专题二 第1讲空间中的平行与垂直关系
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究三维空间中的几何关系的学科，其中平行和垂直是两个重要的概念。
平行和垂直关系是我们日常生活和工作中常常接触到的概念，它们在建筑设计、物体摆放和路线规划等方面都有着广泛的应用。
本文将围绕空间几何中的平行和垂直展开讨论。
一、平行概念与性质在空间几何中，平行是指两个直线或两个平面始终保持相互平行的关系。
如图所示，直线l和m平行，用符号表示为l∥m。
平行关系具有以下性质：1. 平行关系是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线自己与自己平行，对称性是指如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l也平行，传递性是指如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
2. 如果一条直线与一个平面平行，那么该直线上的任意一点与该平面上的任意一点的连线垂直于该平面。
3. 平行关系与直线的切比雪夫性质密切相关。
切比雪夫性质是指在点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，在A与B的所有可能位置之间都保持不变。
二、垂直概念与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系也称为垂直关系或直角关系。
如图所示，直线l和m垂直，用符号表示为l⊥m。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系也是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线与自己垂直，对称性是指如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l也垂直，传递性是指如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
2. 如果两个平面相交成直角，那么这两个平面互相垂直。
3. 垂直关系与直线的切比雪夫性质也存在关联。
在垂直关系中，点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，与A与B的位置无关。
三、平行和垂直的判断方法在实际问题中，判断两条直线或两个平面是否平行或垂直是非常重要的。
以下是常见的判断方法：1. 对于直线而言，可以通过观察其斜率来判断平行关系。
第1讲 空间中的平行与垂直 公开课精品课件
所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1. 又 EE1⊂平面 ADD1A1，所以 EE1∥平面 FCC1. (2)连结 AC，在△FBC 中，FC＝BC＝FB，又 F 为 AB 的中点， 所以 AF＝FC＝FB. 因此∠ACB＝90° ，即 AC⊥BC. 又 AC⊥CC1，且 CC1∩BC＝C， 所以 AC⊥平面 BB1C1C. 而 AC⊂平面 D1AC，故平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.
主干知识梳理
1．点、线、面的位置关系 (1)公理 1 ∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α. (2)公理 2 ∵A，B，C 三点不共线，∴A，B，C 确 定一个平面． 三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面． ②过两条平行直线有且只有一个平面． ③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面． (3)公理 3 ∵P∈α，且 P∈β，∴α∩β＝l，且 P∈l. (4)公理 4 ∵a∥c，b∥c，∴a∥b. (5)等角定理 ∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴∠AOB ＝∠A1O1B1 或∠AOB＋∠A1O1B1＝180° .
(1)证明 如图，设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的 中点．连接 EG，GH，由于 H 为 BC 的中点， 1 故 GH 綊 AB. 2 1 又 EF 綊 AB，∴EF 綊 GH. 2 ∴四边形 EFHG 为平行四边形． ∴EG∥FH.而 EG⊂平面 EDB，FH⊄平面 EDB， ∴FH∥平面 EDB.
专题五 立体几何
第1讲 空间中的平行与垂直 明确考向 感悟高四边形 ABCD 是正方形，AB＝2EF＝2， EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90° ，BF＝ FC，H 为 BC 的中点． (1)求证：FH∥平面 EDB； (2)求证：AC⊥平面 EDB； (3)求四面体 B－DEF 的体积．
空间中的垂直关系 课件
(2)若 AB =B C ,则 B D ⊥AC ,
由(1)可知,SD ⊥平面 AB C ,而 B D ⊂ 平面 AB C ,
因此 SD ⊥B D .
∵SD ⊥B D ,B D ⊥AC ,SD ∩AC =D ,∴B D ⊥平面 SAC .
T 题型二面
面垂直问题
例 2如图所示,已知△AB C 是等边三角形,E C ⊥平面 AB C ,B D ⊥
(1)求证:SD ⊥平面 AB C ;
(2)若 AB =B C ,求证:B D ⊥平面 SAC .
【证明】(1)如图所示,取 AB 中点 E ,连接 SE ,D E ,在 R t△AB C 中,D ,E 分别
为 AC ,AB 的中点,故 D E∥B C ,且 D E ⊥AB ,
∵SA=SB ,
∴△SAB 为等腰三角形.
从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫斜线
在平面内的射影.
(2)斜线和平面所成的角的定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这
个平面所成的角.
若直线在平面内或直线和平面平行,则说直线和平面成 0°
角;若直线和
平面垂直,则说直线和平面成 90°
角.
