材料力学第十章 动载荷
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45
2
55 U型切口试样 R1
10 2
W 冲击韧性： k 断口面积 A
冲击力功
100% 晶粒状面积比
k
试件吸收能量
脆性断口(晶粒状) 塑性断口(纤维状)
50%
冷脆现象：k随温度降低而减少， 在某一狭窄的温度区间内， k骤 然下降，材料变脆。 (韧脆)转变温度：k骤然下降时的 温度
2h 2 1000 Kd 1 1 1 1 217.9 st 425
？
6m
③求动应力 静应力： st W / A 0.07074 MPa 动应力： d K d st 15.41 MPa
例 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点，求梁 在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。
解：等价于速度v=l的球水平冲击 杆ABC
Kd v2 g st
Ql (l l1 ) 2 st 3EI
B截面最大静应力：
M Q(l l1 ) W W 3EIlQ d K d st W g
st
若为垂直面 内转动？
10.5 冲击韧性
冲击试验
40 10 55 V型切口试样 R 0.5 40 10 10
求C面的动应力
MC d K d st K d Wz
64 EIh PL ) (1 1 3 PL 4Wz
例 20b工字钢，E=210GPa，P =2kN，h=20mm。若在B增加刚度k =300kN/m弹簧。分别求梁的最大正应力。(不计梁和弹簧的自重) 解：由型钢表20b号工字钢： Wz=250103 mm3，Iz=2500104 mm4 梁的最大静应力(C截面)为
实验表明：只要应力不超过比例极限，在动载荷下虎克定律仍 成立，且E静=E动
脚上的力量
12500N 16.67x
6000N 8x 4500N 6x
3000N 4x
3500N 4.67x
假设人体重量为750N 76.53Kg
10.2 动静法的应用
惯性力：与加速度方向相反，数值等于ma的假想力 达朗伯原理(D’Alembert’s principle )：对有加速度的物体，假想地加上 惯性力，则原力与惯性力组成平衡力系。 动静法：对物体施加惯性力后，把动力学问题形式上作为静力学 问题处理 动响应：构件在动载荷作用下产生的各种响应(如应力、应变、 位移等)。 应力、应变、位移 动响应 d d d Fd 动荷系数： K d 静响应 st st st Fst
若允许10s时间缓冲： Td 0 2.67 MPa Td J x dmax
t
Wt
例 直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN。求：桩的最大 动应力。E=10GPa 解：①求静变形
st WL 425 mm EA
v W
W
v0 = 0 h=1m
②动荷系数
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
比例相同？ 线性阶段，胡克定律
d K d st [ ]
一、直线运动 例 起重机钢丝绳有效横截面积A ，许用应力[]，以加速度a提升 长l、密度的重物。试校核钢丝绳的强度（不计绳重） 解：①受力分析如图:
a L m x n Fg Fa
惯性力：Fa ( Ax)a
x Fd
重力：Fg ( Ax) g 动载荷：Fd Fa Fg Ax(a g )
stC
A截面上下端，应力状态如图
Pl 32 Pl st πd 3 Wz
2 st 2 st
st
Pa 16 Pa Wp πd 3
st
st
32 P 2 2 l a 4 r 3 st 静相当应力： πd 3 32 P 2 k k 5．动相当应力： r 3d d r 3 st d 3 l a 2 πd
②动应力
Fd d x(a g ) A d max l (a g ) K d st max
若水平运动 有无 动荷系数？
动荷系数： K d 1
强度条件： d max K d st max
a g
例 起重机钢丝绳长60m，有效横截面面积A=2.9cm2 , 单位长重量 q=25.5N/m , []=300MPa , 以a=2m/s2的加速度提起重50kN的物体。 试校核钢丝绳的强度。 解：①受力分析如图:
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
10.1 概述
静载荷：载荷不随时间变化(或变化极其平稳缓慢)且使构件各部 件加速度保持为零(或可忽略不计)。 动载荷：载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化(系统 产生惯性力)。 简单动载荷：加速度可以确定，采用“动静法”求解。 冲击载荷：速度在极短时间内急剧改变，此时，加速度不能 确定，采用“能量法”求之； 交变载荷：载荷随时间作周期性变化，疲劳问题。 振动问题：求解方法很多
2 2
2GI p
L
