初中圆知识点及练习题

第三章圆

【课标要求】

（1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算

①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性.

②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.

③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和

说理.

④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.

⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理.

⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念.

⑦掌握圆内接四边形的性质

（2）点与圆的位置关系

①能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.

②知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图.

（3）直线与圆的位置关系

①能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.

②了解切线的概念.

③能运用切线的性质进行简单计算和说理.

④掌握切线的识别方法.

⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.

⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.

（4）圆与圆的位置关系

①了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系.

②能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关

系.

③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算

（5）圆中的计算问题

①掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量.

②掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用.

③了解圆锥的高、母线等概念.

④结合生活中的实例(模型)了解圆柱、圆锥的侧面展开图.

⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用.

⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积.

2、基础知识

（1）掌握圆的有关性质和计算

①弧、弦、圆心角之间的关系:

在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，

那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.

②垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的推论:

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的

一半.

④圆内接四边形的性质:

圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.

（2）点与圆的位置关系

①设点与圆心的距离为，圆的半径为，

则点在圆外；点在圆上；点在圆内．

②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外

接圆.

③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.

（3）直线与圆的位置关系

①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，

则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．

②切线的性质:与圆只有一个公共点；

圆心到切线的距离等于半径；

圆的切线垂直于过切点的半径.

③切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.

到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.

④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.

三角形的内心到三角形三边的距离相等.

⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

⑥切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.

这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.

（4）圆与圆的位置关系

①圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.

设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离

两圆外切

两圆相交

两圆内切

两圆内含

②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.

由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦.

③两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.

两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.

两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.

④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.

（5）与圆有关的计算

①弧长公式：扇形面积公式：

（其中为圆心角的度数，为半径）

②圆柱的侧面展开图是矩形．

圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．

圆柱的侧面积＝底面周长×高

圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积

③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形

的半径等于圆锥的母线长．

圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．

④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积

3、能力要求

例1 如图，AC为⊙O 的直径，B、D、E都是⊙O上的点，求∠A+

∠B +∠C的度数.

【分析】由AC为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连

结AE，这样将∠CAD（∠A）、∠C放在了△AEC中，而

∠B与∠EAD是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而

解．

【解】连结AE

∵AC是⊙O的直径∴∠AEC=90O

∴∠CAD +∠EAD+∠C =90O

∵∴∠B=∠EAD

∴∠CAD +∠B+∠C =90O