任一直线和平面所成角 θ
由于平面 P D C⊥平面 AB CD ,而直线 CD 是平面 P D C 与平面 AB CD 的交
线,
故 P E ⊥平面 AB CD ,由此得∠P B E 为直线 P B 与平面 AB CD 所成的角.
在△P D C 中,由于 P D =C D =2,P C =2 3,
可得∠P CD =30°
.
在 R t△P EC 中,P E =P C sin30°
空间中的平行与垂直PPT课件
热点分类突破
题型一 线线、线面的平行与垂直 例1 如图所示，正三棱柱 A1B1C1—ABC
中，点 D 是 BC 的中点，BC＝ 2BB1， 设 B1D∩BC1＝F.求证： (1)A1C∥平面 AB1D； (2)BC1⊥平面 AB1D. 思维启迪 本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行 及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平 行”，第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”．
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又∵AB⊥平面 EBD，BE⊂平面 EBD，∴AB⊥BE. ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝12AB·BE＝4. ∵DE⊥BD，平面 EBD⊥平面 ABD，∴ED⊥平面 ABD， 而 AD⊂平面 ABD，∴ED⊥AD， ∴S△ADE＝12AD·DE＝4. 综上，三棱锥 E—ABD 的侧面积 S＝8＋2 3.
(2)证明 由四边形 ABCD 为正方形，得 AB⊥BC. 又 EF∥AB，∴EF⊥BC. 而 EF⊥FB，∴EF⊥平面 BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH. 又 BF＝FC，H 为 BC 的中点，∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面 ABCD.∴FH⊥AC. 又 FH∥EG，∴AC⊥EG.又 AC⊥BD，EG∩BD＝G， ∴AC⊥平面 EDB. (3)解 ∵EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面 CDEF. ∴BF 为四面体 B－DEF 的高．又 BC＝AB＝2， ∴BF＝FC＝ 2. VB－DEF＝13×12×1× 2× 2＝13.
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证明 (1)在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中， ∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1＝F1，BF∩C1F＝F， B1F1、AF1⊂面 AB1F1，BF、C1F⊂面 C1BF， ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中， AA1⊥平面 A1B1C1，F1 是 A1C1 的中点． ∴B1F1⊥AA1，B1F1⊥A1C1.又∵A1C1∩AA1＝A1， ∴B1F1⊥平面 ACC1A1，而 B1F1⊂平面 AB1F1， ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1
空间的平行与垂直关系(思维导图)高考资料高考复习资料中考资料
面面平行 面面垂直
平行与垂直的相互转化关系 1
平行
线线平行
线面平行
平几知识 垂直
线线垂直
线面垂直
三垂线定理及逆定理
射影
注：虚线部分为考试大纲中不要求的部分！
面面平行
面面垂直 斜线段定理
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
空间的平行与垂直关系
高二数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上
知识结构
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平行与垂直相互转化关系 3
平行
平几知识
垂直
线线平行 线线平行 线面平行 面面平行 线线线线垂垂直直
线面平行 线面垂直
面面平行 面面垂直
平行与垂直相互转化关系 2
平行
平几知识
垂直
线线平行 线线平行 线面平行 面面平行 线线线线垂垂直直
线面平行 线面垂直
空间向量与平行、垂直关系课件
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
所 以 平 面 A1B1F 的 一 个 法 向 量 为 n1 ＝
－21，0，1.(5 分)
设平面 C1DE 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··DD→→EC1＝＝00⇒12y2x＋2＋z2y＝2＝0 0，∴xz22＝＝－－y22y2，
(1，1，0)，
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第三章 空间向量与立体几何
设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 n·D→A1＝0 且 n·D→B＝0， 得xx＋ ＋zy＝＝00，， 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
∴M→N·n＝21，0，12·(1，－1，－1)＝0，
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第三章 空间向量与立体几何
【思路点拨】 (1)证明面面垂直即证它们的
法 向 量 垂 直 ； (2) 证 C1P ⊥ 平 面 A1DE ， 只 要 证 C1P的方向向量和平面A1DE的法向量平行．
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
【解】 如图，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 1， 则 A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
∴O→A＝(1，－1，0)， O→P＝(－1，－1，1)， B→Q＝(－2，0，c)， B→D1＝(－2，－2，2)． 设平面 PAO 的法向量为 n1＝(x，y，z)，
栏目 导引
第三章 空间向量与立体几何
变式训练
3. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC ，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证 ：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
立体几何(线、面平行、垂直的有关结论)必修2 立体几何线面关系的判定与性质
立体几何（线面平行、垂直的有关结论）空间中线面平行、垂直关系有关的定理：1、【线面平行的判定】平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。
2、【线面平行的性质】如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。
3、如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
4、如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
5、如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
6、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
7、一条直线与两条平行直线中的一条直线相垂直，则这条直线也与另一条直线垂直。
8、与同一条直线都垂直的两条直线相互平行。
（）9、与同一个平面都垂直的两条直线相互平行。
10、两条平行直线中的一条直线与一个平面相垂直，则另一条直线也垂直于这个平面。
11、两条相互垂直的直线中的一条平行于一个平面，则另一条直线垂直于这个平面。
（）12、两条相互垂直的直线中的一条垂直于以个平面，则另一条直线平行于这个平面。
（）13、平面外的两条相互垂直的直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线平行于这个平面。
14、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面。
15、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
16、两个平面都与另一个平面相垂直，则这两个平面平行。
（）17、一个平面垂直于两平行平面中的一个平面，则此平面也垂直于另一个平面。
18、如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
