近世代数--群的概念
近世代数课件-2-2_群的定义
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
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一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
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2.2 群的定义
注：
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一.群的定义及常见的群
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一.群的定义及常见的群
注：
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二. 群的四个等价定义
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三. 几个特殊群的例子
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四. 群的消去率性质
注：
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五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
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六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
近世代数学习系列二十二 群论与魔方
群论与魔方：群论基础知识要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。
群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。
抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。
群的基本定义设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「•」。
如果G 的元素和「•」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, •)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, •)」径直称为「群G」)：1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a • b ∈ G。
2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a • b) • c = a • (b • c)。
3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e • a = a • e = a。
4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a−1 (称为a的「逆元」)，使得a • a−1 = a−1• a = e。
请注意由于「•」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a • b • c。
如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a • a • a写成a3。
我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a−n= (a−1)n。
另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a−1也是唯一的。
根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a • b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a • b)的逆元，而且这个逆元满足(a • b)−1 = b−1• a−1(1)如果(G, •)还满足「交换性」(Commutativity)，即对G中任何两个元素a、b 而言，a • b = b • a，我们便说(G, •)是「交换群」(Commutative Group)或「阿贝尔群」(Abelian Group)。
近世代数2
G有4 个生成元，分别是1, 5, 7, 11。
令a=5，则
50=0 54=8 58=4
51=5 52=10 53=3 55=1 56=6 57=11 59=9 510=2 511=7
二、循环群 (6)
G有6 个循环子群，生成元分别是a1,a2,a3,a4,a6,a12。
令a=1，则
H1=(a1)=(1)={0,1,2,3,4,5 …10,11} 12阶
第二章
2.1
2.2
※2.3
群、环、域
群的基本概念
有限群、循环群 域
2.4
域的特征和素域
2.5 交换环与理想
一、域的概念 (1)
1. 定义
定义2.8 设F是至少有两个元素的集合,在F 中规定两种运算。一种叫加法，它的运算 结果称为‘和’，记作a+b；另一种叫乘法， 它的运算结果称为‘积’，记作a· b。即如 果a,b∈F，则a+b∈F，a· b∈F。如果这两个 运算满足以下规则：
1. 定义
注意：me的含义
定义2.11 设F为任一个域，e为F的单位元。 如果存在正整数m，使me=0，则称F的特征 不为0。适合条件pe=0的最小正整数p，称 作F的特征。 如果对于任意正整数m都有me≠0，就称F的 特征为0。 域的特征实际上是元素e 在域F上
na是n个元素a的加运算，即na=(a+a+…+a)。 与域中定义的乘法无关。
二、域的性质 (3)
2. 关于乘法的性质
性质6：域的单位元是唯一的。 性质7：每个非0元素的逆元素也是唯一的。 (a-1)-1=a。 性质8：消去律成立： 若ab=0，则a,b之中必有一个为0； 若ab=ac，且a≠0，则b=c。
近世代数课件群的概念
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
群的定义
第 5 讲第二章群论§1 群的定义（2课时）本讲教学目的和要求：群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础。
变换群在几何学中起着重要的作用，而有限群则是伽罗华理论（Galois,E[法] 1811—1832）的基础。
在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的一个研究对象就是群。
而群的等价关系可谓“品种繁多”，本讲只是依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念。
本讲的教学里要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元（左单位元、右单位元）和群以及元素的阶要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。
教材中定义的群的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚。
本讲的重点和难点：由于本讲知识群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：（1）半群，幺半群和群的关系.（2）本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路.（3）群的阶和群中元素的阶.本讲的教法和教具：使用多媒体教室中的教学设备，并鼓励学生参与教学活动。
说明：本章教学活动中群的代数运算“ ”习惯上称为乘法（这时群也称为乘群），特殊情况下，“ ”也叫加法并改用“+”表示（群也随之叫做加群）一、 半群定义 1. 设G 为任一非空集合，G 上定义了一个能封闭的代数运算“ ”，如果 “ ”满足结合律，即)()(,,,c b a c b a G c b a =∈∀，那么代数体系},{ G 叫做是一个半群.注：（1）乘法“ ”的表达形式上，以后都用“ab ”来替代“b a ”.（2）在不发生混淆的前提下，半群},{ G 可简记为G .定义2. 设},{ G 是一个半群，那么∙如果乘法“ ”满足交换律，则称},{ G 为可换半群.∙如果G 是有限集，则称},{ G 为有限半群.例1、},{},,{⋅+Z Z 都是半群，并且是可换半群.其中“+”和“·”分别是通常的加法和乘法。
近世代数12群的概念
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
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§2 群的概念
例 1 令 N , Z, Q , R 和C 依次表示正整数集、 整数集、有理数集、实数集和复数集.则 Z, Q ,R 和 C 关于加法分别构成交换群; N 关于加法不构成
群. Q \{0}, R \{0} 和C \{0}关于乘法分别构成交换
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§2 群的概念
设 G 是一个群, a G .由于“ ”适合结合律,因
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
第一章 群 论
2020/6/26
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§2 群的概念
定义 2.1 一个代数运算.若“ ”满足条件:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
