保险精算方法_三_信度理论
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修正生命表的信度理论方法(精)
寿险精算实务精算通讯第四卷第三期修正生命表的信度理论方法陆健瑜杨步青梁子君辅成咨询有限公司总裁上海财经大学保险精算中心【摘要】人寿保险业务在定价和留存准备金时必须根据寿险经验生命表来得到死亡率假设，采用合理的生命表是保险公司稳健经营的重要保证。
精算师在对产品进行定价、计算内含价值和公司的评估价值时，都需要采用符合本公司实际死亡经验的生命表。
然而，编制生命表需要收集大量的数据，有时保险公司根本无法利用自己的力量编制生命表，尤其是一些中小型的保险公司。
而死亡率假设对于不同的险种、不同地域的被保险人又是不一样的，所以即使是大公司，也无法找到适合于每个险种或每个地理区域的生命表。
实务工作中需要有一种方法能够帮助保险公司快速地得到符合要求的生命表。
信度理论是非寿险精算定价中常用的方法，本文将这一方法拓展到利用实际数据对死亡率假设的修正过程中，希望能为实务工作者提供一个简便实用的修正生命表的方法。
一、问题的提出生命表是一张反映人的死亡概率随年龄变化趋势的表格。
它是人寿保险公司定价和评估责任准备金时死亡率假设的确定基础。
人寿保险产品按照承保对象不同，可以分为团体保险和个人保险；按照保险事故的不同，又可分为死亡保险、生存保险和生死合险。
不同的险种下保单持有人的死亡率并不相同。
一般而言，团体保险由于核保标准较为宽松，一个团体内所有的成员都可以投保，而个险的核保标准虽然各公司有所不同，但都要比团险严格，因此团险的平均死亡率大于个人保险的死亡率。
另外，投保人购买保险时还存在着选择的行为，即身体状况差的人倾向于购买保障型险种，身体健康的人倾向于购买返还型险种，所以寿险死亡率要大于年金的死亡率。
国家为了了解人口状况，也会定期进行人口普查，并在此基础上编制国民生命表。
国民生命表反映的是某个国家或某个地区所有人的平均死亡率，而保险公司的寿险经验生命表只采用了被保险人的死亡率数据，由于保险公司在接受投保时的核保和选择作用，被保险人的死亡率会低于社会平均水平，所以以上四类生命表按照死亡率从高到低的排列为：国民生命表>团险生命表>寿险生命表>年金生命表此外，各家公司由于核保标准的差异，即使是同一种产品,其对应的被保险人死亡率也不尽相同。
信度理论
m 值 或者最优齐次估计X 是风险保费的最优线性估计．
3.如果 a , 那么 z 1, 在直觉上这也是很清楚的．在
j 这种情况下，关于其它合同的结果不提供任何关于第 个
风险的信息．
4. 如果 s , 那么z 0. 如果在一个固定的风险参数
2
下理赔记录变化的幅度非常大，那么个体记录对估计实际 风险保费就没有太大的参考价值了．
j 不过这意味着对第
组的非齐次信度保费不依赖来自于
2 i j s 其它第 组的数据． 在齐次信度保费中假设了比值 / a 是已知
m 的；而在非齐次信度保费还额外假设了 已知．
定理 7 . 2 . 4 （平衡 Buhlmann 模型；非齐次估计 量）设 X jt 分布与上一个定理中相同，现用非齐次 线性组合 g
注7.2.3（最优信度因子的渐近性）
1 ．如果T 那么z 1. 理赔记录越多，我们对个体风 险保费的把握就越大． 这个渐近情形并非与实际很吻合， 因 为这里假设了风险属性不随着时间而变化．
2 ．如果 a 0, 那么 z 0, 如果预期的个体理赔额同分 布，那么保单组合里面就没有非齐次现象．于是总体均
非寿险保费的估算可以根据两类数据： 一类是通过观察得到的本险种一组保单的近期损失数据， 这类数据确定的保险费成为经验保险费，记为 PM e ； 另一类是同险种保单早期损失数据或类似险种保单的同期 损失数据，它是根据人们的主观选择得到的数据，所以称 为先验信息数据。 这类数据确定的保费叫作先验信息保费， 记为 PM 0 。
它有一个最优值
例7 . 2 . 5 （例7.2.1中的信度估计）
E[MSB]=aT+s2
E[MSW]=s2
例7.2.1最终的信度因子
保险精算方法_三_信度理论
以汽车责任险为例 。即使是同一牌子 ,同样新旧 ,由同一性别 、年龄相近的司机来驾驶 ,其 风险也会有差别 。这是因为还有其它的难以观测的因素在起作用 , 比如司机的脾气或驾驶技 术的不同 。
在瑞士 ,将整个汽车责任险的保单组合分成许多子组合 。 0 私人轿车
01 四轮私人轿车 02 三轮私人轿车 03/ 04 用于商业运输的私人轿车 05 出租轿车 1 运货车 10 工作运货车 11 商业运货车 12 农用运货车 13 工业运货车 14 小型电动运货车 2 摩托车 20 小型摩托车
一 、保险费分摊中的问题
保险费率的厘订是保险实践中的核心问题之一 。通常采取由上而下的方法 , 即首先要做 到整个保单组合的“收支平衡”(这里收支平衡指 :保单组合的净风险保费 = 保单组合总索赔量 的期望值) ,然后再将保单组合的净风险保费分摊到各个保单 。
比如某个汽车险的保单组合中共有 200 辆车的合同 , 根据对历史数据的分析知道每年的 索赔总额约为 60 万元 。如何将这 60 万元分摊到每部车呢 ? 最简单的做法是平均分配 。每部 车每年的净保费为 3000 元 。但在绝大多数情况下这样的做法是不合理的 ,对保险业的经营也 是不利的 。要弄清其中的道理 ,我们先来看保单组合的所谓非同质性 (或称非齐性) 。
cjit X it ]2
(8)
i =1 t =1
由
Q cj
=0得
kn
∑∑ cj = E[μ(Θj) ] -
cjit E ( Xit)
(9)
i =1 t =1
代入 (8) 式可得
Q = E [μ(Θj) - E μ(Θj) 再对 Cjrω求导并令导数为 0 ,我们得到
kn
∑∑cjit ( X it -
在瑞士 ,将整个汽车责任险的保单组合分成许多子组合 。 0 私人轿车
01 四轮私人轿车 02 三轮私人轿车 03/ 04 用于商业运输的私人轿车 05 出租轿车 1 运货车 10 工作运货车 11 商业运货车 12 农用运货车 13 工业运货车 14 小型电动运货车 2 摩托车 20 小型摩托车
一 、保险费分摊中的问题
保险费率的厘订是保险实践中的核心问题之一 。通常采取由上而下的方法 , 即首先要做 到整个保单组合的“收支平衡”(这里收支平衡指 :保单组合的净风险保费 = 保单组合总索赔量 的期望值) ,然后再将保单组合的净风险保费分摊到各个保单 。
比如某个汽车险的保单组合中共有 200 辆车的合同 , 根据对历史数据的分析知道每年的 索赔总额约为 60 万元 。如何将这 60 万元分摊到每部车呢 ? 最简单的做法是平均分配 。每部 车每年的净保费为 3000 元 。但在绝大多数情况下这样的做法是不合理的 ,对保险业的经营也 是不利的 。要弄清其中的道理 ,我们先来看保单组合的所谓非同质性 (或称非齐性) 。
cjit X it ]2
(8)
i =1 t =1
由
Q cj
=0得
kn
∑∑ cj = E[μ(Θj) ] -