19、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。
20、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
21、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【知识归纳】：【典型例题】：【高考小题】：。
空间几何中的平行与垂直关系1
空间几何的平行与垂直的关系【知识梳理】一、 三视图的性质：（长对正、高平齐、宽相等） 长对正：主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸。
宽相等：俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸。
高平齐：主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸。
二、空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：1. ⎪⎩⎪⎨⎧=⋂异面相交平行线线)()//(A b a b a ，⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊂)()//()(A a a a ααα相交平行线在面内线面，面面⎩⎨⎧=⋂.)()//(l βαβα相交平行2. 空间平行关系的判定与性质 （1）两直线平行的判定：①平行于同一直线的两直线平行（平行公理）②线面平行，经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行； ③两平面平行，被第三个平面截得的两条交线互相平行； ④垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线面平行的判定与性质： 判定：①平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则平面外的这条直线与此平面平行； ②两平面平行，一平面内任意一条直线都平行于另一平面。
性质：若直线与平面平行，则经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行。
（3）面面平行的判定与性质： 判定：①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行； ②垂直于同一直线的两平面平行。
性质：两平面平行，一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面。
3. 空间垂直关系的判定与性质： （1）两直线垂直的判定与性质： 判定①夹角是直角的两直线垂直；②线面垂直，则此直线垂直于此平面内任意一条直线。
性质：空间中的两直线垂直，则其夹角是90°。
（2）线面垂直的判定与性质： 判定：①一条直线若垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于此平面；②两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面；③一条直线垂直于两平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面；④两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一个平面。
空间中的平行与垂直
空间中的平行与垂直【知识梳理】 平行的判定与性质1、直线、平面有关的平行判定与性质平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．1、直线与平面平行定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
（1）直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面 的一条直线 ，则该直线与此平面平行. 符号表示：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α. （2）直线和平面平行的性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的 与此平面的 与该直线平行.符号表示：若l ∥α，l β⊂，a αβ= ，则l ∥a . 2、面面平行(1)两平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条 与另一个平面平行，则这 两个平面平行.符号表示：若 . 另外三个有用的判定定理判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P = ，a ∥β，b ∥β，则α∥β；判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β； 判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
(2)平面和平面平行的性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα= ，b γβ= ，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
垂直的判定与性质 1、直线和平面垂直 （1）直线和平面垂直定义：如果直线l 和平面α内的 ，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．（2）直线和平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的 ，则该直线与此平面垂直． 符号语言：若, , m n m n P αα⊂⊂= ，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。
（3）直线与平面垂直的性质：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的 ． 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ．符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒2、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面垂直．表示方法：平面α与β垂直，记作 ．（2）平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直． 符号语言： 。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究空间中点、直线、面以及它们之间的关系的数学学科。
在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
平行表示两条直线或者两个平面没有交点，而垂直则表示两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。
本文将详细介绍空间几何中平行和垂直的定义、性质以及对应的应用。
一、平行的定义与性质在空间几何中，平行是指在同一平面内没有交点的两条直线或者两个平面。
具体定义如下：定义1：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意点与直线m上的任意点之间的距离保持不变，那么直线l与直线m是平行的。
平行线具有以下性质：性质1：平行关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性：任意一条直线与自己平行。
对称性：如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l平行。
传递性：如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
性质2：平行线与交线的夹角为零。
性质3：平行线在同一平面上的投影线也是平行线。
性质4：平行线与同一平行线交割的两条直线也是平行线。
平行线在实际应用中有着广泛的应用，如建筑设计、地图制作、道路规划等。
二、垂直的定义与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或者一个直线和一个平面之间的相互垂直关系。
具体定义如下：定义2：设直线l和m在同一平面内，如果直线l上的任意一点到直线m上的任意一点的连线垂直于直线l和直线m所在平面，那么直线l与直线m垂直。
垂直关系具有以下性质：性质1：垂直关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性：任意一条直线与自己垂直。
对称性：如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l垂直。
传递性：如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
性质2：直线与同一平面内的两条垂直线重合时，它与两条垂直线都垂直。
性质3：垂直平分线是垂直于线段且将线段平分的直线。
性质4：垂直于平面的直线，必与平面中任意一条直线垂直。