轴内冲击应力为
d max
Td Wt J x 2GI p LWt 2
2 J xG AL
L
与轴体积AL有关 转动无 动荷系数 ？ 故对转轴，要避免 突然刹车
100 2 π 2 0.5 103 80 109 1057 MPa s ? π 60 (0.1) 2 1 4
二、回转运动 例 重G的球装在长L的转臂端部，以等角速度在光滑水平面上绕O 点旋转， 已知许用应力[] ，求转臂的截面面积(不计转臂自重)。
Gd
解：①受力分析如图:
惯性力：Gd man mR 2 GL 2 / g
O L
②强度条件
Gd / A
GL 2 A g Gd
Pl / 4 st 6 MPa Wz
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
2g 2
l
st
冲击后
U2
1 Pd d 2
(杆应变能)
U1 U 2
v2 Kd 1 g st
P Pd
d
四、扭转冲击* 例* 带飞轮的圆轴以匀速n=100r/min转动，飞轮的转动惯量 Jx=0.5kN·m·s2。轴直径 d=100mm，G= 80GPa，L=1m。由于某种 原因在A端突然刹车。求此时轴内的冲击应力。 解：摩擦力矩和惯性力偶矩平衡 飞轮动能转化为轴的变形能 2 2 Md Td J GI p T L 1 1 x 2 d J x Tdd Td Mf
练习 梁Iz=245cm4；空心管AB内径d=30mm，外径D=40mm。重物 P=300N从10mm高自由落下，试校核AB杆的稳定性。设稳定安全 因数nst=2.5。 材料均为Q235钢。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
E h A C L C1 A1 D C2 B P=mg
解：求C点静挠度
fst AA1 C1C2 2 RA L3 PL3 5PL3 96 EI DE 48EI AB 192 EI
动荷系数
Kd 1 1 2h 64 EIh 1 1 f st PL3
EI AB EI DE EI
a N d (G qL)(1 ) g
Nd
②动应力
d
Nd 1 a (G qL)(1 ) A A g
1 2 3 (50 10 25.5 60)(1 ) 4 2.9 10 9.8
qL(1+a/g)
214 MPa 300 MPa
G(1+a/g)
一、垂直冲击 冲击前后：动能变化T 线性段， 势能变化P d 忽略其它能 1 变形能 Fd d 2 缓慢加载？ 1 T P d Fd d 2 设重物P静载施加时变形为st，则
Fd d d Kd P st st
v d v=0
Fd K d P， d K d st 1 T PK d st K d P K d st 2 2T v2 Kd 1 1 1 1 P st g st
二、水平冲击 v
但，要避免增加静应力
无势能变化： 1P 2 1 1 v Fd d K d P K d st 2g 2 2
Kd v2 g st
st指什么？
以力P水平加 载时的位移 Kd可能小于1！
三、吊物冲击* 例* 起重吊索下挂重物等速下降，当吊索长度为l时，突然刹车。 解：冲击前 U1 1 P v 2 P d st 1 Pst
球的应力如何 ？
转动无 动荷系数 ？
例 圆环平均直径D、厚度t«D，横截面积A，密度 ，绕过圆心且 垂直于环面的轴以等角速度旋转。 (1)试确定圆环的动应力，并建立强度条件。 (2)求圆环的变形。 解：①惯性力分析，图1 t 2 2 AD D 增加横截面积 q Aa
D O
π
可减小应力？
an
2
d
n
2
②内力分析，图2
0 qd Rd sin 2 N d
2 N d qd D 0
qd
d
qd D AD 2 2 Nd 2Hale Waihona Puke Baidu4
qd
Nd
③应力分析 N d D 2 2 d v2
A 4
Nd 图1 图2
④强度条件
d v 2
D D v [ ]
E
⑤径向变形
D π ( D D ) r t D πD
d
E
D
v2
10.3* 受迫振动的应力计算
10.4 杆件受冲击时的应力和变形－ 能量法，机械能守恒
冲击物与受冲构件的接触区内，应力状态异常复杂，且冲击持 续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析。 能量法：在若干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击 构件的应力与变形进行简化、近似计算。偏于安全。 假设： 冲击物为刚体，且不反弹； 被冲击物为弹性体； 不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）； 冲击过程为线弹性变形过程。(保守计算) T＋V＝Vd 动能变化T＋势能变化V ＝被冲击件的应变能Vd
(1)若物体从高h处落下， T＝原势能＝Ph
2h Kd 1 1 st
(2)若突加载荷，h＝0
Kd 2
若被冲击物为梁，用fst代替st
P A C h B A
2h v2 Kd 1 1 1 1 st g st
