初中数学平行四边形练习题和答案
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练习1
一、选择题(3′×10=30′)
1.下列性质中.平行四边形具有而非平行四边形不具有的是().
A.内角和为360°B.外角和为360°C.不确定性D.对角相等2.ABCD中.∠A=55°.则∠B、∠C的度数分别是().
A.135°.55°B.55°.135°C.125°.55°D.55°.125°
·
3.下列正确结论的个数是().
①平行四边形内角和为360°;②平行四边形对角线相等;
③平行四边形对角线互相平分;④平行四边形邻角互补.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.平行四边形中一边的长为10cm.那么它的两条对角线的长度可能是().A.4cm和6cm B.20cm和30cm C.6cm和8cm D.8cm和12cm 5.在ABCD中.AB+BC=11cm.∠B=30°.S ABCD=15cm2.则AB与BC的值可能是().A.5cm和6cm B.4cm和7cm C.3cm和8cm D.2cm和9cm
)
6.在下列定理中.没有逆定理的是().
A.有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;
B.直角三角形两个锐角互余;
C.全等三角形对应角相等;
D.角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
7.下列说法中正确的是().
A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题是真命题D.假命题的逆命题是假命题
{
8.一个三角形三个内角之比为1:2:1.其相对应三边之比为().
A.1:2:1 B.12:1 C.1:4:1 D.12:1:2
9.一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有()个.A.2 B.3 C.4 D.5
10.如图所示.在△ABC中.M是BC的中点.AN平分∠⊥AN.若
AB=•14.•AC=19.则MN的长为().
A.2 B.2.5 C.3 D.
二、填空题(3′×10=30′)
(
11.用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形.短边与长边的比为3:4.短边的比为________.
长边的比为________.
12.已知平行四边形的周长为20cm.一条对角线把它分成两个三角形.•周长都是18cm.则这
条对角线长是_________cm.
13.在ABCD中.AB的垂直平分线EF经过点D.在AB上的垂足为E.•若ABCD•的周长为38cm.
△ABD的周长比ABCD的周长少10cm.则ABCD的一组邻边长分别为______.14.在ABCD中.E是BC边上一点.且AB=BE.又AE的延长线交DC的延长线于点F.若∠F=65°.
则ABCD的各内角度数分别为_________.
15.平行四边形两邻边的长分别为20cm.16cm.两条长边的距离是8cm.•则两条短边的距离是_____cm.
16.如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______.•那么这两个命题是互为逆命题.
17.命题“两直线平行.同旁内角互补”的逆命题是_________.
18.在直角三角形中.已知两边的长分别是4和3.则第三边的长是________.
!
19.直角三角形两直角边的长分别为8和10.则斜边上的高为________.斜边被高分成两部分的长分别是__________.
20.△ABC的两边分别为.另一边c为奇数.且a+b+•c•是3•的倍数.•则c•应为________.此三角形为________三角形.
三、解答题(6′×10=60′)
21.如右图所示.在ABCD中.BF⊥AD于⊥CD于E.若∠A=60°.AF=3cm.CE=2cm.求ABCD 的周长.
(
22.如图所示.在ABCD中.E、F是对角线BD上的两点.且BE=DF.
求证:(1)AE=CF;(2)AE∥CF.
F
C
D
A
E
B
23.如图所示.ABCD的周长是323AB于⊥CB交CB•的延长线于点的长是3.求(1)∠C的大小;(2)DF的长.
.
24.如图所示.ABCD中.AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、•∠CDA的平分线.AQ与BN交于与DQ交于M.在不添加其它条件的情况下.试写出一个由上述条件推出的结论.并给出证明过程(要求:•推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件).
…
…
25.已知△ABC的三边分别为(n>4).
求证:∠C=90°.
(
26.如图所示.在△ABC中.AC==6.在△ABE中.DE⊥AB于=△ABE=60.•求∠C的度数.
| 27.已知三角形三条中位线的比为3:5:6.三角形的周长是112cm.•求三条中位线的长.
