噪声对混沌系统小波熵的影响
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度 分量 的能量 Ｅ 的总和 。
设 ＝ ｊＥ， Ｅ ／ ∑ ＝ ， 是定 相应的 １于 义 小
波 熵（ ｖ ｌ ｎｒｐ ） Ｗａ ｅ ｔ ｔ ｙ ： ｅＥ ｏ
对一个信号 （ 或包含有噪声的信号 ）７ ｆ进行 ｒ） （
小波变换，厂 ｆ可分解为多个不同频率的分量。 （ ） 设
第， 尺度 下信 号有两 分量 ， 高频 向量 ｃ ｊ 低频 向量 Ｄ，
８ ６
井 冈 山 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
了小波 变换 的优 点 ，融入 了复杂度 的熵 理论 ，从 系 统 的总体 角度来研 究信 号 的特征 ，能够揭 示 出信 号
的概率 为 ：
＝
中所隐含的系统的动力学特征，目前已经在地球物
理 学、生物医 学 以及机 械 故障诊 断等领 域取 得 了一
系 统（ 别是 非 线性 系统 ） 特 的复 杂程 度 ，但 这些 特征
量 是平 稳 时间序 列 的分 析方 法 ，很 难表征 非平 稳时 间序 列 的复 杂度 ； 以 Ｓ ａｎ ｎ 熵 为基础 的谱 熵也 而 ｈｎｏ 是一 种 描述 时间序 列复 杂度 的特 征量 ，是 基于 快速 傅立 叶变 换 的基础 上采 用 Ｆ Ｔ 变 换 （ ａｔＦ ｕｉ Ｆ Ｆ ｓ ｏｒ ｒ ｅ
杂度 ［、近似 熵 ［等 一些 非 线性 特 征量 来 描述 各类 ２ １ ３
收稿 日期 ：２ １ ２ １ ；修 改 日期：２ １ ４ １ ０ 卜０ — ８ ０ 卜０ — １ 作者简 介 ： 杨建 ￣（９ ０ ） ｚ１７ 一，男 ，江 西新 于人 ，副 教授 ，硕 士 ，主 要从 事信 号处 理 的算法 研究 （— ｉ ｙｎ ｊ９７ ＠１３ＣＩ Ｅｍａ ：ａｇｐ２ ３ ６ ． ｎ ｌ Ｏ） 吕敬祥（９７ ） １７ 一，男 ，湖 南邵 阳人 ，讲 师 ，硕士 ，主 要从 事射 频识别 研究 （－ ｉ ｌｎｘａｇ０ ３ ａ ｏ． ｍ＿１ Ｅｍ ｌ ｊ ｇｉ ２０ ＠ｙｈ ｏｔ ｃ） ａ ：ｉ ｎ ｏ 『・
Ｙａ ｉｎ ｐ ｎ ｎｇＪ ａ — ｉ ｇ， Ｌｆ Ｊｎｇ ｘ ａ ｇ ｉ ｉ —ｉｎ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｌｃ ｏ ｉｓ ｎ ｆｒ ｔ ｎ ｉｇ ａ ｇ ｈ ｎＵ ｉｅｓｙＪ ａ ， ａ ｇ ４ ０ ９Ｃ ｉ ） Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｅｅ ｔ ｎｃ ｄＩ ｏｍａ ｏ ，Ｊ ｇ ｎ ｓ ａ ｎｖ ｒ ｔ， ’ｎ Ｊ ｎ Ｘｉ ３ ０ ， ｈ ａ ｒ ａ ｎ ｉ ｎ ｉ ｉ ｉ ３ ｎ
个 具有不 确定性 的系 统 ，用包含 有 限个 值 的随机
变 量Ｘ来表 征它 的状态 特征 ，设状 态特 征取值 为 Ｘ
摩
井 冈山大学 学报（ 自然科 学版）
８ ７