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§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：${}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
—一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
群的定义——精选推荐
群的等价定义及证明风雷摘要：群是近世代数一门古老而丰富的分支，交换群在几何学扮演了很重要的角色，有限群建立了伽利略的方程理论，这两个领域为群的发展提供了原始动力.本文主要讨论群的定义，并证明了它们的等价性，我们的主要目的是通过群的定义而获得群的一些基本性质并为以后的学习打下坚实的基础，另外本文还举例说明了群的一些性质在编码中的应用.关键词:群；等价性；单位元；逆元1 引言近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系，即具有一些n 元运算的集合.代数系中最简单的是具有一个二元运算，本文主要论述的群就是这样的代数系，群是近世代数的一个重要分支，在自然科学的许多领域中都有应用，如在自动机理论中就用到半群和群，在信息安全与编码理论中就用到群.群只有一种代数运算，我们已经知道，一个代数运算用什么符号表示是可以有我们自由决定的，有时可以用“ ”，有时可以用“⋅”，在实际运用中，对于一个群的代数运算表示，为便利起见不用“ ”来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写 a b ，而写a b ⋅ ，因此我们不妨就把一个群的代数运算叫做乘法，当然一个群的乘法一般不是普通的乘法，下面主要就群的定义及其证明进行具体分析.2 群的第一定义设G 是一个非空集合，它对于一个叫作乘法的代数运算来说作成一个群，假如 ⅠG 对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ 结合律成立：()()a bc ab c =对于的G 任意三个元素都成立;Ⅲ G 中有单位元素的存在，即存在元素e ，使的对于G 的每一元素a ，都有 ;ea ae a ==Ⅳ G 中元素有逆元，即对于G 的每一个元素a ，存在的G 元素1a -，使得11a a aa e --==.当群的运算“ ”满足交换律时，称(),G 为交换群，或阿贝尔群.例如，整数集Z 关于数的加法构成交换群(),G ，单位元是0，每一个数的逆元是它的负数，Z 关于数的乘法不够成群因为除了1,-1外的数没逆.例1 设G 为整数集，问：G 对运算4ab a b =++ 是否作成群？解：由于对任意整数显然4a b ++为由于惟一确定的整数，故Ⅰ成立.其次，有()(4)(4)48ab c a b ca b c a b c =++=++++=+++同理有()8a bc a b c =+++.因此，对G 中任意元素,,a b c 有 ()()ab c a bc =即Ⅱ成立.又因为对任意整数a 均有(4)(4)44a a a a -=-=-+=.即Ⅲ成立.最后，由于(8)(8)844a a a a a a --=--=--++=- 即Ⅳ成立.因此，整数集对代数运算“ ”作成一个群.例2 设 G ={1,-1,i,-i}，“。
《近世代数》作业参考答案
《近世代数》作业参考答案一．概念解释1．代数运算：一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。
2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G 对乘法运算封闭；2）结合律成立：)()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。
3）对于G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。
3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。
4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。
5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；（2）结合律成立；（3）单位元存在；（4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。
6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若：（1）N b a N b a ∈-⇒∈,（2）N ar N ra N r N a ∈∈⇒∈∈,,7．单射：一个集合A 到A 的映射，a a →Φ:，A a A a ∈∈,，叫做一个A 到A 的单射。
若：b a b a ≠⇒≠。
8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。
（2）R 有单位元。
（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。
10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。
11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。
12．环的单位元：设R 是一个环，R e ∈，若对任意的R a ∈，都有a ae ea ==，则称e 是R 的单位元。
二．判断题1．×；2．×；3． √；4．×；5．√；6．√；7．√； 8，√；9．√；10．√；11．×；12．√13、√ 14、× 15、√三．证明题1． 证：G 显然非空，又任取A ，B G ∈，则1,1±=±=B A ，于是AB 是整数方阵，且1±=⋅=B A AB ， 故G AB ∈，即G 对乘法封闭。
第3节 群的定义及性质
近世 代数
群的三个等价定义
定义2 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数 运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称 G关于乘法“∘”作成一个群. I G关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a ∘ b∈G； II 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G (a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； III G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即 a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a； IV 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左 5/28 逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
近世 代数
群的性质：幂运算规则
性质6 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (2) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (3) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
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近世 代数
元素的阶
定义6 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小 正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在(Z6, )中， [2]和[4]是3阶元， [3]是2阶元， [1]和[5]是6阶元， [0]是1阶元. 在(Z, +)中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
e a b c a e c b b c e a c b a e
近ห้องสมุดไป่ตู้ 代数
群的性质：例题
例3 设群G=(P({a,b}), )，其中为对称差.
解下列群方程
{a}X=， Y{a, b}={b}. 解: X={a}1={a}={a}， Y={b}{a, b}1={b}{a, b}={a}
近世代数1
再证唯一性: 设 [a1]=[a2], [b1]=[b2] ⇒ n | (a1−a2), n | (b1−b2), ⇒ n | (a1−a2)(b1−b2) ⇒ n | (a1b1+a2b2−a1b2−a2b1) ⇒ n | {a1b1− a2b2+(a2−a1)b2+ a2(b2−b1)}⇒ n | (a1b1− a2b2), 所以 [a1a2]=[b1b2]. 所以模 n 的乘法是 Zn*中的一个二元运算. 结合律显然满足. 单位元是 [1]. 对任何 [a]∈Zn*, 由 (a, n)=1 知存在 p, q ∈ Z 使 pa +qn=1, 因而有 pa ≡ l
§2.1 基本概念
定理 4 半群 (G, ·) 是群的充要条件是: 对任何 a,b ∈G, 方程 ax=b 和 ya=b 在 G 中均有解. 必要性: 证 必要性 因为 G 是群, a 有逆元 a-1, 故可得 ax=b 的解为 x=a-1b, ya=b 的解是 y=ba-1. 充分性: 充分性 由定理 3, 只要证明 G 中有左单位元和任 意一个元素 a 有左逆元. 有左单位元: 先证 G 有左单位元 任取 a∈G, 方程 ya=a 有解, 设 其解为 e, 任取 g∈G, 方程 ax=g 有解, 设其解为 b, 即 ab=g, 于是有 eg= eab=ab=g, 因而 e 是左单位元. 有左逆元: 再证 ∀a∈G 有左逆元 因方程 ya=e 有解, 则其解就 是 a 的左逆元.