)
28.如图所示.已知AB===CM.求证:∠1=∠2.
?
29.如图所示.△ABC的顶点A在直线MN上.△ABC绕点A旋转.BE⊥MN于E.•CD•⊥MN于为BC中点.当MN经过△ABC的内部时.求证:(1)FE=FD;(2)当△ABC继续旋转.•使MN不经过△ABC内部时.其他条件不变.上述结论是否成立呢
^
,
30.如图所示.E是ABCD的边AB延长线上一点.DE交BC于F.求证:S △ABF =S△EFC.
)
答案:
一、1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C
二、11.3cm 4cm 12.8 13.9cm和10cm 14.50°.130°.50°.130°• •
15.10 16.结论题设17.同旁内角互补.两直线平行
18.5或719.403250
41,41,41
414141
20.13 直角
三、21.ABCD的周长为20cm 22.略
23.(1)∠C=45°(2)56
24.略
25.•略26.∠C=90°27.三条中位线的长为:12cm;20cm;24cm ^
28.提示:连结BD.取BD•的中点G.连结 29.(1)略 (2)结论仍成立.提示:过F 作FG ⊥MN 于G 30.略
练习2
一、填空题(每空2分,共28分) …
1.已知在ABCD 中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .
2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形,再说
明 (只需填写一种方法)
3.如图,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O . ! 那么图中共有 个等腰直角三角形.
4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入
下列相应的空格上.
(1)正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (第3题) (2)菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (3)矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成.
5.矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm .
6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其余两个内角的度数分别为 和 . 】
7.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为
cm .
8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .
'
(第8题) (第10题)
9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm 和6cm ,那么这个平行四边形 的面积为 2cm .
10.如图,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: (1)AB ∥CD ;(2)AB=CD ;(3)AB BC ;(4)AO=OC .其中正确的结论是 . (把你认为正确的结论的序号都填上)
1m 1m
A
B C
D O A
B
C
D
)
O l
二、选择题(每题3分,共24分)
11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和.那么这个多边形是( ) [ A 、三角形 B 、四边形 C 、五边形 D 、六边形
12.下列说法中,错误的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 平行四边形的对角相等 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( ) 个 个 个 个 14. 四边形ABCD 中.AD 么 的值可能是( )
A 、3:5:6:4
B 、3:4:5:6
C 、4:5:6:3
D 、6:5:3:4 、
15.如图,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积 ( )
A.变大
B.变小
C.不变
D.无法确定
(第15题) (第16题) (第17题) 16.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等
于 ( )
、 A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
17.如图,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F , 那么四边形AFDE 的周长是 ( )
18.已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:
(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;
(2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; 》
(3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;
(4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是( )
A.(1)(2)
B.(1)(3)(4)
C.(2)(3)
D.(2)(3)(4)
三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分) 19.如图, 中,DB=CD , 70=∠C ,AE ⊥BD 于E . …
试求DAE ∠的度数.
A
B
C
D E
A B
C D E F A B C ^ b ABCD
(第19题)
》
20.如图, 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG , 100=∠DGE . (1)试说明DF=BG ; (2)试求AFD ∠的度数.。
(第20题)
21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
'
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH ;
(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: .
&
(图①) (图②) (图③) (图④) (第21题)
22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由. A
B
C
D F
E
G
《
A
ABCD
?
(第22题)
答案
. 2.平行四边形;有一组邻边相等.
. 提示:它们是.,,,,,,,ACD BCD ABC ABD AOD COD BOC AOB ∆∆∆∆∆∆∆∆ 4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形. . 6. 135; 45. . '
. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边
进行平移后可得到一个边长为1m 的正方 形,所以它的周长为4m .
(第8题) 9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半. 10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD 是菱形. . . . .
