抛物线经典性质总结30条
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抛物线性质30条
已知抛物线2
2(0)y px p =>,AB 是抛物线的焦点弦,点C 是AB 的中点. AA’垂直准线于A ’, BB ’垂直准线于B ’, CC’垂直准线于C ’,CC ’交抛物线于点M ,准线交x 轴于点K. 求证:
1.12||,||,22p p
AF x BF x =+
=+ 2.11
()22
CC AB AA BB '''==+;
3.以AB 为直径的圆与准线L 相切;
证明:CC’是梯形AA’BB’的中位线,
||||||||||2||2AB AF BF AA BB CC r '''=+=+==
4.90AC B '∠=;(由1可证)
5.90A FB ''∠=;
,,
||||,,1,
2
AA FK A FK FA A AF AA AA F AFA A FK AFK '''∴∠=∠'''=∴∠=∠'∴∠=∠证明:
同理:1,2
B FK BFK '∠=∠得证. 6.1
C F A B 2
'''=.
证明:由90A FB ''∠=得证.
7.AC '垂直平分A F ';BC '垂直平分B F ';
证明:由1C F A B 2
'''=可知,1||||||,2C F A B C A '''''==
||||,.AF AA '=∴又得证 同理可证另一个.
8.AC '平分A AF '∠,BC '平分B BF '∠,A’F 平分AFK ∠,B ’F 平分BFK ∠.
证明:由AC '垂直平分A F '可证. 9.C F 'AB ⊥;
证明:12
2121(,)(,)2y y C F AB p x x y y +'⋅=-
⋅-- 222222
122112
21()02222y y y y y y p x x --=-+=-+=
10.1cos P AF α=-;1cos P
BF α
=+;
证明:作AH 垂直x 轴于点H ,则||||||||||cos ,||1cos p
AF AA KF FH p AF AF αα
'==+=+∴=
-.
同理可证另一个. 11.
112AF BF P
+=; 证明:由1cos P AF α=-;1cos P
BF α
=+;得证.
12. 点A 处的切线为11()y y p x x =+;
证明:(方法一)设点A 处切线方程为11()y y k x x -=-,与2
2y px =联立,得
21122()0,ky py p y kx -+-= 由2110220,x k y k p ∆=⇒-+=
解这个关于k 的一元二次方程(它的差别式也恰为0)得:111,2y p
k x y ==得证. 证法二:(求导)2
2y px =两边对x 求导得11
22,,|,x x p p yy p y y y y ='''==∴=
得证. 13.AC’是切线,切点为A ;B C’是切线,切点为B ;
证明:易求得点A 处的切线为11()y y p x x =+,点B 处的切线为22()y y p x x =+,解得两切线的交点为12
(,)22
y y p C +'-
,得证. 14. 过抛物线准线上任一点P 作抛物线的切线,则过两切点Q 1、Q 2的弦必过焦点;并且12.PQ PQ ⊥
证明:设点(,)()2p
P t t R -∈为准线上任一点,过点P 作抛物线的切线,切点为2(,)2y Q y p , 22y px =两边对x 求导得22222,,,20,22
PQ p p y t
yy p y K y ty p y y y p
p -''==
∴==∴--=+ 显然2
2
440,t p ∆=+>切点有两个,设为22
212
11221212(,),(,),2,,22y y Q y Q y y y t y y p p p
+==-则 1212
12
22222
2
12122222
22
FQ FQ y y py py k k y y y p y p p
p p p ∴-=
-
=
----- 1222
1212112212
22220,py py p p
y y y y y y y y y y =
-=-=++++ 所以Q 1Q 2过焦点. 222222
2
2121212121212122
(,)(,)()2222444y y y y y y p p p PQ PQ y t y t y y t y y t p p p
+⋅=+-⋅+-=+++-++ 22
2222222
22121212()2420,242424
y y y y y y p p p t p t t t ++-+=-+-=-+-=-+-=
12.PQ PQ ∴⊥
15.A 、O 、B '三点共线;B 、O 、A '三点共线; 证明:A 、O 、B '三点共线2211212112.222
OA OB y p p
k k x y y y y y y p p '⇐=⇐=-⇐=-⇐=-
同理可证:B 、O 、A '三点共线.
16.122
y y p ⋅=-;122
4
p x x ⋅=
证明:设AB 的方程为()2
p
y k x =-
,与22y px =联立,得2220,ky py kp --= 2
12122,,p y y y y p k
∴+==- 22
4212122.2244y y p p x x p p p ∴=
⋅== 17.122
2sin p
AB x x p α
=++= 证明:1212,2p p
AB AF FB x x x x p =+=+++=++
||2AB ===
222.sin p
α==得证.
18.2
2sin AOB p S α
∆=;
证明:122AOB OFA OFB p S S S ∆∆∆=+=⋅=
2
2sin p α
===. 19.3
22AOB S p AB ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭
(定值); 证明:由22sin p
AB α=、22sin AOB p S α∆=得证. 20.22
sin ABC p S α
'
∆=
证明:11||||22
2
ABC S AB PF '∆=⋅=⋅
2
222
1(1)sin p p k α
==+= 21.2AB p ≥; 证明:由22sin p
AB α
=
得证.