cjit E ( Xit)
(9)
i =1 t =1
代入 (8) 式可得
Q = E [μ(Θj) - E μ(Θj) 再对 Cjrω求导并令导数为 0 ,我们得到
kn
∑∑cjit ( X it -
06-1 最精确信度理论
=
v na μ+ X v + na v + na
na ⎞ na ⎛ μ X = ⎜1 − + ⎟ v + na ⎝ v + na ⎠
= (1 − Z ) μ + ZX
21
由此可见，Buhlmann信度保费为 (1 − Z ) μ + ZX ，其中
Z= na n n = = v + na n + v / a n + k
= E{[ μ (Θ)]2 } − {E[ μ (Θ)]}2
= var[ μ (Θ)] =a
下面应用正则方程组求解信度保费。
18
E( X j ) = μ,
var( X j ) = v + a,
cov( X i , X j ) = a
E ( X n+1 ) = α 0 + Σ α i E ( X i )
μ (θ ) = E ( X j | Θ = θ ) = θ
v (θ ) = var( X j | Θ = θ ) = θ
因此，
24
μ = E[ μ (Θ)] = E (Θ) = α / β
v = E[v (Θ )] = E (Θ ) = α / β
过程方差的均值
a = Var[ μ (Θ)] = V ar(Θ) = α / β 2 假设均值的方差
E ( X n +1 | X = x) = ∫ xn +1 f X n+1 |x ( xn +1 | x) dxn +1
定理：贝叶斯保费可以表示为假设均值的条件期望：
E ( X n +1 | X = x) = ∫ μ n +1 (θ )π Θ|x (θ | x) dθ
保险精算模型2010(5)
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古典信度模型
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第5章 经验费率
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经验费率
古典信度模型 Bühlmann信度模型 信度模型 Bühlmann-Straub信度模型 信度模型 信度模型理论推导 信度模型的参数估计
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3
古典信度模型
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古典信度模型
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信度模型理论推导
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信度模型理论推导
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信度模型参数估计
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信度模型参数估计
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Bühlmann-Straub信度模型
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Bühlmann-Straub信度模型
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Bühlmann-Straub信度模型
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信度理论
4
突出重点，各个击破
2.贝叶斯保费 2.贝叶斯保费 1）问题：对一单位风险保单，已知过去 前 n 年的赔付额分 别 为 { X j , j = 1, 2, 如何来估计该保单下一年的赔付额 ．．．．．．．．．．．．．．．X n +1 。 2）定 义 ：在单位风险 前提 下，为在已知 前 n 年赔付数据 { X j , j = 1, 2, 年赔付额 X n +1 的条件期望，即 贝叶斯 保费为： E ( X n +1 X = x ) 3） 贝叶斯 保费 一般方方法： 一般方方法： E ( X n +1 X = x ) = ∫ xn +1 f X n+1 X ( X n +1 x ) dxn +1
(1 − r )µ ≤ X ≤ (1 + r )µ
∃, P (1 − r )µ ≤ X ≤ (1 + r )µ ≥ p X −µ y p = inf y : P ≤ y ≥ σ n y
2 yp rµ n p ⇔ ≥ y p , 记λ 0 = r σ
突出重点，各个击破
信度理论
第一节 信度理论初步 经验费率 ：用于消除风险的非同质性而发展起来的一种定量化方法，允许保 险人根据过去的经验数据来调整未来保费。投保人缴纳的保费称为 毛保费 ，单位 风险保单所缴纳的毛保费称为 费率 。 1.提出问题 1.提出问题 过去 n 年赔付数据 X 1 , X 2 , , X n 相互独立同分布，且期望值为 µ ，平均赔付额为
−∞ ∞
特别地：当 θ = 0 时， E ( X n +1 X = x ) = ∫ µ n +1 (θ ) π Θ X (θ x ) dθ
突出重点，各个击破
2.贝叶斯保费 2.贝叶斯保费 1）问题：对一单位风险保单，已知过去 前 n 年的赔付额分 别 为 { X j , j = 1, 2, 如何来估计该保单下一年的赔付额 ．．．．．．．．．．．．．．．X n +1 。 2）定 义 ：在单位风险 前提 下，为在已知 前 n 年赔付数据 { X j , j = 1, 2, 年赔付额 X n +1 的条件期望，即 贝叶斯 保费为： E ( X n +1 X = x ) 3） 贝叶斯 保费 一般方方法： 一般方方法： E ( X n +1 X = x ) = ∫ xn +1 f X n+1 X ( X n +1 x ) dxn +1
(1 − r )µ ≤ X ≤ (1 + r )µ
∃, P (1 − r )µ ≤ X ≤ (1 + r )µ ≥ p X −µ y p = inf y : P ≤ y ≥ σ n y
2 yp rµ n p ⇔ ≥ y p , 记λ 0 = r σ
突出重点，各个击破
信度理论
第一节 信度理论初步 经验费率 ：用于消除风险的非同质性而发展起来的一种定量化方法，允许保 险人根据过去的经验数据来调整未来保费。投保人缴纳的保费称为 毛保费 ，单位 风险保单所缴纳的毛保费称为 费率 。 1.提出问题 1.提出问题 过去 n 年赔付数据 X 1 , X 2 , , X n 相互独立同分布，且期望值为 µ ，平均赔付额为
−∞ ∞