. 提示:因为ABC ∆的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ∆的面积不变. %
. 提示:由于()
BAF DAE FAE DAE FAE ∠-=
∠=∠∠∠ 902
1
,所以通过折叠后得到的是由 . . 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE 的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. .
19.因为BD=CD ,所以,C DBC ∠=∠又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC ,所以
,DBC D ∠=∠因为 20709090,,=-=∠-=∠∆⊥D DAE AED BD AE 中所以在直角.
20.(1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=DC ,又AF=CG ,所以AB -AF=DC -CG,即GD=BF,
又 DG ∥BF,所以四边形DFBG 是平行四边形,所以DF=BG ;
(2)因为四边形DFBG 是平行四边形,所以DF ∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得DGE GBF ∠=∠,所以 100=∠=∠DGE AFD .
21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.
?
22.如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些
平行线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.
A B
D
E H
*
练习3
1、把正方形ABCD 绕着点A .按顺时针方向旋转得到正方形AEFG .边FG 与BC 交于点
H (如图)
.试问线段HG 与线段HB 相等吗请先观察猜想.然后再证明你的猜想.
|
2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形.连接AE 、CG .(1)求证:AE =CG ;(2)观察图形.猜想AE 与CG 之间的位置关系.并证明你的猜想.
(
3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠.使点C 与A 重合.点D 落到D ′ 处.折痕为EF . )
(1)求证:△ABE ≌△AD ′F ;(2)连接CF.判断四边形AECF 是什么特殊四边形证明你的结论.
"
D ′ D
? C A B G H
F E
?
挑战自我:
1、 (2010年眉山市).如图.每个小正方形的边长为、B 、C 是小正方形的顶点.则∠ABC 的度数为( )
A .90°
B .60°
C .45° D
.30°
2、(2010福建龙岩中考)下列图形中.单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是( )
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形 3.(2010年北京顺义)若一个正多边形的一个内角是120°.则这个正多边形的边数是( )
[
A .9
B .8
C .6
D .4
4、(2010年福建福州中考)如图4.在□ABCD 中.对角线AC 、BD 相交于点O.若AC===10.则△OAB 的周长为 。
5、(2010年宁德市)如图.在□ABCD 中.AE ==2.则FC 等于_____.
6题
F
E
D
C B A
6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD 中, ∠ABC=60°,E 、F 分别在CD 、BC 的延长线上,AE ∥BD,EF ⊥BC,DF=2,则EF 的长为
7、 (2010年福建晋江)如图.请在下列四个关系中.选出两个恰当....的关系作为条件.推出四边形ABCD 是平行四边形.并予以证明.(写出一种即可)关系:①AD ∥BC .②CD AB =.③C A ∠=∠.④︒=∠+∠180C B .
`
已知:在四边形ABCD 中. . ;求证:四边形ABCD 是平行四边形.
A
B C
D
第5题图
F
A E B
】
D
{
8、(2010年宁波市)如图1.有一张菱形纸片ABCD.8=AC .6=BD 。
(1)请沿着AC 剪一刀.把它分成两部分.把剪开的两部分拼成一个平行四
边形.在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪开. 请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边 —
形的周长。
(2)沿着一条直线剪开.拼成与上述两种都不全等的平行四边形.请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形。
(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)
周长为__________ 周长为__________
9、(2007天津市)在梯形ABCD 中.AD 角线AC ⊥BD.且cm AC 5=.BD=12c m.求梯形中位线的长。
10、(2007·山东)如图.在周长为20cm 的□ABCD 中.AB ≠、BD 相交于点⊥BD 交AD 于E .则△ABE 的周长为( ) (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
10题
11、(2006·山东)如图.在平行四边形ABCD 中.AE ⊥BC 于⊥CD 于F .∠EAF =45o .且AE+AF =22.则平行四边形ABCD 的周长是 .
