基本蚁群优化算法及其改进

Table2.1 模型ant-density,ant-quantity,ant-cycle的比较
从表2.1可以看出，ant-cycle模型的性能要优于ant-density和antquantity模型。原因是在ant-cycle模型中用到了全局信息，即蚂蚁释放 在路径上的信息素量与其所得解的质量成正比。周游长度越短的蚂蚁，释放 在其经过的路径上的信息素量就越多，而ant-density、ant-quantity模 型在搜索解时，只使用了局部信息，没有用到任何解的信息。 在ant-cycle算法中，ρ=0.5可以解释为：在计算的初期，使用启发式 贪婪搜索策略；后期，主要使用路径上的信息素τij来进行搜索，同时，antcycle能够忘记部分过去的经历，以便更好的利用新的全局信息来搜索较好 的解。 下面主要就ant-cycle模型来研究AS的特性。
M.Dorigo提出了3种AS算法的模型，算法2.1称为ant-cycle；另外两个 模型分别称为ant-quantity和ant-density，其差别主要在(2.4)式，即： 在ant-quantity模型中为: 公式2.5
在ant-density模型中为： 公式2.6 AS算法实际上是正反馈原理和启发式算法相结合的一种算法。在选择路径时，蚂 蚁不仅利用了路径上的信息素，而且用到了城市间距离的倒数作为启发式因子。实 验结果表明，ant-cycle模型比ant-quantity和ant-density模型有更好的性能。 这是因为ant-cycle模型利用全局信息更新路径上的信息素量，而ant-quantity 和ant-density模型使用局部信息。AS算法的时间复杂度为Ο(NC*n3),其中NC 表示迭代的次数，n为城市数。
基本蚁群优化算法及其改进
一、引言
• 蚁群在觅食过程中总能找到蚁巢和食物源之间的最短路径。 受其启发，意大利学者M.Dorigo，V.Maniezzo，和 A.Colorni于1991提出了一种新型的模拟进化算法——蚂蚁系 统（Ant System,简称AS）。AS算法是第一个ACO算法，被 称为基本ACO算法，该算法的出现，开创了ACO研究的先河。 AS算法首先用来求解TSP问题，并获得了极大的成功。实验结 果显示AS算法具有极强的发现较好解的能力，但同时也存在一 些缺陷如收敛速度慢、易出现停滞现象等。针对AS算法的不足， 许多学者对其进行了深入的研究，提出了一些改进的ACO算法 如最优保留蚂蚁系统(Ant System with Elitist,简称 ASelite) 、蚁群系统（Ant Colony System,简称ACS）、 最大-最小蚂蚁系统（MAX-MIN Ant System,简称MMAS）、 基于排序的蚂蚁系统（Rank-based Version of Ant System,简称ASrank）等等。下面首先介绍了AS算法的模型、 实现及相关属性，然后讨论了几种改进的ACO算法，最后详细 介绍了我自已提出的两种改进的ACO算法及其实验结果。
图2.4 4×4方格问题的一个可选解
图2.5为实验所得的结果，其中横轴表示蚂蚁数，纵轴表示发现最优 解所用的迭代次数。从图中可以看出当M≈N时，ant-cycle可以在最少 的迭代次数内找到最优解。在对随机分布的16城市的实验中也能得到同 样的结果。
图2.5 在求解4×4网格问题时，每只蚂蚁找到最优解的周 游数与蚂蚁总数之间的关系，5次运行的平均结果。
for每条边e(i,j) for k:=1 to m do 公式2.4
end for end for 5．for每条边e(i,j)，按（2.2）式计算τij (t+n)； 置t:=t+n； 置NC:=NC+1； for每条边e(i,j)，置△τij:=0 6．if（NC<NCMAX）and（没有出现停滞情况）then 清空所有禁忌表； goto step 2 else 打印最优路径； 算法停止。 end if
图2.1ant-cycle求解CCA0问题时信息素分布的进化过程 (a)初始时刻信息素迹的分布； (b)算法迭代100次后信息素迹的分布
2、参数α、β对AS算法性能的影响