特别地：当 θ = 0 时， E ( X n +1 X = x ) = ∫ µ n +1 (θ ) π Θ X (θ x ) dθ
精算模型第八章
保险公司在对某个投保人进行经验费率厘定时，必须考虑区 别该投保人的风险水平与风险子集平均水平的差别中有多少是由 于随机波动所引起的，有多少是由于投保人真的优于或劣于风险子 集平均水平而引起的。换句话说，投保人的自身理赔经验的可信度 是多少？
信度理论
信度理论就是研究如何合理利用先验信息和个体理赔经验来进行 估计，预测及制定后验保费。后验保费估计可以下面公式来表示 后验估计值＝z×经验值＋（1－z）×先验值 其中 z（0≤z≤1）称为信度因子，后验保费估计值称为信度保费。 只有正确地选择信度因子 z，才能保证调整后的保险费接近于真实 的风险水平。 当 z 1 ，称理赔经验具有完全信度。 当 z 0 时，称为理赔经验没有信度。 当 0 z 1 时，称为理赔经验具有部分信度。
（1）
当 r 接近 0， p 接近 1 时（通常选取 r=0.05， p=0.9） ，则对 X 赋予 完全可信。 由（1）有
X r n P(| | ) p n
定义
X yp i n f P { (| |y ) p y n
当 X 是连续变量时， y p 满足
(i ) , 其中 N i YN i
2 为参数为 的泊松分布，赔付金额分布 Y 的均值为 Y ，方差为 Y 。
求估计每份保单期望赔付次数的完全可信条件和估计每份保单期 望赔付金额的完全可信条件。 已知前 3 个非零的赔付来自同一次赔付，最后 1 次赔付数据来自 2 次赔付，1 次 129，1 次 627。问该完全可信条件是否满足例 2 的数据。
(C3) 设 N i 表示第 i 个时期发生的理赔数， N i 表示过去 n 个时期内
i 1
n
发生的总理赔数。由（C1）我们可以得到总理赔额期望经验估计值完全 可信的另一个等价条件：
第十二章 操作风险管理
操作风险的度量
• 操作风险的高级计量方法
▫ 内部衡量法 内部衡量法假定预期损失和意外损失之间存在 固定和稳定的关系，银行可以按照前面提到的分类 方法，根据自身的损失数据对56个组合中每个组合 进行预期损失值的估算，银行操作风险的资本要求 为所有预期损失值的和。
操作风险的度量
内部衡量法的计算公式 用 EI (i, j )表示 i 类业务在 j 类风险事件的风险暴露指 LEG(i, j )表示其损失 PE (i, j ) 表示其损失概率， 标， 值，那么其预期损失 EL(i, j ) 为：
操作风险的度量
• 巴塞尔资本协议II的度量方法
▫ 基本指标法 基本指标法是用银行的总收入作为其计量操作 风险的基础指标，用前三年总收入的平均值乘上一个 固定比例来表示银行的整体操作风险水平。
KBIA =GI
其中，K BIA 表示是用基本指标法所需要的资本要求； 15% ，由巴塞尔委员会设定； GI 表示银行前三年总收入的平均值。
内在因素：包括组织管理、人力资源、风险操作流程、信息 系统等。 外部因素：社会环境变化、产业结构、市场环境和科技发展。
操作风险的度量
自我评估的具体方法
调查问卷法，即将事先设计好的问卷分发到各业务部门， 由相关人员对业务和产品控制点进行回答，帮助其确认风 险水平和相应的控制措施。 叙述法，即从业务部门界目标和风险出发，由各部门管理 人员对采取的控制措施进行答辩，检查对预期控制的执行 效果。
专家预测法，即采取匿名方式由专家对风险控制点进行考 核、分析，提出意见；经修改、论证、汇集完成控制点的 优化。
操作风险的度量
▫ 关键风险指标法 关键风险指标是指代表某一风险领域变化情况并可 定期监控的统计指标 。而关键风险指标分析法就是通 过对关键风险指标进行分析来反映银行的风险水平，监 督风险变化，对风险状况进行早期的预警 。
§5Chap5 信度保费
2 2 2 2 X ( Y Y ) n0 Y n 2 n0 n0 ( ) (1 2 ) 2 2 X Y Y
2 2 2 X ( EY ) 2 VarN ENVarY EY 2 (Y Y )
X ENEY EY Y
n
1.645 5 32.9 0.05 5
xi 108241 5 541205 . .
解：
2 Ni n0 n0 108241 .
例5 .3 总理赔额Xi ~复合泊松分布,同分布,独立.求完 全可信条件的最小样本量，最小总索赔次数,最小总索 赔额.
解: ① 样本量:
P(
x
n
) 1
n
n U 1 2
最小数据量的完全可信条件
2 U1 2 2 2 2 n( ) 2( ) 2 n0
2
U 1
最小观察值总和的完全可信条件
n
2 2 U 1 2 xi n0 ( )
把（3）代入（1），得到 把（4）代入（3），得到
（3）
（4）
X 因此， n1 的信度估计为
n X j (1 ) 0 j X j 1 n j 1 1 n j 1
n
(1 z ) zX
f ( x1 , , x n , ) d ( ) f ( | x1 , x n )d f ( x1 , x n )
E( ( ) | x1 , x n )
计算过程
ˆ X n 1 E X n1 | x1 ,..., xn E ( EX n 1 | ) | x1 ,..., xn E ( ) | x1 ,..., x n ( ) f ( | x1 ,..., xn )d ( )
2 2 2 X ( EY ) 2 VarN ENVarY EY 2 (Y Y )
X ENEY EY Y
n
1.645 5 32.9 0.05 5
xi 108241 5 541205 . .
解：
2 Ni n0 n0 108241 .
例5 .3 总理赔额Xi ~复合泊松分布,同分布,独立.求完 全可信条件的最小样本量，最小总索赔次数,最小总索 赔额.
解: ① 样本量:
P(
x
n
) 1
n
n U 1 2
最小数据量的完全可信条件
2 U1 2 2 2 2 n( ) 2( ) 2 n0
2
U 1
最小观察值总和的完全可信条件
n
2 2 U 1 2 xi n0 ( )
把（3）代入（1），得到 把（4）代入（3），得到
（3）
（4）
X 因此， n1 的信度估计为
n X j (1 ) 0 j X j 1 n j 1 1 n j 1
n
(1 z ) zX
f ( x1 , , x n , ) d ( ) f ( | x1 , x n )d f ( x1 , x n )
E( ( ) | x1 , x n )
计算过程
ˆ X n 1 E X n1 | x1 ,..., xn E ( EX n 1 | ) | x1 ,..., xn E ( ) | x1 ,..., x n ( ) f ( | x1 ,..., xn )d ( )
保险精算模型总结
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当样本容量n不足够大，不满足完全可信性条 件时，就无法利用完全可信性理论，将下一期保
费厘定为历史经验数据的平均 x。
N
fS s P N n f *n s n0
N e n f *n s n0 n!
