八年级数学分式课件2
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人教版八年级数学上册课件：15.3 分式方程(第二课时)
设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示， 并用含未知数的代数式表示相关量． (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程． (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值． (5)验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式 方程，还要检验此解是否符合实际意义． (6)答：即写出答案，注意单位和答案完整．
3．(2019新疆)两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙 地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二 组的1．2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第 二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是 (D)
4．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A
商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花 费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1．8 万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬 衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件 至少要售多少元？ (2)设第二批衬衫每件售价y元．根据题意，得 30×(200-150)+15(y-140)≥1950， 解得y≥170． 答：第二批衬衫每件至少要售170元．
桌的售价为( A )
A．117元
B．118元
C．119元
D．120元
5．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿 化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小 时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每 小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方
米，请列出满足题意的方程是
．
6．某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为 6600元，第二次捐款的总额为7260元，第二次捐款的 总人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相 等，则第一次捐款的总人数为 300 人．
3．(2019新疆)两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙 地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二 组的1．2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第 二组的步行速度为x千米/小时，根据题意可列方程是 (D)
4．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A
商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若该校花 费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1．8 万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬 衫售完后的总利润不低于1950元，则第二批衬衫每件 至少要售多少元？ (2)设第二批衬衫每件售价y元．根据题意，得 30×(200-150)+15(y-140)≥1950， 解得y≥170． 答：第二批衬衫每件至少要售170元．
桌的售价为( A )
A．117元
B．118元
C．119元
D．120元
5．某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿 化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小 时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每 小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方
米，请列出满足题意的方程是
．
6．某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为 6600元，第二次捐款的总额为7260元，第二次捐款的 总人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相 等，则第一次捐款的总人数为 300 人．
分式方程(第二课时) 课件(共26张PPT) 初中数学人教版八年级上册
方程两边同时乘以6x，得 2x+x+3=6x .解得 x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以原分式方程的解为 x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲 队1个月完成任务的 1 ，可知乙队的施工速度快.
3
探究新知
【问题2】某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？
知识练习
解分式方程：（1） 7 1 x 1 ； （2） x 1 x 1 1.
x2 2x
x 1 x2 1
解：（1） 7 1 x 1 ， x2 2x
解：（2） x 1 x 1 1， x 1 x2 1
去分母得： 7 x 2 1 x ，
去分母得： x 12 x 1 x2 1 ，
B.300
C.400
D.500
解析：设改造后每天生产的产品件数为 x，则改造前每天生产的
产品件数为 x 100 ，
根据题意，得： 600 400 ， x x 100
解得： x 300 ， 经检验 x 300 是分式方程的解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数 300.故选：B.
练习 3 A，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比 B
个月的工程量 = 总工程量（记为1）.
1 3
+
1 6
1
+ 2x
探究新知
甲队施工1个月的工程量 + 甲队施工半个月的工程量 + 乙队施工半 个月的工程量 = 总工程量（记为1）.
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 根据工程的实际进度，得 1 1 1 1
八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程：第二课时--解分式方程》课件
分式方程 去分母 整式方程
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
八年级数学上册第二章分式与分式方程复习课件(30张PPT)
解这个方程得：x＝30
经检验:x＝30 是原方程的解, 所以 1.5x＝45 答：实际有 45 人参加了植树活动。
评注：1、分式方程解应用题应相应地增加检验的过程。 2、要注意灵活设未知数。
列方程解应用题：
例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出 发到1千米时发现有一物品遗忘在A地 ，立即返回，取过物品后又立即从A地 向B地行进，这样两人恰好在A、B两 地中点处相遇，又知甲比乙每小时多 走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
一、分式的概念：
x2 4 1. 若分式 (x 1)(x 2)
若有意义，则x应满足（ B ）
A、x≠-1 C、x≠2
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2
B、x =-2
C、 x 2 D、x =-1或x =2
二、分式的基本性质
1.若把分式 2x 的yx 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
7.通分
(1) x 与 y
6a2b
9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
计算： 8 9
10
算一算
11、解方程
(1) 2 1 x2 x
(2) x 1 1 3 x2 2x
12、列方程，解应用题： 甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技
术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增 加20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超 过140千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条 铁路的现有的条件下列车还可以提速.