其 中参 数 ａ＝０２ｂ ． Ｃ ． 系 统 处 于 混 沌 状 ． ＝０２ ＝５７， ， ，
态，定义初 值 为 ：ｘＯ ＝１，（） ，（） （） ０ｙ０ ＝Ｏｚ０ ＝０，用 四
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｕｓｎ ｈｅ ｗａ ｅｅ ｎ ｒ ｐ ｏ ｔａｔ ｉ ｇ ｔ ｖ ｌｔｅ ｔｏ ｙ ｃ ｍｐｌｘｉｙ ｅ ｔ ，ｗｅ ｓｕｄ ｈｅｃ ａ ｔｃ ｓ ｒａ ｓ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｌｎ ｔ ｎｄ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ｙ ｔ ｈ ｏ ｉ ｅ ｉｌ ｆｄ ｆ ｒ ｎ ｅ ｇ ｈ ａ ｉｆ ｒ ｎｔ ｓｇ ａ ｏ ｏｏ ｓ ａ ｉ ｏ ｈｅｃ ａ ｇ ｆｔ ｅ ｒｃ ｍｐｌｘｉ ｎｄ ｒｔ ｅ Ｒｏ ｓｅ ｎｄ Ｌｏ ｅ ｚ ｓ ｓ ｅ ． ｒｈｅ ｍｏ ｅ ｉ ｎ ｌｔ ｉｅ ｒ ｔｏ ｆ ｒｔ ｈ ｎ ｅ ｏ ｉ ｏ ｈ ｅ ｔ ｕ ｅ ｈ ｓ ｌｒａ ｒ ｎ ｙ ｔ ｍ Ｆｕ ｔ ｒ ｒ ，ｗｅ ｙ
把 具 有 多 分辨 率 的 小 波变 换 与表 达 系 统 复 杂
度 的 信 息 熵 理论 融 合 起 来 ，构 成 小 波熵 概 念 。设
频率 下分解 成不 同尺度 下的 多个 分量 ，分 解过 程等 价 于反复 使用一对Fra Baidu bibliotek高通 滤波 器和低通 滤波 器 ，将信
号逐 步进 行多层 次分解 ，其 中经 高通滤 波器 过滤 出 信 号 的高频 分量 （ 细节 成份 ） ，经低 通滤 波 器 过滤 出信号 的低 频分 量 （ 略成 份 ） 粗 。每 次滤 波 后将 得 到 两个分 量 ，它们 所 占频带 宽度 是相 等 的，分别 占 原 信号频 带宽度 的二 分之一 ，每经过 一 次分解 ，信 号 的采样 频率 降为 原来 的一 半 ；重 复这一 过程 ，对 低 频分量 进行 多次分 解 ，依 次得到 下一层 次上 （ 即 更低频 率上 ）的两个 分解分 量 （ 一个 为其 中 的低 频
分 量 ，一个 为其 中的高频 分量 ） 。
Ｅ＝Ｅ， Ｅ ， 。 ， ｍ为信号 ｘｒ在 ｍ 个尺度上的小波 Ｅ …， （ ）
能 量 。其 中， Ｅ 为能 量值 ，定义 为 ：
＝
∑
， Ｉ
为序列分解重构系数中的第， 层上的第， 个数据。
这 样 可 以在 不 同 的尺 度 上 就信 号 能量 值 Ｅ 进 行划 分 ，因而 利用 小波变 换 的正交特 性 ，在 不 同的时 间 窗 内 （ 口宽度 为 ∈Ｎ ）信 号 的总功 率Ｅ为各尺 窗
