5-3惯性定理与二次型的正定性
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二次型的正定性与半正定性判定
二次型的正定性与半正定性判定在线性代数中，二次型是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
正定性与半正定性是二次型的两个重要性质，对于理解和解决实际问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨二次型的正定性与半正定性的判定方法，以及它们在实际问题中的应用。
一、二次型的定义与基本性质二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为:$$Q(x_1,x_2,...,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中，$a_{ij}$为二次型的系数，$x_1,x_2,...,x_n$为变量。
二次型的基本性质有：1. 对称性：$a_{ij} = a_{ji}$2. 齐次性：$Q(kx_1,kx_2,...,kx_n) = k^2Q(x_1,x_2,...,x_n)$，其中k 为常数。
3. 定义正定性与半正定性的前提：二次型必须是实二次型，即系数$a_{ij}$为实数。
二、正定性的判定正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于零。
正定性的判定方法有以下几种常用方式：1. 惯性定理: 二次型的惯性定理指出，通过变换二次型的系数矩阵，可以得到一个对角阵，该对角阵的主对角线上元素个数为二次型的正惯性指数。
- 若正惯性指数为n，则二次型正定；- 若正惯性指数为0，则二次型半正定；- 若正惯性指数非0非n，则二次型不定。
2. Sylvester定理: Sylvester定理是另一种判定二次型正定性的方法，通过判断二次型的所有顺序主子式是否大于零来确定。
- 若所有顺序主子式大于零，则二次型正定；- 若所有顺序主子式非负但存在某个顺序主子式为零，则二次型半正定；- 若存在某个顺序主子式小于零，则二次型不定。
三、半正定性的判定半正定性是指对于任意非零向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，二次型$Q(x)$的取值都大于等于零。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学中一个重要的概念，它在优化问题、矩阵理论、微分方程等领域都有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要判断一个二次型是否是正定的，因为正定二次型在优化问题中有着良好的性质，可以帮助我们解决问题。
研究正定二次型的判别方法对于理解和应用二次型具有重要的意义。
本文将就正定二次型的判别方法进行介绍和讨论，首先我们将对正定二次型做一个简单的介绍，然后详细讨论正定二次型的判别方法，包括特征值、惯性定理以及Sylvester定理等。
一、正定二次型的定义在矩阵理论中，二次型是指一个具有形式为\[ Q(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]的二次齐次多项式。
在这里，a_{ij}是实数或复数，x_i是变量，i,j=1,2, \cdots, n，称n元二次型。
我们知道，二次型可以表示成矩阵的形式，即\[ X^TAx \]X=(x_1,x_2, \cdots, x_n)^T是一个列向量，A是一个n \times n的实对称矩阵，其对称性确保了二次型中不同的x_ix_j和x_jx_i的系数是相同的。
而正定二次型是指对于任意非零向量x，都有\[ x^TAx > 0 \]即对应的二次型值大于0。
这里需要注意的是，在一些文献中，正定二次型的定义可能会有所不同，但在本文中，我们将采用这个定义进行讨论。
1. 特征值判别法特征值是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
对于一个n \times n的实对称矩阵A，它一定可以对角化成\[ A = PDP^{-1} \]P是一个正交矩阵，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
特征值判别法是通过矩阵A的特征值来判断二次型的正定性。
如果A的特征值都大于0，则二次型是正定的；如果A的特征值都小于0，则二次型是负定的；如果A的特征值中既有正值又有负值，则二次型是不定的。
惯性定理与正定性
1. 惯性定理与规范形
定理 3.10（惯性定理）用不同的可逆线性变换包括正交变换 化实二次型为标准形时，各标准形中正项个数相同（称为正惯 性指数,记为 p）; 负项个数也相同（称为负惯性指数，记为 q;q = r - p ）.
即，设有实二次型f xT Ax ,它的秩为r, 有两个可逆变换
x Cy 及 x Pz
I
(r )
nn
合同.
例2 二次型 f (x1, x2, x3) 2x12 x22 2x32 4x1x3 是否正定?.
定理 3.12（Sylvester,顺序主子式判别法）
设A为n1 a11 a11 0,
2
a11 a21
a12 0, , a22
f
y12
y
2 p
y
2 p 1
y
2 r
1
p
1
1 r-p
yT
y.
1
0
n-r
0
I p 其中
Irp
也称为对称矩阵A在相合变换下的规范形.