直击中考:
1. (2011安徽)如图.D 是△ABC 内一点.BD ⊥===、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中
D
A B
C
D A B ; C D A B C D A B 《 C , (图2)
(图1) (图3) (图4) A
B
C
D
O
E
]
点.则四边形EFGH的周长是()【答案】D
;
A.7 B.9 C.10 D.11
2. (2011山东威海)在□ABCD中.点E为AD的中点.连接BE.交AC于点F.则AF:CF=()A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5 【答案】A
3. (2011四川重庆)下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成.其中.第①个图形一共有1个平行四边形.第②个图形一共有5个平行四边形.第③个图形一共有11个平行四边形.…….则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C
……
\
图① 图② 图③ 图④
A.55 B.42 C
.41 D.29
>
4. (2011宁波市)一个多边形的内角和是720°.这个多边形的边数是()【答案】C
A.4 B. 5 C.6 D.7
5. (2011广东汕头)正八边形的每个内角为()【答案】B
A.120°B.135°C.140°D.144°
]
6、(2011山东德州)图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形.菱形边长为等边三角形边长的一半.以此为基本单位.可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2).依此规律继续拼下去(如图3).…….则第n 个图形的周长是( )【答案】C
(A )2n (B )4n (C )12n + (D )22n +
7. (2011山东泰安)如图.边长为6的大正方形中有两个小正方形.若两个小正方形的面积分别为.则S 1+S 2的值为( )【答案】B
.17 C
<
8. (2011山东泰安)如图.点O 是矩形ABCD 的中心.E 是AB 上的点.沿CE 折叠后.点B 恰好与点O 重合.若BC =3.则折痕CE 的长为( )【答案】A 3 B. 33
2 C.
3
【
9. (2011四川重庆)如图.正方形ABCD 中.AB =6.点E 在边CD 上.且CD =3DE .将△ADE 沿AE 对折至△AFE .延长EF 交边BC 于点G .连结AG 、CF .下列结论:①△ABG ≌△AFG ;②BG =GC ;③AG ∥CF ;④S △FGC =3.其中正确结论的个数是( ) 【答案】C A .1 B .2 C .3 D .4
图1
图2
图3
,
……
… 。
A
A 2 A 3 B
B 1 B 2
B 3 【
C 2 C 1 C 3
D D 2 D 1 D 3 ?
—
10. (2011浙江省嘉兴)如图.①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH (不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2.四边形ABCD 面积是11cm 2.则①②③④四个平行四边形周长的总和为( )【答案】A (A )48cm
(B )36cm (C )24cm
(D )18cm
11. ( 2011重庆江津)如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( ) 【答案】C ①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C 5D 5的周长
4b a +; ④四边形A n B n C n D n 的面积是12
+n ab
A.①②
B.②③
C.②③④
D.①②③④
(
12. (2011湖北武汉市)如图.在菱形ABCD 中.AB =BD .点分别在上.且AE =DF .连接BF 与DE 相交于点G .连接CG 与BD 相交于点H .下列结论:( ) 【答案】D ①△AED ≌△DFB ; ②S 四边形 BCDG =
4
3
CG 2;③若AF =2DF .则BG =6GF .其中正确的结论 A .只有①②. B .只有①③.C .只有②③. D .①②③.
(第10题)
F
A
B C
D
H E
G
①
②
③
`
⑤
)
13. (2011山东烟台)如图.三个边长均为2的正方形重叠在一起.O 1、O 2是其中两个正方形的中心.则阴影部分的面积是 . 【答案】2
O 2
O 1
14. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折.并沿图3中过矩形顶点的斜线(虚线)剪开.那剪下的①这部分展开.平铺在桌面上.若平铺的这个图形是正六边形.则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】3:2
—
A
B
C
D '
E
F
G
H
第12题图
<
15. (2011甘肃兰州)如图.依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形.再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形.按照此方法继续下去。
已知第一个矩形的面积为1.则第n 个矩形的面积为 。
【答案】
1
1
4n -
16、(2009年宜宾)如图.菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、.以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1.然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2.…….如此下去.得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 b a 、的代数式表示为 .【答案】
ab 20102
1)(.