ｔ ｔｔ ｅｗａ ｅ ｅ ｎｔｏｐ ｏ ｈａ ｈ ｖ ｌｔｅ ｒ ｙ ｃ ｍｐｌｘｉ ｈ ｓｃ ｒａｎ ｒ ｓｓａ ｃ ｏ ｎ ｉｅｉ ｔ ｒｅ ｅ ｃ ｂ ｌｔ ． ｅ ｔ ａ ｅｔ ｉ ｅ ｉｔ ｎ ｅｔ ｏ ｓ ｎ ｅ ｆｒ ｎ ｅａ ｉｉｙ ｙ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ： ｖｅｅ ｒ ｎｓｏ ｍ ： ｗａ ｅ ｅ ｎ ｒ ｐ ｄｓ ｗａ ｌ ｔ ａ ｆ ｒ ｔ ｖ ｌｔ ｔｏ ｙ： ｓｇ ａ ・ｏ－ ｉｅｒ ｔｏ； ｃ ｏ ｉ ｙｓｅ ｅ ｉ ｎ ｌｔ － ｓ ａｉ － ｎｏ ｈａ ｔｃ ｓ ｔ ｍ
ｃ ｌｕ ａ ｅｔ ｅｗａ ｅ ｅ ｎ ｒ ｐ ｕ ｖ ｒ ｈ ｈ ｏ ｉ ｙ ｔ ｍ ｎ ｅｒｎ ｉｙ ｓ ｓｅ Ｔ ｅｒ ｓ ｌ ａ ｄ ａ ａ ｙ ｉ ｓ ｏ ａ ｃ ｌ ｔ ｖ ｌｔ ｔｏ ｙ ｃ ｒ ｅ ｆ ｅｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ａ ｄｔ ｉ ｏ ｓ ｙ ｔ ｍ． ｈ ｅ ｕ ｔ ｎ ｎ ｌ ｓｓ ｈ ｗ ｈ ｅ ｏ ｔ ｃ ｈ
熵 （ｎ ｏ ｙ ｅｔ ｐ ）的最 早提 出 （ ８ ４ ｌｕｉ）是 ｒ １ ５ ，Ｃ ａ ｓ ｓ 作为热 力 学的一个 基本 概念 ，用 来 度量热 力 学系统 中分 子运 动的混 乱程度 。１４ 年 ，美 国通 信 工程师 ９８ Ｓ ａｎ ｎ 在研 究信 息传 输 过 程 中 的 不 确 定 性 问题 ｈｎ ｏ
熵 的影响 ，旨在探 讨混沌 系统 的小波熵 特 征 ，为各 类 混沌系 统在 混沌控 制 、同步等 领域 的应 川提 供 了
一
Ⅳ ＝ ｌ１ ； （ ∑ ｎ／） ） （ｐ
＝ｌ
种方式 。
当 ＝０时 ， Ｐ Ｉ （ｉ＝０。信 息熵 理论 表 明信 息 １ ｇｐ ） ｏ 熵 是用 随 机变 量 在 不 同状 态 特 征 的 概 率大 小 米 定
’
情况，计算 了两混沌系统及其含噪系统小波熵 曲线 ，结果表 明小波熵复杂度具有一定的抗噪声干扰 能力。 关键 词：，波变换 ；小波熵 ；信噪 比；混沌系统 Ｊ 中图分类号 ：Ｔ ３ １ Ｐ ０ 文献标识码：Ａ
ＴＨ Ｅ Ｎ ＦＬＵＥＮＣＥ Ｆ Ｉ ｏ Ｎｏ Ｉ ＳＥ ｏＮ ＣＨ Ａｏ ＴＩ Ｓ Ｃ ＹＳＴＥＭ Ｓ Ｗ Ｉ ＴＨ ＡＶＥＬＥＴ ＴＲｏ ＰＹ Ｗ ＥＮ
时 ，提 出 了信 息熵概 念 ，将 信 息的作 用描 述 为它能
够 减少 或 消除人们 对事 物认 识 的不确 定性 ，而 不确 定 性可 以通过 熵来 度量 。当前 ，熵 的定义 已不 再局 限于热力 学范 围 ，已渗透 到不 同学科 领域 ，并 在信
Ｔａｓｏｍ）计算 的复 杂度 特 征量 ，在 分析 平稳 时间 ｒｎｆｒ
．
Ｗ ＝ ∑ ・ Ｅ一 ｌ ｇ
其 中，弓可 由小波分 解 的各分 量 系数 ｃ
和
， ，
，对这 两个 分量 分别进 行单支 重构 ， 到 ａ， ｄ， ， 得 、
两信号分量，对应频带范围ａ ：［，‘ Ｄ ］ ， ， ０２ ‘
直接 求得 ， 也可 由重构 信号 的分 向量 ａ， ｄ， 得 。 和 求
１ 基 于 小 波 变换 的信 号 分解
具 有 多 分 辨 率分 析 能 力 的 小波 变 换 算 法 是 利
刚正 交小 波基 （ 或双 正交 小波基 ）［将 信 号在 不 同 ９ １