定义2.1在蚂蚁搜索解的过程中，所有蚂蚁都选择同样的路径，即系统不再 搜索较好的解，称为停滞现象（Stagnation behavior）。 当参数设置为某些值时，算法迭代到一定代数后将出现停滞现象。其原因是 因为较好路径上的信息素远大于其它边上的，从而使所有蚂蚁都选择相同的路径。 定义3.2设τmin(r,s) 、 τmax(r,s) 分别为与节点r相连的边上最大、最小信息 素值，令δ (r) =τmax (r,s )－τmin (r,s) ，对某个给定的λ(0<λ<1)，则在所有与 节点r相连的边中，信息素量大于等于λδ(r) ＋τmin (r,s) 的边的数量称为节点r的 节点分支数（node branching）。其中λ可根据实际需要确定。 定义3.3设θ(r)为节点r(r=1,2,…,n) 的节点分支数，n为节点数，则平均节 点分支数（Average Node Branching,简称ANB）为 。
以上的实验结果可以解释如下：当α取较大的值时，意味着在 选择路径时，路径上的信息素非常重要；当α取较小的值时，则 ant-cycle变成随机的贪婪算法。
3、蚂蚁数m对AS算法的影响
为了测Байду номын сангаас蚂蚁数m对ant-cycle模型性能的影响，用该模型来求解图2.4 所示的4×4方格问题。众所周知，当方格的边长为10时，其最优解为160。 在该实验中，分别取蚂蚁数为m∈{4,8,16,32,64}。
5、蚂蚁的初始分布
为了测试蚂蚁的初始分布对AS算法性能的影响，M.Dorigo分别对随机 分布的16城市的TSP问题，4×4网格问题和Oliver30问题进行了测试。分 两种情况，（i）所有蚂蚁初始时刻放在同一个城市；（ii）蚂蚁分布在不同的 城市中。结果发现第（ii）种情况可获得较高的性能。同时也测试了随机分布 与统一分布的性能差异，结果发现其差别不大。
4、协同作用对AS算法的影响
如图2.6所示，图2.6(a)为蚂蚁间没有通讯（α=0）时的情形，此时AS 算法变成贪婪搜索算法；图2.6(b)为有协同作用（α=1）时的情形。从图中可 以看出，有协同作用时提高了AS算法的性能。
图2.6 有协同工作（α=1）与无协同工作（α=0）相比，提高了算法的性能。
二、基本蚁群优化算法－蚂蚁系统
2.1旅行商问题
2.2 蚂蚁系统
2.2.1算法描述
蚂蚁根据某一概率函数选择下一座城市，其中概率函数是城市间距 离及连接边上信息素量的函数（设τij (t)为t时刻连接边e(i,j)上的信息素 量）；每只人工蚂蚁只能走合法路线，除非一次周游（蚂蚁走完所有的 城市称为一次周游）结束，不允许转到已访问的城市。该过程由蚂蚁的 禁忌表来制。设tabuk为蚂蚁k的禁忌表，则蚂蚁k在经过城市i以后，就 将该城市加入到自己的禁忌表tabuk中，表示下一次不能再选择城市i。 用tabuk(s)示禁忌表中第s个元素，也即蚂蚁所走过的第s个城市；完成 一次周游后，蚂蚁在其访问过的每一条边上留下相应的信息素。
2.2.5蚂蚁系统的优点与不足
AS算法具有如下优点： 1>较强的鲁棒性：对AS算法的模型稍加修改，便可以应用于其它问 题； 2>分布式计算：AS算法是一种基于种群的进化算法，本质上具有并 行性， 3>易于并行实现； 4>易于与其它方法结合：AS算法很容易与多种启发式算法结合，以 改善算法的性能。 众多研究已经证明AS算法具有很强的发现较好解的能力，这是因为 该算法不仅利用了正反馈原理，在一定程度上可以加快进化过程，而且是 一种本质上并行的算法。不同个体之间不断进行信息交流和传递，从而能 够相互协作，有利于发现较好解。AS算法可以解释为一种特殊的强化学 习算法，公式(2.1)反映了AS算法与Q学习算法之间的联系，相当于Q学 习中的Q值，表示学习所得到的经验。 虽然AS算法有许多优点，但同时也存在一些缺陷，如： 1>与其它方法相比，该算法一般需要较长的搜索时间，AS算法的复 杂度可以反映这一点； 2>该方法容易出现停滞现象（stagnation behaviour），即搜索 进行到一定程度后，所有个体所发现的解完全一致，不能对解空间进一步 进行搜索，不利于发现更好的解。
2.2.4蚂蚁系统的参数设置和基本属性
目前，对AS算法的参数设置和属性的研究大多还处于实验阶段。 M.Dorigo等人通过大量的实验对蚂蚁系统的参数和基本属性进行了探讨。 讨论的参数包括： α——信息素的相对重要程度； β——启发式因子的相对重要程度； ρ——信息素蒸发系数（(1-ρ)表示信息素的持久性系数）； Q——蚂蚁释放的信息素量。 在实验中，为了观察某个参数对算法性能的影响，在测试该参数时，其 它参数取缺省值。各参数的缺省值为α=1,β=1,ρ=0.5,Q=100。为比较三种 模型的性能，M.Dorigo首先通过实验方法确定每种模型的最优参数集，然 后各模型在取最优参数集的情况下，分别求解Oliver30问题十次，其结 果如表2.1所示.