经检验:x＝30 是原方程的解, 所以 1.5x＝45 答：实际有 45 人参加了植树活动。
评注：1、分式方程解应用题应相应地增加检验的过程。 2、要注意灵活设未知数。
列方程解应用题：
例4、甲、乙两人分别从相距36千米的 A、B两地同时相向而行，甲从A地出 发到1千米时发现有一物品遗忘在A地 ，立即返回，取过物品后又立即从A地 向B地行进，这样两人恰好在A、B两 地中点处相遇，又知甲比乙每小时多 走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
一、分式的概念：
x2 4 1. 若分式 (x 1)(x 2)
若有意义，则x应满足（ B ）
A、x≠-1 C、x≠2
B、x ≠-1且x ≠2 D、x ≠-1或x ≠2
若值为0，则x应满足（ B ）
A、x=2
B、x =-2
C、 x 2 D、x =-1或x =2
二、分式的基本性质
1.若把分式 2x 的yx 和y 都扩大两倍,则分式的值( ) B 3x y
(3)
m2+4m+4
m2 - 4
7.通分
(1) x 与 y
6a2b
9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
计算： 8 9
10
算一算
11、解方程
(1) 2 1 x2 x
(2) x 1 1 3 x2 2x
12、列方程，解应用题： 甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技
术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增 加20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少了4 小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超 过140千米/时.请你用学过的数学知识说明在这条 铁路的现有的条件下列车还可以提速.
八年级数学下册 17.1.2 分式的基本性质(2)约分课件 华东师大版
化简下列分式(约分)
(1) (2) (3)
a 2 bc ab
32a b c 24a 2 b 3 d
3 2
约分的步骤
2
15a b 25a b
（1）约去系数的最 大公约数
（2）约去分子分母 的公因式。
自学指导2
最简分式
对于分数而 言，彻底约 分后的分数 叫什么？
小颖： 5xy 5x 2 2 20x y 20x 5xy 5xy 1 2 20x y 4x 5xy 4x 小明： •一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. •彻底约分后的分式叫最简分式.
Байду номын сангаас
自学指导一约分的理解8分钟
1.约分的定义：就是把分式的分子与分母中的公
因式约去, 约分的依据是分式的基本性质
约分的关键是 找公因式 约分的 方法（1）若分子分母都是单项式先找
分子分母的最大公约数，再找相同字母的最低次幂, 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分式。（2 ）若分子分母是多项式先把多项式因式分解，再找出 分子分母的公因式
练习： P8 1.约分.
（ 1）
自学指导 3 练习约分 3a
3
a4
3 2
12a y x （ 2） 27ax y
x 2 y xy 2 （ 3） 2 xy
2 m （ 4） 2 m 1 1 m
1 1 2a 3ab 2b 3 已知，a b ，求分式 的值。 a ab b
17.1.2 分式的基本性质(2) ------约分
教学目标
熟练应用分式的基本性质，对分式进行 约分 会用约分法则约分 理解什么是最简分式 总结约分的步骤
湘教版八年级上册分式的乘法与除法课件(2课时38张)
=
解：原式
3
3
= 2 ∙ 3
4
=
新知探究
2 2 3 4
(2)( ) ∙ ( ) ÷ ( )
−
2
解：原式 =
−
6 4
∙
∙
2 3 4
2 ∙ 6 ∙ 4
= 2 3 4
∙ ∙
= 3
新知探究
混合运算顺序：先算乘方,再算乘除.
新知探究
例3：计算
v m
•
ab n
分式乘法
v
ab
.
;
新课导入
[问题2]:大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖拉机的工作
效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
大拖拉机的工作效率是
小拖拉机的工作效率是
a
m
公顷/天；
b
公顷/天；
n
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作；
a b
效率的(
)倍.
m n
分式除法
新知探究
4ab
2a
1+ 1−
1
+2
=
∙
∙
2
+2
−1 −1
3 −
2
2
=
∙ 8 ∙
4
+ −
+1
=−
.
+2 −1
122
=
.
+
八年级数学湘教版·上册
第1章
分式
1.2.2分式的乘方
授课人：X
学习目标
1.分式乘方的法则和运算；(重点)
2.分式乘方法则的推导过程的理解及利用分式乘方法则进行运算．(难点)
解：原式
3
3
= 2 ∙ 3
4
=
新知探究
2 2 3 4
(2)( ) ∙ ( ) ÷ ( )
−
2
解：原式 =
−
6 4
∙
∙
2 3 4
2 ∙ 6 ∙ 4
= 2 3 4
∙ ∙
= 3
新知探究
混合运算顺序：先算乘方,再算乘除.