位系 统 的 ，可 以对 系统 的未知程 度进行 度量 ，因而
非常 适合 估计 随机信 号 的复杂 程度 。
定 的研究 成果［８ 本 文将考 查噪 声对混 沌 系统 小波 ４】 ．。
Ｐ ＝ ） ＝，… 且 ｛ ， １，，， 有∑ ＝ ， ｆ ２ ｌ
ｉ ＝ｌ
则对 于 随 机 变 量 的 某 一 结 果 得 到 的信 息可 以用
＝
ｌｇ ） 示 ，于是ｘ的信 息熵 为 ： ｏ ｏ／ 表
序列 时具 有很好 的适用性 ，不过 其谱 熵值 仅反 映信 号整体 的平均功 率 分布特 征 ，没 有把信 号 的任何 时 变 信 息包 含 进 去 。 由小波 变 换 取 代 快 速 傅 里 叶变 换 ，能够 在 时间域 和频 率域 上 同时局域 化分 析 时变 信 号 ，即将信 息熵 理论 与小 波变 换融 合起 来 ，构成 小波熵 （ ｖ ｌ ｎ ｏ ｙ分析 方法 ，为 时变信 号 的复 ｗａ ｅ ｔ ｔ ｐ ） ｅｅｒ 杂 度计 算提 供一 种具 有时 、频分 析能 力 的手段 。小 波熵 方 法是在 小 波变换 的基础上 发展 起来 的 ，吸取
ｄ ：［ ” ， ， ２ ２
］ ，Ｊ＝１ ， …， ，其 中 ，３ Ｍ ２，
３ 混 沌 系 统 的 小 波熵 研 究
３１ 混沌系 统 ．
为 信号 的采 样频 率 ， 则信 号可 以分解 为各 分信 号 之 和 ， 即 ： ｆ（ ＝ａ ＋ｄ ＝ａ ＋ ＋ｄ ＝… ＝ ｔ ｌ ， ２ ） ｌ
口，＋ ＋… ｄｌ 。
以Ｒ ｓｌｒ 统￣Ｌ ｒｎ系统 为例对 混沌 系统 进 ｏｓ 系 ｅ Ｎ ｏｅｚ
行讨 论 。
２ 信 息熵 与小 波 熵
由Ｓ ａｎｎ ｈｎ ｏ 的信 息 熵 理论我 们 可 以知 道 ，若 有
一
（ ）Ｒ ｓｌｒ １ ｏｓ 系统 由如 下三 维系统 产生 ： ｅ
第３ ２卷 第 ３期 ２１ 年 ０１ ５ 月
Ｖ１２Ｎ ． ｏ． ｏ３ ３ Ｍａ ２ １ ｙ ０１
井 冈 山大 学学 报（ 自然 科学 版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｇ ａ ｇｈ ｎＵ ｉｅｓ ｙ（ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ） ｏ ｒａ ｏ ｎ ｇｎ ｓａ ｎｖｒｉ Ｎａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｊ ｔ ｕ ｅ ８ ５
息 论 、控 制论 、系 统科学 、哲 学 、经济管 理 、决策
科 学等领 域 中得到 了广泛 的应 用 。
随着 计算 机科 学 的飞速发 展 ，非线 性科 学 已广
泛应 用于 自然科 学 的各个 领域 ， 目前 常用 诸 如相 关 维数 、最 大李雅 普 诺夫指 数 【、Ｌ ｍｐ １ ｉ 法 复 １ ｅ ｅ Ｚｖ算 】 ．
文 章 编 号 ： １７ —ｏ ５２ ｉ）３０ ８ —５ ６ ４８ ８ （ｏ ０ —０ ５０ １
噪 声 对 混沌 系 统 小 波熵 的影 响