§2.1 基本概念
一个群的乘法表称为群表 群表有以下性质: 群表, 群表 (1) 每行(列)包含每一个元素. (2) 若 G 是可换群, 则它的乘法表对称于主对角线. 很容易用乘法表来定义一个集合中的二元运算, 但要 定义一个乘法表是群表就不很容易了. 一个乘法表是 群表的充分必要条件请看本节习题第 7 题. 如果一个群 G 是个有限集, 则称 G 是有限群 否则 有限群, 有限群 无限群. 称为无限群 G 的元素个数 |G| 称为群的阶. 无限群 阶 常把可换群中的运算称为加法, 故可换群又叫加群 加群. 加群 加群中的单位元叫做零元 逆元叫做负元 例如 (Z, +) 零元, 负元, 零元 负元 中零元就是 0, x 的负元是 −x.
近世代数--群的概念
1 = m∏ 1 − . pi t =1
s
* 例10 具体写出 Z 5 中任意两个个元素的乘积以
及每一个元素的逆元素．易知 Z = {1 , 2. 3, 4}.
* 5
直接计算，可得 表1.2.1
1⋅1 = 1 2 ⋅1 = 2 3 ⋅1 = 3 4 ⋅1 = 4
{
}
U 的阶等于 (2) 由初等数论可知（参见[1]）， ( m)
φ ( m) 这里 φ (m) 是欧拉函数．如果
r m = p1r1 p22 L psrs ,
其中 p1 , p2 ,L, ps 为的 m 不同素因子，那么
r r φ (m) = ( p1r − p1r −1 )( p2 − p2 −1 )( psr − psr −1 )
所以1是U ( m) 的单位元．
(4) 对任意的 a ∈ U ( m), ，有( a, m) = 1 ， 由整数的性质可知，存在 u , v ∈ Z ，使au + mv = 1, 显然(u , m) = 1, 所以 u ∈ U ( m) ，且
a ⋅ u = au = au + mv = 1 , (因m | mv） u ⋅ a = ua = au = 1，
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法 加法，把运算的 加法 结果叫做和，同时称这样的群为加群 和 加群．相应地, 将 加群 不是加群的群称为乘群 乘群，并把乘群的运算叫做乘法 乘法， 乘群 乘法 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 积 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
近世代数讲义之第2章 群x
� a = a −1 + a − 2 ， a −1 = 4 − a .
至此，根据群的定义知道， Z 关于运算 � 确构成一个群. 另外，根据群的性质，我们易知群有如下等价的定义. 定义 1.1' 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）运算“ � ”满足结合律： a � (b � c) = ( a � b) � c ， ∀a, b, c ∈ G ； （2） G 有单位元素 e ： e � a
( a � b ) � c = ( a + b − 2) � c = a + b − 2 + c − 2 = a + (b + c − 2 ) − 2 = a + (b � c ) − 2 = a � (b � c )
（3）找单位元 e .若 a = e � a = e + a − 2 ，则 e = 2 . （4）对 ∀a ∈ Z ，找逆元 a . 2 = e = a
−1 −1
- 23 -
第二章 群
证明 (1) ⇒ ( 2) ⇒ (3) 是显然的，现在证明 (3) ⇒ (1) . 因为 H 是 G 的非空子集，所以对于 a ∈ H ，由（3）有 e = aa ∈ H ，即 H 有单位元.又对于任 意 a ∈ H ，有 a
−1 −1
= ea −1 ∈ H ，即 H 中的任意元素有逆元，所以 H 是 G 的子群.
第二章 群
第二章 群
本章我们讨论具有一个运算的代数体系——群的结构和性质.