新知探究
例3：计算
v m
•
ab n
分式乘法
v
ab
.
;
新课导入
[问题2]:大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地 b公顷，大拖拉机的工作
效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?
大拖拉机的工作效率是
小拖拉机的工作效率是
a
m
公顷/天；
b
公顷/天；
n
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作；
a b
效率的(
)倍.
m n
分式除法
新知探究
4ab
2a
1+ 1−
1
+2
=
∙
∙
2
+2
−1 −1
3 −
2
2
=
∙ 8 ∙
4
+ −
+1
=−
.
+2 −1
122
=
.
+
八年级数学湘教版·上册
第1章
分式
1.2.2分式的乘方
授课人：X
学习目标
1.分式乘方的法则和运算；(重点)
2.分式乘方法则的推导过程的理解及利用分式乘方法则进行运算．(难点)
青岛版八年级上册数学《可化为一元一次方程的分式方程》PPT教学课件(第2课时)
句. 像这样表示判断的语句叫做命题.
新知探究
如何确定一个句子是命题呢？
(1)命题是一个陈述句，不能是疑问句、祈使句. (2)对一件事作出肯定或否定的判断.
若一个语句不能对某一件事情做出判断，那 它就不是命题.
新知探究
下列的句子哪些是命题？哪些不是命题？
(1)美丽的天空。 (2)熊猫没有翅膀。 (3)你的作业做完了吗？ (4)请关上窗户。 (5)过直线AB外一点作AB的平行线。 (6)不相交的两条直线叫做平行线。 (7)无论n为怎样的自然数，则（2n+1）的值都是奇数.
我们所列的是一 个分式方程，这 是分式方程的应
用
经检验x=18是原分式方程的解,且符合题意.
由x＝18得x－6=12
答：甲每小时做18个，乙每小时做12个.
1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式 方程的模型作用. 2．经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释解 的合理性”的过程，培养分析问题、解决问题的能力.
(2)设甲单独做a天后,甲、乙再合作(20- a)天,可以完成此项
3
工程. (3)由题意得1×a+(1+2.5)(20- a)≤64
3
解得a≥36
答:甲工程队至少要单独做36天后,再由甲、乙两队合作完成剩
下的工程,才能使施工费不超过64万元.
5.1 定义与命题
目 Contents 录
01 学习目标 02 情境引入
1 1 1 f v
f uv
1 u
1 f
移 1v项，v 得fvf
u fv 所以当f≠v时， v f 检验：因为v,f不为零，f≠v,所以
的根且符1合题1 意 1. f v
f uv
人教版数学八年级(上)分式的基本性质(二)-约分通分PPT-公开课
ab bc
bd 4b2
2x2 3x 4x3
解：（1）最简公分母是 a b c. x x c xc , ab ab c abc y y a ya. bc bc a bca
【名师示范课】人教版数学八年级上 册第十 五章15. 1.2分 式的基 本性质 （二） -----约分、通分课件-公开课课件 （推荐 ）
分数的约分与通分
1.约分： 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数. 2.通分： 先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母 同乘最简公分母，计算即可.
1.将下列分数通分：
(1) 2 、 4 35
(2) 5 、 7 68
(1) 2 5 10 4 3 12 35 15 53 15
(2)
5 4 20 6 4 24
【名师示范课】人教版数学八年级上 册第十 五章15. 1.2分 式的基 本性质 （二） -----约分、通分课件-公开课课件 （推荐 ）
作业： 课本133--134页第6、7、13题 .
【名师示范课】人教版数学八年级上 册第十 五章15. 1.2分 式的基 本性质 （二） -----约分、通分课件-公开课课件 （推荐 ）
x 4 x 3 1 （ x 4 x 3 1 ） （ （ 3 ） 3 ） （ 3 1 x 2 x 3 1 ） .
【名师示范课】人教版数学八年级上 册第十 五章15. 1.2分 式的基 本性质 （二） -----约分、通分课件-公开课课件 （推荐 ）
达标测评
•
1、分式
b 2a
,
x 3b2
,
1 4ab
的最简公分母是（
）.