垂直关系在三维空间中的应用十分广泛，如建筑构造、植物生长、天文测量等。
空间平行,垂直关系的判定与性质
空间平行,垂直关系的判定与性质
平面外一条直线，如果和平面中的两条相交直线垂直，那么，这条直线就和这个平面垂直；如果已知一条直线和一个平面a垂直，那么这条直线和所有与平面a平行的平面垂直；如果以知一条直线l和一个平面垂直，那么所有与直线l平行的直线都和这个平面垂直。
面面垂直
若两个平面的二面角为的直二面角（平面角就是直角的二面角），则这两个平面互相横向。
1、一个平面过另一平面的`垂线，则这两个平面相互垂直。
2、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相横向。
3、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
4、如果两个平面相互横向，那么在一个平面内旋转轴它们交线的直线旋转轴另一个平面。
5、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
6、如果两个平行平面都旋转轴第三个平面，那么它们的交线旋转轴第三个平面。
7、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
8、如果两个平面互相横向，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
9、如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。
线面横向
如果一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则称该直线垂直于该平面。
1、一条直线与一个平面内的两条平行直线都横向，则该直线与此平面横向。
2、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
3、如果两条直线旋转轴同一个平面，那么这两条直线平行。
立体几何平行和垂直知识点
立体几何的平行和垂直定理一、空间中的平行问题1、直线与平面平行的判定及其性质（1）判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 , 则该直线与此平面平行。
（线线平行线面平行）符号表示：（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线面平行线线平行符号表示：作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、平面与平面平行的判定及其性质（1）判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行），符号表示：（2）性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行→线线平行）符号表示：作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行3、在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等知识是非常常见的手段．有时也可用“垂直于同一个平面的两条直线平行”进行证明。
二、空间中的垂直问题1、线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
2、线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直这个平面。
（线线垂直→线面垂直）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
3、面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
4、在证明线线垂直时，经常利用线面垂直→线线垂直，同时要注意隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、矩形的相邻两边互相垂直、直径所对的圆周角为直角、菱形或正方形的两条对角线互相垂直且平分、边长已知时可利用勾股定理得出该三角形为直角三角形等．三、 3 种空间角1、异面直线的夹角（1）异面直线：既不相交也不平行的直线为异面直线（2）两条异面直线所成角的范围是（ 0°， 90°] ，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
高中数学-立体几何-空间中的平行和垂直关系
高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1 •掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2 •明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3. 要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1. 若a、b为异面直线，直线c // a,则c与b的位置关系是异面或相交2 •给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行•②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线1(2与同一平面所成的角相等，则1」2互相平行.④若直线1(2是异面直线，则与1(2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是_4 _______ 个。
3•对于任意的直线I与平面a,在平面a内必有直线m使m与I 垂直。
:4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，a、B、r是三个不重合的平面，下面六个命题：①a// c, b// c a// b；②a // r, b II r a // b；③a// c, B // c a// B ;④a// r, B // r a// B ;⑤a// c,a// c a//a；⑥a // r ,a// r a //a.其中正确的命题是①④________【范例导析】例1.如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形.求证：AB//平面EFG证明：•面EFGH是截面.•••点E, F, G, H分别在BC, BD, DA AC上.••• EH 面ABC GF 面ABD由已知,EH// GF. • EH// 面ABD又T EH，—面BAC 面AB6面ABD=AB•EH// AB.•AB// 面EFG例2. 如图，在正方体ABC—A1B1C1D中，点N在BD上，点M在BC上，并且CM=DN. DC求证:MN//平面AABB.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
空间立体几何中的平行、垂直证明ppt课件
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21
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F，
连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点，
M
A
D
B
N
C
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10
定理应用
构造平行四边形
P
M A
H D
B
N
C
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空间中的平行
11
定理应用
构造平行平面
P
M
A
Q
D
B
N
C
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空间中的平行
12
复习定理
空间中的垂直
解决空间直线与平面垂直的相关问题，特别要注意下面的 转化关系：
线线垂直
空间垂直之间的转化
①
③
②
线面垂直
④
面面垂直
空间中的平行与垂直
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1
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
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2
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
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1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下 列形式转化．
高中数学 -空间立体几何中的平行、垂直证明定理总结 (1)
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.
l m
l
m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.