Onr
例3.3 1和例3.3
2中实二次型 p
2, q
1，规范形为 12
2 2
2 3
.
例3.3 3中,
p 1, q 2. 规范形f
12
a11 a12 a1n
n
a21
a22
a2n
0.
an1 an2 ann
例3
t为何值时， f ( x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3
正定？
解
1 t 1
A t 1
2
1 2 5
1 1 0, 2 1t2 0 t 1
定理 3.10（惯性定理）用不同的可逆线性变换包括正交变换 化实二次型为标准形时，各标准形中正项个数相同（称为正惯 性指数,记为 p）; 负项个数也相同（称为负惯性指数，记为 q;q = r - p ）.
即，设有实二次型f xT Ax ,它的秩为r, 有两个可逆变换
x Cy 及 x Pz
I
(r )
nn
合同.
例2 二次型 f (x1, x2, x3) 2x12 x22 2x32 4x1x3 是否正定?.
定理 3.12（Sylvester,顺序主子式判别法）
设A为n1 a11 a11 0,
2
a11 a21
a12 0, , a22
f
y12
y
2 p
y
2 p 1
y
2 r
1
p
1
1 r-p
yT
y.
1
0
n-r
0
I p 其中
Irp
也称为对称矩阵A在相合变换下的规范形.
Onr
例3.3 1和例3.3
2中实二次型 p
2, q
1，规范形为 12
2 2
2 3
.
例3.3 3中,
p 1, q 2. 规范形f
12
a11 a12 a1n
n
a21
a22
a2n
0.
an1 an2 ann
例3
t为何值时， f ( x1, x2 , x3 ) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3
正定？
解
1 t 1
A t 1
2
1 2 5
1 1 0, 2 1t2 0 t 1
次型的正定性
❖定理1 (惯性定理)
设有二次型 fxTAx 它的秩为r 有两个可逆变换
xCy 及 xPz
使
fk1y12k2y22 kryr2 (ki0)
及
f1z122z22 rzr2 (i0)
则k1 k2 kr中正数的个数与1 2 r中正数的个数相等
❖正惯性指数与负惯性指数
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指
称阵A是负定的
❖定理2 二次型fxTAx为正定的充分必要条件是 它的标准形的n
个系数全为正 即它的正惯性指数等于n ❖推论
对称阵A为正定的充分必要条件是 A的特征值全为正
Henan Agricultural University
❖定理3
对称阵A为正定的充分必要条件是 A的各阶主子式都为 正 即
a110
a11 a21
a12 a22
0
a11 a1n 0 an1 ann
对称阵A为负定的充分必要条件是 奇数阶主子式为负 而
偶数阶主子式为正 即
a11 a1r (1)r 0 (r1 2 n)
ar1 arrHenan Agricu来自tural University
例1 判定二次型f5x26y24z24xy4xz的正定性 解 f 的矩阵为
因为主子式
A
5 2 2
2 6 0
024
a1150
5 2
2 6
260
5 2 2 2 6 0 80 0 2 0 4
根据定理3知 f 为负定
Henan Agricultural University
例2 判别二次型 fx22y26z22xy2xz6xz的正定性
解 f 的矩阵为
A111
1 2 3
设有二次型 fxTAx 它的秩为r 有两个可逆变换
xCy 及 xPz
使
fk1y12k2y22 kryr2 (ki0)
及
f1z122z22 rzr2 (i0)
则k1 k2 kr中正数的个数与1 2 r中正数的个数相等
❖正惯性指数与负惯性指数
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指
称阵A是负定的
❖定理2 二次型fxTAx为正定的充分必要条件是 它的标准形的n
个系数全为正 即它的正惯性指数等于n ❖推论
对称阵A为正定的充分必要条件是 A的特征值全为正
Henan Agricultural University
❖定理3
对称阵A为正定的充分必要条件是 A的各阶主子式都为 正 即
a110
a11 a21
a12 a22
0
a11 a1n 0 an1 ann
对称阵A为负定的充分必要条件是 奇数阶主子式为负 而
偶数阶主子式为正 即
a11 a1r (1)r 0 (r1 2 n)
ar1 arrHenan Agricu来自tural University
例1 判定二次型f5x26y24z24xy4xz的正定性 解 f 的矩阵为
因为主子式
A
5 2 2
2 6 0
024
a1150
5 2
2 6
260
5 2 2 2 6 0 80 0 2 0 4
根据定理3知 f 为负定
Henan Agricultural University
例2 判别二次型 fx22y26z22xy2xz6xz的正定性
解 f 的矩阵为
A111
1 2 3
5_4二次型的正定性
