抽象代数-小阶群
抽象代数一习题答案
抽象代数一习题答案在抽象代数中，习题通常涉及群、环、域等代数结构的定义、性质和例子。
以下是一些抽象代数习题的答案示例。
习题1：证明如果一个群G是阿贝尔群，那么它的每个子群也是阿贝尔群。
答案：设H是群G的一个子群。
由于G是阿贝尔群，对于任意的a, b属于G，我们有ab = ba。
现在考虑任意的h1, h2属于H。
由于H是G的子群，h1和h2也属于G。
因此，我们有h1h2 = h2h1（因为h1h2和h2h1都是G中的元素，并且G是阿贝尔的）。
这表明H中的元素满足交换律，所以H也是阿贝尔群。
习题2：证明如果一个环R有单位元，那么它的每个理想都是主理想。
答案：设I是环R的一个理想，我们需要证明I是一个主理想，即存在一个元素r∈R使得I = (r)，其中(r)表示由r生成的理想。
由于R有单位元1，考虑元素1 - r。
由于I是理想，1 - r也属于I。
因此，我们有1 - r = a(r) + b，其中a, b属于R。
将等式两边乘以r，我们得到1 = ar + rb。
这意味着r(1 - ar) = rb。
由于1 - ar属于I（因为I是理想），我们有r属于I。
现在，对于I中的任意元素x，我们可以写x = (1 - ar)x + arx。
由于ar属于I，(1 - ar)x也属于I。
因此，x = r(1 - ar)x，表明x可以由r生成。
所以I = (r)，证明完成。
习题3：证明如果一个域F的元素a不是单位元，那么a的阶是有限数。
答案：设a是域F中的一个非单位元。
我们需要证明存在一个正整数n使得a^n = 1。
考虑集合{1, a, a^2, a^3, ...}。
由于F是域，它没有零除数，因此a^n ≠ 1对于所有n。
这意味着集合中的元素都是不同的。
然而，域F是有限的，因此不可能有无限多不同的元素。
因此，必须存在最小的正整数n > 1，使得a^n = a^1。
这意味着a^(n-1) = 1，所以a的阶是有限的。
抽象代数
案例11.分数化小数-- 循环节长度
• 数学聊斋: 商家打折: 1428元? • a=1/7=0.142857… • 循环节D=106a-a= 142857=(106-1)/7. • q/p=a的循环节 D=(10d-1)q/p=整数. • 最小的d使 10dq≡q(mod p) • 当 p是素数(≠2,5), 10d≡1(mod p) • D是 10在乘法群 Zp*中的阶,整除 p-1 • 混循环: (10d-1)10kq≡0(mod p).
2020/3/2
案例分析乘法群元素的阶
• 例:q/7. 10k (k=1,2,…)模7余3,2,6,4,5,1，d=6. • 循环节D=q(106-1)/7=142857q. 1/7=a=142857… • 对k=1,2,…,5, 10ka-qk=(10k-7qk)/7=rk/7。 • 将D前k位移到末尾,得到D的rk(=3,2,6,4,5)倍。 • 推广：1/a的循环节轮换排列都得到D的rk倍。 • 仅当d=n-1时得到所有各倍循环群的生成元 • 另例:1/17=0.0588235294117647…。1/19= • 更多性质：142+857=999，14+28+57=99。
2020/3/2
满足条件 J2 = -I.
推广. 域的代数扩张
• 无中生有: 为域F上多项式f(x)造根。 • 强制规定[f(x)]=[0]: 在F[x]中生成理想 (f(x)). • 同余类环 E=F[x]/(f(x))中[f(x)]=[0], [x]是根. • f(x) 在 F[x] 中不可约: E 是F的代数扩域. • 设d=deg f(x), 则 E 是 F 上 d 维空间,[E:F]=d. • 造矩阵根: F上线性变换[g(x)][x][g(x)] 在基
考研抽象代数知识点浓缩
考研抽象代数知识点浓缩考研抽象代数组合知识点浓缩抽象代数是数学的一个分支，是研究代数结构的一门学科。
在考研数学中，抽象代数是一个重要的考点，涉及的内容较为广泛。
本文将浓缩抽象代数的知识点，帮助考生快速掌握和理解相关的概念和方法。
一、群论群是抽象代数中最基本的代数结构。
它是一个代数系（或代数对象），满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。
群可以通过定义运算和运算规则来描述，常用的群有交换群和非交换群。
1. 子群：给定一个群G，如果集合H是G的非空子集，并且H对G的运算也构成一个群，那么H称为G的子群。
2. 环：环是一种具有两个运算的代数系统，满足加法封闭性、加法结合律、加法单位元、加法逆元、乘法封闭性、乘法结合律和分配律的性质。
3. 域：域是一种具有两个运算的代数系统，满足环的所有性质，且乘法交换律成立，并且存在乘法单位元，并且对于每个非零元素，存在乘法逆元。
二、线性代数线性代数是抽象代数的重要分支之一，研究向量空间、线性映射和线性方程组等问题。
1. 向量空间：向量空间是一个集合，具有加法运算和数乘运算，并满足加法封闭性、加法交换律、加法结合律、加法单位元、数乘封闭性、数乘结合律和分配律的性质。
2. 线性映射：线性映射是指保持向量空间的加法运算和数乘运算的映射关系。
线性映射可以用矩阵表示，并可以通过对矩阵的运算来进行分析和求解。
3. 线性方程组：线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，每个线性方程有多个未知数，并且每个未知数的系数都是线性的。
线性方程组的求解可以通过高斯消元法、矩阵的逆和矩阵的秩等方法来进行。