f C fd B x
L 缓冲：增加静变形，柔软
2
55 U型切口试样 R1
10 2
W 冲击韧性： k 断口面积 A
冲击力功
100% 晶粒状面积比
k
试件吸收能量
脆性断口(晶粒状) 塑性断口(纤维状)
50%
冷脆现象：k随温度降低而减少， 在某一狭窄的温度区间内， k骤 然下降，材料变脆。 (韧脆)转变温度：k骤然下降时的 温度
2h 2 1000 Kd 1 1 1 1 217.9 st 425
？
6m
③求动应力 静应力： st W / A 0.07074 MPa 动应力： d K d st 15.41 MPa
例 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点，求梁 在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。
解：等价于速度v=l的球水平冲击 杆ABC
Kd v2 g st
Ql (l l1 ) 2 st 3EI
B截面最大静应力：
M Q(l l1 ) W W 3EIlQ d K d st W g
st
若为垂直面 内转动？
10.5 冲击韧性
冲击试验
40 10 55 V型切口试样 R 0.5 40 10 10
求C面的动应力
MC d K d st K d Wz
64 EIh PL ) (1 1 3 PL 4Wz
例 20b工字钢，E=210GPa，P =2kN，h=20mm。若在B增加刚度k =300kN/m弹簧。分别求梁的最大正应力。(不计梁和弹簧的自重) 解：由型钢表20b号工字钢： Wz=250103 mm3，Iz=2500104 mm4 梁的最大静应力(C截面)为
实验表明：只要应力不超过比例极限，在动载荷下虎克定律仍 成立，且E静=E动
脚上的力量
12500N 16.67x
6000N 8x 4500N 6x
3000N 4x
3500N 4.67x
假设人体重量为750N 76.53Kg
10.2 动静法的应用
惯性力：与加速度方向相反，数值等于ma的假想力 达朗伯原理(D’Alembert’s principle )：对有加速度的物体，假想地加上 惯性力，则原力与惯性力组成平衡力系。 动静法：对物体施加惯性力后，把动力学问题形式上作为静力学 问题处理 动响应：构件在动载荷作用下产生的各种响应(如应力、应变、 位移等)。 应力、应变、位移 动响应 d d d Fd 动荷系数： K d 静响应 st st st Fst
若允许10s时间缓冲： Td 0 2.67 MPa Td J x dmax
t
Wt
例 直径0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重5kN。求：桩的最大 动应力。E=10GPa 解：①求静变形
st WL 425 mm EA
v W
W
v0 = 0 h=1m
②动荷系数
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
比例相同？ 线性阶段，胡克定律
d K d st [ ]
一、直线运动 例 起重机钢丝绳有效横截面积A ，许用应力[]，以加速度a提升 长l、密度的重物。试校核钢丝绳的强度（不计绳重） 解：①受力分析如图:
a L m x n Fg Fa
惯性力：Fa ( Ax)a
x Fd
重力：Fg ( Ax) g 动载荷：Fd Fa Fg Ax(a g )
stC
A截面上下端，应力状态如图
Pl 32 Pl st πd 3 Wz
2 st 2 st
st
Pa 16 Pa Wp πd 3
st
st
32 P 2 2 l a 4 r 3 st 静相当应力： πd 3 32 P 2 k k 5．动相当应力： r 3d d r 3 st d 3 l a 2 πd
②动应力
Fd d x(a g ) A d max l (a g ) K d st max
若水平运动 有无 动荷系数？
动荷系数： K d 1
强度条件： d max K d st max
a g
例 起重机钢丝绳长60m，有效横截面面积A=2.9cm2 , 单位长重量 q=25.5N/m , []=300MPa , 以a=2m/s2的加速度提起重50kN的物体。 试校核钢丝绳的强度。 解：①受力分析如图:
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
10.1 概述
静载荷：载荷不随时间变化(或变化极其平稳缓慢)且使构件各部 件加速度保持为零(或可忽略不计)。 动载荷：载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化(系统 产生惯性力)。 简单动载荷：加速度可以确定，采用“动静法”求解。 冲击载荷：速度在极短时间内急剧改变，此时，加速度不能 确定，采用“能量法”求之； 交变载荷：载荷随时间作周期性变化，疲劳问题。 振动问题：求解方法很多
2 2
2GI p
L
轴内冲击应力为
d max
Td Wt J x 2GI p LWt 2