第 1 节 群的概念和性质
定义 1.1 若代数体系 {G； �} 满足以下条件，那么称 G 关于运算“ � ”是群： （1）对于 G 中任意元素 a, b, c ，有 a � (b � c) = (a � b) � c ； （2）在 G 中存在元素 e ，对任意 a ∈ G ，有 e � a = a ； （3）对 G 中任意元素 a ，存在 b ∈ G ，使得 b � a = e . 一般地，称群 G 是乘法群，并简记 a � b 为 ab .特别地，若群 G 的运算“ � ”还满足交换律（ ，则称 G 是加群或交换群（Abel 群） ，并用 a + b 表示 a � b . ab = ba , ∀a, b ∈ G ） 定义 1.2 我们称群 G 所含元素的个数为群 G 的阶数，记为 G .如果 G < ∞ ，则称 G 是有限群， 否则称 G 是无限群. 例 1.1 有理数集合关于数的通常加法运算构成 Abel 群.整数集合关于数的加法运算是 Abel 群， 常称 {Z； +} 为整数加群. Z n 关于加法运算是 Abel 群，常称 {Z n； +} 为剩余类加群（参看第一章第 4 节中有关运算的规定）. {Q ； +} 是无限群. {Z n； +} 是有限群，阶数为 n . +} 和 {Z； 注意， Q ， Z 和 Z n 关于乘法运算都不是群，因为 Q ， Z 中的数 0 及 Z n 中的元素 0 不满足群的 定义条件（3）. 例 1.2 证明： {Z p
近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
近世代数考试复习
近世代数考试复习文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。
如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b） c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a =e .则称G对代数运算做成一个群。
2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。
3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号 + 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。
4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。
5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。
如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。
整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。
6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。
-------------7、素理想：设R是一个交换环，P R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。
第二章 近世代数简介
对于元素A ( x ) = ∑ a i x 和
i i=0
n-1
B (x ) =
n -1
∑ b x ，多项式加“+”定义为：
i i i= 0
n-1
A ( x ) + B ( x ) = ∑ ( ai + bi )mod q xi
i =0
(2-2)
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n-1 n−1 j +k A ( x ) ⋅ B ( x ) = ∑∑ ( a j bk ) x (2-3) mod q k = 0 j =0 mod f ( x )
) 多项式剩余类环的环元素是模f(x)乘的产物，即 A ( x ) ⋅ B ( x除以f(x)的余 式。余式也就是“剩余”类环名称的来历。 [ ] deg n 如果f(x)的最高次幂是n，称此f(x)是n次多项式，写做 deg [ f ( x)] =。这 里 表示阶次degree。显然，多项式剩余类环Rq ( x ) f ( x)中所有环元 素的次数不高于n-1次，通式形式为：
∀a, b ∈ I , ∃a − b ∈ I ; ∀a ∈ I , r ∈ R, ∃a r = r a ∈ I ,
则I是R的理想子环，建成理想。 与一般子环相比，理想子环要求更多的条件：R必须是交换环且具 有凝聚力，即任意一个子环元素与任意一个非子环的环元素运算后所得 的元素一定位于子环内。 环R的任意多个理想子环的交集仍是R的理想子环。
②结合性（Associativity），即
∀ a , b ∈ G , ∃ a * (b * c ) = ( a * b ) * c o
③存在惟一的一个单元e（Identity），即
∀a ∈ G ,∃a * e = e * a = a o
群论
124第7章 群论第七章中我们介绍了近世代数的一些基本概念，有了这些初步的准备，这一章我们来介绍群这个含有一个代数运算的重要的代数系统．§1群的定义群是含有一种代数运算，这个代数运算一般用符号 或•来表示，有时为了方便也可能直接用普通加法或乘法符号来表示，或者省略运算符号，仅写为ab ，所以有时就把代数运算叫做乘法．请大家注意区分它和普通乘法的不同．定义1设G 是一个非空集合，在G 上的一个二元运算 ，若 满足结合律，则称G 为一个半群．引入半群的目的是为了更方便的介绍群的概念, 下面先介绍几个名词．定义 2 设G 为一个半群，如果存在元素G e L ∈， 对于任意的G g ∈，都有g g e L = ，那么就称L e 为G 的一个左单位元；如果存在元素G e R ∈，对于任意的G g ∈，都有g e g R = ．那么就称R e 为G 的一个右单位元；若e 既为G 的一个左单位元，又为G 的一个右单位元，则称e 为G 的一个单位元．注 半群既可以没有左单位元，又可以没有右单位元或者仅有左单位元或右单位元．但是，若两者都存在，则一定相等，即为单位元．因为e e e e e R L R L === ．