抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明

概念

焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；

焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦

性质及证明

2

p

2sin 证明：

根据抛物线的定义，| AF |= | AD |= x i + P , | BF |= | BC |= x 2 + 2,

| AB |= | AF 汁 | BF |= x i + X 2+ p

如图2,过A 、B 引x 轴的垂线AA i 、BB i ，垂足为

A i 、

B i ，那么 | RF |= | AD | FA i |= | AF | AF |cos , ...I AF |= 1 RF 1 = p

i — cos i — cos

?j AB

=

1 AF |+1 BF

=血 +

盅=話

S5 = S5 + S OBF = 2| OF || y i |+1| OF || y i | =舟舟? y i 1+ I y i I)

-y i y 2=— p 2

,贝V y

i 、y 2异号，因此，| y i |+ | y i |= | y i — y 2 |

二 S ^OAB = 4| y i — y 2 | = ^/(y i + y 2)

2— 4

y i y 2 = g/4m 2p 2+ 4p 2=■p ^/i + m 2

=2^

过抛物线 y 2

= 2px (p > 0)焦点F 的弦两端点为

A(x i , y i ), B(x 2, y 2),倾斜角为 ，中点为

C(x o ,y 0), 垂足为 A'、B'、C .

1.求证: 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线， ①焦半径I AF I x i

P -； 1

1 i

2 i cos

③I -；一|+人片=2

；④弦长 I ABI = x i + X 2+ p = 2p ;特别地，当 X i =X 2( =90 ) 丨AF

丨

丨BF

丨P

s

i n 2

②焦半径|BF| ￡号鳥

同理，

1 BF

=罟=盘

时，弦长|AB|最短，称为通径，长为

鸟卩：⑤厶AOB 的面积S ^OA =

2

2.求证：①x 冷P

?，②刘2

4

当AB 丄x 轴时，有

AF BF p,成立；

???方程（1 ）之二根为 X 1 , X 2,??? x x 2

先证明：Z AMB = Rt Z

【证法一】延长 AM 交BC 的延长线于E ,如图3, 则

△ ADM ◎△ ECM ,

? I AM |= | EM |, | EC |= | AD | ? | BE |= | BC 汁 | CE |= | BC 汁 | AD |

=| BF |十 | AF |= | AB |

1,1 2 十 — IAF | | BF | p

当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为:

y k x 卫?代入抛物线方程:

2

2

k 2 x 号2p x .化简得：k 2x 2

2

pk 2 2x 中2

1_ _1_ _1_ _1 AF BF AA , BB 1

X 2

x-i x 2 p

2

p p

x 1x 2

x i x 2 —

3.求证:

________x1

2

P 卫 X 2 P

x 1 x 2

2

p_ 4

AC'B x 1 x 2 p

A'FB' Rt Z .

x 1 x 2 p

图3

???△ ABE 为等腰三角形，又 M 是AE 的中点, ??? BM 丄 AE ,即/ AMB = Rt /

【证法二】取 AB 的中点N ，连结MN ，贝U

| MN |= 2(| AD 汁 | BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓 AB |,二 | MN |= | AN |= | BN |

—P 2 . p y l 斗 _y |_ p 2

y 1+ yl 2y i y 2

=

4 + 2(2p + 2p ) + 4 — 4

=疋+地=丘+二= 0

2 2 2 2

? "MA 丄 P B ，故/ AMB = Rt / .

【证法五】由下面证得/ DFC = 90，连结FM ，贝U FM = DM.

又 AD = AF ，故△ ADM ◎△ AFM ，如图 4

???/ 1 = Z 2，同理/ 3 =Z 4

???△ ABM 为直角三角形，AB 为斜边, 故/ AMB = Rt / .

【证法三】由已知得 C(-2, y 2)、D(-2,

屮),

由此得M(—2, y 〔+y 2

)

2 ).

y i + y 2 y i

_ 2 k AM =

x i + P

y — y 2 p(y i — y 2) y 2+ P 2

2

2 2p + p

p(y 「于) y 2+

P 2

卫 y i ,

同理k BM = p 2,

=心 + 躯1 + X 2)+ 孚-

1

???/ 2+Z 3 = 2X 180 = 90 ???/ AMB = Rt Z .

接着证明：Z DFC = Rt Z

【证法一】如图 5,由于| AD |= | AF |, AD // RF , 故可设Z

AFD =Z ADF =Z DFR =, 同理，设Z BFC =Z BCF = Z CFR

=, 而Z AFD + Z DFR + Z BFC +Z CFR = 180

? 2( + ) = 180，即 + = 90，故Z DFC = 90

【证法二】取CD 的中点M ，即M(— 2,豊严)

由前知 k AM = P

, k cF = y~~ =—— = P y 1 + P + p p y 1

2 2

??? k AM = k CF , AM // CF ，同理， BM // DF ? Z DFC =Z AMB = 90 .

【证法三】??? "D F = (p , — y 1), "C F = (p ,— y 2),

? - DF ? CF = p 2

+ y 1y 2 = 0

【证法四】由于I RF 2= p 2

=— y 『2= I DR | - | RC |,即嗟^ =

1 RF 1

，且Z DRF = Z FRC = 90

1 RC 1

? △ DRF FRC

? Z DFR = Z RCF ，而Z RCF+Z RFC = 90 ? Z DFR + Z RFC= 90 ? Z DFC = 90

4. C ' A 、C ' B 是抛物线的切线

2

【证法一】T k AM = p

, AM 的直线方程为y — y 1 = °(x — ￥)

y 1 yr 2p 7

? "D F 丄"C F ，故Z DFC = 90 . l M 1

y

\

O / € F

x

N 1

A N

图7

图

与抛物线方程y 2

= 2px 联立消去x 得

y -y i =y(2p — 2p ，整理得 y 2

- 2y i y + y

2= 0

可见△= (2y i )2

— 4y 2

{ = 0, 故直线AM 与抛物线y 2

= 2px 相切， 同理BM 也是抛物线的切线，如图

8.

【证法二】由抛物线方程 y 2

= 2px ,两边对x 求导，(y 2

)x = (2px)x ,

得2y ? y x = 2p , y * = p ,故抛物线y 2

= 2px 在点A(x i , y i )处的切线的斜率为 k 切=y x | y d =

P

=yi 一

. y i

又k AM = y i ,??? k 切一 k AM ，即AM 是抛物线在点 A 处的切线，同理 BM 也是抛物线的 切线?

【证法三】??过点

A(x

i , y i

)的切线方程为y i y — p(x + x i )，把M( — p , y ； y )代入

右边一 p(— p + x i )=— p + px i ，左边一右边，可见，过点 即AM 是抛物线的切线，同理 BM 也是抛物 线的切线?

5. C'A 、C'B 分别是/ A 'AB 和/ B 'BA 的平分线?

【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E,如图9,

则厶 ADM ◎△ ECM ，有 AD // BC , AB = BE , ???/ DAM 一/ AEB 一/ BAM , 即AM 平分/ DAB ,同理 BM 平分/ CBA. 【证法二】由图 9可知只须证明直线 AB 的倾斜

角是直线AM 的倾斜角的2倍即可，即 =2

?且

M(-

p ，中)

左边一 y i

?

y i + y y 2

+ y y 2px i — p 2

2 = 2 = 2

=px i — pf

2 , A 的切线经过点M ,