ，e )，(b ，d ，f )，(b ，e ，f )，(c ，d ，e )，(c ，d ，f )，(c ，e ，f )，(d ，e ，f )，共20种．其中成绩在[80,100]的学生没人被抽到的可能结果为(a ，b ，c )，只有1种， 故成绩在[80,100]的学生至少有1人被抽到的概率P ＝1－120＝1920.[解题技法]本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图，求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．[对点训练](2019·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．解：(1)甲在比赛中得分的均值x ＝18×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s 2＝18×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.(2)甲得分在20分以下的6场比赛分别为：7,8,10,15,17,19. 从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：(7,8)，(7,10)，(7,15)，(7,17)，(7,19)，(8,10)，(8,15)，(8,17)，(8,19)，(10,15)，(10,17)，(10,19)，(15,17)，(15,19)，(17,19)，共15种，其中抽到2场都不超过均值的情形是：(7,8)，(7,10)，(7,15)，(8,10)，(8,15)，(10,15)，共6种，所以所求概率P ＝615＝25.考点四 概率与统计案例的综合问题[典例] 里约奥运会中国女排勇夺金牌，某校高一课外小组为了解金牌争夺战现场直播时同学们的观看情况，从本年级500名男生、400名女生中按分层抽样的方式抽取45名学生进行了问卷调查，观看情况分成以下三类：全程观看、部分观看、没有观看，调查结果统计如下：(1)①求出表中x ，y ②从没有观看的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好男生、女生各1人的 概率； (2)根据表格统计的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为全程观看与性别有关.附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解] (1)①由分层抽样知抽取的男生人数为500900×45＝25，抽取的女生人数为45－25＝20，因而x ＝25－20＝5，y ＝20－16＝4.②从表中数据可以得出，没有观看的同学共6人，2名男生分别记为A 1，A 2,4名女生分别记为B 1，B 2，B 3，B 4，则从中随机选取2人，有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，B 1B 2，B 1B 3，B 1B 4，B 2B 3，B 2B 4，B 3B 4，共15种情况，记“男生、女生各1人”为事件M ，其包含的情况有A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1B 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2B 4，共8种，所求概率P (M )＝815.(2)由题意得列联表如下：K 2＝45×(180－70)228×20×17×25≈2.288＜2.706，因而没有90%的把握认为全程观看与性别有关．[对点训练]某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .参考数据：11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1 092， 112＋132＋122＋82＝498.解：(1)设选到相邻两个月的数据为事件A .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，且每种情况都是等可能的，其中，选到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13.(2)由表中2月份至5月份的数据可得x ＝11，y ＝24，∑i ＝14x i y i ＝1 092，∑i ＝14x 2i ＝498，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4 x y∑i ＝14x 2i －4 x2＝187， 则a ^＝y －b ^x ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＜2； 当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＜2. 所以该小组所得线性回归方程是理想的．[课时跟踪检测]1．(2019·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)根据图中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X (单位：元)，求X ＞182的概率；(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：(1)甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数为110(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33.(2)设a 为乙公司员工B 每天的投递件数，则 当a ＝35时，X ＝140，当a ＞35时，X ＝35×4＋(a －35)×7，令X ＝35×4＋(a －35)×7＞182，得a ＞41，则a 的取值为44,42，所以X ＞182的概率P ＝410＝25.(3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝ 4 860(元)，易知乙公司员工B 每天所得劳务费X 的可能取值为136,147,154,189,203，所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为110×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋203)×30＝165.5×30＝4 965(元)．2．(2018·湖北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)∵K 2＝100×(40×25－20×15)255×45×60×40≈8.249＞6.635，∴有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(2)由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a ，b ，c ，d ；女生2名，分别记为m ，n . 