（A）24a2b3 (B)24ab2 (C)12ab2 (D)12a2b3
鲁教版(五四制)数学八年级上册2.1.2认识分式课件(共22张PPT)
(2) bx b ax a
解: (1) y 0 b b y by 2x 2x y 2xy
为什么给出 y ? 0
(2) x 0 bx b x b ax a x a
为什么本题未给 x 0 ?
知识应用
1．写出下列等式中所缺的分子或分母．
(1)a1b＝（
bc ab2c
） (c≠0)；
类比分数的基本性质，得到： 分式的基本性质：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同 一个不等于零的整式 ，分式的值不变.
用公式表示为:
a a.m , a a m . b b.m b b m (其中m是不等于零的整式)
例2 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) b by ( y 0) 2x 2xy
A．不变
B．扩大到原来的 10 倍
C．扩大到原来的 20 倍 D．缩小到原来的210
4．不改变分式－25－x33＋x22＋x－x 3的值，使分子、分母最 高次项的系数为正数，正确的是( D )
3x2＋x＋2 A.5x3＋2x－3
3x2－x＋2
B. 5x
3＋2x
－3
3x2＋x－2 C.5x3－2x＋3
结果为( A )
A．1
B.12
C.14
D．0
D
4．【 中考·台州】化简（xy2－－xy）2 2的结果是(
)
A．－1
B．1
x＋y C.y－x
x＋y D.x－y
在化简分式 5xy 时，小颖和小明的做法 出现了分歧： 20x2y
小颖：5xy 20x2 y
5x 20 x 2
注意：约分的结 果必须是最简分
下列分数是否相等？可以进行变形的依据是什么？
15.2.2(2)分式的混合运算(课件)八年级数学上册(人教版)
1 Байду номын сангаас 2
3．先化简，再求值：
，其中x=3．
x
2
x
4
解：
2−1
−2
−1 ÷
+1
2 −4
2 − 1 − 2
+1
=
−
÷
−2 −2
+2 − 2
=
+1
−2
⋅
+2 −2
+1
= +2 ，
当 = 3 时，原式= 3 + 2 = 5．
当堂检测
1 a2
2
(3 m)(3 m) 2(2 m)
•
2m
3 m
2(m 3) 2m 6;
新知探究
+2
−1
−4
【例2】计算： ( 2 − 2 − 2 − 4 + 4) ÷ .
x2
x 1
x
•
解:(2)原式
2
x( x 2) ( x 2) x 4
( x +1)(x - 1) x +1 x +1 ( x +1) x +1 ( x +1) x - 2 x - 2
1
令x = 0( x ≠± 1且x ≠2), 得原式 =
2
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分
是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
新知探究
(1)进行混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左往右的
( x 2)( x 2) x( x 1)
3．先化简，再求值：
，其中x=3．
x
2
x
4
解：
2−1
−2
−1 ÷
+1
2 −4
2 − 1 − 2
+1
=
−
÷
−2 −2
+2 − 2
=
+1
−2
⋅
+2 −2
+1
= +2 ，
当 = 3 时，原式= 3 + 2 = 5．
当堂检测
1 a2
2
(3 m)(3 m) 2(2 m)
•
2m
3 m
2(m 3) 2m 6;
新知探究
+2
−1
−4
【例2】计算： ( 2 − 2 − 2 − 4 + 4) ÷ .
x2
x 1
x
•
解:(2)原式
2
x( x 2) ( x 2) x 4
( x +1)(x - 1) x +1 x +1 ( x +1) x +1 ( x +1) x - 2 x - 2
1
令x = 0( x ≠± 1且x ≠2), 得原式 =
2
方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分
是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.
新知探究
(1)进行混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左往右的
( x 2)( x 2) x( x 1)
八年级数学下册第5章分式与分式方程分式方程第2课时分式方程的解法课件(新版)北师大版
A.2（x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7)
D.2(x-8)-5x=8
2．若关于x的分式方程
的值为 ( D )
A．－1，5
B．1
C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5
无解，则m
3.解方程
2 3. x3 x
解： 方程两边乘x(x-3),得
第五章 分 式
5.4 分式方程
第2课时 分式方程的解法
学习目标
1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法； （重点）
2.理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验 根的方法.（难点）
导入新课
复习引入
1. 解一元一次方程的步骤： 移项，合并同类项，未知数系数化为1. 2. 解一元一次方程 x x 1 1.