三、环论环论是抽象代数的另一重要分支，研究环、域和理想等问题。
1. 整环：整环是一个满足环的所有性质，且没有零因子的交换环。
2. 理想：理想是环的一个子集，对环的加法和乘法运算都是封闭的，并且满足加法逆元、乘法单位元和乘法分配律的性质。
3. 有限域：有限域是一个有限元素个数的域。
在有限域上，乘法和加法运算都是封闭的，并且存在加法逆元、乘法单位元和乘法逆元。
抽象代数群的定义课件
群的量子表示
量子表示的定义
将群中的元素映射到量子态，形 成一个量子群。量子表示是群表 示的一种形式，可以用于研究群 的量子性质和结构。
量子表示的优点
19世纪中叶，数学家开始系统地研究群论，并发现了群的许多重要性质和定理。
20世纪初，群论得到了进一步的发展和应用，特别是在物理、化学和计算机科学等 领域。
现代群论已经发展成为一个非常广泛的数学领域，包括了许多分支和应用，如有限 群、无限群、李群、拓扑群等。
群论的现代研究
现代群论的研究涉及到许多领域，如 几何学、代数学、物理学和计算机科 学等。
运算结果仍属于这个集合。
群的基本性 质
群是一个封闭的代数结构，即其二元 运算满足封闭性。
群中存在一个特殊的元素，通常记为 $e$或$I$，称为单位元，满足对于任 意群元素$a$，有$e cdot a = a cdot e = a$。
群中的运算满足结合律，即对于任意 三个群元素$a, b, c$，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
量子表示可以描述更复杂的量子 现象和量子系统，能够更好地揭 示群的本质和内在规律。此外， 量子表示还可以通过计算机编程 实现，方便进行大规模的计算和 研究。
量子表示的应用
量子表示在量子计算、量子信息、 量子物理等领域都有广泛的应用。 例如，在量子计算中，各种量子 算法可以用量子态来表示，而在 量子通信中，各种量子态也可以 用量子态来表示。
现代群论的研究还涉及到许多实际应 用，如密码学、计算机图形学和量子 计算等。
《抽象代数》阶数比较小的群
《抽象代数》阶数⽐较⼩的群l 分类⽤到西罗定理，半直积，和素数幂阶群的⼀些性质。
n p群的中⼼⾮平凡。
n p群中有指标为p的⼦群。
（证明：若群G是交换群，取⾮单位元素x，若x⽣成G，则G是循环群，有指标为p的⼦群（循环群的⼦群阶只要整除|G|就有这样的⼦群并且唯⼀）。
如果x不⽣成G，归纳考虑G/<x>。
若G不是交换群，归纳考虑G/Z(G)。
）n 指标为2的⼦群是正规⼦群。
n 如果G的正规⼦群N是交换群，则G/N作⽤于N上（代表元的共轭作⽤，类似平⾯离散刚体群中，点群作⽤于平移群上）。
l 素数阶群都是循环群C p，这些群的⾃同构群也是循环群C p-1。
包括2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,⼀共25个。
l 2p阶群中，由西罗定理，p阶⼦群唯⼀，是正规⼦群。
2阶群中⾮单位元的共轭作⽤或者是平凡作⽤，或者将Z/pZ中1映射为p-1。
前者得到C2p，后者得到D p。
由于模2p是有原根存在的，因此Aut(C2p)≌C p-1。
D2p的⾃同构群保持C p不变，将反射应为任何⼀个反射，表⽰为(ρ,r)→(ρk,ρl r)，计算同构的复合来考察⾃同构群结构，发现Aut(D2p)≌C p-1与C p的半直积，⽅便起见记为C p-1┠C p（不是通⽤的符号）。
l 上⼀个类型可以推⼴到2p a阶群，得到循环群或⼆⾯体群两种类型。
对应的Aut(D2pa)≌Aut(p a)┠C pa这两种类型包括的阶有6,10,14,18,22,26,34,38,46,50,54,58,62,74,82, 86,94,98。
⼀共18个。
l 2的幂次阶群：n 2阶群只有C2,n 4阶群有C4或C2xC2。
n 8阶群u 8阶交换群有C2xC2xC2,C2xC4,C8。
下设G⾮交换。
u G的4阶⼦群K是C4或者C2xC2，⽽且是正规⼦群。
17.群(小本习题集)
a=a^(np+mq)=a^np a^mq=a^mq=(a^m)^q
因为a^m∈H, 所以 (a^m)^q ∈ H 即a∈ H
1.1.67,设G是一个非交换群，则G中存在a=!b使得ab=ba,且a,b都不是单位元。
证明： 存在a∈G 使得a=!a^-1 ，否则如果任意a ∈G a=a^-1
1.2.6.设G=(a)是n阶循环群，a是生成元，若r和n的最大公约数是d，问a^r的周期是多
少？
由此看来，C中哪些元素可以作为生成元？
解：因为(r,n)=d 所以设r=md ,n=n1d （m,n∈Z）
(a^r)^k=e 所以 n|rk=> n1d|mdk => n1|mk 因为 (n1,m)=1 所以 n1|k
若G中含有6阶元,设这个6阶元是a,则a2是3阶元。
若G中不含6阶元,下面证明G中必含有3阶元。如若不然,G中只含1阶和2阶元,即"a∈G
,有a2=e,由命题可知G是阿贝尔群。取G中两个不同的2阶元a和b,令
H={e,a,b,ab}
易证H是G的子群,但|H|=4,|G|=6,与拉格朗日定理矛盾。
所以 (x1y1)(x2y2)^-1=(x1x2^-1)y3,x1x2^-1∈H,且HK=KH,所以存在x3∈H, 使得
(x1x2^-1)y3=y3x3
所以(x1y1)(x2y2)^-1=y3x3,因为HK=KH,所以存在 x3’ ∈H,y3’ ∈K,使得 y3x3=x3’y
3’
所以(x1y1)(x2y2)^-1=y3x3=x3’y3’ ∈HK,所以 HK是G的子群.