则抽取的结果共有15种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A ，事件A 所包含的基本事件有8种：(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )．则P (A )＝815.故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.3．(2019·西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(3)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：采用分层抽样，“25周岁以上(含25周岁)组”应抽取工人100×300300＋200＝60(名)，“25周岁以下组”应抽取工人100×200300＋200＝40(名)．(1)由“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图可知，其中位数为70＋10×0.5－0.05－0.350.35＝70207≈73(件)． 综上，25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为73件．(2)由频率分布直方图可知，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上(含25周岁)的工人共有60×0.005×10＝3(名)，设其分别为m 1，m 2，m 3；25周岁以下的工人共有40×0.005×10＝2(名)，设其分别为n 1，n 2，则从中抽取2人的所有基本事件为(m 1，m 2)，(m 1，m 3)，(m 1，n 1)，(m 1，n 2)，(m 2，m 3)，(m 2，n 1)，(m 2，n 2)，(m 3，n 1)，(m 3，n 2)，(n 1，n 2)，共10个．记“至少抽到一名‘25周岁以下组’的工人”为事件A ，事件A 包含的基本事件共7个． 故P (A )＝710.(3)由频率分布直方图可知，25周岁以上(含25周岁)的生产能手共有60×[(0.02＋0.005)×10]＝15(名)，25周岁以下的生产能手共有40×[(0.032 5＋0.005)×10]＝15(名)，则2×2列联表如下：K 2＝100×(15×25－15×45)60×40×30×70≈1.786＜2.706.综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．4．某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x (吨)为该商品进货量，y (天)为销售天数)：(1)根据上表数据在网格中绘制散点图；(2)根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)在该商品进货量x (吨)不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x (吨)恰有一个值不超过3吨的概率．参考公式和数据：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2，a ^＝y －b ^ x .∑i ＝18x 2i ＝356，∑i ＝18x i y i ＝241.解：(1)散点图如图所示：(2)依题意，得x ＝18(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6，y ＝18(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，b ^＝∑i ＝18 (x i －x )(y i －y )∑i ＝18(x i －x)2＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x2＝241－8×6×4356－8×62＝4968， ∴a ^＝4－4968×6＝－1134，∴y 关于x 的线性回归方程为y ^＝4968x －1134.(3)由题意知，该商品进货量不超过6吨的有2,3,4,5,6共有5个，任取2个有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共10种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共6种情况，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率P ＝610＝35.。
高中概率与统计试题及答案
高中概率与统计试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。
随机抽取一名学生，抽到男生的概率是多少？A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1.02. 在一次掷骰子的实验中，掷得的点数为奇数的概率是多少？A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1.03. 某工厂生产的产品中，有5%的产品是次品。
如果随机抽取100件产品，计算至少有1件次品的概率。
A. 0.95B. 0.975C. 0.995D. 1.04. 某篮球队在一场比赛中，投篮命中率为40%。
如果该队在一场比赛中投篮20次，求至少投中8次的概率。
A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.95. 某次考试共有100道选择题，每题4个选项，随机猜测，求至少猜对20题的概率。
A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.96. 某城市有两家电影院，A影院的观众满意度为70%，B影院的观众满意度为80%。
随机选择一家影院，求观众满意度超过70%的概率。
A. 0.5B. 0.7C. 0.8D. 1.07. 某公司有5名员工，其中2名是女性。
随机选择2名员工参加培训，求至少有1名女性的概率。
A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.88. 某班有40名学生，随机选择5名学生参加竞赛，求至少有1名男生的概率，已知该班男生比例为60%。
A. 0.9B. 0.95C. 0.99D. 1.09. 某地区一年中下雨的天数占总天数的30%，求连续3天都下雨的概率。
A. 0.027B. 0.09C. 0.3D. 1.010. 某彩票中奖率为1/100，求购买一张彩票中奖的概率。
A. 0.01B. 0.1C. 0.5D. 1.0二、解答题（每题10分，共60分）11. 某学校有200名学生，其中100名男生和100名女生。
如果随机抽取4名学生组成一个小组，求该小组中恰好有2名男生的概率。
12. 某工厂的零件合格率为90%，求从100个零件中随机抽取10个，至少有8个合格的概率。
高一数学概率试题答案及解析