②
去分母后所得整式方程的解却不是
原分式方程的解呢？
我们再来视察去分母的过程:
90 60 30+x 30 x
两边同乘(30+x)(30-x) ① 当x=6时,(30+x)(30-x)≠090(30-x)=60(30+x)
真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方 程的解与分式方程的解相同.
x 1
∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，
∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)， 然后根据解的正负性，列关于未知字母的不 等式求解，特别注意分母不能为0.
例3 若关于x的分式方程 求m的值．
无解，
解析：先把分式方程化为整式方程，再分 两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分 式方程有增根．
八年级数学下册第五章分式与分式方程认识分式(第2课时)课件(新版)北师大版
B.
x x2
1 1
D.
x2 x2
xy y2
(B)
2.将分式
x 1
__x__1__.
x2 2x 1化为最简分式,所得结果是
x2 1
【火眼金睛】
化简:
m2 3m 9 m2
.
正解:
m2－3m 9－m2
3
m(m－3)
m(3－m)
－ m m
3
.
【一题多变】 已知x2-4xy+4y2=0,那么分式 x y 的值等于多少?
（1）82aba2
a 1 1 a
（. 2）a
2
4ab 4b2 a2 4b2
.
【自主解答】(1)
2a a 1 8ab2 1 a
1 4b2
.
（2）a 2
4ab 4b2 a2 4b2
a
a 2b2 2ba 2b
a 2b . a 2b
【学霸提醒】 关于约分的三点说明 (1)根据:分式的基本性质. (2)关键:确定分式分子与分母的公因式. 确定公因式的步骤:
－－A －B
－A . B
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧! 1.分式变形 x ＝ A 中的整式A=___x_2-_2_x___,变形
x 2 x2 4
的根据是 _分__式__的__分__子__与__分__母__乘__(_或__除__以__)_同__一__个__不__等__于__0_的__整__式__,_ _分__式__的__值__不__变__.
bm
(2)符号表示: b b m , b =__a___m__(m≠0).
a am a
2.约分 (1)概念:把一个分式的分子和分母的___公__因__式____约 去. (2)约分的关键:找出分子、分母的___公__因__式____; 约分的根据:分式的基本性质;
八年级数学上册教学课件《分式方程(第2课时)》
某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯
片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与
用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，
求购买了多少条A型芯片？
课堂检测
15.3 分式方程
当x= –3时,(k+1)(–3)=4k,
所以当k=3或
时,原分式方程无解.
巩固练习
15.3 分式方程
如果关于x的方程
A. –3
无解,则m的值等于（ B ）
B. –2
C. –1
D. 3
解析:方程的两边都乘x–3,得2=x–3–m,移项并合并同类项
得,x=5+m，由于方程无解,此时x=3,即5+m=3,
探究新知
15.3 分式方程
归纳总结
列分式方程解应用题的一般步骤：
1. 审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符
合实际意义.
∴m = –2.
连接中考
15.3 分式方程
甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船
从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的
速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求
两船在静水中的速度可列方程为（ A ）
A．
=
+
−
片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与
用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，
求购买了多少条A型芯片？
课堂检测
15.3 分式方程
当x= –3时,(k+1)(–3)=4k,
所以当k=3或
时,原分式方程无解.
巩固练习
15.3 分式方程
如果关于x的方程
A. –3
无解,则m的值等于（ B ）
B. –2
C. –1
D. 3
解析:方程的两边都乘x–3,得2=x–3–m,移项并合并同类项
得,x=5+m，由于方程无解,此时x=3,即5+m=3,
探究新知
15.3 分式方程
归纳总结
列分式方程解应用题的一般步骤：
1. 审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2. 设:选择恰当的未知数,注意单位统一.
3. 列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4. 解:解这个分式方程.
5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符
合实际意义.
∴m = –2.
连接中考
15.3 分式方程
甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船
从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的
速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求
两船在静水中的速度可列方程为（ A ）
A．
=
+
−
初中数学人教八年级上册第十五章分式第二节命题及其关系充分条件与必要条件PPT
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵x>1，∴x3>1，又 x3－1>0，即(x－1)(x2＋x＋ 1)>0，解得 x>1，∴“x>1”是“x3>1”的充要条件．
答案：C
2．“在△ABC 中，若∠C＝90°，则∠A，∠B 都是锐角” 的否命题为：________________.