华师《抽象代数》在线作业答案
B.2
C.3
D.4
答案:C
15.设A={a,b,c}，B={1,2,3},则从集合A到集合B的映射有
A.1
B.6
C.18
D.27
答案:D
16.数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法
A.构成一个交换群
B.构成一个循环群
C.构成一个群
D.构成一个交换环
答案:C
17.题面见图片：
{图}
A.选择图中A选项
答案:正确
41.题面见图片：
{图}
答案:错误
42.设R是环，A，B是R的任意两个理想，则A+B也是环R的理想。
答案:正确
43.设G是群，则群G的任意两个子群的并仍是群G的子群。
答案:错误
44.整数环的商域是有理数域。
答案:正确
45.素数阶群不一定是循环群。
答案:错误
46.除环一定是域。
答案:错误
47.题面见图片：
B.选择图中B选项
C.选择图中C选项
D.选择图中D选项
答案:B
10.设G是运算写作乘法的群，则下列关于群G的子群的结论正确的是
A.任意两个子群的乘积还是子群
B.任意两个子群的交还是子群
C.任意两个子群的并还是子群
D.任意子群一定是正规子群
答案:B
11.题面见图片：
{图}
A.选择图中A选项
B.选择图中B选项
A.G的商群不是循环群
B.G的任何子群都是正规子群ห้องสมุดไป่ตู้
C.G是交换群
D.G的任何子群都是循环群
答案:A
4.剩余类加群Z8的子群有
A.3个
B.4个
C.5个
抽象代数第三章群
抽象代数第三章群抽象代数第三章群好久没有认真学习问题求解了=。
=，⼀转眼就上了⼀本新的书TJ，介绍抽象代数的⼊门书。
我觉得在wiki已经说得很好了需要科学上⽹学习抽象代数之前复习⼀下之前学过的相关知识⼦集族和指标集设J是⼀个⾮空集合，对于每⼀个j ∈ J,对应集合S的⼀个⼦集S j,则通常说 {S j|S j⊂S,j∈J}是S的⼀个以J为标号的⼦集族，J称为指标集等价关系同时满⾜反射性、对称性和传递性。
学习抽象代数的第⼀节课代数结构这章不是重点讲代数结构本⾝，代数结构=集合+在集合上定义的运算。
对于集合和代数运算本⾝还有更加精准的定义，不论。
群群的定义群是⼀种特殊的代数结构，设这个代数运算为∘，则这个运算满⾜1. 结合律 :(a∘b)∘c=a∘(b∘c)2. 在这个运算下有且只有⼀个单位元e,对于集合中的任意元素a有:a∘e=e∘a=a3. 在这个运算中每⼀个集合中的元素都有且有唯⼀逆元素在集合中: g∘g−1=g−1∘g=e此时集合G在运算∘下构成⼀个群，记作(G,∘)，有时简称G是⼀个群群的性质1. 单位元唯⼀2. 满⾜左右消去律3. 不需要满⾜交换律，若满⾜交换律，则这是⼀个“交换群”，也称“阿贝尔群”4. 群不⼀定需要零元素⼦群(G,∘)是⼀个群，如果G的⼦集H对于∘也构成群，那么称(H,∘)是(g,∘)的⼦群，简称H是G的⼦群。
举例⼦：偶数加法群是整数加法群的⼀个⼦群⼦群的性质1.⼦群的单位元等于群的单位元2.G是⼀个群，G的任意⼀个⼦群族的交集仍然是G的⼦群3.H，K是G的⼦群，如果H，K的并集也是G的⼦群，那么H⊆G,或者G⊆H。
⼀个群⾄少有两个⼦群：1. 平凡⼦群：仅仅有单位元⼀个元素的群2. 原来群本⾝⼦群的判定1. 群G的单位元e在H中2. 如果h1,h2∈H，那么h1h2∈H3. 如果h∈H，那么h−1∈H以上三个条件可以⽤⼀句判定来实现proposition 3.31 如果H是G的⼀个⼦集，那么H是G的⼦集，当且仅当H不为空集，且对于任意h1,h2∈H有h1h−12∈H⽣成⼦群设G是个群，S为其⼀⾮空⼦集，J为G的所有包含S的⼦集族，则称⼦群 ∩H∈J H为S在G中的⽣成⼦群，记作<S>这是什么鸡⼉完全听不懂=。
第6章 群
密码学基础
子群的定义
设<G,*>是群，H是G的非空子集，如果<H,*>也 构成群，则称<H,*>是<G,*>的子群。 由子群的定义可以看出，如果H是G的非空子集， 考察H,*是否是群G,*的子群，应当验证：
运算*在H上封闭。 群G中的幺元eH。 xS，有x-1H
密码学基础ຫໍສະໝຸດ §6.1 群的定义设G＝e,a,b,c，下表给出了*的运算 表，证明G,*是群。
* e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e
密码学基础
§6.1 群的定义
群的阶：
密码学基础
§6.1 群的定义
设<G,*>是群，对于a, bG，必存在惟一 的xG，使得a∗x=b
密码学基础
密码学基础
例1 考察代数系统<I，· >，这里I是整数集， · 是普通乘法运算。如果我们对运算结果只感 兴趣于正、负、零之间的特征区别，那么，代 数系统<I，· >中运算结果的特征就可以用另 一个代数系统<B，⊙>的运算结果来描述，其 中B＝{正，负，零}，⊙是定义在B上的二元运 算，如表示。
第6章 群
田秀霞 tianxiuxia_76@ 上海电力学院计信学院
密码学基础
本章主要内容
§6.1 群的定义 §6.2 群的乘法表
§6.3 变换群、置换群
密码学基础
预备
群、环、域等代数系统是抽象代数或近世代数 的基本组成部分，许多密码算法都是以一些特 定的代数系统为基础建立的。
密码学基础
§6.1 群的定义
密码学基础
§6.1 群的定义
抽象代数重点解析——群(三)
抽象代数重点解析——群（三）1.6变换群与置换群定义1.6.1：设A是非空集合，A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群，称为A的全变换群，记为S_{A}，S_{A}的一个子群称为A的一个变换群；当S_{A}为含有n个元素的有限集时，S_{A}也叫作n元对称群，记作S_{n}，S_{A}中的一个元素称为一个n元置换，S_{n}的一个子群称为一个n元置换群。
要注意全变换群，变换群；对称群，置换群。
这两对递进的概念的区别。
下面是一个奠定变换群地位的定理，只给出证明思路。
定理1.6.1（Cayley定理）：任何群都与一个变换群同构。
证明思路：设 G 是群， \forall a\in G ，定义映射 \forall g\in G ，f_{a}(g)=ag ，称为左平移变换。
不难验证左平移变换是 S_{G} 的一个子群，且能与 G 可以建立同构。
关于对称群 S_{n} 而言，我们把它的 n 个元素用前 n 个自然数表示，则置换 \sigma 可记作 \begin{pmatri某}1&2&...&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&...&\sigma(n) \end{pmatri某} ，可以看出\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(n) 对 n 个元素的一个排列，自然有下面结论。