高一数学概率试题答案及解析1.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，将得到的点数分别记为a,b.（1）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率；（提示：点到直线的距离公式：）（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段围成等腰三角形的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，事件总数为6×6=36.满足条件的情况只有或两种情况，由此能得出直线与圆相切的概率；（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，事件总数为6×6=36．满足条件的不同情况共有14种．由此能求出三条线段能围成不同的等腰三角形的概率 .试题解析：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，事件总数为6×6=36.因为直线与圆相切，所以有，即,由于∈{1,2,3,4,5,6}.所以，满足条件的情况只有a=3,b=4或a=4,b=3两种情况.所以，直线与圆相切的概率是.（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，事件总数为6×6=36.因为，三角形的一边长为5,所以，当a=1时，b=5,（1,5,5）共1种；当a=2时，b=5,（2,5,5）共1种；当a=3时，b=3,5,（3,3,5）,（3,5,5）共2种[ ；当a=4时，b=4,5,（4, 4,5）,（4,5,5）共2种；当a=5时，b=1,2,3,4,5,6，（5,1,5）,（5,2,5）,（5,3,5）,（5,4,5）,（5,5,5）,（5,6,5）共6种；当a=6时，b=5,6,（6,5,5）,（6,6,5）共2种；故满足条件的不同情况共有14种.所以，三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为.【考点】古典概型及其概率 .2.．若随机变量X的分布列如下表，且EX=6.3，则表中a的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由得，，解【考点】离散型随机变量的期望.3.袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子.（1）求得分X的分布列；（2）求得分大于6的概率.【答案】（1）（2）【解析】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：解：（1）X的取值为5、6、7、8.，，，.X的分布列为（2）根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为【考点】（1）随机变量的分布列；（2）求随机变量的概率4.半径为8 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆．现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为．【答案】【解析】硬币落下后与小圆无公共点即硬币的圆心与小圆圆心之间的距离要大于两半径和2,从而所求概率为,答案为.【考点】几何概型的概率计算5.一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个.（Ⅰ）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.【答案】（1）;.【解析】（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2）当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性.试题解析：解（Ⅰ）设黑色球记为，白色球记为，摸出两球颜色恰好相同，有，即两个黑球或两个白球，共有4种可能情况.基本事件共有，共有10种情况，故所求事件概率.（Ⅱ）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”.故事件包括：共有25种情况，颜色不同包括：12种情况故所求事件的概率.【考点】求随机事件发生的概率.6.抛掷两颗骰子，第一颗骰子向上的点数为x，第二颗骰子向上的点数为y，则“｜x-y︱>1”的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设两次抛掷出现的点数为事件，容易知道总事件数为36，这里可先算的情况,有,以上16种情况，所以的情况有36-16=20种，解得概率为.【考点】相互独立事件的概率乘法公式；等可能事件的概率．7.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是()A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增多，频率越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定【答案】C【解析】根据频率与概率的定义，频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，所以他们并不是一个值．频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值．频率的数值是通过实验完成的，是概率的近似值，概率是频率的稳定值．所以选C。
(压轴题)高中数学必修三第一章《统计》检测题(含答案解析)(3)
一、选择题1．一组数据的平均数为x ，方差为2s ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为x B ．这组新数据的平均数为a x + C ．这组新数据的方差为2asD ．这组新数据的标准差为2a s2．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为1A ，216,,A A ⋯，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）A ．10B ．6C ．7D ．163．有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（ ） A ．006B ．041C ．176D ．1964．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+，则表中m 的值为( ) x 8 10 11 12 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．295．在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为125-号，再用系统抽样方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为(A．95 B．96 C．97 D．986．总体由编号为01，02，，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体．选取的方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）．78066572080263142947182198003204923449353623486969387481A．02B．14C．18D．297．