f=XTAX > 0,则称 则称f=XTAX为正定二次型，并称 为正定矩阵 为正定二次型， 为正定矩阵. 则称 为正定二次型 并称A为正定矩阵 2 2 如： f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 5 x2 + 5 x3 是正定二次型
2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 5 x3 不是正定二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − 3 x2 + 5 x3 不是正定二次型
1 1 p p p +1 p +1 r r
其中d 的秩． 其中 i>0 (i=1, 2,…， r), r为f的秩．如果再作可逆线性变换 ， 为 的秩
1 y1 = d z1 1 ⋮ y = 1 z r r dr yr +1 = z r +1 ⋮ yn = z n
其中 ∆ r 叫做矩阵 A 的 r 阶顺序主子式 顺序主子式． 顺序主子式
《线性代数》
返回
Байду номын сангаас
下页
结束
判定下列二次型的正定性 二次型的正定性． 例2. 判定下列二次型的正定性．
2 2 2 (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
t 2 − 1 < 0 解联立不等式 t (5t + 4) < 0
4 得－ < t < 0, 5 4 即当－ < t < 0时，f 正定. 5
∆1 =| 1 |> 0
∆2 = 1 t t 1 = 1− t2 > 0
2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 5 x3 不是正定二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 − 3 x2 + 5 x3 不是正定二次型
1 1 p p p +1 p +1 r r
其中d 的秩． 其中 i>0 (i=1, 2,…， r), r为f的秩．如果再作可逆线性变换 ， 为 的秩
1 y1 = d z1 1 ⋮ y = 1 z r r dr yr +1 = z r +1 ⋮ yn = z n
其中 ∆ r 叫做矩阵 A 的 r 阶顺序主子式 顺序主子式． 顺序主子式
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判定下列二次型的正定性 二次型的正定性． 例2. 判定下列二次型的正定性．
2 2 2 (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
t 2 − 1 < 0 解联立不等式 t (5t + 4) < 0
4 得－ < t < 0, 5 4 即当－ < t < 0时，f 正定. 5
∆1 =| 1 |> 0
∆2 = 1 t t 1 = 1− t2 > 0
惯性定理正定二次型
充分性是显然的，可用反证法证明必要性： 设存在 di0，取 xi=1, xj=0 (ji)，便有
f (0,,0,1,0,,0)= di0。 这与二次型正定相矛盾。
(2) 对二次型 f= xTAx 经过非退化的线性变换x=Cy, 化为 f = yT(CTAC) y，其正定性保持不变。
这是因为： y00，由于C可逆,相应的 x0=Cy00 若 f=xTAx 是正定的，f =y0T(CTAC) y0=x0TAx0>0， 即 y0T(CTAC) y0 正定，反之亦然。 所以,一个二次型 xTAx 通过非退化的线性变换x=Cy, 将其化为标准形 yT(CTAC) y =d1y12+d2y22++dnyn2 , 即A合同于对角矩阵 CT A C= diag(d1, d2,,dn ) ， 就容易判断其正定性。
⑥
齐次线性方程组⑥有 n个未知量，但方程个数为
t+(n p)=n (p t)<n,故必有非零解。
由于 yp+1==yn=0, 故⑥式非零解中y1,y2,,yp 不全为零 将它们再代入④式得
f = b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 >0
⑦
将⑥的非零解代入⑤式得到 z1,…,zt,…,zn 的一组值 (其中 z1=z2==zt=0) 将它们再代入④式，又得 f= ct+1 zt+12 cp zp2 cr zr20 ⑧
f= b1y12++ bp yp2 bp+1 yP+12- br yr2 ②
f =c1 z12++ ct zt2 ct+1 zt+12 cr zr2(biຫໍສະໝຸດ ci>0, i=1, ,r)
f (0,,0,1,0,,0)= di0。 这与二次型正定相矛盾。
(2) 对二次型 f= xTAx 经过非退化的线性变换x=Cy, 化为 f = yT(CTAC) y，其正定性保持不变。
这是因为： y00，由于C可逆,相应的 x0=Cy00 若 f=xTAx 是正定的，f =y0T(CTAC) y0=x0TAx0>0， 即 y0T(CTAC) y0 正定，反之亦然。 所以,一个二次型 xTAx 通过非退化的线性变换x=Cy, 将其化为标准形 yT(CTAC) y =d1y12+d2y22++dnyn2 , 即A合同于对角矩阵 CT A C= diag(d1, d2,,dn ) ， 就容易判断其正定性。