定理1.6.2： \left， S_{n} \right，=n。
接下来深入研究置换，首先给出两个定义。
定义1.6.2：设集合 A 有 n 个元素，设I=\left\{ i_{1},i_{2}...i_{r} \right\}\subset A ， \sigma\inS_{A} ，有 \sigma(i_{j})=i_{j+1}(j<r) ， \sigma(i_{r})=i_{1} ，\sigma(k)=k(k\notin I) ，则称 \sigma 为一个r-轮换，或称r-循环置换，记为 \sigma=(i_{1}i_{2}...i_{r}) ， i_{1},i_{2}...i_{r} 称为\sigma 的文字， r 称为 \sigma 的长；特别地，2-轮换称为对换，1-轮换称为恒等置换。
数学中的群论与抽象代数知识点
数学中的群论与抽象代数知识点引言：数学是一门广阔而深奥的学科，其中群论与抽象代数作为数学的重要分支，对于理解和研究其他数学领域具有重要的作用。
本文将介绍群论与抽象代数的基本概念、性质以及其在数学中的应用。
一、群论与抽象代数的基本概念1. 群的定义群是一个集合，具有二元运算和满足一定条件的性质。
群的定义包括封闭性、结合律、单位元、逆元等关键概念。
2. 子群子群是一个群的子集，并且保持了群的运算和性质。
子群具有封闭性、单位元、逆元等性质。
3. 循环群循环群是由一个元素生成的群，这个元素称为生成元。
循环群具有特殊的结构和性质。
4. 交换群交换群，又称为阿贝尔群，其群运算满足交换律。
交换群在数学和物理领域的应用非常广泛。
二、群的基本性质与定理1. 基本性质群具有封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。
这些性质使得群成为一个有序的代数结构。
2. 拓展性质群的运算满足取消律、唯一性和可乘性等性质，这些性质进一步扩展了群的应用范围。
3. 拉格朗日定理拉格朗日定理是群论中的重要定理，它确定了子群与群的阶之间的关系，并具有广泛的应用。
4. 加法群与乘法群加法群是指群的二元运算为加法，乘法群是指群的二元运算为乘法。
加法群和乘法群在不同的数学分支中有不同的应用。
三、抽象代数的应用领域1. 数论数论是研究整数性质和整数运算的数学分支，群论与抽象代数在数论中有着广泛的应用，如素数分布、同余关系等。
2. 几何学几何学研究空间中的形状、结构和变换，抽象代数可以用来描述和研究几何中的对称性、平移、旋转等。
3. 计算机科学计算机科学中的密码学、编码理论等领域，都离不开群论和抽象代数的基础概念和方法。
结论：群论与抽象代数作为数学的重要分支，对于理解和研究其他数学领域具有重要的作用。
本文介绍了群论与抽象代数的基本概念、性质及在数学中的应用。
深入学习和理解群论与抽象代数的知识，能够帮助我们更好地理解和应用数学。
随着数学研究的不断深入，群论与抽象代数的作用与意义还将继续扩展和发展。
抽象代数——群的基本定义和一些例子
抽象代数——群的基本定义和一些例子原创 2015年08月28日 14:26:33群论的基本概念点较多，且各概念点之间关系纵横交错，学习起来颇有本科时初学线性代数时的感觉，觉得有必要整理一下，先梳理一下群的基本定义和例子。
首先作几点说明：1、群(group)、环(ring)、域(field)是抽象代数(abstract algebra)中基本的代数结构(algebraic structures)2、上述这些代数结构是抽象代数(abstract algebra)的研究对象之一，另一个研究对象是通过研究这些代数结构间的保持运算的映射(态射(morphism))3、1872年，F.Klein在被聘为埃尔朗根大学的数学教授的就职演讲中阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量（《埃尔朗根纲领(Erlangen Program)》）〇、前置概念名称英文名称定义说明代数运算AlgebraCalculation非空集合S与自己的笛卡尔积S×S到S的一个映射在群论中通常是指所谓的二元代数运算正交点变换又称为保距变换(isometry)正交矩阵OrthogonalMatrixAA T=A T A=E酉矩阵Unitary Matrix UU H=U H U=E n式中H为共轭转置一、群的定义1、群的基本定义序号 定义 说明1 代数运算 定义了一个代数运算的非空几何2 结合律(ab)c=a(bc ),∀a,b,c ∈G3 单位元存在律 ∃s ∈G,ea=ae=a ,∀a ∈G 4逆元存在律 ∀a ∈G ,∃b ∈G,ab=e2、 群定义的衍生名称 英文名称 定义 说明群Group满足前述全部4条群的基本定义的非空集合半群 Semigroup 仅满足前述群的基本定义中的前2条的非空集合，即：1）定义了集合上的代数运算2）适用结合律但是，并不要求存在单位元和逆元也有地方称为仿群幺半群Monoid满足前述群的基本定义中的前3条的非空集合，即：1）定义了集合上的代数运算 2）适用结合律 3）存在单位元但是，并不要求存在逆元 阿贝Abel在满足前述全部4条群的基本定义的前提ab=ba ,∀a,b ∈G名称英文名称定义说明尔群Group 下，再补充一条：群元素满足交换律二、群的例子1、生活中群的例子名称英文名称说明平面晶体群Plane CrystallographicGroup又被称为贴墙纸群(Wallpaper Group)已经G.Polya在1924年完成对平面晶体群的分类：共有17种不同的平面晶体群空间晶体群Space CrystallographicGroupFedorov和Schonflies分别独立地证明了空间晶体群共有230个魔方群Rubik’s Cube group 2、数集中群的例子名称符号定义说明整数加群实数加群n次单位根群U n U n的生成元成为复数域中的本原n次单位根(primitive n th root of unity)3、几何中群的例子中文名称英文名称符号定义说明欧几里得群EuclideanGroupE n n维空间所有正交点变换的集合E2为平面欧氏群E3为空间欧氏群二面体群DihedralGroupD n正n边形的对称（性）群，n≥34、代数中群的例子中文名称英文名称符号定义说明模Z m Z m=0,1,2,…,m−1该群的生成元是文名称英文名称符号定义说明n剩余类环1¯(i¯=i1¯)Z m的单位群Z m’s Group ofUnitsU(Z m)或Z∗mZ m=0,1,2,…,m−1该群的生成元是1¯(i¯=i1¯)Z p的乘法群Z∗p当m为素数p时，Z m中所有非零元组成的集合对于乘法构成的一个abel群该群是一个abel群当m为素数时，根据欧拉定理Z p中的所有元素都有逆元(inverse unit)一般线性群General LinearGroupGL