杨 建 平 ， 吕敬 祥
（ 冈山大学 电子与信 息 工程学 院 ，江西 ， 吉安 井 ３３ ０ ） ４ ０ ９
摘
要 ： 用小波熵 复杂度方法 ，研究 了 Ｒ ｓｌ 、Ｌ ｒｎ 系统在不 同数据长度 以及不同信 噪 比下的复杂度变化 运 ｏｓ ｒ ｏｅ ｚ ｅ
设 ＝ ｊＥ， Ｅ ／ ∑ ＝ ， 是定 相应的 １于 义 小
波 熵（ ｖ ｌ ｎｒｐ ） Ｗａ ｅ ｔ ｔ ｙ ： ｅＥ ｏ
对一个信号 （ 或包含有噪声的信号 ）７ ｆ进行 ｒ） （
小波变换，厂 ｆ可分解为多个不同频率的分量。 （ ） 设
第， 尺度 下信 号有两 分量 ， 高频 向量 ｃ ｊ 低频 向量 Ｄ，
８ ６
井 冈 山 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
了小波 变换 的优 点 ，融入 了复杂度 的熵 理论 ，从 系 统 的总体 角度来研 究信 号 的特征 ，能够揭 示 出信 号
的概率 为 ：
＝
中所隐含的系统的动力学特征，目前已经在地球物
理 学、生物医 学 以及机 械 故障诊 断等领 域取 得 了一
系 统（ 别是 非 线性 系统 ） 特 的复 杂程 度 ，但 这些 特征
量 是平 稳 时间序 列 的分 析方 法 ，很 难表征 非平 稳时 间序 列 的复 杂度 ； 以 Ｓ ａｎ ｎ 熵 为基础 的谱 熵也 而 ｈｎｏ 是一 种 描述 时间序 列复 杂度 的特 征量 ，是 基于 快速 傅立 叶变 换 的基础 上采 用 Ｆ Ｔ 变 换 （ ａｔＦ ｕｉ Ｆ Ｆ ｓ ｏｒ ｒ ｅ
杂度 ［、近似 熵 ［等 一些 非 线性 特 征量 来 描述 各类 ２ １ ３
收稿 日期 ：２ １ ２ １ ；修 改 日期：２ １ ４ １ ０ 卜０ — ８ ０ 卜０ — １ 作者简 介 ： 杨建 ￣（９ ０ ） ｚ１７ 一，男 ，江 西新 于人 ，副 教授 ，硕 士 ，主 要从 事信 号处 理 的算法 研究 （— ｉ ｙｎ ｊ９７ ＠１３ＣＩ Ｅｍａ ：ａｇｐ２ ３ ６ ． ｎ ｌ Ｏ） 吕敬祥（９７ ） １７ 一，男 ，湖 南邵 阳人 ，讲 师 ，硕士 ，主 要从 事射 频识别 研究 （－ ｉ ｌｎｘａｇ０ ３ ａ ｏ． ｍ＿１ Ｅｍ ｌ ｊ ｇｉ ２０ ＠ｙｈ ｏｔ ｃ） ａ ：ｉ ｎ ｏ 『・
Ｙａ ｉｎ ｐ ｎ ｎｇＪ ａ — ｉ ｇ， Ｌｆ Ｊｎｇ ｘ ａ ｇ ｉ ｉ —ｉｎ
（ ｃ ｏ ｌ ｆ ｌｃ ｏ ｉｓ ｎ ｆｒ ｔ ｎ ｉｇ ａ ｇ ｈ ｎＵ ｉｅｓｙＪ ａ ， ａ ｇ ４ ０ ９Ｃ ｉ ） Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｅｅ ｔ ｎｃ ｄＩ ｏｍａ ｏ ，Ｊ ｇ ｎ ｓ ａ ｎｖ ｒ ｔ， ’ｎ Ｊ ｎ Ｘｉ ３ ０ ， ｈ ａ ｒ ａ ｎ ｉ ｎ ｉ ｉ ｉ ３ ｎ
个 具有不 确定性 的系 统 ，用包含 有 限个 值 的随机
变 量Ｘ来表 征它 的状态 特征 ，设状 态特 征取值 为 Ｘ
摩
井 冈山大学 学报（ 自然科 学版）
８ ７