第20题图3。
17、(2009 黑龙江大兴安岭)如图.边长为1的菱形ABCD 中.︒=∠60DAB .连结对角线
AC .以AC 为边作第二个菱形11D ACC .使 ︒=∠601AC D ;连结1AC .再以1AC 为边作第
三个菱形221D C AC .使 ︒=∠6012AC D ;…….按此规律所作的第n 个菱形的边长为 .【答案】
()
1
3-n
……
18.(2011山东日照.分)正方形ABCD 的边长为、N 分别是BC 、CD 上的两个动点.且始终保持AM ⊥MN .当BM = 时.四边形ABCN 的面积最大. 【答案】2; /
19、(2011四川宜宾)如图.平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点、F 在AC 上.G 、H 在BD 上.AF==DG . 求证:GF ∥HE . /
【答案】证明:∵平行四边形ABCD 中.OA=OC.
由已知:AF=CE AF -OA=CE -OC ∴OF=OE 同理得:OG=OH ∴四边形EGFH 是平行四边形 ∴GF ∥HE
-
20、(2011四川成都10分) 如图.已知线段AB ∥与BC 相交于点是线段AD 上一动点.
H
A
C
B
D
O
&
G
F
C 2
D C 1
D 1
C
D A
B
(1)若BK=5
2
KC.求
AB
CD
的值;
(2)连接BE.若BE平分∠ABC.则当AE=1
2
AD时.猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等
量关系请写出你的结论并予以证明.再探究:当AE=1
n
AD(2
>
n).而其余条件不变时.线段
AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论.不必证明.
K
E
C D
A B
K
E
C D
A B G
F
?
【答案】解:(1)∵AB∥=5
2
KC.∴
AB
CD
=
BK
CK
=
5
2
.
(2)如图所示.分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点.
∵BE∥DG.点E是AD的点.∴AB=BG;∵CD∥∥AG.∴四边形CDGF是平行四边形.∴CD=FG;∵∠ABE=∠EBC .BE∥CF.∴∠EBC=∠BCF.∠ABE=∠BFC.∴BC=B F.
∴AB-CD=BG-FG=BF=BC.∴AB=BC+CD.
当AE=1
n
AD (2
>
n)时.(1
-
n)AB=BC+CD.
—
21、(2011贵州安顺10分)如图.在△ABC中.∠ACB=90°.BC的垂直平分线DE交BC于D.交AB于在DE上.且AF=CE=AE.
⑴说明四边形ACEF是平行四边形;
⑵当∠B满足什么条件时.四边形ACEF是菱形.并说明理由.
【答案】(1)证明:由题意知∠FDC =∠DCA = 90°.∴EF ∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC ≌△EAF .∴EF = CA .∴四边形ACEF 是平行四边形 . \
(2)当∠B =30°时.四边形ACEF 是菱形 . 理由是:∵∠B =30°.∠ACB =90°.∴AC =AB 2
1
.∵DE 垂直平分BC .∴ BE =CE 又∵AE =CE .∴CE =
AB 2
1
.∴AC =CE .∴四边形ACEF 是菱形. 22、(2011山东滨州10分)如图.在△ABC 中.点O 是AC 边上(端点除外)的一个动点.过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F .连接AE 、AF 。
那么当点O 运动到何下时.四边形AECF 是矩形并证明你的结论。
【答案】当点O 运动到AC 的中点(或OA=OC )时. 四边形AECF 是矩形………………2分 }
证明:∵CE 平分∠BCA,∴∠1=∠2.………………3分 又∵MN ∥BC, ∴∠1=∠3.
