数学本质概念整数篇

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數學本質概念-整數篇
一、數學結構
數字的演進是從具體物體的計算，到抽象符號間的相關，可見數學在日常生活中的廣泛應用及重要性
(張平東 民82)
史前的穴居祖先們，用手指來數獵物品的數量，而發展成今日的計物數
當人們數著一個，二個，三個蘋果的時候，或一個人或二個人的時候，從這些不同種類的「物」，「人」中，產生1、2、3...的數的觀念，這就是自然數的起源
(川久保勝夫 民92)
計物數(或自然數)與"0"便是所稱整數的一部份
我們可利用數線來說明由"0"發展出的正整數與負整數

從0向右延伸即是正整數，向左延伸變成負整數


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
負整數 ← 零 → 正整數
另外，利用下圖-數字的家族表也可以認識整數：(張平東 民82)

二、認知結構
＊學齡前階段
兒童約在二至三歲時開始透過模仿大人，學會唱標準數詞序列至某一數詞為止，念到哪一數因人而異，有些學童在不知不覺中偷偷觀察他人的唱數活動而學會，有些學童在父母可以安排的遊戲中學會，有些學童必須在父母一再的示範下才學會
(蔣治邦等 民95)
學童在上一年級時大多能從1念到100，但並不表示他們對數字已有真正的概念，這時期的學童對數量的判斷全憑直覺

例如：此時的學童可以瞭解下列等數的黑白球：
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
● ● ● ● ● ● ● ●
但是，對於下列排法的黑白球，卻會認為是黑球比較多：
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
● ● ● ● ● ● ● ●
＊小學低年級階段
此時的學童開始有數量多寡的概念和圖形推理的構想
因此，唱數活動也可以在對應一個個具體物件的點數過程中進行

數字和實物組合(集合)的關係可以建立在一對一配對的觀念上：
例一：序數觀念
{ ? ( ? }
↓ ↓ ↓
{ 1 2 3 }
即 飛機是第一個物品，鉛筆是第二個物品，眼鏡是第三個物品

例二：基數觀念
( ( ( ( ( → 有五支筆

當兒童可以正確使用「標準數詞序列」為工具，對一堆「被界定物件」進行一個數詞對一個物件的一對一點數的「數數活動」開始，學童就已有了最初階的某數概念(例如「5」的概念)

＊各階段運思方式
在不同數概念的品質之下的學童，當學童面對數學問題必須要操作數概念時，所表現的運思方式也會不同
以「53」為例：
(「53」代表由1開始對應標

準數詞序列到具體物品的最後一項，是數的前置概
念

(「53」代表由53個「1」所合成的新聚集單位，是數的起始數概念
學童表現
出序列性合成運思

(「53」代表由一個聚集單位，比如48，再往上累積5個「1」，所合成的新聚
集單位，由於此53可以內嵌其他數(如48)，是為內嵌數概念
學童表現出累
進性合成運思

(「53」代表可由5個「10」和3個「1」所合成的新聚集單位，為巢狀數概念

學童表現出部分全體運思(早期)或測量運思(後期)
(甯自強 民83，蔣治邦等 民95)
依據甯自強的說法，學童大約在一年級下學期時開始發展累進性合成運思，而約在三年級下學期開始發展部分全體運思
(甯自強 民83，蔣治邦等 民95)

三、教學策略
數數活動-基數的認識
有兩種技巧：首先教導學童依序說出標準的數詞：「ㄧ，ㄦˋ，ㄙㄢ，ㄙˋ，...」，其次，兒童須能連結其順序，一個一個方式點數
一次只數一個，而且只有一數
教學者可以利用容易取得的物品讓學童「一邊指著實物，一邊讀數」

例一：排一組物品
( ( ? ( ?
老師：「有幾個東西」 學生：「五個」
例二：重新排列上述物品
( ? ? ( (
老師：「有幾個東西」 學生：「五個」
若學生在回答第二個問題時，可以不用在數數就能答出總數，即表示學童對基數的概念已經了解了