(1)求证：BC1∥平面 CA1D； (2)求证：平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明：(1)连结AC1交A1C于E，连结DE．
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点． 又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
证明：(2)∵AC＝BC， D为AB的中点， ∴在△ABC中，AB⊥CD.
空间中的平行与垂直 定理总结
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,
则α∥β；
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,
m⊥α,则m⊥γ.
正确的命题是( C)
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
解析 ②中平面α与β可能相交，③中m与n可以
平行与垂直ppt课件
利用平行线的性质和垂线的性质进行判定。例如，在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一 条直线，那么这两条直线平行；或者如果一条直线与另外两条平行线中的一条垂直，那么它与 另外一条平行线也垂直。
02
平行四边形中平行与垂直
平行四边形中平行线性质
01 对边平行
平行四边形两组对边分别 平行。
03 对边相等
平行四边形的对边相等。
02 对角相等
平行四边形的对角相等。
04 邻角互补
平行四边形邻角互补。
平行四边形中垂直线性质
高与底垂直
从平行四边形一个顶点向对边作垂线，这条垂线 段就是高，高与底互相垂直。
高长度相等
任意一条高都将平行四边形分为两个面积相等的 三角形，因此，同底的高长度相等。
平行四边形对角线性质
平行于直径的弦是圆的另一条直径，且这两条直 径互相平分。
03 平行弦与圆心距
在同一圆内，两平行弦到圆心的距离相等。
圆中垂直弦性质
垂直弦性质
从圆心到弦的垂线平分该弦，并且平 分该弦所对的两条弧。
垂径定理
在圆内，垂直于弦的直径平分该弦， 并且平分该弦所对的两条弧。若过圆 内一点引两条互相垂直的弦，则它们 的中点连线段必过圆心。
在绘制工程图纸时，需要使用平 行线和垂直线来表示物体的轮廓 、尺寸和位置关系，以确保图纸 的准确性和可读性。
建筑设计
在建筑设计中，平行和垂直关系 对于确定建筑物的结构、立面和 平面布局至关重要，有助于实现 稳定、美观的建筑效果。
地理信息系统中平行和垂直线用于绘制等高线、道路、河流等地理 要素，以展示地形地貌、交通网络等空间信息。
对角线互相平分
平行四边形的对角线互相平分。
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第1讲空间中的平行与垂直关系
A组基础达标
1. 能保证直线a与平面α平行的条件是________．(填序号)
①b⊂α，a∥b；
②b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c；
③b⊂α，A，B∈a，C，D∈b且AC＝BD；
④a⊄α，bα，a∥b.
2. 若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列说法中错误的是________．(填序号)
①垂直于平面β的平面一定平行于平面α；
②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α；
③垂直于平面β的平面一定平行于直线l；
④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直．
3. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出以下四个命题：
①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.
其中正确的命题是________．(填序号)
4. 已知l，m是平面α外两条不同的直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________．
5. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中的“可换命题”是________．(填序号)
6. (2019·南方凤凰台密题)如图，在三棱锥P－ABC中，△P AB和△CAB都是以AB为底
边的等腰三角形，D，E，F分别是PC，AC，BC的中点．
(1) 求证：平面DEF∥平面P AB；
(2) 求证：AB⊥PC.
(第6题)
7. (2019·南通最后一卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别
是棱AB，PC的中点．
(1) 求证：EF∥平面P AD；
(2) 若EF⊥平面PCD，求证：P A＝AD.
（第7题）
B组能力提升
1. (2019·江苏冲刺卷)如图，BD是圆O的直径，C是圆周上不同于点B，D的任意一点，
AB⊥平面BCD，E为AB的中点．
(1) 求证：OE∥平面ACD；
(2) 求证：平面ACD⊥平面ABC.
(第1题)
2. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．
(1) 若P A＝PD，求证：平面PQB⊥平面P AD；
(2) 点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使得P A∥平面MQB.
(第2题)
3. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为菱形，AB＝AC＝BC，D，E，F 分别为A1B1，CC1，AA1的中点．
(1) 求证：DE∥平面A1BC；
(2) 若平面ABC⊥平面AA1B1B，求证：AB1⊥CF.
(第3题)
4. (2019·南通阶段性测试)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平
面ABCD，且AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.
(1) 求证：BD⊥AA1；
(2) 若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.
(第4题)。