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，88．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为（）A．64 B．96 C．144 D．1609．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．90.5 B．91.5 C．90 D．9110．已知x，y的取值如表：x2678y若x ，y 之间是线性相关，且线性回归直线方程为，则实数a 的值是A ．B ．C ．D ．11．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下： 月份1 2 3 4 5 广告投入（x 万元） 9.5 9.3 9.1 8.9 9.7 利润（y 万元）9289898793由此所得回归方程为7.5ˆyx a =+，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ） A ．97万元B ．96.5万元C ．95.25万元D ．97.25万元12．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，若将学生按成绩由低到高编为1-45号，再用系统抽样方法从中抽取9人，则其中成绩在区间[120,135]上的学生人数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据()(),1,2,3,,8i i x y i =，其回归直线方程是12y x a =+，且8116i i x ==∑，8148i i y ==∑，则实数a =__________.14．已知一组样本数据1210,x x x ，且22212102020x x x +++=，平均数9=x ，则该组数据的标准差为__________.15．已知一组数据6,7,8，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为_______. 16．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为____．17．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：^y =0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.18．对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =），其回归直线方程是3ˆ2ˆybx =+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______.19．目前北方空气污染越来越严重，某大学组织学生参加环保知识竞赛，从参加学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，若从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为_______.20．某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则19a b+的最小值为__________．三、解答题21．某市政府针对全市10所由市财政投资建设的企业进行了满意度测评，得到数据如下表： 企业abcdefghij满意度x （%） 21 33 24 20 25 21 24 23 25 12 投资额y （万元）79868978767265625944y x （2）约定：投资额y 关于满意度x 的相关系数r 的绝对值在0.7以上（含0.7）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱.如果没有达到较强线性相关，则根据满意度“末位淘汰”规定，关闭满意度最低的那一所企业，求关闭此企业后投资额y 关于满意度x 的线性回归方程（精确到0.1）.参考数据：22.8x =，71y =，1022110248i i x x =-≈∑，643.7，10110406i i i x y x y =-=∑，222851984=，2287116188⨯=.附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.线性相关系数ni ix y nx yr -=∑.22．某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过2件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-． 23．画糖人是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术.某糖人师傅在公园内画糖人，每天卖出某种糖人的个数与价格相关，其相关数据统计如下表：卖出糖人的个数y （个）5450 46 43 39（1）根据表中数据求y 关于x 的回归直线方程；（2）若该种造型的糖人的成本为2元/个，为使糖人师傅每天获得最大利润，则该种糖人应定价多少元？（精确到1元）参考公式：回归直线方程^^^y b x a =+，其中^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，^^^a y b x =-.24．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表： 身高/cm6070 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据散点图判断，y a bx =+与xy a b =⋅哪一个能比较近似地反映这个地区未成年男性体重kg y 与身高cm x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及下表中数据，建立y 关于x 的回归方程（表中ln i i u y =，0.66 1.93e ≈，0.22 1.02e ≈）.xyu()1221ii x x =-∑()()121iii x x y y =--∑ ()()121iii x x u u =--∑11524.0532.9614200 6143.3 284参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y b x =-⋅.25．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：26．某土特产销售总公司为了解其经营状况，调查了其下属各分公司月销售额和利润，得到数据如下表：在统计中发现月销售额x和月利润额y具有线性相关关系．(Ⅰ)根据如下的参考公式与参考数据，求月利润y与月销售额x之间的线性回归方程；(Ⅱ)若该总公司还有一个分公司“雅果”月销售额为10万元，试求估计它的月利润额是多少？(参考公式：1221ni i i n i i x y nx y b x nx==-⋅=-∑∑，a y b x =-，其中：1112ni ii x y ==∑，21200)nii x==∑．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据平均数及方差的定义可知，一组数据的每个数都乘以a 得到一组新数据，平均值变为原来a 倍，方差变为原来2a 倍. 