19
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21
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例题3-3，3-4，作业
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8
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理论保费
理论保费=纯保费+附加保费（营业费与利润因素）
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保险精算的数理统计基础：
矩母函数：设X是随机变量，函数
M t E etX t R
称为X的矩母函数。 矩母函数的性质：
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我们继续研究的复合风险模型
N
S Xi i 1
考虑两种特殊情况： （1）假设Xi 服从指数分布 （2）N服从Poisson分布
13
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保险精算模型总结
保险精算的基本原理及其应用
保险精算的基本原理及其应用摘要保险精算是指运用数学、保险学、统计学、金融学以及人口学等学科的知识与原理，去解决商业保险与各种社会保障业务中需要精确计算的项目，如死亡率的测定、生命表的构造、费率的厘定、准备金的计提以及业务盈余分配等，以此保证保险经营的稳定性和安全性。
保险精算通常可分为寿险精算和非寿险精算两类。
关键字：大数定律、产品定价、精算应用一、保险精算的基本原理精算起源于保险业，是保险公司经营不可或缺的核心技术之一。
保险公司只有运用精算技术进行保险产品定价、准备金评估、风险管理等，才能在科学基础上实现保险业务的稳健经营，有效防范风险。
保险精算的基本原理与保险的基本原理相类似，都运用了概率论的知识以及大数定律。
不过保险精算作为保险经营的基础性定价环节所必须的技术壁垒，在这些知识的运用上更加侧重于计算以及统计，从数理理论的角度上进行体系的架构。
保险精算中运用的大数定律有切比雪夫大数定律和贝努利大数定律。
切比雪夫大数定律是指：设X1，X2，…，Xn是由相互独立的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限的方差，并且它们有公共上界，即：Var(X1)≤C，Var(X2)≤C，…，Var(Xn)≤C则对于任意的Ξ>O，都有：切比雪夫大数定律阐述的是大量随机因素的平均效果与其数学期望有较大偏差的可能性越来越小的规律。
从风险的角度看，它表明，如果以Xi表示第i 个风险单位的未来损失，则当n很大时，n个风险单位未来损失和以概率1接近它们的期望值。
这就是保险人把未来损失的期望值作为纯保险费的主要根据。
在保险学中的解释即为，当保险人承保了n个相互独立的保险标的后，尽管每个风险单位的实际损失Xi不会等于其期望值E(Xi)，但当保险标的数n足够大时，保险标的的平均损失与其损失的平均期望值几乎相等。
换言之，如果保险人按照每个风险单位的未来损失期望值作为纯保险费来收取，则当其聚集风险单位足够多时，这些纯保险费将足够支付保险人未来作出的损失赔偿。
保险精算原理与实务
保险精算的技术方法
1
资产负债管理
2
通过对保险公司资产和负债的管理，提
高资产的收益率和风险控制能力，是保
险精算在金融管理中的一项重要任务。
3
内部审计
4
通过内部审计和评估，评估公司的内部 风险管理和控制，发现潜在的风险隐患。
风险评估
通过对历史和现有数据的分析，预测未 来风险发生的概率和影响。这是保险精 算最核心的工作之一。
总结与要点
• 保险精算是保险业不可或缺的技术。 • 保险精算的目的是对保险风险进行评估、计量、管理和控制。 • 保险精算的基本原理包括随机性、规律性和集体性。 • 保险精算的应用包括人寿保险、财产保险、医疗保险和再保险等领域。 • 保险精算的技术方法包括风险评估、资产负债管理、产品设计和内部审计等。 • 未来，保险精算将越来越智能化、环保化和全球化。
人寿保险
人寿保险包括寿险、养老保险等产品，保险精 算在这个领域的重要性不言而喻。
医疗保险
医疗保险属于长期险种，涉及到保费储备和理 赔储备的管理，对保险精算要求较高。
ห้องสมุดไป่ตู้
财产保险
财产保险主要包括车险、火险、盗抢险等产品， 风险相对较高。
再保险
再保险是保险公司拥有的风险重新保险给其他 保险公司的过程，需要保险精算对风险进行评 估。
保险精算原理与实务
保险精算是一门既重要又复杂的技术，本次演讲将探讨保险精算的定义、目 的、原理、应用领域等方面，让你了解保险精算的基础知识。
什么是保险精算？
定义
保险精算是利用数学方法，对保险风险进行评估、 计量、管理和控制的学科。
目的
主要目的是基于概率统计理论对可能产生的损失进 行评估，从而保障保险公司的可持续发展。
第十二章保险精算
第十二章 保险精算12.1学习要求掌握保险精算的基本任务和基本原理，懂得非寿险精算中的保险费率的厘定方法和财务稳定性的分析方法。
了解寿险精算中的趸缴纯保费、均衡纯保费、毛保费的计算方法和责任准备金的计算方法。
12.2内容简述12.2.1保险精算概述1、保险精算的产生与发展z保险精算的产生是以哈雷慧星的发现者，英国天文学家哈雷（Halley）在1693年发表的世界上第一张生命表为标志，至今已有三百多年的历史 。
z进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展，精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高，精算在保险业务中具有核心作用。
z保险精算是在上世纪80年未90年代初才开始了入我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方式，直接吸收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。
目前，我国保险精算学学术水平已接近世界先进水平。
2、保险精算的基本任务z保险精算的首要任务是保险费率的确定，其中纯费率的确定是至关重要的z保险产品的定价z责任准备金的计提z再保险的计划安排z偿付能力管理z保险基金的运用z保险公司财务分析及破产预警3、保险精算的基本原理z收支相等原则：就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。
其具体理解为：根据保险期间末期的保费收入的本利和（终值）及支付保险金的本利和（终值）保持平衡来计算；根据保险合同成立时的保费收入的现值和支付保险金的现值相等来计算；根据在某一时点的保费收入和支付保险金的“本利和”或“现值”相等来计算。
z大数法则：用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。
12.2.2非寿险精算1、保险费与保险费率的概念z保险费率（Insurance Rate）简称费率，是每一保险额单位应缴纳的保险费的比率，是保险人计算保险费的标准。
z 保险费（Premium）简称保费，是投保人为转移危险，取得保险人在约定责任范围内所承担的赔偿（或给付）责任而交付的费用。
保险精算PPT课件
损失概率，直接决定其费率。这种方法的采用，往往是因为保险标的数量 较少，无法采用统计资料，因而主要凭借精算人员的知识与经验。
观察法所制定的费率，最能反映个别风险的特性，具有灵活、精确 的特点，这是因为：①在风险单位数量很少的情况下，不能硬性将风险性 质差异很大的各风险单位集中在一块，统一制定费率，否则，将违反利用 大数法则估计损失概率的前提条件；②观察法制定费率，虽是针对个别标 的而言，但精算人员往往根据过去的费率和经验，以及对此标的有影响的 各种风险因素进行仔细的分析，然后才确定费率；③观察法通常也要利用 一些资料，只不过较为粗略而已。