定义 3 ),( G 是含右单位元e 的半群，称G 中元素g 是右可逆，如果存在G g ∈′，使e g g =′ ，称g ′为g 的右逆元；称G 中元素g 是左可逆，如果存在 G g ∈′′，使e g g =′′ ，称g ′′为g 的左逆元；称G 中元素g 是可逆元，如果存在G g ∈−1，使125e g g g g ==−− 11，称1−g 为g 的逆元．显然，若G g ∈，g 既有左逆元，又有右逆元，则两者必定相等，并为G 中元素g 得逆元．有了半群、单位元、逆元的概念，即可引入群的定义．定义 4 一个有单位元的半群),( G ，叫做一个群，如果G 的每一个元都为可逆元．换言之，一个非空集合G ，给定G 上的一个二元运算 ，若以下条件满足（１）任意,,G b a ∈则G b a ∈ ；（２）结合律成立：对任意的G c b a ∈,,有)()(c b a c b a =；（３）G 中存在唯一的单位元G e ∈，对任意的G g ∈都有g e g g e == ；（４）G 中任意元素g ，存在G g ∈−1使e g g g g ==−− 11．则称),( G 为一个群．在群的定义中，（1）是多余的，因为已知 是集合G 上的一个二元运算，当然任意两个元素的运算结果仍在G 中，此处只是强调一下G 对 是封闭的．定义了群之后，来看几个群的例子．例1 G 只包含一个元素g ，二元运算定义为g g g = ，则G 对于这个二元运算来说做成一个群．（1） 结合律满足；（2）存在单位元g ；（3）对G 中元素g ，存在逆元g ．例2 全体不等于零的有理数对于普通乘法来说做成一个群．结合律成立．单位元为1．a 的逆元为a1．126例3 Z n ∈，模n 剩余类}1,,1,0{}|]{[−=∈=n Z k k Z n ,二元运算定义为模n 加法，则),(+n Z 构成一个群．（1）结合律成立；（2）单位元为0；（3）0的逆元为0，1的逆元为1−n ，以此类推．例4 模m 的简化剩余系*m Z 对于模m 乘法运算构成一个群．证明 (1) 对任意的,,*m Z b a ∈ 都有,1),(,1),(==m b m a 所以*,1),(m Z ab m ab ∈=．（2）对于模m 乘法，结合律显然成立．（3）单位元为1．（4）对任意的m Z a *∈，存在唯一的1−a ，使)(mod 11m a a =⋅−，故*m Z 中每一个元素都有逆元．以上三个例子中，例1，例3 ，例4的非空集合元素个数为有限多个，例2 元素个数为无限多个．定义5 假如一个群的元的个数是一个有限整数，这个群叫做有限群，否则，这个群叫做无限群．一个有限群的元的个数叫做这个群的阶．记为G ．从群得定义我们知道群满足结合律，而对于交换律，则不一定成立．定义6 一个群),( G ，假如对任意的G b a ∈,，都有 a b b a =．则这个群叫做交换群（也叫Abel 群）．还有一个重要概念是利用单位元e 来定义的．定义7 若群G 的一个元g ，能够使得e gm =的最小的正整数m 叫做g 的阶（或周期）．若这样的m 不存在，则称g 的阶为无限．此处定义的g 的阶类似于初等数论中定义g 的指数)(g m δ，在前面的介绍中我们知道指数满足如下性质：对任给的整数d ，如果)(mod 1m gd ≡，则d g m |)(δ．127在此处元素的阶也有类似的性质．定理1 设a 的周期为m ，当且仅当n m |时，e a n=．证明 设n m |，则存在整数k ，使得mk n =．于是 e e a a a k k m mk n ====)(．反之，设e a n=，但n m |/，则r mk n +=，m r <≤1．于是 r r r mk n a ea a a e ====+，与m 是a 的周期矛盾．实际上，群中元素的阶的定义与模的既约剩余系中元素的指数定义是一致的，所不同的是，在模的既约剩余系中，当时我们并没有提到群的概念．而在本质上，模的既约剩余系关于剩余类的乘法运算就构成一个有限群，元素的指数即为元素的阶（群中）．最后我们来证明群的一个等价的定义．定义4′ 设),( G 是一个半群，如果对于G 中任意,,b a 方程b a y b x a == ,在G 中都有解，则G 为一个群．证明 （1）先证G 中有单位元e ． 令b b y = 的一个解为L e ，则b b e L = ．对任意的,G a ∈ 因为a x b = 有解c ，于是， ()()a c b c b e c b e a e L L L ==== ，L e 为G 的左单位元．同样可以证明b y b = 的解R e 为G 的右单位元．所以e e e R L ==为G 的单位元．（2） 下证对任意的G a ∈，逆元1−a 存在．显然e a y = 的解a ′为a 的左逆元，而e y a = 的解a ′′为a 的右逆元，a a e a a a e a a ′′=′′=′′′=′=′．故两者相等为a 的逆元，所以G 为一个群．从群的等价定义4′可以知道，在群中，一元一次方程有解且解唯一．例5 设b a ,是群G 的元素，a 的阶为p ，b 的阶为q ，（q p <为不同的素数），且 ba ab =，则ab 的阶为pq ．128证明 设ab 的阶为r ，由题设知e b a ab pq pq pq ==)(，故pq r |．所以 ,,,1q p r =或q p 中的一个．1=r 显然是不可能的，若p r =，则p p p p b b a e ab ===)(，因为q p <，所以与b 的周期为q 矛盾．若q r =，则q q q q a b a e ab ===)(从而q p |，此与q 为素数矛盾．所以pq r =．§2 循环群在上一节中给出了群的定义，这一节中，我们介绍一种很重要的群—循环群，并重点研究循环群的结构．研究群的结构是群论的主要目的．到目前为止，仅有少数几类群的结构完全被大家所了解．而对于多数群的结构，目前还有待继续研究．值得说明的是，本节中我们将代数运算通称为乘法．定义 1 若一个群G 的每一个元都是某一固定元a 的乘方，}|{Z n a G n∈=，则称G 为循环群，我们也说，G 是由元a 所生成的，记为)(a G =，a 叫做G 的一个生成元．我们先举两个循环群的例子．例1 ),(+=Z G 是一个循环群，因为)1(=G ．例2 G 包含模n 的n 个剩余类，代数运算定义为模n 加法．剩余类的每一个元可以写成i ，10−≤≤n i ．显然，1是G 的一个生成元．这两个例子具有一定的代表性，例1中的群),(+Z 通常叫做整数加群，生成元1是无限阶的．例2中的群),(+n Z 通常叫做模n 的剩余类加群，生成元1的阶为n ．