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(二)” (单击进入电子文档)
1．若 p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则 p 是 q 的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：设 p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A， q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0 或 x≤－1}＝B， ∵A B， ∴p 是 q 的充分不必要条件. 答案：A
解析
1．(2015·北京高考)设 a，b 是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”
的
()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析
2．(2015·天津高考)设 x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”
的
()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C＝90°， 结论：∠A，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A，∠B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若∠C≠90°，则∠A，∠B 不都是锐角
1．命题“若 a2>b2，则 a>b”的否命题是
人教版八年级数学上册15.分式的乘除课件(2)
a2 -1 500
= a+1 . a-1
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是
“丰收1号”小麦的单位面积产量的
a+1 a-1
倍．
分式乘除法的应用
归纳解题步骤： （1）先根据题意分别列出表示两个量的代数式； （2）再根据题意列出相应的算式； （3）最后通过计算解决问题．
探究分式的乘除混合运算
例4
计算：52x-x3
分式乘除法的计算
解：
（2）49-1m2
1 m2 -7m
=-
1 m2 -49
（m2 -7m）
=- m（m-7） （m+7）（m-7）
=- m . m+7
分式乘除法的计算
解题策略： 对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直 接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行 约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母 中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便 于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分 解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘 除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并 把最后的结果化成最简分式．
“丰收2号”小麦的试验田面积是（a -1）2 m2，
500 单位面积产量是 （a-1）2 kg/m2． ∵ 0＜（a -1）2 ＜a2-1，
∴
500 a2 -1
＜
500 （a-1）2
.
即“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
分式乘除法的应用
解：（2）
500 （a-1）2
500 a2 -1
= 500 （a-1）2
大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 a ÷ b倍. mn
创设情境，导入新知
青岛初中数学八年级上册《3.7 分式方程(第2课时)课件
x 1 3(2 x) 1 母）
解这个方程, 得
-------解一元一次方程
x 1
检验 : 将x 1代入原方程 ,得 左边 2 右边.
--------检验
（将x的值代入原方程，左右是否相 等）
所以, x 2是原方程的根 .
-------写出结论
教学目标
1、了解分式方程增根的含义和产生增根 的原因，并会检验分式方程的根； 2、掌握分式方程的一般步骤，会解可化 为一元一次方程的分式方程。
挑战自我
当 m为何值时，解分式方程
x3 m x2 2x
会出现增根？
小结:
解分式方程的一般步骤. 通过这节课的学习，
1、去分母，化为一元一次方程,
我能够……
方程两边各项乘以最简公分母;
2、解一元一次方程, 3、检验,
4、((结21))论把把.未未知知数数的的值 值代代入入最原简方公程分(一母般(简方便法方); 法).
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§3.7 分式方程（2）
看谁掌握的好
复习导入
x 1 3 1
• 说一说解分 式方程的步
2- x
x-2
骤有哪几步
解 : 方程的两边同乘以 (2 x)得 -------去分母
（方程两边同乘以最简公分
预习反馈
自主学习课本第103-105页例2例3思考以下 1.增问根题定义:如果由变形后的方程求出的根不适合
2、原你方认程为,在那解么方这程个中根,就哪叫一做步原的分变式形方可程能的会增产根生.增 根? 增根产生的原因:在分式方程的两边
同乘了值为0的代数式. 3、你能用较简捷的方法检验求出的根是否为增根 吗? 方法: 把求出的根代入最简公分母, 看值是否
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分式的基本性质
P8 练习： 练习：
2、通分： 、通分：
2c 3ac (1) 与 2 bd 4b
2 xy x 与 2 (2) 2 2 ( x + y) x −y
小结: 小结
1、分式的基本性质 、 2、如何对分式进行约分、通分 、如何对分式进行约分、
1
分 式 (1)
作
习题16.1 习题16.1
业
4、5 、6、10、11、12 10、11、
分式的基本性质： 分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 分式的分子与分母同乘（或除以） 0的整式，分式的值不变 的整式， 的整式 分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为： 上述性质可以用式子表示为： A A⋅C A A÷C = = B B ⋅C B B ÷C （C≠0） 其中 , B , C是整式 ） 其中A 是整式.