个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周
期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，
当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估
计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估
计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大
量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。
2
第2页/共43页
第一节 保险精算概述
一、保险精算的产生与发展
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的。当时，
寿险的保费采用赋课制，未将年龄大小、死亡率高低等与保 费挂钩，有关计算单一、粗糙，考虑的因素少，因而使寿险 经营缺乏严密的科学基础。
17世纪后半叶，世界上有两位保险精算创始人研究
人寿保险计算原理取得突破性进展，一位是荷兰的政治家维 德(Jeande Witt)，他倡导了一种终身年金现值的计算方法，
5
第5页/共43页
第一节 保险精算概述
二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生 的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”
观察法所制定的费率，最能反映个别风险的特性，具有灵活、精确 的特点，这是因为：①在风险单位数量很少的情况下，不能硬性将风险性 质差异很大的各风险单位集中在一块，统一制定费率，否则，将违反利用 大数法则估计损失概率的前提条件；②观察法制定费率，虽是针对个别标 的而言，但精算人员往往根据过去的费率和经验，以及对此标的有影响的 各种风险因素进行仔细的分析，然后才确定费率；③观察法通常也要利用 一些资料，只不过较为粗略而已。
个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周
期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，
当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估
计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估
计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大
量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。
2
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第一节 保险精算概述
一、保险精算的产生与发展
寿险精算是从寿险经营的窘境中应运而生的。当时，
寿险的保费采用赋课制，未将年龄大小、死亡率高低等与保 费挂钩，有关计算单一、粗糙，考虑的因素少，因而使寿险 经营缺乏严密的科学基础。
17世纪后半叶，世界上有两位保险精算创始人研究
人寿保险计算原理取得突破性进展，一位是荷兰的政治家维 德(Jeande Witt)，他倡导了一种终身年金现值的计算方法，
5
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第一节 保险精算概述
二、保险精算的基本任务
保险精算最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生 的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”
信度理论
[1]
ห้องสมุดไป่ตู้
{
}
对于完全信度，在水平 (r , p ), r > 0,0 < p < 1 下我们有以下 三种情况 ： 1）赔付额的变异系数 σ µ ：
σ r n n ≤ = µ yp λ0
2）样本方差 σ 2 n ：
Var X = σ 2 n ≤ µ 2 λ0
上式给出了样本方差的上界。
( )
[1]
不同水平 p 对应的 y 值：
因为 E (Θ ) =
α ，则 Θ 的条件期望为： β
E [Θ N = k ] =
α +k α k = (1 − Z ) + Z β +n β n
其中 信度因子 ： Z =
n k α （ 为观测到索赔频率， 为先验的索赔频率） 。 n+β n β
3
突出重点，各个击破
例 某险种的结构参数为 Θ ，每张保单的索赔次数满足定理假定。保险人根据每 张保单的索赔频率 0.148 计算保费，并有 var(Θ ) = 0.0185 。已知接下来的第 1 年 共有 2427 张单位风险保单，总计发生 320 笔赔案。
j =1
ˆ j Cov ( X i , X j ), i = 1, 2, Cov ( X j , X n +1 ) = ∑ α
j =1
n
,n
4.定理 4.定理 2：某险种各年风险度量分别记为 ( m j , j = 1, 2,
5
) ，各年度单位风险平均赔付额为
突出重点，各个击破
X j ( j ≥ 1) ，有，
v (Θ) mj
1 , v j =1 w + m j
n
X=
ห้องสมุดไป่ตู้
{
}
对于完全信度，在水平 (r , p ), r > 0,0 < p < 1 下我们有以下 三种情况 ： 1）赔付额的变异系数 σ µ ：
σ r n n ≤ = µ yp λ0
2）样本方差 σ 2 n ：
Var X = σ 2 n ≤ µ 2 λ0
上式给出了样本方差的上界。
( )
[1]
不同水平 p 对应的 y 值：
因为 E (Θ ) =
α ，则 Θ 的条件期望为： β
E [Θ N = k ] =
α +k α k = (1 − Z ) + Z β +n β n
其中 信度因子 ： Z =
n k α （ 为观测到索赔频率， 为先验的索赔频率） 。 n+β n β
3
突出重点，各个击破
例 某险种的结构参数为 Θ ，每张保单的索赔次数满足定理假定。保险人根据每 张保单的索赔频率 0.148 计算保费，并有 var(Θ ) = 0.0185 。已知接下来的第 1 年 共有 2427 张单位风险保单，总计发生 320 笔赔案。
j =1
ˆ j Cov ( X i , X j ), i = 1, 2, Cov ( X j , X n +1 ) = ∑ α
j =1
n
,n
4.定理 4.定理 2：某险种各年风险度量分别记为 ( m j , j = 1, 2,
5
) ，各年度单位风险平均赔付额为
突出重点，各个击破
X j ( j ≥ 1) ，有，
v (Θ) mj
1 , v j =1 w + m j
n
X=
第八章 社会保险基金管理中的精算方法
3,费率制定过程中对收支平衡原则的运用 ,
被保险人缴纳保费的比例一致, 被保险人缴纳保费的比例一致,享受的保险金给付水平一致 缴纳的保险费与其自身的风险状况不一致
二,各类社会保险基金的费率计算
(一)医疗保险基金的费率计算
1,基金来源:职工和用人单位缴纳医疗保险费 ,基金来源: 国家对基金减免税收和对各类医疗机构直接或间接投入 2,基金组成: ,基金组成: 医药补偿费( ) 管理费( ),风险储备金 风险储备金( 医药补偿费(C) ,管理费(p × r1),风险储备金( p × r2) 3,计算公式: ,计算公式: 医药补偿费( )= 基线期医疗费支出× 医药补偿费(C)= 基线期医疗费支出× (1+医疗费年增加比例)r +医疗费年增加比例) ×保险因子×补偿比例 保险因子× 医疗保险费