∴∠3=∠2.∴EO=CO. ………………5分 同理.FO=CO ………………6分 ∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF 是平行四边形………………7分 又∵∠1=∠2.∠4=∠5.∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分 [
∴四边形AECF 是矩形………………10分 23、(2011湖北襄阳10分)如图9.点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点重合).连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段交边BC 于点F .连接.
(第24题图)
F E N
M O C
B
A
第25题图
(1)求证:∠ADP =∠EPB ; (2)求∠CBE 的度数; (3)当
AB
AP
的值等于多少时.△PFD ∽△BFP 并说明理由.
(
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形
∴∠A =∠PBC =90°.AB =AD .∴∠ADP +∠APD =90° ························· 1分 ∵∠DPE =90° ∴∠APD +∠EPB =90° ∴∠ADP =∠EPB . ···················································································· 2分 (2)过点E 作EG ⊥AB 交AB 的延长线于点G .则∠EGP =∠A =90° ··········· 3分 G
P
F
E D
C
B
A
又∵∠ADP =∠=PE .∴△PAD ≌△EGP ∴EG ==AB =PG .∴AP =EG =BG ···························································· 4分
,
∴∠CBE =∠EBG =45°. ········································································· 5分
(3)方法一:
当
2
1
=AB AP 时.△PFE ∽△BFP . ···································································· 6分 ∵∠ADP =∠FPB .∠A =∠PBF .∴△ADP ∽△BPF ····································· 7分 设AD =AB =a .则AP =PB =a 2
1.∴BF =BP ·a AD AP 4
1
=··························· 8分 ∴a AP AD PD 2522=+=.a BF PB PF 4
5
22=+= ∴
5
5=
=PF BF PD PB ···················································································· 9分 又∵∠DPF =∠PBF =90°.∴△ADP ∽△BFP ··········································· 10分
.
方法二:
P
F
E
D
C
B
A
图9
假设△ADP ∽△BFP .则
PF
BF
PD PB =. ·························································· 6分 ∵∠ADP =∠FPB .∠A =∠PBF .∴△ADP ∽△BPF ···································· 7分 ∴BF
AP
PF PD =. ························································································· 8分 ∴
BF
AP
BF PB =. ·························································································· 9分 ∴PB =AP . ∴当
2
1
=AB AP 时.△PFE ∽△BFP. 10分 24. (2011湖南永州10分)探究问题:
⑴方法感悟:如图①.在正方形ABCD 中.点分别为边上的点.且满足∠EAF=45°.连接EF.求证DE+BF=EF . -
感悟解题方法.并完成下列填空:
将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG.此时AB 与AD 重合.由旋转可得: AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2.∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.
因此.点在同一条直线上.
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°. ∵∠1=∠2. ∴∠1+∠3=45°. 即∠GAF=∠_________. 又AG==AF
∴△GAF ≌_______.
∴_________=EF.故DE+BF=EF .
⑵方法迁移:
如图②.将ABC Rt ∆沿斜边翻折得到△ADC.点分别为边上的点.且∠EAF=2
1
∠DAB .试猜想之间有何数量关系.并证明你的猜想.
3
2
1G
E F
D
C
B A (第25题)②解得图
E
F
D
C
B
A
(第25题)② 3
2
1G
E
F
D C
B
A (第25题)①
⑶问题拓展:
如图③.在四边形ABCD 中.AB=分别为DC,BC 上的点.满足DAB EAF ∠=
∠2
1
,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时.可使得DE+BF=EF .请直接写出你的猜想(不必说明理由).
【答案】⑴EAF 、△EAF 、GF . ⑵DE+BF=EF.理由如下:
假设∠BAD 的度数为m .将△ADE 绕点A 顺时针旋转︒m 得到△ABG.此时AB 与AD 重合.由旋转可得:
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2.∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°. 因此.点在同一条直线上. ∵∠EAF=
︒m 21 ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=︒=︒-︒m m m 2
1
21 ∵∠1=∠2. ∴∠1+∠3=
︒m 2
1
. 即∠GAF=∠EAF 又AG==AF ∴△GAF ≌△EAF .∴GF=EF.