⑥
齐次线性方程组⑥有 n个未知量，但方程个数为
t+(n p)=n (p t)<n,故必有非零解。
由于 yp+1==yn=0, 故⑥式非零解中y1,y2,,yp 不全为零 将它们再代入④式得
f = b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 >0
⑦
将⑥的非零解代入⑤式得到 z1,…,zt,…,zn 的一组值 (其中 z1=z2==zt=0) 将它们再代入④式，又得 f= ct+1 zt+12 cp zp2 cr zr20 ⑧
f= b1y12++ bp yp2 bp+1 yP+12- br yr2 ②
f =c1 z12++ ct zt2 ct+1 zt+12 cr zr2(biຫໍສະໝຸດ ci>0, i=1, ,r)
第五章 二次型
§5.1-2 二次型在可逆线性变换下的标准形 5.1一. 二次型及其矩阵表示
f ( x1 , x2 ,⋯ xn ) = x T Ax =
i , j =1
∑a
n
ij
xi x j
可逆线性变换 标准形⇔PTAP=Λ(P可逆) 实二次型 二. 用正交变换化实二次型为标准形 正交变换 实二次型 正交) 标准形 ⇔QTAQ=Λ(Q正交) ⇔ 实对称阵的正交相似对角化问题 三. 用配方法化实二次型为标准形
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
f ( x1 , x2 ,⋯ xn ) =
2. 对于一个二次型, 我们讨论的主要问题是: 对于一个二次型 我们讨论的主要问题 二次型, 主要问题是 寻求一个可逆的线性变换 Py使之化为只 可逆的线性变换x 寻求一个可逆的线性变换x=Py使之化为只 含平方项的形式: +…+k 含平方项的形式: f =k1y12+k2y22+…+knyn2. 称只含平方项的形式为二次型的标准形 称只含平方项的形式为二次型的标准形. 标准形. 对于上述可逆的线性变换 x = Py, 可得 Py, f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y) (Py) Py) AP) = y TΛ y . 于是问题转化为求可逆矩阵 于是问题转化为求可逆矩阵P, 使PTAP为对角阵Λ. 问题转化为求可二次型及其矩阵表示
1. n元实二次型： 元实二次型： f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +…+a +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn +2a +2a +…+2a 1,n 取aij = aji, 则 f ( x1 , x2 ,⋯ xn ) =
正定二次型
x
T
Ax为 正 定 的 充 分 必 要 条 是 件:
n
它的标准形的 n个 系 数 全 为 正 .
证明
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0,
则 y C x 0,
-1
2 f x f Cy k y 设可逆变换x Cy使 i i. i 1
x Cy 及 x Pz 使 及
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
k i 0, i 0,
则 k1 , , k r 中 正 数 的 个 数 与 1 , , r中 正 数 的 个 数 相 等 .
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵 , 则AT , A1 , A均为正定矩阵 ;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵 , 则A B也是正定矩阵 .
2 2 2 例1 二次型 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
判定该二次型是否正定. 解
2 4 5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 1 2 , 4 2 5
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
定义1 在二次型 f 的标准型中，正系数的个数 p 称为 f 的正 惯性指数；负系数的个数 q 称为 f 的负惯性指数。 设二次型 f 的标准型为 2 2 2 2 f d1 y1 d2 y2 d p y 2 d y d y p p1 p1 p q p q ,
5-4 正定二次型
13 上一页 下一页 返 回
（2）由 A 正定，则 A 的特征值全大于零，因此 | A | 0 .
注意（1）定理5.13是判别二次型正定性的两个必要条
件。 （2） 从定理5.13易知，正定矩阵必为可逆矩阵. （3）A 负定当且仅当 A 正定. 因此有 推论 A 为负定矩阵，则 （1） A 的主对角线元 aii 0 i 1, 2,, n ； （2） A 1 A 0
A 80 0, 因此 f 为负定.