四,我国社会保险基金的精算监督
(一)目前我国社会保险基金管理的任务 1,做好社会保险基金筹资水平的精算,努力实现收支平衡的目标 ,做好社会保险基金筹资水平的精算, 2,做实个人账户,逐步实现社会保险基金的筹资模式由现收现付制 ,做实个人账户, 向基金积累制的过渡 3,对社会保险基金财务状况和偿付能力进行精算监督逐渐成为监管 , 工作的重点 (二)建立我国社会保险基金的精算监督 1,建立和完善精算报告制度 , 2,培养社会保险的精算人才 , 3,加强有关精算监督方面的法律和法规建设 ,
(四)生育保险基金的费率计算
1,基金来源:用人单位缴纳生育保险费 ,基金来源: 2,基金给付形式:生育医疗费用,生育津贴 ,基金给付形式:生育医疗费用, 3,计算公式: ,计算公式: 育龄期女职工人数× 生育率× 年度生育医疗费用 = 育龄期女职工人数× 生育率×平均生育费用 年度生育津贴支出= 育龄期女职工人数× 年度生育津贴支出= 育龄期女职工人数× 生育率 津贴平均支付月数× × 津贴平均支付月数×月均生育津贴 年度生育医疗费用+ 年度生育医疗费用+年度生育津贴支出 生育保险基金缴费费率= 生育保险基金缴费费率= 参保人数× 参保人数×职工平均工资
05 古典信度理论
2
⎛σX ⎞ ⋅⎜ ⎟ μ ⎝ X⎠
2
18
索赔强度的完全可信度标准：解释
z
当索赔次数足够大时，个体风险的索赔强度观察值将在其期望值附近 有限波动（如：以95％的概率保证波动幅度不超过期望值的 5％）， 因此，可以完全用其观察值估计索赔强度。
⎛ U1−α / 2 ⎞ n≥⎜ ⎟ r ⎝ ⎠
2
⎛σX ⎞ ⋅⎜ ⎟ μ ⎝ X⎠
12
rμ ⎞ ⎛ −r μ N − μ r μ ⎞ ⎛ −r μ p = Pr(μ − r μ ≤ N ≤ μ + r μ ) = Pr ⎜ Pr U ≤ ≤ = ≤ ≤ ⎜ σ σ ⎟ σ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
证明：以二项分布为例
对于参数为(m, q)的二项分布, 其均值和方差可以表示为
μ f = mq = n
28用部分可信度的数据估计的索赔强度索赔次数为n即同理如果令表示用完全可信度的数据计算的索赔强度索赔次数为n29对于满足完全可信度标准的数据对索赔强度的估计值直接等于信度补项在确定时应要求它使得对索赔强度的两个估计值具有相同的方差即30讨论
经验费率（experience rating):
古典信度模型（classical credibility）
2
z
例：保单组合的损失经验表明，平均每份保单的索赔频率 为每年0.2次。假设有一份保单在过去的2年发生了1次保险 事故，即其经验索赔频率为0.5。 问题：如何估计该被保险人在未来的索赔频率？
z z z
z
0.2 0.5 其他
3
讨论：
z
如果没有被保险人的任何信息，则对其索赔频率的估计只能是 0.2。 已知保单的经验索赔频率为0.5，这就表明0.2可能低估了该保单 的索赔频率。 直接用0.5估计该保单在未来的索赔频率，也有不妥之处：
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i =1 t =1
EXit) ]2
(10)
kn
∑∑ E [μ(Θj) - Eμ(Θj) -
cjit ( X it - EX it) ] ( X rω2EX rω) = 0
i =1 t =1
(11)
62
数理统计与管理 15 卷 6 期 1996 年 11 月
r = 1 , …, k ;ω = 1 , …, n
的概率分布 。由此进一步可知 ,索赔量的各阶矩是风险参数的相同函数 。下面我们只用到索
赔量的一 、二阶矩 。记
μ(Θj) = E ( X j | Θj)
(1)
σ2 (Θj) = Var ( X j | Θj)
(2)
m = E[μ(Θ) ]
按定义 ,净风险保费就是索赔量的数学期望 。所以 μ(Θj) 就是保单 j 的净风险保费 ,称作个体
由假设 1 及假设 2 并利用条件期望 、条件协方差的公式 ,我们可以得到下列等式
cov[μ(Θj) , X jt ] = a , t = 1 , …, n
(12)
cov[ X rω , X rt ] = a + δωtS 2 , r = 1 , …, k ; t ,ω = 1 , …, n
21 无斗摩托车 22 有斗摩托车 其它还有公共汽车 ,具有特殊风险的车 ,有短期风险的车等 。这样划分的结果导致每个子组合 中保单个数的减少 ,索赔的统计数据也随之减少 。即使如此 ,每个子组合中仍有非同质性 。这 一点从具体的索赔记录中很容易发现 。那么是否就应该根据每份保单过去的索赔记录来确定 下一年度应收它多少保费呢 ? 在很多情况下 ,针对每份保单的索赔记录很少 ,不能满足统计推 断对数据量的要求 。
cjit X it ]2
(8)
i =1 t =1
由
Q cj
=0得
kn
∑∑ cj = E[μ(Θj) ] -
cjit E ( Xit)
(9)
i =1 t =1
代入 (8) 式可得
Q = E [μ(Θj) - E μ(Θj) 再对 Cjrω求导并令导数为 0 ,我们得到
kn
∑∑cjit ( X it -
(17)
代入 (16) 式 ,并用 (13) 式可得
∑ a - cjj ( a + S 2) -
cjja = 0
t ≠ω
cjj
=
a na +
S2
(18)
将 (15) 、(18) 两式代入 (9)
cj =
m-
na
na +
S2
m
=
m (1 -
Z)
其中 Z 由 (4) 式定义 。于是我们得到模型的最优解为
]
α =β2
代入 (4) 式得到
Z
=
na na + S2
=
n
n +β
所以保单 j 的信度保费为
ZXj + (1 -
Z)
m
=
n
n +
βX
j
α + n + β, j
= 1 , …, k 。
针对这个例子我们还要说明一点 。考虑例子中的一份合同 , 其索赔记录简记作 X1 , …,
X n 。B ayes 净保费定义为 E [ X n + 1 | X1 , …, X n ] 。在例所给的条件下 , 我们可以计算保单的
风险保费 。 m 称作集体风险保费 ,是保单组合的“平均”净风险保费 。这里平均一词是指数学
期望 。
设对每份合同进行了 n 年观测 ,则数据具有如下的形式
合同号 1 …j …k 风险参数 Θ1ΘjΘk
X 11 …X j1 …X k1
索赔记录 …
X 1 n …X jn …X kn
甲
保险精算方法 (三) 信度理论
由 X jt服从 Poisson 分布知μ(Θj) = E[ X jt| Θj ] = Θj ,σ2 (Θj) = Var [ X jt| Θj ] = Θj
又因为 Θj 服从参数为α,β的Γ分布 ,故
m
=
E [μ(Θj )
]=
EΘj
=
α β
,
S2
=
E[σ2 (Θj)
]=
EΘj
=
α β,
a
=
Var [μ(Θj )
n
∑cjrtcov ( X rt , X rω) = 0 , r = 1 , …, k ;ω= 1 , …, n
t =1
( a + S 2) cjrω + a t ∑≠ωcjrt = 0 , r = 1 , …, k ;ω = 1 , …, n
n
( a + S 2) cjrω + a ∑cj rt = acj rω t=1
解下面的优化问题 :
kn
∑∑ minE [μ(Θj) - cj -
cjit X it ]2
(7)
cj , cjit
i =1 t =1
我们现在来解优化问题 (7) ,求 cj 及 cjit , i = 1 , …, k , t = 1 , …, n ,使 (7) 式达到最小值. 记
kn
∑∑ Q = E [μ(Θj) - cj -
θ]θα-
1
e
-
βθ
j =1
n
θ∑ =
j
=1
x
j
+α-
1
e
-
θ(β+
n)
上式右端是 Γ分布密度的核 ,参数为
于是有
n
∑ α3 =
x j + α,β3 = β + n .