例3 前面我们证明了模m 的简化剩余系*m Z 构成一个群，当模m 有原根g 时，则g 为*m Z129的生成元，且任给i ，满足1))(,(=m i φ，则i g 亦为*m Z 的生成元，并由此可看出，*m Z 的生成元共有))((m φφ个．通过下列定理可以知道，所有的循环群只有两类．而例1与例2中两个具体的群即为两类循环群的代表．定理1 假定G 是一个由元a 所生成的循环群，当a 的阶无限时，那么G 与整数加群同构；若a 的阶是一个有限整数n ，那么G 与模n 的剩余类加群同构．证明 令 k a k :φ首先证明φ为G 到),(+Z 的映射：即证明k h a a k h =⇒=．反证法：若k h a a =而k h ≠，假定k h >，则得到e a k h =−，与a 的阶无限矛盾．所以φ为G 与整数加群),(+Z 间的映射．又因为k h a a ≠⇒k h ≠，所以φ为单射．显然φ为满射，所以φ为一一映射．又因为)()()()(k h k h k h a a k h a a a φφφφ=+==+．因此φ为同构映射．故G 与整数加群同构．（2）a 的阶是一个有限整数n ，令h a h :ϕ下证ϕ为G 到),(+n Z 的群同构映射．由第1节定理及初等数论中剩余类的性质知：130k h k h n e a a a k h k h =⇔−⇔=⇔=−，所以ϕ映射并且为单射．显然ϕ为满射，所以ϕ为一一映射．又因为k h a a a k h k h +=+==+)()(ϕϕ．所以ϕ为G 与模n 的剩余类加群的同构映射．得证．至此，我们对循环群的存在及构造问题就完全掌握了．但是一般的群构造极其复杂，很难得到象循环群类这样的完美结果．§3 变换群、置换群在前面介绍的群的例子中，集合上的二元运算都是一些具体的普通加法或乘法运算，本节讨论变换群，它的元素不再是普通的数，二元运算也不再是我们通常的四则运算．变换群虽然是一类具体的群，但从同构的概念上，任何抽象群都可以在这类群中找到同构的群．因此通过对变换群的研究，有助于帮助了解抽象群．首先我们再回顾一下以前介绍过的集合A 上的变换．定义1 A 是给定的集合，我们称A 到A 的一个映射A A →:φ为集合A 上的一个变换．A 到A 的一个一一映射称为A 上的一个一一变换．A 到A 的恒等映射称为A 上的恒等变换．考虑集合A 上的所有变换的全体，记为集合S ，规定变换的合成 为S 上的代数运算，显然恒等变换为S 的单位元，由第６章的基本概念知 满足结合律．因此),( S 是一个含有单位元的半群．通常),( S 并不能构成一个群．但S 的子集G 对于上述运算却有可能构成一个群．下面定理说明了),( G 构成群的一个必要条件．定理 1 假如G 是集合A 的若干个变换所作成的集合，并且包含恒等变换ε，若是对于变换的合成来说G 作成一个群，那么G 只包含A 的一一变换．证明 若G 关于变换的合成构成群．则对于任意的G 的元素φ，一定存在1−φ，使εφφφφ==−−11．下证φ为A 上的一一变换．任给A a ∈，131a a a a ===−−)())(()(11εφφφφ，所以φ为满射．若)()(b a φφ=，则b b b a a a =====−−−−)())(())(()(1111φφφφφφφφ．所以φ为单射．定理得证．定义2 一个集合A 的若干个一一变换对于变换的合成作成的群，叫做A 的一个变换群． 我们给出了变换群的定义，但是是否存在变换群，即能否找到若干个一一变换作成变换群呢？我们来看如下定理．定理 2 一个集合A 的所有一一变换作成一个变换群G ．证明 （1）首先证明集合G 对合成运算封闭．若21,φφ为一一变换，则21φφ也是A 上的一一变换．先证21φφ为满射：对任意A a ∈，因为21,φφ为一一变换，所以存在A a a ∈′′′,，使得a a =′)(2φ，a a ′=′′)(1φ，故存在A a ∈′′，使a a =′′)(21φφ．再证21φφ为单射：若b a =/，则)()(22b a φφ≠，)]([)]([2121b a φφφφ≠．因此21φφ也是A 上的一一变换．2） 结合律显然成立．3） 恒同变换ε为一一变换，即为单位元．４）若是φ一个一一变换，那么有一个A 上变换φ′，对任意A a ∈，定义()a a φφ:′容易证明φ′满足εφφφφ=′=′．所以1−=′φφ．定理得证．在证明任意抽象群同构于一个变换群之前，首先需要证明以下结论．132定理 3 ),( G 是一个群，G ′是定义了一个二元运算•的非空集合，如果存在一个G 到G ′的同态满射，对任意的G b a ∈,有)()()(b a b a φφφ•= ，则),(•′G 也是一个群．证明 因为φ是G 到G ′的同态满射，G 的二元运算 适合结合律，由第6章的定理知，G ′的二元运算•也适合结合律．若e 是G 的单位元，e e ′=)(φ，下证e ′是G ′的单位元，任意的G x ′∈′，存在,G x ∈ 使得x x ′=)(φ故)()()()()()()()(x e x x e x e x x e φφφφφφφφ=•=•⇒== ．从而x e x x e ′=′•′=′•′，即e ′是G ′的单位元．任取G a ′∈′，存在,G a ∈a a ′=)(φ同理e a a a a e a a a a ′=•=•⇒==−−−−)()()()()()()(1111φφφφφφφ ．可知G a ′∈−)(1φ为a ′在G ′中的逆元．从而),(•′G 也是一个群．下面定理在群的理论上是一个非常重要的结果．它使任何一个抽象的群跟一个具体的变换群联系在一起．定理4 （Cayley 定理）任意群都与一个变换群同构．证明 对于任意的G g ∈，作集合G 的下述变换 gx x g :τ133则g τ是G 的一一变换．事实上，因b gx =在G 中有解，故对任意,G b ∈存在G x ∈使()b x g =τ，即g τ是G 到G 的一个满射．又因为2121gx gx x x ≠⇒≠，故g τ是G 到G 的一个单射．从而g τ是G 到G 的一个一一变换．由于())()()()())((x x gh hx g hx x x gh g h g h g ττττττ=====•,故对任意的G h g ∈,都有,gh h g τττ=•即}|{G g G g ∈=′τ关于映射的合成是封闭的．令g g τφ :．显然φ为G 到G ′的满射，设h g ≠，则存在,G x ∈ )()(x x hx gx h g ττ≠⇒≠，即h g ττ≠，所以φ是G 到G ′的一一映射．