21 上一页 下一页 返 回
例4
t 为何值时,二次型
2 2 2 f t ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
负定. 解. 二次型的矩阵 则
t 1 1 A 1 t 1 1 1 t
x T Bx x T ( E AT A) x x T x x T AT Ax x T x ( Ax )T Ax ,
则
x 0, x T x 0, ( Ax )T ( Ax ) 0.
26 上一页 下一页 返 回
T 0 x 从而，当 时， Bx 0.
证明
x 0, x Ax 0 , x Bx 0; x T ( A B) x 0
T T
3. A负定当且仅当 –A 正定.
18 上一页 下一页 返 回
例1 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
t 1 1 t 1 t 0, 0, 1 t 1 0 1 t 1 1 t
解得 t 1
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（2）由 A 正定，则 A 的特征值全大于零，因此 | A | 0 .
注意（1）定理5.13是判别二次型正定性的两个必要条
件。 （2） 从定理5.13易知，正定矩阵必为可逆矩阵. （3）A 负定当且仅当 A 正定. 因此有 推论 A 为负定矩阵，则 （1） A 的主对角线元 aii 0 i 1, 2,, n ； （2） A 1 A 0
A 80 0, 因此 f 为负定.
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例4
t 为何值时,二次型
2 2 2 f t ( x1 x2 x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
负定. 解. 二次型的矩阵 则
t 1 1 A 1 t 1 1 1 t
x T Bx x T ( E AT A) x x T x x T AT Ax x T x ( Ax )T Ax ,
则
x 0, x T x 0, ( Ax )T ( Ax ) 0.
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T 0 x 从而，当 时， Bx 0.
证明
x 0, x Ax 0 , x Bx 0; x T ( A B) x 0
T T
3. A负定当且仅当 –A 正定.
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例1 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
t 1 1 t 1 t 0, 0, 1 t 1 0 1 t 1 1 t
解得 t 1
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高等代数 第5章二次型 5.3 二次型的惯性定理
n sij x j , i 1,2, , p j 1 （ 6） n t x , i p 1, , n ij j j 1 因为 p p , 所以 p n p n, 因此，方程组 （6）在R内有非零解. 令 (c1 , c2 ,, cn ) 是（6）的 一个非零解. 把这一组值代入 yi 和 zi 的表示式
个. 对于每一个 C r , p ，就有一个典范形式
2 x1
2 xp
2 x p 1
2 xr
与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在 一类，于是 R 上的一切 n 元二次型恰可以分成
1 ( n 1)( n 2) 类，属于同一类的二次彼此等价， 2
属于不同类的二次互不等价.
sij x j ,
t ij x j ,
j 1
n
i 1,2, , n
i 1,2, , n
（ 5） z i
j 1 n
化为所给的二次型
妨设 p p , 考虑 方程组
aij xi x j , 如果 p p , 不
i 1 j 1
n
n
p n p 个方程的齐次线性
合同. 由此推出 A2和 A1合同，从而 q2与 q1等价. 推论 9.2.6 实数域 R 上一切n元二次型可以分成 1 ( n 1)( n 2) 类，属于同一类的二次型彼此等价， 2 属于不同类的二次型互不等价.