其 中参 数 ａ＝０２ｂ ． Ｃ ． 系 统 处 于 混 沌 状 ． ＝０２ ＝５７， ， ，
态，定义初 值 为 ：ｘＯ ＝１，（） ，（） （） ０ｙ０ ＝Ｏｚ０ ＝０，用 四
Ａｂｓ ｒ ｃ ：Ｕｓｎ ｈｅ ｗａ ｅｅ ｎ ｒ ｐ ｏ ｔａｔ ｉ ｇ ｔ ｖ ｌｔｅ ｔｏ ｙ ｃ ｍｐｌｘｉｙ ｅ ｔ ，ｗｅ ｓｕｄ ｈｅｃ ａ ｔｃ ｓ ｒａ ｓ ｏ ｉ ｅ ｅ ｔｌｎ ｔ ｎｄ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ｙ ｔ ｈ ｏ ｉ ｅ ｉｌ ｆｄ ｆ ｒ ｎ ｅ ｇ ｈ ａ ｉｆ ｒ ｎｔ ｓｇ ａ ｏ ｏｏ ｓ ａ ｉ ｏ ｈｅｃ ａ ｇ ｆｔ ｅ ｒｃ ｍｐｌｘｉ ｎｄ ｒｔ ｅ Ｒｏ ｓｅ ｎｄ Ｌｏ ｅ ｚ ｓ ｓ ｅ ． ｒｈｅ ｍｏ ｅ ｉ ｎ ｌｔ ｉｅ ｒ ｔｏ ｆ ｒｔ ｈ ｎ ｅ ｏ ｉ ｏ ｈ ｅ ｔ ｕ ｅ ｈ ｓ ｌｒａ ｒ ｎ ｙ ｔ ｍ Ｆｕ ｔ ｒ ｒ ，ｗｅ ｙ
把 具 有 多 分辨 率 的 小 波变 换 与表 达 系 统 复 杂
度 的 信 息 熵 理论 融 合 起 来 ，构 成 小 波熵 概 念 。设
频率 下分解 成不 同尺度 下的 多个 分量 ，分 解过 程等 价 于反复 使用一对Fra Baidu bibliotek高通 滤波 器和低通 滤波 器 ，将信
号逐 步进 行多层 次分解 ，其 中经 高通滤 波器 过滤 出 信 号 的高频 分量 （ 细节 成份 ） ，经低 通滤 波 器 过滤 出信号 的低 频分 量 （ 略成 份 ） 粗 。每 次滤 波 后将 得 到 两个分 量 ，它们 所 占频带 宽度 是相 等 的，分别 占 原 信号频 带宽度 的二 分之一 ，每经过 一 次分解 ，信 号 的采样 频率 降为 原来 的一 半 ；重 复这一 过程 ，对 低 频分量 进行 多次分 解 ，依 次得到 下一层 次上 （ 即 更低频 率上 ）的两个 分解分 量 （ 一个 为其 中 的低 频
分 量 ，一个 为其 中的高频 分量 ） 。
Ｅ＝Ｅ， Ｅ ， 。 ， ｍ为信号 ｘｒ在 ｍ 个尺度上的小波 Ｅ …， （ ）
能 量 。其 中， Ｅ 为能 量值 ，定义 为 ：
＝
∑
， Ｉ
为序列分解重构系数中的第， 层上的第， 个数据。
这 样 可 以在 不 同 的尺 度 上 就信 号 能量 值 Ｅ 进 行划 分 ，因而 利用 小波变 换 的正交特 性 ，在 不 同的时 间 窗 内 （ 口宽度 为 ∈Ｎ ）信 号 的总功 率Ｅ为各尺 窗
ｔ ｔｔ ｅｗａ ｅ ｅ ｎｔｏｐ ｏ ｈａ ｈ ｖ ｌｔｅ ｒ ｙ ｃ ｍｐｌｘｉ ｈ ｓｃ ｒａｎ ｒ ｓｓａ ｃ ｏ ｎ ｉｅｉ ｔ ｒｅ ｅ ｃ ｂ ｌｔ ． ｅ ｔ ａ ｅｔ ｉ ｅ ｉｔ ｎ ｅｔ ｏ ｓ ｎ ｅ ｆｒ ｎ ｅａ ｉｉｙ ｙ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ： ｖｅｅ ｒ ｎｓｏ ｍ ： ｗａ ｅ ｅ ｎ ｒ ｐ ｄｓ ｗａ ｌ ｔ ａ ｆ ｒ ｔ ｖ ｌｔ ｔｏ ｙ： ｓｇ ａ ・ｏ－ ｉｅｒ ｔｏ； ｃ ｏ ｉ ｙｓｅ ｅ ｉ ｎ ｌｔ － ｓ ａｉ － ｎｏ ｈａ ｔｃ ｓ ｔ ｍ