【详解】设一组数据1234,,,,,n x x x x x ⋯的平均数为x ，方差为2s , 则平均值为()12341n ax ax ax ax ax ax n++++⋯+=， ()()()()()22222212341n s x x x xx xx xx x n ⎡⎤=-+-+-+-+⋯+-⎢⎥⎣⎦，()()()()()222222212341n ax axax axax axax axax ax a s n ⎡⎤∴-+-+-+-+⋯+-=⋅⎢⎥⎣⎦故选：D. 【点睛】本题主要考查了方差，平均数的概念，灵活运用公式计算是解题关键，属于中档题.2．A解析：A 【分析】先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于90分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于90分的个数数出来，即为输出的结果． 【详解】176A =，1i =，16i ≤成立，190A ≥不成立，112i =+=； 279A =，2i =，16i ≤成立，290A ≥不成立，112i =+=；792A =，7i =，16i ≤成立，790A ≥成立，011n =+=，718i =+=；依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于90分的学生数为10，故选A ． 【点睛】本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题．3．B解析：B 【解析】 【分析】求得抽样的间隔为10，得出若在第1组中抽取的数字为6，则抽取的号码满足104n -，即可出判定，得到答案. 【详解】由题意，从200人中用系统抽样的方法抽取20人，所以抽样的间隔为2001020=， 若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足6(1)10104n n +-⨯=-，其中n N +∈，其中当4n =时，抽取的号码为36；当18n =时，抽取的号码为176；当20n =时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中，故选B. 【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的抽取方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x 的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m 的值即可． 【详解】 由题意可得：810111214115x ++++==，由线性回归方程的性质可知：99112744y =⨯+=， 故21252835275m++++=，26m ∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与y 之间的关系，这条直线过样本中心点．5．C解析：C 【分析】结合系统抽样法的方法,得出其他四名选手的成绩,然后计算平均数,即可. 【详解】结合系统抽样法,可知间隔5个人抽取一次,甲为85,则其他人分别是88,94,99,107,故平均数为88+94+99+107=974,故选C.【点睛】考查了系统抽样法,关键该抽取方法每间隔相同人数中抽取一人,计算平均数,即可,难度中等.6．D解析：D 【解析】分析：根据随机数表法则取数：取两个数，不小于30的舍去，前面已取的舍去. 详解：从表第1行5列，6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号为：08，02，14，29．∴第四个个体为29． 选D ．点睛：本题考查随机数表，考查对概念基本运用能力.7．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图8．D解析：D 【解析】 【分析】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81=12816，因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人，即可求出20～30岁年龄段的人数. 【详解】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81=12816, 因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人,所以，20～30岁龄段的人有480128192160--=，故选D. 【点睛】本题主要考查了分层抽样，抽样，样本容量，属于中档题9．A解析：A【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可.【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95， 所以中位数为90+91=90.52，故选A. 【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题. 10．B解析：B【解析】【分析】根据所给的两组数据，做出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到线性回归直线一定过的点的坐标．【详解】根据题意可得，，由线性回归方程一定过样本中心点，． 故选：B ．【点睛】 本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题． 11．C解析：C【解析】【分析】首先求出x y ，的平均数，将样本中心点代入回归方程中求出a 的值，然后写出回归方程，然后将10x =代入求解即可【详解】()19.59.39.18.99.79.35x =⨯++++= ()19289898793905y =⨯++++= 代入到回归方程为7.5ˆyx a =+，解得20.25a =7.25ˆ50.2yx ∴=+ 将10x =代入7.50.5ˆ22yx =+，解得ˆ95.25y = 故选C【点睛】本题是一道关于线性回归方程的题目，解答本题的关键是求出线性回归方程，属于基础题。
高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)
高中数学必修三第三章《概率》章节练习题(含答案)高中数学必修三第三章《概率》章节练题一、选择题（每小题3分，共18分）1.下列试验属于古典概型的有（）。
A.1个B.2个C.3个D.4个2.任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是（）。
A。
B。
C。
D。
补偿训练】一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（）。
A。
B。
C。
D。
3.在全运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手。
若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（）。
A。
B。
C。
D。