证 给定 0 r n和0 p r . 令
Cr , p
Ip O O
c1 P AP 0
c2 cr
0 0 0 d1 d2 QBQ dr 0
第六章(5)二次型的正定性
由以上结论可知，要判断二次型的正定性，需将其化为 标准形或求出对称矩阵 的全部特征值 对称矩阵A的全部特征值 标准形 对称矩阵 的全部特征值．
下面将介绍一个利用矩阵的顺序主子式判断矩阵正定性的 方法：
定义7 n阶方阵 定义
a 11 a 12 L a 1 n a 21 a 22 L a 2 n A= M M M a n 1 a n 2 L a nn
2 2 f = x12 + x 2 + x3 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 x3 2 2 = ( x12 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 ) + x 2 + x3 + 4 x 2 x3 2 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3 x 2 − 3 x3 − 4 x 2 x3 2 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3( x 2 + 4 x 2 x3 ) − 3 x3 3 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3( x 2 + 2 x3 ) 2 − 5 x3 3 3
的左上角r阶方阵的行列式
a11 Dr = a21 M ar1
a12 L a1r a22 L a2 r (r = 1, 2 ,L , n) M M ar 2 L arr
称为A的r阶顺序主子式．
定理9 （1）n阶实对称矩阵 A = (a ij )为正定矩阵 正定矩阵的充分必要 定理 正定矩阵 条件是： A的各阶顺序主子式都为正 各阶顺序主子式都为正，即 各阶顺序主子式都为正
D1 = a11 > 0, D2 =
正定二次型5-2
yT Λy = yT (CT AC) y = (Cy)T A(Cy) = xT Ax > 0
5
2.正定二次型（正定矩阵）的判别 2.正定二次型（正定矩阵） 正定二次型 定理5.3.3 f(x1,…,xn) =xTAx正定的充分必要 定理 正定的充分必要 条件是标准形的n个系数均为正 条件是标准形的 个系数均为正. 个系数均为正 证明 若可逆线性变换x=Cy使 使 若可逆线性变换 f =xTAx=yT((CTAC)y=yTΛy =
n阶顺序主子式 阶顺序主子式
10
定理5.3.4 二次型 1,…,xn) = xTAx正定 或A>０)的充 二次型f(x 正定(或 ０ 的充 定理 正定 分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零 即 分必要条件是 的各阶顺序主子式都大于零,即 的各阶顺序主子式都大于零
a11 a12 a21 L > 0, L , L a22 an1 a12 a22 L an2 L L L L a1n a2n > 0. L ann
2 − 5 2 解 二次型 的矩阵 = 2 − 6 0 f A 2 0 − 4 各阶顺序主子式
a11 = −5 < 0, a11 a12 a21 −5 2 = = 26 > 0, A = −80 < 0, a22 2 − 6
是负定二次型. 故f是负定二次型 是负定二次型
6
推论1 推论 f=xTAx正定的充分必要条件是正 正定的充分必要条件是正 惯性指数等于n. 惯性指数等于 推论2 f=xTAx正定（或A>０）的充分必要条件是 正定（ 推论 正定 ０ 的充分必要条件是A 的特征值都大于零. 的特征值都大于零 推论3 正定（ 推论 f=xTAx正定（或A>０）则|A|>0. 正定 ０ |
5
2.正定二次型（正定矩阵）的判别 2.正定二次型（正定矩阵） 正定二次型 定理5.3.3 f(x1,…,xn) =xTAx正定的充分必要 定理 正定的充分必要 条件是标准形的n个系数均为正 条件是标准形的 个系数均为正. 个系数均为正 证明 若可逆线性变换x=Cy使 使 若可逆线性变换 f =xTAx=yT((CTAC)y=yTΛy =
n阶顺序主子式 阶顺序主子式
10
定理5.3.4 二次型 1,…,xn) = xTAx正定 或A>０)的充 二次型f(x 正定(或 ０ 的充 定理 正定 分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于零 即 分必要条件是 的各阶顺序主子式都大于零,即 的各阶顺序主子式都大于零
a11 a12 a21 L > 0, L , L a22 an1 a12 a22 L an2 L L L L a1n a2n > 0. L ann
2 − 5 2 解 二次型 的矩阵 = 2 − 6 0 f A 2 0 − 4 各阶顺序主子式
a11 = −5 < 0, a11 a12 a21 −5 2 = = 26 > 0, A = −80 < 0, a22 2 − 6
是负定二次型. 故f是负定二次型 是负定二次型
6
推论1 推论 f=xTAx正定的充分必要条件是正 正定的充分必要条件是正 惯性指数等于n. 惯性指数等于 推论2 f=xTAx正定（或A>０）的充分必要条件是 正定（ 推论 正定 ０ 的充分必要条件是A 的特征值都大于零. 的特征值都大于零 推论3 正定（ 推论 f=xTAx正定（或A>０）则|A|>0. 正定 ０ |
第七节 正定二次型
r , 有两个实的可逆变换
x = Cy
及 x = Pz
使
f = k1y12 + k2y22 + ···+ kryr2 (ki 0),
及
f = 1z12 + 2z22 + ···+ rzr2 (i 0),
则 k1 , k2 , ···, kr 中正数的个数与 1 , 2 , ···, r
ar1 arr
这个定理称为霍尔维茨定理, 这里不予证明.
设 f(x,y) 是二维的正定二次型, 则 f(x,y) =c (c > 0 为常数)的图形是以原点为中心的椭圆. 当 把 c 看做任意常数时则是一族椭圆. 这族椭圆随 着 c 0而收缩到原点. 当 f 为三维正定二次型 时, f(x,y,z) = c (c>0) 的图形是一族椭球.