零的認識教學
可設計下列兩種情境來指導：(張平東 民82)
情境一 由「有」到「沒有」
利用實務操作，盤子裡放著3個蘋果，讓學童數出盤子裡蘋果有3個，然後依序每次取出一個，也讓學童數出盤子裡的蘋果個數2、1，最後出現0，也就是盤子裡面沒有蘋果


3 2 1 0
情境一 由「沒有」到「有」
準備一個鉛筆盒，讓學童猜猜裡面有幾支鉛筆，等學童任意猜了以後再打開一看，裡面每有鉛筆，進而指導0的觀念與寫法，然後可再依序放進1枝、2枝，這樣依0、1、2的數序出現，使學童了解0的意義

二位數以上的認識教學
定位板，方格板，數字卡教學
上 張(百) 條(十) 個(一)
中段 下 ( ? ?((((????? 數字卡片

方格板 (正)(反) 定位板
(1)準備定位板及方格板(代表1~9個各數，及十個一條，百個一張)及數字卡片， 是先與學童約訂定位板的中段位置，每一空格不能排超過九個方格或九條的方 格板

(2)在定位板上排出九個方格板，然後請學生再加上一個，給他們去思考，這10 個方格板應放再訂未版中段哪一個位置？又數字卡要怎麼放才能與方格板對 應？
(3)學生把十個格子的方格板(換成10個格子一條的)放在十位

的下方，然後把方格板翻面，是一條長紙板，師生共同約定：這10個格子的方格板就作「一條」，他是代表10個格子，以後只要是10個格子就可以交換一條
另外，在數字卡的操作下，學生發現數字卡最大的數目是9，在「一」的位置格子下不能同時排上兩張數字卡，但因為10個格子可以換成一條方格板，而把這一條放在「十」個一條的位置下，那麼十個格子以交換呈一條擺在「條」的位置了，這時「個」的下面位置已經沒有方格板了，所以數字卡只好選上0的放上與之對應，而「條」的位置下也應對上1的數字，變成10
讓學童在操作中觀察了解10中的1與一般的1是不同的
(黃武鎮 民64)
大整數的認識教學
定位板教學
在學生可以了解數的十進位構造後，進而可以再透過大整數的定位板敎學童認識大整數，並讓學生了解「四位一節」的觀念，由右往左，第五位是萬，第九位是億，第十三位是兆
藉此也避免學童對連續兩個零的寫法與讀法換算時出錯

兆 千億 百億 十億 億 千萬 百萬 十萬 萬 千 百 十 個
協同教學
大多數的學生對極大的數不會有感覺鑑賞，除了運用定位板教學外，在教室裡，大數的討論應該有真實的情境脈絡，可與其他領域老師，如社會科學的教師協同教學，分組讓學生探索有關大數的調查研究


四、綱要結構
國小階段引入整數認識的次序是依照學童對數的認知時期而編序的：(1) 一年級上學期20以內；(2) 一年級下學期前段50以內；(3) 一年級下學期後段100以內；(4) 二年級上學期後段200以內；(5) 二年級下學期後段1000以內；(6) 三年級上學期後段2000以內；(7) 三年級下學期後段10000以內；(8) 四年級上學期前段100000以內(9)四年級下學期億，兆以內


一年級 二年級 三年級 四年級 五年級 六年級

整
數 1-n-01
能認識100以內的數及「個位」、「十位」的位名，並進行位值單位的換算
2-n-01
能認識1000以內的數及「百位」的位名，並進行位值單位換算
3-n-01
能認識10000以內的數及「千位」的位名，並進行位值單位換算
4-n-01
能透過位值概念，延伸整數的認識到大數（含「億」、「兆」之位名），並作位值單位的換算
5-n-01
能在具體情境中，解決三步驟問題
6-n-01
能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100）

參考資料
張平東 (民82) 國小數學教材教法新論
五南圖書出版公司

蔣治邦等 (民95) 國小數學敎材分析─整數的數概念與加減運算

國立教育研究院籌備處

黃武鎮 (民64) 小學數學科教學
台灣省國民教育輔導叢書

張英俊 周菊美 (民94) 中小學數學科教材教法

五南圖書出版公司

謝如山等 (民91) 數學科教材教法
五南圖書出版公司

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數學敎材教法-數學本質概念(整數) 96/10/11
黃凱琦 編制




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