2 J xG AL
L
与轴体积AL有关 转动无 动荷系数 ？ 故对转轴，要避免 突然刹车
100 2 π 2 0.5 103 80 109 1057 MPa s ? π 60 (0.1) 2 1 4
二、回转运动 例 重G的球装在长L的转臂端部，以等角速度在光滑水平面上绕O 点旋转， 已知许用应力[] ，求转臂的截面面积(不计转臂自重)。
Gd
解：①受力分析如图:
惯性力：Gd man mR 2 GL 2 / g
O L
②强度条件
Gd / A
GL 2 A g Gd
Pl / 4 st 6 MPa Wz
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
2g 2
l
st
冲击后
U2
1 Pd d 2
(杆应变能)
U1 U 2
v2 Kd 1 g st
P Pd
d
四、扭转冲击* 例* 带飞轮的圆轴以匀速n=100r/min转动，飞轮的转动惯量 Jx=0.5kN·m·s2。轴直径 d=100mm，G= 80GPa，L=1m。由于某种 原因在A端突然刹车。求此时轴内的冲击应力。 解：摩擦力矩和惯性力偶矩平衡 飞轮动能转化为轴的变形能 2 2 Md Td J GI p T L 1 1 x 2 d J x Tdd Td Mf
练习 梁Iz=245cm4；空心管AB内径d=30mm，外径D=40mm。重物 P=300N从10mm高自由落下，试校核AB杆的稳定性。设稳定安全 因数nst=2.5。 材料均为Q235钢。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
E h A C L C1 A1 D C2 B P=mg
解：求C点静挠度
fst AA1 C1C2 2 RA L3 PL3 5PL3 96 EI DE 48EI AB 192 EI
动荷系数
Kd 1 1 2h 64 EIh 1 1 f st PL3
EI AB EI DE EI
a N d (G qL)(1 ) g
Nd
②动应力
d
Nd 1 a (G qL)(1 ) A A g
1 2 3 (50 10 25.5 60)(1 ) 4 2.9 10 9.8
qL(1+a/g)
214 MPa 300 MPa
G(1+a/g)
一、垂直冲击 冲击前后：动能变化T 线性段， 势能变化P d 忽略其它能 1 变形能 Fd d 2 缓慢加载？ 1 T P d Fd d 2 设重物P静载施加时变形为st，则
Fd d d Kd P st st
v d v=0
Fd K d P， d K d st 1 T PK d st K d P K d st 2 2T v2 Kd 1 1 1 1 P st g st
二、水平冲击 v
但，要避免增加静应力
无势能变化： 1P 2 1 1 v Fd d K d P K d st 2g 2 2
Kd v2 g st
st指什么？
以力P水平加 载时的位移 Kd可能小于1！
三、吊物冲击* 例* 起重吊索下挂重物等速下降，当吊索长度为l时，突然刹车。 解：冲击前 U1 1 P v 2 P d st 1 Pst
球的应力如何 ？
转动无 动荷系数 ？
例 圆环平均直径D、厚度t«D，横截面积A，密度 ，绕过圆心且 垂直于环面的轴以等角速度旋转。 (1)试确定圆环的动应力，并建立强度条件。 (2)求圆环的变形。 解：①惯性力分析，图1 t 2 2 AD D 增加横截面积 q Aa
D O
π
可减小应力？
an
2
d
n
2
②内力分析，图2
0 qd Rd sin 2 N d
2 N d qd D 0
qd
d
qd D AD 2 2 Nd 2Hale Waihona Puke Baidu4
qd
Nd
③应力分析 N d D 2 2 d v2
A 4
Nd 图1 图2
④强度条件
d v 2
D D v [ ]
E
⑤径向变形
D π ( D D ) r t D πD
d
E
D
v2
10.3* 受迫振动的应力计算
10.4 杆件受冲击时的应力和变形－ 能量法，机械能守恒
冲击物与受冲构件的接触区内，应力状态异常复杂，且冲击持 续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析。 能量法：在若干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击 构件的应力与变形进行简化、近似计算。偏于安全。 假设： 冲击物为刚体，且不反弹； 被冲击物为弹性体； 不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）； 冲击过程为线弹性变形过程。(保守计算) T＋V＝Vd 动能变化T＋势能变化V ＝被冲击件的应变能Vd
(1)若物体从高h处落下， T＝原势能＝Ph
2h Kd 1 1 st
(2)若突加载荷，h＝0
Kd 2
若被冲击物为梁，用fst代替st
P A C h B A
2h v2 Kd 1 1 1 1 st g st
f C fd B x
L 缓冲：增加静变形，柔软