ｃ ｌｕ ａ ｅｔ ｅｗａ ｅ ｅ ｎ ｒ ｐ ｕ ｖ ｒ ｈ ｈ ｏ ｉ ｙ ｔ ｍ ｎ ｅｒｎ ｉｙ ｓ ｓｅ Ｔ ｅｒ ｓ ｌ ａ ｄ ａ ａ ｙ ｉ ｓ ｏ ａ ｃ ｌ ｔ ｖ ｌｔ ｔｏ ｙ ｃ ｒ ｅ ｆ ｅｃ ａ ｔ ｓ ｓｅ ａ ｄｔ ｉ ｏ ｓ ｙ ｔ ｍ． ｈ ｅ ｕ ｔ ｎ ｎ ｌ ｓｓ ｈ ｗ ｈ ｅ ｏ ｔ ｃ ｈ
熵 （ｎ ｏ ｙ ｅｔ ｐ ）的最 早提 出 （ ８ ４ ｌｕｉ）是 ｒ １ ５ ，Ｃ ａ ｓ ｓ 作为热 力 学的一个 基本 概念 ，用 来 度量热 力 学系统 中分 子运 动的混 乱程度 。１４ 年 ，美 国通 信 工程师 ９８ Ｓ ａｎ ｎ 在研 究信 息传 输 过 程 中 的 不 确 定 性 问题 ｈｎ ｏ
熵 的影响 ，旨在探 讨混沌 系统 的小波熵 特 征 ，为各 类 混沌系 统在 混沌控 制 、同步等 领域 的应 川提 供 了
一
Ⅳ ＝ ｌ１ ； （ ∑ ｎ／） ） （ｐ
＝ｌ
种方式 。
当 ＝０时 ， Ｐ Ｉ （ｉ＝０。信 息熵 理论 表 明信 息 １ ｇｐ ） ｏ 熵 是用 随 机变 量 在 不 同状 态 特 征 的 概 率大 小 米 定
’
情况，计算 了两混沌系统及其含噪系统小波熵 曲线 ，结果表 明小波熵复杂度具有一定的抗噪声干扰 能力。 关键 词：，波变换 ；小波熵 ；信噪 比；混沌系统 Ｊ 中图分类号 ：Ｔ ３ １ Ｐ ０ 文献标识码：Ａ
ＴＨ Ｅ Ｎ ＦＬＵＥＮＣＥ Ｆ Ｉ ｏ Ｎｏ Ｉ ＳＥ ｏＮ ＣＨ Ａｏ ＴＩ Ｓ Ｃ ＹＳＴＥＭ Ｓ Ｗ Ｉ ＴＨ ＡＶＥＬＥＴ ＴＲｏ ＰＹ Ｗ ＥＮ
时 ，提 出 了信 息熵概 念 ，将 信 息的作 用描 述 为它能
够 减少 或 消除人们 对事 物认 识 的不确 定性 ，而 不确 定 性可 以通过 熵来 度量 。当前 ，熵 的定义 已不 再局 限于热力 学范 围 ，已渗透 到不 同学科 领域 ，并 在信
Ｔａｓｏｍ）计算 的复 杂度 特 征量 ，在 分析 平稳 时间 ｒｎｆｒ
．
Ｗ ＝ ∑ ・ Ｅ一 ｌ ｇ
其 中，弓可 由小波分 解 的各分 量 系数 ｃ
和
， ，
，对这 两个 分量 分别进 行单支 重构 ， 到 ａ， ｄ， ， 得 、
两信号分量，对应频带范围ａ ：［，‘ Ｄ ］ ， ， ０２ ‘
直接 求得 ， 也可 由重构 信号 的分 向量 ａ， ｄ， 得 。 和 求
１ 基 于 小 波 变换 的信 号 分解
具 有 多 分 辨 率分 析 能 力 的 小波 变 换 算 法 是 利
刚正 交小 波基 （ 或双 正交 小波基 ）［将 信 号在 不 同 ９ １
位系 统 的 ，可 以对 系统 的未知程 度进行 度量 ，因而
非常 适合 估计 随机信 号 的复杂 程度 。
定 的研究 成果［８ 本 文将考 查噪 声对混 沌 系统 小波 ４】 ．。
Ｐ ＝ ） ＝，… 且 ｛ ， １，，， 有∑ ＝ ， ｆ ２ ｌ
