分式的化简与求值-竞赛辅导

平阳xx 中学竞赛讲义

第二讲 分式的化简与求值

要解决有关分式的问题，就必须准确掌握分式的概念，分式的基本性质、分式的四则运算等知识，本讲主要讲述分式的变形和求值的技巧。给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．

一、分式的分拆

例1 若个的值有的值为整数的取整数，则使分式

x x x x 1236-+

例2 将分式化为部分分式。

例3化简分式：

分析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．

例4 化简分式：

分析： 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．

例5 化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)：

似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法．

例6求能使能被n+10整除的正整数n 的最大值。

分析：解决整除性问题的一个常用方法是把整式部分分离出来，从而只须考虑后面的分式部分的整除性，这样有利于简化问题。

二、参数法

例7、若12

1,432=-+==z y x z y x 且，求x ,y ,z （升中题）。 解：设===4

32z y x k （k ≠0）, 那么x=2k 、y=3k 、z=4k

代入x+y －z=121,得：2k ＋3k －4k=121,解得：k=12

1， 所以:x=61，y=41，z=3

1. 评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。 例8、求代数式1

223222++--x x x x 的最大值和最小值？

三、倒数法

例10 已知 ,求.

例11若31=+b a ab ，41=+b c bc ，51=+c a ac 求ac

bc ab abc ++的值

例12 求证 无论ａ为什么整数，分式均不可约。

分析：对于某些非零代数式来说，如果从取倒数的角度来分析，有可能揭示出一些在的特征，从而找到解题的突破口。

四、整体代入

例13 已知a 2＋2a －1＝0，求分式2

4)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值． 分析：本例是将条件式化为“122

=+a a ”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．

例14

适当变形，化简分式后再

计算求值．

五、活用特殊值0和±1

例15 已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值．

例16已知abc ＝1，求：

1

11++++++++c ca c b bc b a ab a 的值

例17已知1===cz by ax ，求

444444111111111111z

y x c b a +++++++++++的值

六、从结论中寻找解题途径（学会转化等价命题）

例18若：1,1111中至少有一个等于、、求证：c b a c

b a

c b a =++=++

例19不等于0的三个数a 、b 、c 满足c

b a

c b a ++=++1111， （1）c b a 、、求证：中至少有两个互为相反数。

（2）

1212121212121111------++=++n n n n n n c b a c b a

例20设：ab

c b a C ac b c a B bc a c b A 2,2,22

22222222-+=-+=-+= 求证：（1）31200820082008=++=++C B A c b a 时，求证当

(2) 时，当1=++C B A 试问三个正数c b a 、、能否作为一个三角形的三边