n(F)域F上所有n级可逆矩阵组成的集合，对于矩阵的乘法所成的群是矩阵群(Matrix Group)的一种特殊线性群Special LinearGroupSL n(F)在一般线性群定义的基础上再补充定义，所有的矩阵行列式为1是矩阵群(Matrix Group)的一种正交群OrthogonalGroupO n实数域上所有n级正交矩阵(AA T=A T A=E)组成的集合是矩阵群(Matrix Group)的一种特殊正交群SpecialOrthogonalGroupSO n在正交群定义的基础上再补充定义，所有的矩阵行列式为1是矩阵群(Matrix Group)的一种通常SO n被称为n维旋转群(Rotation Group)它所指定的旋转对应的旋转轴可以通过求解一个线性方程组的基础解析来计算得到酉Unitary Group U n复数域上所有n级酉文名称英文名称符号定义说明群矩阵组成的集合，对于矩阵乘法所成的群特殊酉群Special UnitaryGroupSU n在酉群定义的基础上再补充定义，所有的矩阵行列式为1集合Ω的全变换群FullTransformationGroup on Set ΩSΩ非空集合Ω到自身的所有双射组成的集合，对于映射的乘法构成的一个群n元对称群Symmetric Groupon n lettersS n SΩ，当Ω为有限集合时S n具备对称性这时其中的每一个元素(是一个双射)被称为Ω的一个置换(permutation)，对于Ω有n个元素的情形，该置换被称为n元置换(permutation on nletters)S n中引入了r-轮换(r-cycle)的概念；特别的，当r=2时，轮换被称为对换(transposition)；并且可以说明：每一个置换都可以表示成一些对换的乘积并且对于置换进一步引入了由其等价的对换分解式中的对换的个数的奇偶性确定的奇置换或偶置换n元交AlternatingGroup on nA n S n中所有偶置换组成的集合文英文名称符号定义说明名称letters错群。
抽象代数的基本概念
抽象代数的基本概念抽象代数是数学的一个分支，研究的是各种代数结构及其相应的运算规则。
它的基本概念主要包括群、环、域三个方面。
本文将对这三个基本概念进行详细介绍。
一、群群是抽象代数中最基本的一种代数结构，它由一个非空集合 G 和一个在 G 上定义的二元运算 * 组成。
如果满足以下四个条件，即可称为一个群：1. 封闭性：对于任意的 a, b ∈ G，a * b 也属于 G。
2. 结合律：对于任意的 a, b, c ∈ G，(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 存在唯一单位元：存在一个元素 e ∈ G，使得对于任意的 a ∈ G，a * e = e * a = a。
4. 存在逆元素：对于任意的 a ∈ G，存在一个 b ∈ G，使得 a * b =b * a = e。
群可以分为有限群和无限群。
有限群指群中元素个数有限，无限群指群中元素个数无限。
群还可以通过群的运算性质来进一步分类，比如阿贝尔群（也叫交换群），它满足交换律，即对于任意的a, b ∈G，a *b = b * a。
二、环环是一个比群更为一般的代数结构，它由一个非空集合 R 和两个在R 上定义的二元运算 + 和 * 组成。
如果满足以下八个条件，即可称为一个环：1. 封闭性：对于任意的 a, b ∈ R，a + b 和 a * b 也属于 R。
2. 加法结合律：对于任意的 a, b, c ∈ R，(a + b) + c = a + (b + c)。
3. 加法交换律：对于任意的 a, b ∈ R，a + b = b + a。
4. 存在加法单位元：存在一个元素 0 ∈ R，使得对于任意的 a ∈ R，a + 0 = 0 + a = a。
5. 存在加法逆元素：对于任意的 a ∈ R，存在一个元素 -a ∈ R，使得 a + (-a) = (-a) + a = 0。
6. 乘法结合律：对于任意的 a, b, c ∈ R，(a * b) * c = a * (b * c)。
50阶以下群分类
1.主要用半直积的方法。
p群要按中心非平凡逐渐归纳。
需要用到的会说出自同构群。
未知的群记为G，若能找到正规子群，一般记做N；和N构成半直积的子群一般记做H，同态H→Aut(N)记做φ。
为了方便，循环群记做Cn，二面体群Dn等，不再用下标。
元素的幂次记为x^n。
每一个不同的同构类型用蓝色标出，如果指出了自同构群，用红色标出。
2.2阶群C2，自同构群平凡群1。
3.3阶群，素数阶。
C3，Aut(C3)≌C2，由乘以-1生成。
4.4阶群，素数平方阶，交换。
C4，循环群，Aut(C4)≌C2，由乘以-1生成；C2xC2，Klein4群，Aut(C2xC2)≌GL2(F2)≌S3。
S3作用于C2xC2上任意置换3个2阶元，GL2(F2)作用在上面表示为矩阵作用于线性空间。
5.5阶群，素数阶。
C5，循环群，Aut(C5)≌C4，由乘以模5的原根2生成。
6.6阶群，2p型，3阶群正规，C2与C3半直积，要考察同态C2→Aut(C3)≌C2。
平凡同态得到C2xC3≌C6；非平凡同态得到D3≌S3。
7.7阶群，p型。
C7，循环群，Aut(C7)≌C6，由乘以3生成。
8.8阶群，素数幂型或p群。
A) 若G有8阶元，则G≌C8，Aut(G)≌C2xC2，由乘以3和乘以5生成。
B) 若G无8阶有4阶元x，N=<x>正规，取y∈G\N；y^2∈N。
BA) 若y^2=1，则要考虑y在N上作用（半直积）。
Aut(C4)≌C2。
考察同态C2→C2。
BAA) 若y在N上是平凡作用，则G≌C2xC4。
自同构群可以用2x2矩阵来表达，矩阵的列表示生成元y,x的像，Aut(G)是8阶群，把Aut(G)中生成元写出发现Aut(G)同构于F2上的3x3对角线为1的上三角矩阵群。
Aut(C2xC4)≌D4。
BAB) 若y在N上非平凡作用，则G≌D4。
计算同构群要考虑生成元可能的像，然后用映射复合计算同构群乘法表，Aut(D4)≌D4。
抽象代数群的定义
设非空集S上有一个运算 ·,
1、如果运算满足结合律，则称(S,·)是半群。
2、如果半群S中有一个元素 e 满足a∈S有
e ·a = a ·e = a，
则称(S,·, e) 是幺半群，称e为单位元 或幺元。
3、如果幺半群S满足 a∈S有ｂ∈S使得
a ·ｂ=ｂ·a = e
则称 a 是可逆元，并称ｂ是 a 的一个逆元。
都是交换群；
正整数集Ｚ＋关于数的乘法怎么样？
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例３
设
Un
k
2k
en
i
:k
0,1,2,,
n
1
是n次单位根集．
即方程 xn = 1 的全部根之集，
n k
1, k
0,1,2,, n 1.