公式2.2
其中ρ(0<ρ<1)表示路径上信息素的蒸发系数,1-ρ表示信息素的持久性系数； △τij表示本次迭代边ij上信息素的增量。 △τijk表示第k只蚂蚁在本次迭代 中留在边ij上的信息素量。如果蚂蚁k没有经过边ij，则△τijk的值为零。 △τijk表示为：
公式2.3
其中，Q为正常数，Lk表示第k只蚂蚁在本次周游中所走过路径的长度。
2.2.2算法流程（伪码）
1．初始化 置t:=0；{t为计时器} 置NC:=0；{NC为迭代计数器} 对每条边e(i,j)设置τij (t)=C, △τij (t)=0; 将m只蚂蚁放到n座城市上。 2．置s:=1；{s为禁忌表的索引} for k:=1 to m do 将蚂蚁k的起点城市加入其禁忌表tabuk end for 3．repeat until禁忌表tabu k已满 设置s:=s+1； for k:=1 to m do 按（2.1）式计算转移概率pijk(t)，根据赌轮方式选择下一个要到的城市j {在时刻t，蚂蚁k在城市i= tabuk(s-1)} 蚂蚁k移到城市j 将城市j加入tabuk(s) end for end repeat 4．for k:=1 to m do 蚂蚁k从tabuk (n)移到tabuk (1)； 计算蚂蚁k走过的周游长度Lk； 更新当前的最优路径。 end for
图2.2是ant-cycle求解Oliver30问题时ANB的进化情况。在某些参数 设置下，当算法迭代2500次后，ANB到达2。就对称TSP问题而言，这意味 着所有的蚂蚁都选择同样的路径，即算法出现停滞现象。
图2.2在α=5，β=2时平均节点分支数进化到2，出现停滞现象
图2.3 ant-cycle模型中不同的参数（α、β）组合对算法的影响 ●-算法能发现已知的最好解，且不出现停滞现象； ∞-算法不能发现最好解，且不出现停滞现象； Φ-算法不能发现最好解，且出现停滞现象。
公式2.1
其中， Jk(i) = {1, 2,…,n}-tabuk表示蚂蚁k下一步允许选择的城市集 合。列表tabu记录了蚂蚁k当前走过的城市。当所有n座城市都加入到 tabuk中时，蚂蚁k便完成了一次周游，此时蚂蚁k所走过的路径便是TSP 问题的一个可行解。(2.1)式中的ηij是一个启发式因子，表示蚂蚁从城市i转 移到城市j的期望程度。在AS算法中，ηij通常取城市i与城市j之间距离的倒 数。α和β分别表示信息素和启发式因子的相对重要程度。当所有蚂蚁完成 一次周游后，各路径上的信息素根据（2.2）式更新。
1、信息素的分布
图2.1是ant-cycle模型求解10城市TSP问题（CCA0）时各边上信息 素分布的进化过程。图中边的长度与城市间的距离成正比，边的粗细与其上 信息素量成正比。图2.1（a）显示初始时刻各边上信息素量相等，图3.1（b） 为算法迭代100次后，较好解路径上的信息素量明显高于其它边上的。由于 信息素蒸发的影响，较差解路径上的信息素量将越来越少。可见，在算法迭 代一定次数后，蚂蚁将搜索空间缩小为可能存在最优解的一个子空间，这样 可以极大地提高蚂蚁搜索最优解的效率，但同时也容易引起停滞现象，使算 法陷入局部最优。
AS算法可以表述如下：在算法的初始时刻，将m只蚂蚁随机地放 到n座城市，同时，将每只蚂蚁的禁忌表的第一个元素设置为它当前 所在的城市。此时各路径上的信息素量相等，设τij (0)= C （C为一 较小的常数）。接下来，每只蚂蚁根据路径上残留的信息素量和启发 式信息（两城市间的距离）独立地选择下一座城市。在时刻t，蚂蚁k 从城市i转移到城市j的概率pijk(t)为：