又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF . ⑶当∠B 与∠D 互补时.可使得DE+BF=EF . 25、(2007南充)如图. 等腰梯形ABCD 中.AB ==20.∠C =30º.点M 、N 同时以相同速度分别从点A 、点D 开始在AB 、AD (包括端点)上运动.
(1)设ND 的长为x .用x 表示出点N 到AB 的距离.并写出x 的取值范围. (2)当五边形BCDNM 面积最小时.请判断△AMN 的形状.
解:(1)过点N 作BA 的垂线NP .交BA 的延长线于点P .
………………(1分)
C
B
M N
A P A
D
C
B
M
N
E
F
D C
B
A
(第25题)③
由已知.AM ==20-x .
∵ 四边形ABCD 是等腰梯形.AB ∥CD .∠D =∠C =30º. ∴ ∠PAN =∠D =30º. 在Rt △APN 中.PN =AN sin ∠PAN =1
2
(20-x ). 即点N 到AB 的距离为
1
2
(20-x ).
………………………………(3分)
∵ 点N 在AD 上.0≤x ≤20.点M 在AB 上.0≤x ≤15. ∴ x 的取值范围是 0≤x ≤15. ………………………………(4分) (2)根据(1).S △AMN =12AM •NP =14x (20-x )=21
54
x x -+. ……(5分)
∵ 1
4
-
<0.∴ 当x =10时.S △AMN 有最大值. …………………………(6分)
又∵ S 五边形BCDNM =S 梯形-S △AMN .且S 梯形为定值. ∴ 当x =10时.S 五边形BCDNM 有最小值. …………………………(7分) 当x =10时.即ND =AM ==AD -ND =10.即AM =AN . 则当五边形BCDNM 面积最小时.△AMN 为等腰三角形. …………(8分)
26、(2007福建晋江)如图.四边形ABCD 为矩形.AB ==3.动点M 、N 分别从D 、B 同时出发.以1个单位/秒的速度运动.点M 沿DA 向终点A 运动.点N 沿BC 向终点C 运动。
过点N 作NP ⊥BC .交AC 于点P .连结MP 。
已知动点运动了x 秒。
⑴请直接写出PN 的长;(用含x 的代数式表示)⑵若0秒≤x ≤1秒.试求△MPA 的面积S 与时间x 秒的函数关系式.利用函数图象.求S 的最大值。
⑶若0秒≤x ≤3秒.△MPA 能否为一个等腰三角形若能.试求出所有x 的对应值;若不能.试说明理由。
解:⑴
3412x -;⑵延长NP 交AD 于点Q .则PQ ⊥AD .由⑴得:PN =3
412x
-. 则x x PN QN PQ 3
4
34124=--=-=。
依题意.可得:x AM -=3
M A B C
N D P
2
3)23(32)3(3232234)3(2121222+--=--=-=⋅-⋅=⋅⋅=
x x x x x x x PQ AM S ∵0≤x ≤
即函数图象在对称轴的左侧.函数值S 随着x
∴当1=x 时.S 有最大值 .S 最大值=3
4。
⑶△MPA 能成为等腰三角形. 共有三种情况.以下分类说明: ①若PM =PA .
∵PQ ⊥MA ∴MQ =QA =x
又DM +MQ +QA =AD ∴33=x .即1=x ②若MP =MA .则MQ =x 23-.PQ =
x 3
4
.MP =MA =x -3 在Rt △PMQ 中.由勾股定理得:2
2
2
PQ MQ MP +=
∴222)3
4
()23()3(x x x +-=-.解得:43
54
=
x (0=x 不合题意.舍去) ③若AP =AM .由题意可得:x AP 35=.AM =x -3∴x x -=335.解得:89
=x
综上所述.当1=x .或4354=x .或8
9
=x 时.△MPA 是等腰三角形。