不难验证:
Ｕn 关于数的乘法是一个群．叫做n次单位根群。
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1.１群的概念和例子
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群的例子
再明确一下群的概念
定义 设Ｇ是一个非空集合，如果Ｇ上 定义了一个运算满足
（Ｉ）结合律 a,b,c∈A 有 (ab)c=a(bc)；
（Ⅱ）有单位元 e：a∈A有 ea=ae=a；
（Ⅲ）有逆元 a∈G，有 b∈Ｇ使得
ab=ba=e
(其中 b 称为 a 的逆元，记为 a－１ )。
例４ 域Ｆ上的全体 n 阶可逆方阵GLn(F)关于矩阵的乘 法构成一个群，称为Ｆ上的 n 阶一般线性群．
证明： 封闭性 可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，
即Ａ,Ｂ∈GLn(F)，有AB∈GLn(F)．
结合律: 矩阵的乘法满足结合律；
单位元: 逆 元:
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从小阶群与环的同构分类入手培养学生的抽象代数思维能力
从小阶群与环的同构分类入手培养学生的抽象代数思维能力摘要：文章尝试用初等方法对小阶群（阶数小于等于11的群）与小阶环（阶数小于等于3的环）进行同构分类，通过增加具体实例，拉近学习者与抽象代数的距离，进而在潜移默化的熏陶中提高学生的抽象代数思维能力。
关键词：小阶群；小阶环；循环群；交换环中图分类号：G642.0文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2020）01-0292-03收稿日期：2019-02-23基金项目：国家自然科学基金（11801239）；江西师范大学博士启动基金；江西师范大学教学改革项目作者简介：甘爱萍（1978-），女（汉族），江西萍乡人，博士研究生，副教授，研究方向：代数学；杨义川（1970-），男（汉族），甘肃天水人，博士研究生，教授，研究方向：代数学。
一、引言近世代数也称抽象代数，其研究各种抽象的公理化代数系统，国内大学是否开设该课程在某种程度上是该大学数学人才培养层次的标志性课程之一。
其高度抽象性使得它具有广泛的应用性，同时它还是当代大部分数学的通用语言，是现代计算机理论与信息论基础课程之一，但正如文献中所指出的，一部分学生对于线性代数和抽象代数的学习效果不理想不是因为自身原因，因此应当从教材内容和教学方法中找原因。
抽象代数中最基本的群与环的概念和理论离不开一些具体的群与环，其中尤其是小阶群与小阶环。
现有的近世代数本科教材普遍对小阶群或小阶环的同构分类没有做系统的介绍，本文将尝试用初等方法对小阶群（阶数小于等于11的群）与小阶环（阶数小于等于3的环）进行同构分类，通过增加具体实例，拉近学习者与抽象代数的距离，进而在潜移默化地熏陶中提高学生的抽象代数思维能力。
二、小阶群群是近世代数中最基本的一个概念，有限群作为群的重要组成部分，其结构与性质广泛应用于许多相关学科，但由于其高度抽象性，在解决问题时往往需要先对小阶群进行研究，由此可推导出许多抽象群或高阶群。
本节我们将应用拉格朗日定理，对所有阶数小于等于11的群进行同构分类。
抽象代数-小阶群
一、确定所有互不同构的18阶Abel 群设A 为18阶Abel 群，21823A ==⨯。
故A 的Sylow 子群的阶分别为22A =，233A =。
A 的初等因子共有以下2种可能：{2,3,3}，{2,9}。
所以18阶Abel 群共有2个：223⊕Z Z ，29⊕Z Z 。
{2,3,3}化为不变因子为{3,6}，故22336⊕⊕ Z Z Z Z 。
{2,9}化为不变因子为{18}，故2918⊕≅Z Z Z 。
所以互不同构的18阶Abel 群共有2个：36⊕Z Z ，18Z 。
二、确定所有互不同构的20阶Abel 群设B 为20阶Abel 群，22025B ==⨯。
故B 的Sylow 子群的阶分别为222B =，55B =。
B 的初等因子共有以下2种可能：{2,2,5}，{4,5}。
所以20阶Abel 群共有2个：225⊕Z Z ，45⊕Z Z 。
{2,2,5}化为不变因子为{2,10}，故225210⊕⊕ Z Z Z Z 。
{4,5}化为不变因子为{20}，故4520⊕ Z Z Z 。
所以互不同构的20阶Abel 群共有2个：210⊕Z Z ，20Z 。
三、确定所有互不同构的18阶非Abel 群记G 为18阶非Abel 群，将G 的3Sylow -子群记为S 。
1）若S a =，则91a =。
再取2阶元b G ∈，即有,G a b =。
现设1d bab a -=，其中由于G 为非Abel 群，故1d ≠。
因为2111122()()()d d d d d a a bab ba b b bab b b ab a -----======，故21(mod9)d ≡。
200(m o d 9)≡ 224(m o d 9)≡ 230(m o d 9)≡ 247(m o d 9)≡ 257(m o d 9)≡ 260(m o d 9)≡ 274(m o d 9)≡ 281(m o d 9)≡ 故得8d =，而81a a -=，故9219,|1,1,G a b a b ba a b D -==== 。
【作用】抽象代数自选题
【关键字】作用自选题目：1、设是一个群，证明：（1）在中，阶大于2的元素的个数一定是偶数；（2）在中，阶等于2的元素的个数与的阶有相反的奇偶性。
2、证明：6阶交换群是循环群3、设，且证明。
4、设M，N是群的正规子群，证明：（1）；（2）是的正规子群；（3）若5、设是一个素数，是的方幂阶的群，试证的非正规子群的个数一定的的倍数。
6、证明148阶群不是单群。
7、设是素数，则阶群是Abel群。
8、设是阶群，，为不同素数。
证明：不是单群。
9、设，分别为，阶循环群，证明：.10、若群中元素的阶为，元素的阶为，则当且时，有，即.11、设群中元素的阶为，证明.12、设，是群的两个正规子群，且二者的交为，证明：与中的元素相乘时可换.13、设是包含在群的中心内的一身材群，证明：当是循环群时，是交换群.14、证明：时个轮换是的一组生成元。
15、证明：同构意义下，6阶群只有与.16、设为素数，证明：阶群为群.17、若G是由a , b生成的群，且=e ，，证明：G为Abel群。
18、设f：G→H是群同态，若g是G的一个有限阶元。
试证: f(g)的阶整除g的阶。
19、证明：任意一个群G，都不能被它的两个真子群覆盖。
20、设M◁G , N◁G。
若M∩N={e},证明：,有21、设是一个群，而是中任意一个固定的元素。
证明：对新运算也作成一个群。
22、证明：1）在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数。
2）偶数阶群中阶等于2 的元素的个数一定是奇数。
23、证明：交换群中所有有限阶元素作成一身材群。