ｉ ＝ｌ
则对 于 随 机 变 量 的 某 一 结 果 得 到 的信 息可 以用
＝
ｌｇ ） 示 ，于是ｘ的信 息熵 为 ： ｏ ｏ／ 表
序列 时具 有很好 的适用性 ，不过 其谱 熵值 仅反 映信 号整体 的平均功 率 分布特 征 ，没 有把信 号 的任何 时 变 信 息包 含 进 去 。 由小波 变 换 取 代 快 速 傅 里 叶变 换 ，能够 在 时间域 和频 率域 上 同时局域 化分 析 时变 信 号 ，即将信 息熵 理论 与小 波变 换融 合起 来 ，构成 小波熵 （ ｖ ｌ ｎ ｏ ｙ分析 方法 ，为 时变信 号 的复 ｗａ ｅ ｔ ｔ ｐ ） ｅｅｒ 杂 度计 算提 供一 种具 有时 、频分 析能 力 的手段 。小 波熵 方 法是在 小 波变换 的基础上 发展 起来 的 ，吸取
ｄ ：［ ” ， ， ２ ２
］ ，Ｊ＝１ ， …， ，其 中 ，３ Ｍ ２，
３ 混 沌 系 统 的 小 波熵 研 究
３１ 混沌系 统 ．
为 信号 的采 样频 率 ， 则信 号可 以分解 为各 分信 号 之 和 ， 即 ： ｆ（ ＝ａ ＋ｄ ＝ａ ＋ ＋ｄ ＝… ＝ ｔ ｌ ， ２ ） ｌ
口，＋ ＋… ｄｌ 。
以Ｒ ｓｌｒ 统￣Ｌ ｒｎ系统 为例对 混沌 系统 进 ｏｓ 系 ｅ Ｎ ｏｅｚ
行讨 论 。
２ 信 息熵 与小 波 熵
由Ｓ ａｎｎ ｈｎ ｏ 的信 息 熵 理论我 们 可 以知 道 ，若 有
一
（ ）Ｒ ｓｌｒ １ ｏｓ 系统 由如 下三 维系统 产生 ： ｅ
第３ ２卷 第 ３期 ２１ 年 ０１ ５ 月
Ｖ１２Ｎ ． ｏ． ｏ３ ３ Ｍａ ２ １ ｙ ０１
井 冈 山大 学学 报（ 自然 科学 版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｇ ａ ｇｈ ｎＵ ｉｅｓ ｙ（ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ） ｏ ｒａ ｏ ｎ ｇｎ ｓａ ｎｖｒｉ Ｎａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｊ ｔ ｕ ｅ ８ ５
息 论 、控 制论 、系 统科学 、哲 学 、经济管 理 、决策
科 学等领 域 中得到 了广泛 的应 用 。
随着 计算 机科 学 的飞速发 展 ，非线 性科 学 已广
泛应 用于 自然科 学 的各个 领域 ， 目前 常用 诸 如相 关 维数 、最 大李雅 普 诺夫指 数 【、Ｌ ｍｐ １ ｉ 法 复 １ ｅ ｅ Ｚｖ算 】 ．
文 章 编 号 ： １７ —ｏ ５２ ｉ）３０ ８ —５ ６ ４８ ８ （ｏ ０ —０ ５０ １
噪 声 对 混沌 系 统 小 波熵 的影 响
杨 建 平 ， 吕敬 祥
（ 冈山大学 电子与信 息 工程学 院 ，江西 ， 吉安 井 ３３ ０ ） ４ ０ ９
摘
要 ： 用小波熵 复杂度方法 ，研究 了 Ｒ ｓｌ 、Ｌ ｒｎ 系统在不 同数据长度 以及不同信 噪 比下的复杂度变化 运 ｏｓ ｒ ｏｅ ｚ ｅ