又因为)()()(h g gh h g gh φφτττφ•=•==，由定理 3知G ′是一个群，且G G ′≅．即G 同构于集合G 上的一个变换群．从定理4知，从同构的角度，任意抽象群对应一个变换群．也就是说，如果对于抽象群的研究也可以转换成变换群研究．由此即可看出变换群在群论中的特殊地位，但往往变换群的结构并不比抽象群更容易．下面我们讨论一类简单的变换群，即有限集合A 上的一一变换群．一般一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换．所以我们得到置换群的定义．定义 3 一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群．134置换群是变换群的特例，在高等代数中都介绍过，在此我们将一些主要结论简单回忆一下．我们知道，n 个元的置换有!n 个，这!n 个n 次置换关于置换合成作成的群叫做n 次对称群，用n S 表示．故n 次对称群n S 的阶为!n ．现在我们规定一个新符号．定义4 n S 的把1i a 变到2i a ，2i a 变到k i i a a ,,3 变到1i a ，而使其余元（假如还有的话）不变的置换，叫做一个k －循环置换．我们用符号()k i i i 21来表示．特别地，当2=k 时，称()21i i 为一个对换．每一个n 个元的置换π都可以写成若干个互不相交的循环置换的乘积，而每一个循环置换可以表示成对换的乘积．虽然每个置换表示成对换的乘积时，表示法不唯一，但奇偶性不变．通常将表示成偶数个对换的置换为偶置换，表示成奇数个对换的置换为奇置换．!n 个n 次置换中奇偶置换各占一半．所有的偶置换构成一个置换群，称为n 次交代群．最后我们描述在有限群下的Cayley 定理．定理 5 每一个有限群都与一个置换群同构．定理5说明了，每一个有限群都可以在置换群中找到例子．置换群是一种比较容易计算的例子．因此利用定理 5寻找有限群的例子是一种较好的方法．例1 设)(a G =是n 阶循环群，则G 与置换群G ′同构，求G ′．解 由于G 是n 阶循环群，故G ′也是n 阶循环群．为了找到G ′，只要找到G ′的生成元即可．G G ′≅，故G 的生成元的象即为a 的象．由Cayley 定理的证明知n f a ：ax x()n e a a a a a a e f n n 213212=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−， 即()()n G 21=′．例2 证明：4S 有生成元{)41(),31(),21(}．证明 因为任一置换可表示成对换的乘积．4S 中不同的对换为{)43(),42(),32(),41(),31(),21(} 只需证明由)41(),31(),21(可生成)43(,)42(),32(即可．135)231()31)(21(=， )431()31)(41(=，)241()41)(21(=， )341()41)(31(=，)321()21)(31(=， )421()21)(41(=，)43()43)(21)(21()431)(231)(21(==，)32()32)(41)(41()341)(241)(41(==，)42()42)(31)(31()421)(321)(31(==，所以由)}41(),31(),21{(=S 可生成4S ．例3 证明：3S 不是交换群．证明 3S 有 6个元．这6个元可以写成I ，)12(，)13(，)23(，)123(，)132(因为)123()23)(12(=≠)132()12)(23(=所以3S 不是交换群．§4 子群 子群的陪集集合论中我们学了子集的概念，在群论中，集合G 的非空子集合H 对于G 上的二元运算是否也可构成一个群．我们规定定义 1 群() ,G 非空子集H ，若对于G 的运算作成群，则说H 是G 的一个子群．我们用符号G H ≤表示．给定一个任意群G ，则G 至少有两个子群G 和}{e ，称之为平凡子群；其它的子群，称为G 的真子群．例1 设136},,1|{Z n C x x x G n ∈∈==∗，∗C 表示除去零元素以外的复数域，对于某个固定的n ，},1|{∗∈==C x x x H n构成G 的子群．因为任取H x x ∈21,，1)(21=nx x ，故H x x ∈21．G 中的元素满足结合律，所以H 中的元素也满足结合律．,11=n 所以H 中有单位元． H x x x x n n n ∈⇒==⇒=−−−1111)()(1，即H 是一个子群．例2 模4的剩余类加群}3,2,1,0{),(4=+Z ，4Z 和}0{为其平凡子群．}2,0{=H 为其真子群．子群的定义给出了子群的判定方法，以下介绍一个更简单的判定方法，而不需要每次验证子集合H 是否符合群的所有条件．定理 1 H 为群G 的非空子集，H 作成G 的一个子群的充分必要条件是⑴ H ab H b a ∈⇒∈,；⑵ H a H a ∈⇒∈−1．证明 充分性：因为由⑴可知H 是闭的．结合律在G 中成立，在H 中也成立．又因为H 中至少有一个元a ，由⑵知H 中含有1−a ，所以由⑴得 H e aa ∈=−1．故H 中存在单位元．因此H 构成一个群．反过来，若H 作成一个群，则⑴显然成立．下证（2）成立．因为H 是一个群，H 有单位元e ′．任意的H a ∈，a e a a e =′=′．由于G e a ∈′,，所以e ′是a ya =在G 的解．但这个方程在G 里只有一个解，就是G 的单位元e ，所以H e e ∈=′．因为H 是一个群，方程e ya =137在H 中有解a ′，a ′也是这个方程在G 里的解，而方程在G 里有且只有一个解1−a ，所以，H a a ∈=′−1．证毕．推论 1 H 为群G 的非空子集，H 作成G 的一个子群的充分必要条件是H ab H b a ∈⇒∈−1,．有了子群的概念，我们讨论循环群的子群的结构．定理2 循环群的子群仍为循环群。
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所以结合律成立．
(3) 对任意的 a,b Zm ,
a b a b b a b a,
所以交换律成立．
(4) 对任意的 a Zm ，
a 0 a 0 a,
且
0 a 0 a a,
的代表元的选取无关即可．设
a a ', b b ',
则
m | a a ', m | b b '.