4.任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|+|y|≤3中的概率为（）。
A。
B。
C。
D。
5.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（）。
A。
B。
C。
D。
6.如图，两个正方形的边长均为2a，左边正方形内四个半径为的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系是（）。
A。
P1=P2 B。
P1>P2 C。
P1<P2 D。
无法比较二、填空题（每小题4分，共12分）7.一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则a+b能被3整除的概率为（）。
8.已知函数f(x)=log2x，x∈R。
在区间[1,8]上任取一点x，使f(x)≥-2的概率为（）。
补偿训练】已知直线y=x+b，b∈[-2，3]，则该直线在y轴上的截距大于1的概率是（）。
A。
B。
C。
D。
9.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线y=√(x)与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组[0,1]的均匀随机数，a=RAND，b=RAND；②做变换，令x=4a，y=√(b)；③判断(x,y)是否在阴影部分中，若是则计数器加1；④重复上述步骤n次，估计S≈n×计数器/.则利用上述方法，当n=时，估计得到的阴影部分的面积S≈（）。
高中数学必修三第三章概率综合训练(含答案)
高中数学必修三概率综合训练一、单选题1.下列事件中，是随机事件的是（）①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，3个都是正品；②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；④异性电荷，相互吸引；⑤某人购买体育彩票中一等奖．A. ②③④B. ①③⑤C. ①②③⑤D. ②③⑤2.下列说法正确的是（）A. 任何事件的概率总是在（0，1）之间B. 频率是客观存在的，与试验次数无关C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D. 概率是随机的，在试验前不能确定3.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（）A. 本市明天将有70%的地区降雨B. 本市明天将有70%的时间降雨C. 明天出行带雨具的可能性很大D. 明天出行不带雨具肯定要淋雨4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个红球”与“都是黑球”B. “至少有一个黑球”与“都是黑球”C. “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D. “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”5.已知事件A与事件B发生的概率分别为、，有下列命题：①若A为必然事件，则；②若A与B互斥，则；③若A与B互斥，则.其中真命题有（）个A. 0B. 1C. 2D. 36.设函数，若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（）A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.27.如图，在矩形中，AB=4cm，BC=2cm，在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到阴影部分的概率是（）A. B. C. D.8.掷一个骰子，出现“点数是质数”的概率是（）A. B. C. D.9.抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）A. 至多有2件次品B. 至多有1件次品C. 至多有2件正品D. 至多有1件正品10.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续的时间为50秒，若一行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待20秒才出现绿灯的概率为（）A. B. C. D.11.在边长为4的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于1的概率是（）A. B. C. D.12.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）A. P（M）=，P（N）=B. P（M）=，P（N）=C. P（M）=，P（N）=D. P（M）=，P（N）=13.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A. 3个都是正品B. 至少有1个是次品C. 3个都是次品D. 至少有1个是正品14.设实数p在[0，5]上随机地取值，使方程x2+px+1=0有实根的概率为（）A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.315.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A. B. C. D.16.在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A. B. C. D.17.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（）A. 0.9B. 0.2C. 0.7D. 0.518.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A. B. C. D.19.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足的概率为（）A. B. C. D.20.袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A. B. C. D.21.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且。
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姜堰市溱潼中学09-10年度第一学期第一次
月质量检测
高二数学试卷
命题人：凌彬审核人：袁梅
一、选择题：（每小题5分，共50分）
1．下列图形符号中，表示输入输出框的是（D）
A B C D 2．给出以下四个问题：①输入一个数x，输出它的相反数；②求面积为6的正方形的周长；
③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数
10
()
20
x x
f x
x x
-≥
⎧
=⎨
+<
⎩
的函数值．
其中不需要用条件语句来描述其算法的有（B）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