P8 练习： 练习：
1、约分： 、约分： 2bc ac
x + xy 2 ( x + y)
2
( x + y) y 2 xy
x −y 2 ( x − y)
2 2
1、下列约分正确的个数有 （ 、
3
A
）
a+m a a ( n − m) 1. = ，. 2 = −1 3 b+m b a ( m − n) 2 + xy a − 2a − 3 a − 3 3. = 0 ，. 2 4 = xy + 2 a + 2a + 1 a + 1
填空: 例2 填空
a+b （ ） = 2 ab ab 2a − b （ = 2 2 a ab
2
a(a + b) a + ab = 2 a⋅a b ab
2
b≠0 ）
b(2a − b) 2ab − b = 2 2 a ⋅b ab
2
2
x + xy x + y ( x + xy ) ÷ x x + y = = 2 2 （ ） x x ÷x x x÷x 1 x （ ） = = 2 2 x − 2 x x − 2 ( x − 2 x) ÷ x x − 2
P6 ?思考 ?思考
联想分数的约分，由例 你能想出如何对 联想分数的约分，由例2你能想出如何对 分式进行约分 约分吗 分式进行约分吗？
x 2 + xy 约分：利用分式的基本性质， 约分：利用分式的基本性质，约去 x 2 2 的分子和 x + xy 分母的公因式 公因式x，不改变分式的值， 分母的公因式 ，不改变分式的值，使 化成 2 x x+ y . x
2
b(2a − b) 2ab − b = 2 2 a ⋅b ab
2
通分: 例4 通分
3 a −b (1) 2 与 2 2a b ab c
2x 3x ( 2) 与 x −5 x +5
思考: 思考
分数和分式在约分和通分的做 分数和分式在约分和通分的做 法上有什么共同点 共同点？ 法上有什么共同点？这些做法根据 了什么原理？ 了什么原理？
约分: 例3 约分
− 25a bc 2 15ab c
2 3
x −9 6 x − 12 xy + 6 y 2 x + 6x + 9 3x − 3 y
2
2
2
约分的基本步骤：（１ 若分子﹑分母都是单项式， 约分的基本步骤：（１）若分子﹑分母都是单项式， ：（ 约简系数，并约去相同字母的最低次幂 相同字母的最低次幂； 则约简系数，并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式 若分子﹑分母含有多项式， 分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 所有的公因式
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适 同乘 a+b 当的整式，不改变分式的值， 当的整式，不改变分式的值，把 和 2a − b 2
பைடு நூலகம்ab
a
化成相同分母的分式 .
a+b （ ） = 2 ab ab 2a − b （ = 2 2 a ab
b≠0 ）
a(a + b) a + ab = 2 a⋅a b ab
4c 4 = 5c 5 a 一般地， 一般地，对于任意一个分数 有： b a a⋅c a a ÷c = = b b⋅c b b÷c
（c≠0） 其中 , b , c是数. ） 其中a 是
2 2c = 3 3c
P5 ?思考 ?思考 类比分数的基本性质， 类比分数的基本性质，你能想出分式有 什么性质吗？ 什么性质吗？
回顾与思考 什么叫做分式？ 什么叫做分式？
如是A 如是A、B表示两个整式， 表示两个整式， 并且B中含有字母， 并且B中含有字母，那么 A 叫做分式． B≠0 叫做分式． B
分式何时有意义？ 分式何时有意义？
分母≠ 分母≠0
如无特别声明,本 如无特别声明, 章出现的分式都 有意义
回顾与思考 由分数的基本性质可知，如果数 ， 由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么
2
A、1个 B、2个 C、3个 D、0个 、 个 、 个 、 个 、 个
2、下列各式中是最简分式的（ B ） 、下列各式中是最简分式的（
a −b x +y A. ；B. b−a x+ y
2 2
2
x −4 2+a C. ；D. 2 x−2 a +a−2
P7 ?思考 ?思考 联想分数的通分，由例 你能想出如何对 联想分数的通分，由例2你能想出如何对 分式进行通分 通分吗 分式进行通分吗？
P8 练习： 练习：
2、通分： 、通分：
2c 3ac (1) 与 2 bd 4b
2 xy x 与 2 (2) 2 2 ( x + y) x −y
小结: 小结
1、分式的基本性质 、 2、如何对分式进行约分、通分 、如何对分式进行约分、
1
分 式 (1)
作
习题16.1 习题16.1
业
4、5 、6、10、11、12 10、11、
分式的基本性质： 分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 分式的分子与分母同乘（或除以） 0的整式，分式的值不变 的整式， 的整式 分式的值不变.