于是 m | (a a ') (b b ') (a b) (a ' b '),
m | (a a ')b (b b ')a ' (ab) (a 'b ').
从而
a b a ' b ', ab a 'b'. 所以+与 都是Zm上的代数运算.
的逆元记作 a, 并称a为 a 的负元．
2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋” 来表 示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的 结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地, 将 不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法， 运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号 通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定 群的运算是乘法．当然, 所有关于乘群的结论对加群 也成立（必要时, 作一些相关的记号和术语上改变）．
a b b a e. 则称 G关于运算“ ”构成一个群（group），记作 (G,) ．在不致引起混淆的情况下, 也G称为群．
注 1．(G2)中的元素 e 称为群 G的单位元
（unit element）或恒等元（identity）；
(G3)中的元素 b 称为 a 的逆元（inverse）．
我们将证明：群G 的单位元 e 和每个元素的逆元 都是惟一的．G中元素 a的惟一的逆元通常记作a1．
定义1.2.2 设G是一个非空集合，“ ”G是 上的 一个代数运算，即对所有的a,b G,有 a b G. 如 果G的运算还满足
(G1) 结合律，即对所有的a,b,c G, 有； (a b) c a (b c);
(G2) G中有元素e，使对每个a G ，有
e a a e a; (G3) 对G中每个元素 ，存在元素b G，使
所以x有逆元 xn1 ．
因此 Un关于数的乘法构成一个群．通常称这个群为
n次单位根群，显然U
是一பைடு நூலகம்具有
n
n个元素的交换群．
例８ 设 m是大于1的正整数，则 Zm关于剩余 类的加法构成加群.这个群称为Z 的模 m剩余类加群．
证 (1) 由例２知，剩余类的加法“＋”是Zm 的
代数运算． (2) 对任意的 a,b ,c Zm ，
（finite group），否则称G为无限群（infinite group).
例３ 整数集Z 关于数的加法构成群．这个群
称为整数加群．
证 对任意的 a,b Z ，有a b Z，所以“＋”
是 Z上的一个代数运算．同时，对任意的a,b,c Z,
有
(a b) c a (b c),
所以结合律成立.
2．如果群 G的运算还满足交换律，即对任意的 a,b G ，有 a b b a ，则称G 是一个交换群
（commutative group）或阿贝尔群（abelian group)．
3．群G 中元素的个数称为群 G的阶（order），
记为| G ．| 如果| G 是| 有限数, 则称 G为有限群
例６ 集合{1, 1,i, i}关于数的乘法构成交换群
例７ 全体 n次单位根组成的集合
Un {x C | xn 1}
cos
2k
n
i sin 2k
n
k
0,1,2,L
, n 1
关于数的乘法构成一个n阶交换群．
证 (1) 对任意的 x, y Un，因为xn 1, yn 1,
所以
(xy)n xn yn 11 1,
例１ 有理数的加法、减法和乘法都是有理数集 Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算．如果只考
虑所有非零有理数的集合Q*, 则除法是Q*上的代数运 算.
例２ 设 m 为大于1的正整数，Zm为Z 的模 m
剩余类集．对 a,b Zm ，规定 a b ab a b ab.
则“＋”与 “ ”Z都m是 上的代数运算． 证 我们只要证明, 上面规定的运算与剩余类
另一方面 0 Z，且a Z,有 a 0 0 a a,
所以0为 Z 的单位元. 又对每个a Z, 有 a (a) (a) a 0,
所以a是 a的逆元.
从而 Z关于“＋”构成群，显然这是一个交换群．
注 1．当群的运算用加号 “＋”表示时，通常
将G 的单位元记作0，并称0为G 的零元；将 a G
§1.2 群的概念
❖ 群的定义 ❖ 群的性质 ❖ 群的判别
一．群的定义
定义1.2.1 设A是一个非空集合, 若对A中任意 两个元素a,b, 通过某个法则“ ”，A有 中惟一确定的
元素c与之对应, 则称法则“ ”为集合上的一个代数运 算（algebraic operation）．元素c是a,b,通过运 算“ ”作用的结果, 我们将此结果记为a b c.
因此 xy Un．于是“ ”是Un 的代数运算．
(2) 因为数的乘法满足交换律和结合律，所以Un
的乘法也满足交换律和结合律．
(3) 由于 1Un，且对任意的 x Un ，
1 x x1 x
所以1为U
的单位元．
n
(4) 对任意的 x Un ，有 xn1 Un ，且
x xn1 xn1 x xn 1,
例４ 全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法
构成交换群, 这个群的单位元是数1，非零有理数
a
a
b
b
的逆元是
的倒数
b
a ．同理，全体非零实数的
集R*、全体非零复数的集合C*关于数的乘法也．
构成交换群．
例５ 实数域R上全体 n 阶方阵的集合 Mn (R)， 关于矩阵的加法构成一个交换群．全体 n阶可逆 方阵的集合GLn (R)关于矩阵的乘法构成群，GLn (R) 群中的单位元是单位矩阵 En ，可逆方阵 AGLn (R) 的逆元是 A 的逆矩阵 A1. 当 n 1 时，GLn (R) 是一个非交换群．
所以0为 Zm的零元．