j =1
∫ E[ X n +1 | X1 , …, X n ] = 0∞θΓβ(α3 3 ) (β3θ) α3 - 1 e - β3θdθ
kn
μ^ (Θj) = cj + ∑∑cjit X it = (1 i = 1t = 1
n
Z) m + ∑cjj X jt = (1 t=1
Z) m + Z
1 n
t
n
∑X
=1
jt
=
ZXj
+
(1
-
Z) m
即 (3) 式成立 。
前面提到 a , m , S 2 为结构参数 , 一般情况下是未知的 , 也要由数据来估计 。例如取下面
假设 1 :在 Θj 已知的条件下 , Xjt , t = 1 , …, n 两两不相关 ,并且有相同的一 、二阶矩 。 假设 2 :Θ1 , …,Θk 独立同分布 , (Θj , Xj) , j = 1 , …k ,相互独立 。 假设 1 是说 ,对于同一份合同 ,不同年份的索赔量之间是两两不相关的 ,并且它们的一 、二
阶矩都相等 。假设 2 表明这 k 份合同对保险方而言是没有好坏差别的 (在尚无索赔记录的情
况下) ,并且各合同之间互相独立 。
我们的基本问题是利用历史观测数据 Xjt , j = 1 , …, k ; t = 1 , …n 来估计诸合同的索赔均 值 ,即估计 μ(Θj) 。
B ühl m ann 提出的办法是在观测量的线性函数范围内寻找均方误差最小的估计量 , 即求
61
其中 n 为观测年数 ,
a = Var[ E ( X | Θ) ]
(5)
a 刻划不同的保单之间索赔的方差
S 2 = E[ Var ( X | Θ) ]
(6)
刻划同一保单内部索赔量的方差 。
通常 a , S 2 , m 都是未知参数 , 称作结构参数 。用公式 (3) 算出的个体净风险保费称作信
度保费 。易见 ,信度保费具有良好的渐近性质 。若 a →∞,则 Z →1 ;若 S →∞, 则 Z →0 。即当
B ayes 净保费 。
由已知 ,Θ 的分布密度为
b (θ) = Γ(1α)β(βθ) α- 1 e - βθ,θ > 0
而
f Xj| Θ ( x j | θ)
=
P{ N j
=
x j | Θ = θ}
= θxj e - θ
xj !
故 Θ 的后验分布满足
b (θ|
x1 ,
…,
x n)
∝
[
n
Πθx
je
-
保险精算方法 (三) 信度理论
59
保险精算方法 (三) 信度理论
严颖 成世学
(中国人民大学)
程侃
(中国科学院应用数学所)
信度理论 (credibility t heory) 又称经验率理论 , 其理论及应用在非寿险领域中已有相当长 的历史 。本世纪初在美国就出现了经验信度公式 , 其后美国 、瑞士 、比利时及北欧的精算师们 在该领域中成功地做了大量工作 。信度理论要解决的问题是对于保单组合的保险费的合理分 摊问题 。
二 、什么是信度理论
在保单组合客观上存在非同质性的情况下 , 应该怎样将保费分摊到每份保单呢 ? 信度模
型就是解决这个问题的 ,它给出一份合同净保费的一个良好估计 。
信度模型是 B ayes 性质的 。非同质性通过引入风险参数来刻划 。
设一个保单组合中有 k 份合同 。合同 j 的索赔量记作 Xj . X1 , …, Xk 具有相同的分布类 型 ,其中的分布参数也是随机变量 ,称作风险参数或结构变量 。 Xj 的风险参数记作Θj (可以是 向量) 。合同 j 对应一个随机向量 ( Xj ,Θj) 。设 ( Xj ,Θj) 相互独立 , Θj 有相同的分布 , j = 1 , …, k 。当 Θ1 , …,Θk 的值相同时 , X1 , …, Xk 有相同的条件分布 。这就是说 Θj 刻划合同 j 的 不可观测因素的情况 ,如果两个保单在不可观测因素方面是一样的 ,则它们的索赔量具有相同
EXit) ]2
(10)
kn
∑∑ E [μ(Θj) - Eμ(Θj) -
cjit ( X it - EX it) ] ( X rω2EX rω) = 0
i =1 t =1
(11)
62
数理统计与管理 15 卷 6 期 1996 年 11 月
r = 1 , …, k ;ω = 1 , …, n
的概率分布 。由此进一步可知 ,索赔量的各阶矩是风险参数的相同函数 。下面我们只用到索
赔量的一 、二阶矩 。记
μ(Θj) = E ( X j | Θj)
(1)
σ2 (Θj) = Var ( X j | Θj)
(2)
m = E[μ(Θ) ]
按定义 ,净风险保费就是索赔量的数学期望 。所以 μ(Θj) 就是保单 j 的净风险保费 ,称作个体
由假设 1 及假设 2 并利用条件期望 、条件协方差的公式 ,我们可以得到下列等式
cov[μ(Θj) , X jt ] = a , t = 1 , …, n
(12)
cov[ X rω , X rt ] = a + δωtS 2 , r = 1 , …, k ; t ,ω = 1 , …, n
21 无斗摩托车 22 有斗摩托车 其它还有公共汽车 ,具有特殊风险的车 ,有短期风险的车等 。这样划分的结果导致每个子组合 中保单个数的减少 ,索赔的统计数据也随之减少 。即使如此 ,每个子组合中仍有非同质性 。这 一点从具体的索赔记录中很容易发现 。那么是否就应该根据每份保单过去的索赔记录来确定 下一年度应收它多少保费呢 ? 在很多情况下 ,针对每份保单的索赔记录很少 ,不能满足统计推 断对数据量的要求 。
cjit X it ]2
(8)
i =1 t =1
由
Q cj
=0得
kn
∑∑ cj = E[μ(Θj) ] -
cjit E ( Xit)
(9)
i =1 t =1
代入 (8) 式可得
Q = E [μ(Θj) - E μ(Θj) 再对 Cjrω求导并令导数为 0 ,我们得到
kn
∑∑cjit ( X it -
(17)
代入 (16) 式 ,并用 (13) 式可得
∑ a - cjj ( a + S 2) -
cjja = 0
t ≠ω
cjj
=
a na +
S2
(18)
将 (15) 、(18) 两式代入 (9)
cj =
m-
na
na +
S2
m
=
m (1 -
Z)
其中 Z 由 (4) 式定义 。于是我们得到模型的最优解为
]
α =β2
代入 (4) 式得到
Z
=
na na + S2
=
n
n +β