3．设m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a b
-是m的倍数，则称a、b模m同余，用符号(Mod)
a b m
=表示；在5(Mod27)
a=中，a的取值可能为（D）
A、11
B、22
C、27
D、32
4．从编号为150
:的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（B）
A、5，10，15，20，25；
B、3，13，23，33，43；
C、1，2，3，4，5；
D、2，4，8，16，32
5．一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：
（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），2．
则样本在区间（-∞，50）上的频率为（ B ）
A、0.5
B、0.7
C、0.25
D、0.05
6．三点()
3, 10, (7, 20), (11, 24)的线性回归方程是（A）
A、ˆ 5.75 1.75
y x
=+ B、ˆ 1.75 5.75
y x
=+
C 、ˆ 1.75 5.75y
x =- D 、ˆ 5.75 1.75y x =- 7．下面语句不可成为事件的是（ C ）
A 、抛一只钢笔落地；
B 、某人射击中靶；
C 、这是一只钢笔吗？
D 、数学测试，某同学两次都是及格．
8．100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品．以上四个事件中，随机事件的个数是（ C ）
A 、3
B 、4
C 、2
D 、1
9．在20瓶饮料中，有两瓶是过了保质期的，从中任取１瓶，恰为过保质期的概率
为（ B ） A 、12
B 、
110 C 、120 D 、140
10．如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，
那么他投中正方形区域的概率为（ A ） A 、2π B 、1
π
C 、23
D 、13
二、填空题：（每小题5分，共40分）
11．有一堆火柴棒，三根三根的数，最后余下两根；五根五根的数，最后余下三根；
七根七根的数，最后余下两根．那么这对火柴棒最少是__23__根． 12．右图，如果该程序运行后输出的结果是315， 那么在程序中While 后面的条件应为 I 3> （注：I ∈13．若M 个数的平均数是X ，N 个数的平均数是Y ，
则这M+N 个数的平均数是
MX+NY
M+N
14．若给定一组数据1x ，2x ，…，n x ，方差为2
S ，
则1ax ，2ax ，…，n ax 方差是22a S ． 15．下列说法中不正确的是 ①②③
①事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大； ②事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小； ③互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； ④互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．
16．在一杯10升的清水中，有一条小鱼，现任意取出1升清水，则小鱼被取到的概率为 0.1 ．
17．据调查，10000名驾驶员在开车时约有5000名系安全带，如果从中随意的抽查
一名驾驶员有无系安全带的情况，系安全带的概率是 0.5 ． 18．在去掉大小王的52张扑克中，随机抽取一张牌，这张牌是J 或Q 的概率为
2．
三、解答题：（每小题10分，共60分） 19
解：（1）流程图见右：
（2）运行6次，结果为9．
20．某射手在同一条件下射靶50次，其中脱靶（0环）1次，射中6环2次，射中
7环7次，射中8环13次，射中9环21次，射中10环6次； （1）列出频率分布表；（2）估计该射手射中环数不小于7环的概率． 解：（1）频率分布表如下：
（221．名著《简•爱》的中英文版本中，第一节的部分内容的每句句子中所含单词（字）数如下：
英文句子所含单词数：10，52，56，40，79，9，23，11，10，21，30，31； 中文句子所含字数：11，79，7，20，63，33，45，36，87，9，11，37，17，
18，71，75．
（1）作出这些数据的茎叶图；（2）比较茎叶图，你能得到什么结论？ 解：（1）茎叶图如图：英文句子所含单词数 中文句子所含字数
012345
678900113010
26979
1178036753159
7
（2）从茎叶图看，英文句子所含单词数与中文句子所含字数都分布得比较分散，
总的看来，每句句子所含的字（单词）数没有多在差别；因数据少，不能给出较准确的结论．
22．从1，2，3，4，5五个数字中任意取3个出来组成一个没有重复数字的三位数；
求（1）这个三位数是奇数的概率；（2）这个三位数大于300的概率． 解：总计可以组成的没有重复的三位数有：5×4×3=60； （1）三位数为奇数时，末位是奇数；共有奇数：3×4×3=36；
故此时的概率为：363605P =
=． （2）大于300的三位数有：3×4×3=36；
故此时的概率也为：363605
P =
=． 答：三位数是奇数的概率和三位数大于300的概率都是35
．
23．一盒中装有各色球12只，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球；从
中随机取出1球，求：（1）取出的1球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
解：基本事件的总数为：12；
（1）红球或黑球共有9只，故其概率为93
124
P =
=． （2）红球或黑球或白球共有11只，故其概率为11
12
P =．
答：取出的1球是红球或黑球的概率为3
4
；
取出的1球是红球或黑球或白球的概率为11
12
．
24．设有一4×4正方形网格，其各个最小的正方形的边长为4cm ，现用直径为2cm
的硬币投掷到此网格上；假设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点；
求：（1）硬币落下后完全在最大的正方形内的概率；
（2）硬币落下后与网格线没有公共点的概率．
解：考虑圆心的运动情况．
（1）因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最
大的正方形有公共点，所以圆心的最
大限度
为原正方形向外再扩张1个小圆半径
的区
域，且四角为四分之圆弧；此时总面
积为：
16×16＋4×16×1＋π×12=320
＋π；
完全落在最大的正方形内时，圆心的位置 在14为边长的正方形内，其面积为：
14×14=196；
故：硬币落下后完全在最大的正方形内的概 率为：196
320P π
=
+；
（2）每个小正方形内与网格线没有公共点的部分
是正中心的边长为2的正方形的内部，一共有16个小正方形，总面积有：
16×22=64；故：硬币落下后与网格线没有公共点的概率为：64
320P π
=+．
答：硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：196
320P π=
+；
硬币落下后与网格线没有公共点的概率为：64
320P π
=+．。