上述性质可以用式子表示为： 上述性质可以用式子表示为： A A⋅C A A÷C = = B B ⋅C B B ÷C （C≠0） 其中 , B , C是整式 ） 其中A 是整式.
P8 练习： 练习：
1、约分： 、约分： 2bc ac
x + xy 2 ( x + y)
2
( x + y) y 2 xy
x −y 2 ( x − y)
2 2
1、下列约分正确的个数有 （ 、
3
A
）
a+m a a ( n − m) 1. = ，. 2 = −1 3 b+m b a ( m − n) 2 + xy a − 2a − 3 a − 3 3. = 0 ，. 2 4 = xy + 2 a + 2a + 1 a + 1
填空: 例2 填空
a+b （ ） = 2 ab ab 2a − b （ = 2 2 a ab
2
a(a + b) a + ab = 2 a⋅a b ab
2
b≠0 ）
b(2a − b) 2ab − b = 2 2 a ⋅b ab
2
2
x + xy x + y ( x + xy ) ÷ x x + y = = 2 2 （ ） x x ÷x x x÷x 1 x （ ） = = 2 2 x − 2 x x − 2 ( x − 2 x) ÷ x x − 2
P6 ?思考 ?思考
联想分数的约分，由例 你能想出如何对 联想分数的约分，由例2你能想出如何对 分式进行约分 约分吗 分式进行约分吗？
x 2 + xy 约分：利用分式的基本性质， 约分：利用分式的基本性质，约去 x 2 2 的分子和 x + xy 分母的公因式 公因式x，不改变分式的值， 分母的公因式 ，不改变分式的值，使 化成 2 x x+ y . x
2
b(2a − b) 2ab − b = 2 2 a ⋅b ab
2
通分: 例4 通分
3 a −b (1) 2 与 2 2a b ab c
2x 3x ( 2) 与 x −5 x +5
思考: 思考
分数和分式在约分和通分的做 分数和分式在约分和通分的做 法上有什么共同点 共同点？ 法上有什么共同点？这些做法根据 了什么原理？ 了什么原理？
约分: 例3 约分
− 25a bc 2 15ab c
2 3
x −9 6 x − 12 xy + 6 y 2 x + 6x + 9 3x − 3 y
2
2
2
约分的基本步骤：（１ 若分子﹑分母都是单项式， 约分的基本步骤：（１）若分子﹑分母都是单项式， ：（ 约简系数，并约去相同字母的最低次幂 相同字母的最低次幂； 则约简系数，并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式 若分子﹑分母含有多项式， 分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 所有的公因式
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适 同乘 a+b 当的整式，不改变分式的值， 当的整式，不改变分式的值，把 和 2a − b 2
பைடு நூலகம்ab
a
化成相同分母的分式 .
a+b （ ） = 2 ab ab 2a − b （ = 2 2 a ab
b≠0 ）
a(a + b) a + ab = 2 a⋅a b ab
4c 4 = 5c 5 a 一般地， 一般地，对于任意一个分数 有： b a a⋅c a a ÷c = = b b⋅c b b÷c
（c≠0） 其中 , b , c是数. ） 其中a 是
2 2c = 3 3c
P5 ?思考 ?思考 类比分数的基本性质， 类比分数的基本性质，你能想出分式有 什么性质吗？ 什么性质吗？
回顾与思考 什么叫做分式？ 什么叫做分式？
如是A 如是A、B表示两个整式， 表示两个整式， 并且B中含有字母， 并且B中含有字母，那么 A 叫做分式． B≠0 叫做分式． B
分式何时有意义？ 分式何时有意义？
分母≠ 分母≠0
如无特别声明,本 如无特别声明, 章出现的分式都 有意义
回顾与思考 由分数的基本性质可知，如果数 ， 由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么
2
A、1个 B、2个 C、3个 D、0个 、 个 、 个 、 个 、 个
2、下列各式中是最简分式的（ B ） 、下列各式中是最简分式的（
a −b x +y A. ；B. b−a x+ y
2 2
2
x −4 2+a C. ；D. 2 x−2 a +a−2
P7 ?思考 ?思考 联想分数的通分，由例 你能想出如何对 联想分数的通分，由例2你能想出如何对 分式进行通分 通分吗 分式进行通分吗？