对非交换群如何？24、设分别是群的两个与阶子群，证明：若，则25、设是群的一身材群，，证明：且。
26、证明：若群的阶子群有且只有一个，则此子群必为的正规子群。
27、或28、29、令G是实数对（a,b），a0的集合，在G上定义（a,b）（c,d）=(ac,ad+b)，试证G是群。
30、设G是一个群，a,bG，证明：=31、证明：任何群都不能是两个真子群的并。
人教版高中选修(B版)3-43.3抽象群的定义与性质课程设计
人教版高中选修(B版)3-43.3 抽象群的定义与性质课程设计一、前言抽象代数是现代数学的基础学科之一，涉及抽象群、抽象环、抽象域等一系列抽象概念。
抽象群作为抽象代数学中的一个基本概念，在物理、化学、计算机科学等方面均有广泛的应用。
本文以人教版高中选修(B版)3-43.3 抽象群的定义与性质为基础，设计了相关的课程内容。
二、课程目标1.理解抽象群的基本概念和定义。
2.掌握抽象群的相关性质和基本定理，并能够运用于实际问题中。
3.培养学生抽象思维和逻辑推理能力。
三、课程内容3.1 抽象群的定义3.1.1 集合和二元运算介绍集合和二元运算的概念，以及在数学中的具体应用。
3.1.2 群的定义介绍群的概念和定义，让学生掌握群的基本性质和特点，并学会证明一个集合中是否构成一个群。
3.1.3 群的几个重要概念在群的定义的基础上，进一步介绍群的几个重要概念：子群、环、域等。
3.2 群的性质3.2.1 群的封闭性介绍群的封闭性，学习如何判断一个群是否封闭。
3.2.2 群的唯一性探究群的唯一性，学习群的同构和同构群。
3.2.3 元素的性质介绍群中元素的性质，如单位元、逆元、有限群、无限群等，并学习如何判断一个元素是否为群的单位元和逆元。
3.3 群的应用3.3.1 对称群学习对称群的概念和性质，并介绍其在几何学和组合数学中的应用。
3.3.2 群的同构和同构群介绍群的同构和同构群，学习如何判断两个群是否同构。
3.3.3 群的表示理论介绍群的表示理论，让学生了解群的表示和表示矩阵在物理和化学等领域中的应用。
四、教学方法与策略4.1 教学方法本课程旨在培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，因此教学方法需要注重理论与实践的结合。
采用演示、讲解、实验等多种教学方法，以帮助学生更好地掌握相关知识。
4.2 教学策略在教学过程中，需要注意以下几点：1.引导学生自主学习，发挥学生的学习主动性和创造性思维。
2.通过大量的练习和实践，培养学生的解决实际问题的能力。
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一、确定所有互不同构的18阶Abel 群设A 为18阶Abel 群，21823A ==⨯。
故A 的Sylow 子群的阶分别为22A =，233A =。
A 的初等因子共有以下2种可能：{2,3,3}，{2,9}。
所以18阶Abel 群共有2个：223⊕Z Z ，29⊕Z Z 。
{2,3,3}化为不变因子为{3,6}，故22336⊕⊕ Z Z Z Z 。
{2,9}化为不变因子为{18}，故2918⊕≅Z Z Z 。
所以互不同构的18阶Abel 群共有2个：36⊕Z Z ，18Z 。
二、确定所有互不同构的20阶Abel 群设B 为20阶Abel 群，22025B ==⨯。
故B 的Sylow 子群的阶分别为222B =，55B =。
B 的初等因子共有以下2种可能：{2,2,5}，{4,5}。
所以20阶Abel 群共有2个：225⊕Z Z ，45⊕Z Z 。
{2,2,5}化为不变因子为{2,10}，故225210⊕⊕ Z Z Z Z 。
{4,5}化为不变因子为{20}，故4520⊕ Z Z Z 。
所以互不同构的20阶Abel 群共有2个：210⊕Z Z ，20Z 。
三、确定所有互不同构的18阶非Abel 群记G 为18阶非Abel 群，将G 的3Sylow -子群记为S 。
1）若S a =，则91a =。
再取2阶元b G ∈，即有,G a b =。
现设1d bab a -=，其中由于G 为非Abel 群，故1d ≠。
因为2111122()()()d d d d d a a bab ba b b bab b b ab a -----======，故21(mod9)d ≡。
200(m o d 9)≡ 224(m o d 9)≡ 230(m o d 9)≡ 247(m o d 9)≡ 257(m o d 9)≡ 260(m o d 9)≡ 274(m o d 9)≡ 281(m o d 9)≡ 故得8d =，而81a a -=，故9219,|1,1,G a b a b ba a b D -==== 。
2）若S a ≠，则必有S a b =⨯，其中31a =，31b =。
同理，再取2阶元c G ∈，即有,,G a b c =。
现设111cac a b αβ-=，221cbc a b αβ-=。
其中12120,,,3ααββ≤<。
11111221111111()()()()()a c a c c c a c cc a b c c a cc b cc a c c b cαβαβαβ--------===== 21112211211112()()a b a b a b αβααββααβαβββ++==22222221111111()()()()()b c b c c c b c cc a b c c a cc b cc a c c b cαβαβαβ--------===== 21122221222212()()a b a b a b αβααββαααβαββ++==故212111222122121(mod3)()0(mod3)1(mod3)()0(mod3)ααββαβαββααβ⎧+≡+≡⎨+≡+≡⎩ 共有以下14组解：(1) 1212(,,,)(0,1,1,0)ααββ=，即1cac b -=，1cbc a -=。
(2) 1212(,,,)(0,2,2,0)ααββ=，即12cac b -=，12cbc a -=。
(3) 1212(,,,)(1,0,0,1)ααββ=，即1cac a -=，1cbc b -=。
（G 非Abel 群，舍去） (4) 1212(,,,)(1,0,0,2)ααββ=，即1cac a -=，12cbc b -=。
(5) 1212(,,,)(1,0,1,2)ααββ=，即1cac ab -=，12cbc b -=。
(6) 1212(,,,)(1,0,2,2)ααββ=，即12cac ab -=，12cbc b -=。
(7) 1212(,,,)(1,1,0,2)ααββ=，即1cac a -=，12cbc ab -=。
(8) 1212(,,,)(1,2,0,2)ααββ=，即1cac a -=，122cbc a b -=。
(9) 1212(,,,)(2,0,0,1)ααββ=，即12cac a -=，1cbc b -=。
(10) 1212(,,,)(2,0,0,2)ααββ=，即12cac a -=，12cbc b -=。