第 七 节 正定二次型
主要内容
惯性定理 正定二次型的定义 正定二次型的条件 举例
二次型的标准形显然不是唯一的,只是标准形 中所含项数是确定的(即是二次型的秩). 不仅如此, 在限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是 不变的(从而负系数的个数也不变), 也就是有以下 定理.
一、惯性定理
定理 9 设有实二次型 f = xTAx, 它的秩为
证明 因为 f 为正定二次型, 所以 A 的特征
值全大例例于22零99,
即设设
B B
为 为
m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0
只有零解的充要条件是 BTB 为正定矩阵.
只有零解的1充>要0,条2件>是0, B···TB, 为n >正0定. 矩阵.
而 E + 证A 明的 特 征Bx值=为0 只1+有1零, 解2 + 1, ···, n + 1,
5-3惯性定理和正定二次型
其 中k 是A的 左 上 角 的 k阶 子 式 (k 1, , n )
2 2 例5.11 实二次型 f (x1 , x2 , x3 ) 5x1 4x1x2 4x1x3 6x2 4 x 2 3 是否正定？
例5.12
2 判定二次型 x i i 1
n
1 i j n
x T Ax y By 0,
T
且C是实对称阵, 故C为正定矩阵.
的二次型标准型称为范 规标准形，简称规范。 形
定理5.3(惯性定理 ) 对任何实二次型 f xT Ax, 存在一个非退化 的线性变换化为二次型 的规范标准形。
定 义5.5
实二次型 f x T Ax的 规 范 性 （ 标 准 形 ） 的 中正 的 平 方 项 的 个 数 负的平方项的个数
称 为f的 （A的 ） 正 惯 性 指 数 ， 记 p 为 ,
如果既不正定也不负定 ，则称 f为不定二次型，并称实 对称矩阵 A为不定的；
1.判定正定二次型与正定矩阵的充要条件
实对称矩阵A的各阶顺序 主子式均大于零
正定二次型：对于 x 0, f xT Ax 0.
n阶实对称矩阵A为正定矩阵
d1 T C AC dn (d i 0, i 1,2, , n ) 或 者CT AC E
称 为f的 （A的 ） 负 惯 性 指 数 , 记 为r p, 称s 2p r为f的 （A的 ） 符 号 差 。 其 中r r( A).
定 理5.4 Ep 设A为n阶 实 对 称 矩 阵 ， 则 A一 定 合 同 于 对 角 矩 阵 0
Er p
是否正定.
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2
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数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数
称为负惯性指数，它们的差称为二次型的符
号差.
比如二次型 y12 y22 y32 y42 的规范形
为，则其正惯性指数等于2，负惯性指数也是
2，符号差为 0.
二、二次型的正定性
定义6.3 设二次型 f ( x1, x2,L , xn ) X T AX
对任一非零向量 X，若 f ( X ) 0 ，则称 f 为正 定二次型，A为正定矩阵；若 f ( X ) 0 ，则称
d1, d2 ,L , d p 0, d p1, d p2 ,L , dr 0
再作可逆线性变换
z1 d1 y1
M
zp dp yp
z p1 d p1 y p1
M
zr dr yr
二次型进一步化为
f
z12 L
z2p
z2 p1
L
zr2
此式称为实二次型
f ( x1, x2 ,L , xn )
t1
1 2 5
即当 4 t 0 时，该二次型为正定二次型
5
例5 判定二次型
f 5 x12 6 x22 4 x32 4 x1 x2 4 x1 x3
的正定性。
5 2 2
解：矩阵为 0 4
5 2 2
因 5 0, 5
2 26 0, 2
6
0 80 0,
2 6
2 0 4
所以 f 负定.
例6 若 A正定，则 A-1也正定.
证明：因 A正定，故存在可逆矩阵C ，使 CT AC I
两边取逆得 C 1 A1(CT )1 I
又因 (CT )1 (C 1 )T , (C 1 )T T C 1， 因此 (C 1 )T T A1(C 1)T I
所以 A-1 为正定矩阵.
f 为负定二次型，A 为负定矩阵.
例1 f x12 x22 L xn2 是正定二次型；
f x12 2 x22 L nxn2 是负定二次型； f x12 2 x22 L rxr2(r n)是不定二次型.