所以保单 j 的信度保费为
ZXj + (1 -
Z)
m
=
n
n +
βX
j
α + n + β, j
= 1 , …, k 。
针对这个例子我们还要说明一点 。考虑例子中的一份合同 , 其索赔记录简记作 X1 , …,
X n 。B ayes 净保费定义为 E [ X n + 1 | X1 , …, X n ] 。在例所给的条件下 , 我们可以计算保单的
风险保费 。 m 称作集体风险保费 ,是保单组合的“平均”净风险保费 。这里平均一词是指数学
期望 。
设对每份合同进行了 n 年观测 ,则数据具有如下的形式
合同号 1 …j …k 风险参数 Θ1ΘjΘk
X 11 …X j1 …X k1
索赔记录 …
X 1 n …X jn …X kn
甲
保险精算方法 (三) 信度理论
由 X jt服从 Poisson 分布知μ(Θj) = E[ X jt| Θj ] = Θj ,σ2 (Θj) = Var [ X jt| Θj ] = Θj
又因为 Θj 服从参数为α,β的Γ分布 ,故
m
=
E [μ(Θj )
]=
EΘj
=
α β
,
S2
=
E[σ2 (Θj)
]=
EΘj
=
α β,
a
=
Var [μ(Θj )
n
∑cjrtcov ( X rt , X rω) = 0 , r = 1 , …, k ;ω= 1 , …, n
t =1
( a + S 2) cjrω + a t ∑≠ωcjrt = 0 , r = 1 , …, k ;ω = 1 , …, n
n
( a + S 2) cjrω + a ∑cj rt = acj rω t=1
解下面的优化问题 :
kn
∑∑ minE [μ(Θj) - cj -
cjit X it ]2
(7)
cj , cjit
i =1 t =1
我们现在来解优化问题 (7) ,求 cj 及 cjit , i = 1 , …, k , t = 1 , …, n ,使 (7) 式达到最小值. 记
kn
∑∑ Q = E [μ(Θj) - cj -
θ]θα-
1
e
-
βθ
j =1
n
θ∑ =
j
=1
x
j
+α-
1
e
-
θ(β+
n)
上式右端是 Γ分布密度的核 ,参数为
于是有
n
∑ α3 =
x j + α,β3 = β + n .
j =1
∫ E[ X n +1 | X1 , …, X n ] = 0∞θΓβ(α3 3 ) (β3θ) α3 - 1 e - β3θdθ
kn
μ^ (Θj) = cj + ∑∑cjit X it = (1 i = 1t = 1
n
Z) m + ∑cjj X jt = (1 t=1
Z) m + Z
1 n
t
n
∑X
=1
jt
=
ZXj
+
(1
-
Z) m
即 (3) 式成立 。
前面提到 a , m , S 2 为结构参数 , 一般情况下是未知的 , 也要由数据来估计 。例如取下面
假设 1 :在 Θj 已知的条件下 , Xjt , t = 1 , …, n 两两不相关 ,并且有相同的一 、二阶矩 。 假设 2 :Θ1 , …,Θk 独立同分布 , (Θj , Xj) , j = 1 , …k ,相互独立 。 假设 1 是说 ,对于同一份合同 ,不同年份的索赔量之间是两两不相关的 ,并且它们的一 、二
阶矩都相等 。假设 2 表明这 k 份合同对保险方而言是没有好坏差别的 (在尚无索赔记录的情
况下) ,并且各合同之间互相独立 。
我们的基本问题是利用历史观测数据 Xjt , j = 1 , …, k ; t = 1 , …n 来估计诸合同的索赔均 值 ,即估计 μ(Θj) 。
B ühl m ann 提出的办法是在观测量的线性函数范围内寻找均方误差最小的估计量 , 即求
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其中 n 为观测年数 ,
a = Var[ E ( X | Θ) ]
(5)
a 刻划不同的保单之间索赔的方差
S 2 = E[ Var ( X | Θ) ]
(6)
刻划同一保单内部索赔量的方差 。
通常 a , S 2 , m 都是未知参数 , 称作结构参数 。用公式 (3) 算出的个体净风险保费称作信
度保费 。易见 ,信度保费具有良好的渐近性质 。若 a →∞,则 Z →1 ;若 S →∞, 则 Z →0 。即当
B ayes 净保费 。
由已知 ,Θ 的分布密度为
b (θ) = Γ(1α)β(βθ) α- 1 e - βθ,θ > 0
而
f Xj| Θ ( x j | θ)
=
P{ N j
=
x j | Θ = θ}
= θxj e - θ
xj !
故 Θ 的后验分布满足
b (θ|
x1 ,
…,
x n)
∝
[
n
Πθx
je
-
保险精算方法 (三) 信度理论
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保险精算方法 (三) 信度理论
严颖 成世学
(中国人民大学)
程侃
(中国科学院应用数学所)
信度理论 (credibility t heory) 又称经验率理论 , 其理论及应用在非寿险领域中已有相当长 的历史 。本世纪初在美国就出现了经验信度公式 , 其后美国 、瑞士 、比利时及北欧的精算师们 在该领域中成功地做了大量工作 。信度理论要解决的问题是对于保单组合的保险费的合理分 摊问题 。
二 、什么是信度理论
在保单组合客观上存在非同质性的情况下 , 应该怎样将保费分摊到每份保单呢 ? 信度模
型就是解决这个问题的 ,它给出一份合同净保费的一个良好估计 。
信度模型是 B ayes 性质的 。非同质性通过引入风险参数来刻划 。
设一个保单组合中有 k 份合同 。合同 j 的索赔量记作 Xj . X1 , …, Xk 具有相同的分布类 型 ,其中的分布参数也是随机变量 ,称作风险参数或结构变量 。 Xj 的风险参数记作Θj (可以是 向量) 。合同 j 对应一个随机向量 ( Xj ,Θj) 。设 ( Xj ,Θj) 相互独立 , Θj 有相同的分布 , j = 1 , …, k 。当 Θ1 , …,Θk 的值相同时 , X1 , …, Xk 有相同的条件分布 。这就是说 Θj 刻划合同 j 的 不可观测因素的情况 ,如果两个保单在不可观测因素方面是一样的 ,则它们的索赔量具有相同