(11) 1212(,,,)(2,0,1,1)ααββ=，即12cac a b -=，1cbc b -=。
(12) 1212(,,,)(2,0,2,1)ααββ=，即122cac a b -=，1cbc b -=。
(13) 1212(,,,)(2,1,0,1)ααββ=，即12cac a -=，1cbc ab -=。
(14) 1212(,,,)(2,2,0,1)ααββ=，即12cac a -=，12cbc a b -=。
先证明：如果210,0αβ≠=，则实质上等同于210,0αβ=≠的一种情况。
证：若210,0αβ≠=，则11cac a α-=，221cbc a b αβ-=。
而由于ab ba =，故221cbc b a βα-=。
将a 记为b ，b 记为a 。
即得证。
从而(5)等同于(13)，(6)等同于(14)，(7)等同于(11)，(8)等同于(12)。
以下依次分析剩余各个情况：（取(4)作为典型代表） (1) 111()()()()()c ab c cac cbc b a ab ---===2112122()()()()()()c a b c c a c c b c b aa b a b---==== 将ab 看作新的a ，2ab 看作新的b 。
即(1)等同于(4)(2) 211212222()()()()()c ab c cac cb c b a ab ---===1112222()()()()()()c a b c c a c c b c b a a b a b---==== 将2ab 看作新的a ，ab 看作新的b 。
即(2)等同于(4)(5) 21121222()()()()()c ab c cac cb c ab b ab ---===将2ab 看作新的a 。
即(5)等同于(4)(6) 11122()()()()()c ab c cac cbc ab b ab ---===将ab 看作新的a 。
即(6)等同于(4)(7) 111222242()()()()()()c ab c cac cbc a ab a b a b ab ---=====将ab 看作新的b 。
即(7)等同于(4)(8) 21121222222()()()()()()c ab c cac cb c a a b a b ab ---====将2ab 看作新的b 。
即(8)等同于(4)(9) 将b 看作新的a ，a 看作新的b 。
即(9)等同于(4)故剩余的即为：33221,,|1,,,G a b c a b c ab ba ca ac cb b c =======332222,,|1,,,G ab c a b c a bb ac a a c c bb c======= 考察在9D 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元9个，3阶元2个，9阶元6个）考察在1G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元3个，3阶元8个，6阶元6个）考察在2G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元9个，3阶元8个）综上所述，故互不同构的18阶非Abel 群共有如下3个：9219,|1,D a b a b ba a b -====33221,,|1,,,G a b c a b c ab ba ca ac cb b c ======= 332222,,|1,,,G a b c a b c ab ba ca a c cb b c =======四、确定所有互不同构的20阶非Abel 群记G 为20阶非Abel 群，将G 的唯一5Sylow -子群记为S ，S c =，其中51c =。
因此G 只有4个5阶元素。
由于[]:()G G C c 等于c 的共轭元的个数，从而[]:()124G G C c =或或。
1）若[]:()12G G C c =或，则()2010G C c =或，因此()G C c 中必有2阶元素d 。
（同教材63P ） 令a cd dc ==，a 是10阶元素，于是a 为G 的正规子群。
取b a ∉，2i b a =，1k bab a -=。
由于1bab -为10阶元素，故(,10)1k =。
若1k =，则ba ab =，即G 为Abel 群，舍去此种情况。
若3k =，则1bab a -3=，即ba a b 3=。
2211131921911i i i i ii b a b a b a b b a b a a b aa a a -+-++++=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=。
矛盾！若7k =，则17bab a -=，即7ba a b =。
221117149214911i i i i ii b ab a b a b b a b a a b aa a a -+-++++=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=。
矛盾！故9k =，即191bab a ba a b --=⇒=。
于是22111()i i i i a b bb b ba b bab a ----=====，从而21i a =，05i =或。
0i =时，102110,|1,1,G a b a b ba a b D -==== 。
5i =时，102511,|1,,G a b a b a ba a b -====。
2）若[]:()4G G C c =，则G 中所有元素均不为10阶元素。
故G 中不为5阶的元素必为2阶元。
故有9个2Sylow -子群，且每个均为Abel 群。
由于每个2Sylow -子群包含3个阶元，故存在2个2Sylow -子群有一个公共元（非1）。
假设这个元素为a ，()4G C a >，故()1020G C a =或。
故G 中必有4阶元素。
取一个5阶元a 和4阶元b 生成群G 。
设1k bab a -=，其中04k ≤≤，441131331k k b b ab ab b a ab b a b a ----=⇒=⇒=⇒=。
若0k =，则ba b =，从而1a =，与51a =矛盾！ 若1k =，则G 为Abel 群，矛盾！ 下记：5422,|1,1,G a b a b ba a b ====5433,|1,1,G ab a b b a a b ====5444,|1,1,G ab a b b a a b==== 考察在2G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元5个，4阶元10个，5阶元4个）考察在3G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元5个，4阶元10个，5阶元4个）考察在4G 中的元素的阶数：（1阶元1个，2阶元5个，4阶元10个，5阶元4个）从而234G G G ≅≅。