例2 设 A, B均为正定矩阵，a,b 0，试证： aA bB 为正定矩阵. 证明：对任一非零向量 X ， 因 X T AX 0, X T BX 0,a 0,b 0
a11 ,L
a22
an1
L L L
a1n L 0 ann
而负定的充要条件则是：奇数阶顺序主子式
都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。
3 1 1
例3 定.
判定实对称矩阵
A
1 1
4 1
1 是否正 5
解：因
3 1 1
3 1
3 0,
11 0, 1 4 1 46 0
1 4
1 1 5
所以 A 正定.
件是它的特征值均大于零。
推论2 实二次型f X T AX 正定的充要条 件它的正惯性指数为 n 。
推论3 实二次型 f X T AX 正定的充要条件
是 A合同于单位矩阵 。
定理5.5 实二次型 f X T AX正定的充要
条件是A 的各顺序主子式都大于零，即
a11
0,
a11 a21
a12
0,L
数个数多于方程个数，因此线性方程组（5-7）
一定有非零解 k1, k2,L , kp ，把这组解代入
式（5-5）左端，得 k12
k22
L
k
2 p
>0，代入
式（5-5）右端,得
z2 q1
L
zr2 0
，矛
盾.说明假设不成立，即 p q .同理可证
q p，因此 p=q 。
在一个二次型的规范形中，正系数的个
例4 设二次型阵
f x12 x22 5 x32 2tx1 x2 4 x2 x3 2 x1 x3
试问 t 为何值时，该二次型为正定二次型.
解：该二次型 f 对应的矩阵为：
1 t 1
A
t
1
2
1 2 5
A 正定时，必有
1 t 1
1 1 0,
t 1 t2 0, t
1
2 5t2 4t 0,
z1 z2 L zq 0,
y p1 y p2 L yr 0,
c11 y1 c12 y2 L c1 p y p 0 则
c21 y1 c22 y2 L c2 p y p 0 LLLLLLLLLLL
cq1
y1
cq 2
y2
L
cqp y p
0
（5-7）
因 p q ，即齐次线性方程组（5-7）中未知
于是
Y TCT ACY X T AX 0
即二次型Y T (C T AC )Y 仍是正定二次型.
f
定理5.4 二次型的标准形
f ( x1, x2 ,L , xn ) d1 x12 d2 x22 L dn xn2 为正定二次型的充要条件是 di 0(i 1, 2,L , n)
证明：必要性 设 f X T X正定，则对任意非
零向量 X ，有 X TX 0 ，取 X i ，则有
X T X
T i
i
di
0
(i
1, 2,L
, n)
充分性 若 di 0 (i 1, 2,L , n) ，则对任
意非零向量 X
至少有一个分量 xi 0 ，从而 f di xi2 0, 即 f 正定.
推论1 实二次型 f X T AX正定的充要条
§3 惯性定理与二次型的正定性
一、二次型的规范型与惯性定理
设秩为 r 的实二次型
f ( x1, x2 ,L , xn ) X T AX
经可逆线性变换 X CY 化为标准形：
f ( x1, x2 ,L , xn ) d1 y12 d2 y22 L dr yr2 不妨设 r n,di 0,(i 1, 2,L , r)
化为两个规范形：
f
y12 L
y2p
y2 p1
L
yr2
（5-3）
f
z12 L
zq2
z2 q1
L
zr2
（5-4）
现用反证法证明 p q . 假设 p q ，由上面两式得
y12 L
y
2 p
y2 p1
L
yr2
z12 L
zq2
z2 q1
L
zr2
（5-5）
且
Z C21C1Y
（5-6）
设 C21C1 C (cij ),
的规范标准形，简称规范形.
定理5.2（惯性定理） 任一二次型都可通过可逆线性变换化为
规范形，且规范形唯一.
证明 前面的分析说明任一二次型都可以化为 规范形，下面证明唯一性.
设秩为 r 的二次型 f ( x1, x2 ,L , xn ) X T AX
经两个可逆线性变换 X C1Y , X C2Z
于是 X T (aA bB)X aX T AX bX T BX 0
所以aA bB 是正定矩阵.
定理5.3 可逆线性变换不改变二次型的 正定性.
证明 设 f X T AX 正定，经可逆线性变 换X CY 化为
f X T AX Y TCT ACY
对任意非零向量 Y，由于 C 可逆，X CY 0，