第一讲：绝对值、分式、因式分解

初高中数学衔接

绝对值的化简

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1 解不等式：13x x -+-＞4．

练 习

1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.

2.练 习

1．解不等式： (1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；

(3) 116x x -++>．

3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

分式

1．分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质：

A A M

B B M ⨯=⨯； A A M B B M

÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式 像a

b c d

+，2m n p m n p

+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 例1 若54(2)2

x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．

例2 （1）试证：111(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910

+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2

n n +++<⨯⨯+．

练习：1．对任意的正整数n ，

1(2)n n =+ (112n n -+)； 2．若223x y x y -=+，则x y

＝________. 3．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y

-+的值． 4.解不等式：0211＞）（-+x x （2）02

1≥-+x x

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；

（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．

因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1.十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；

（3）； （4）．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－

1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，

所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．

（3）由图1．2－4，得

＝

（4）＝xy ＋(x －y )－1

＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．

22()x a b xy aby -++1xy x y -+-22()x a b xy aby -++()()x ay x by --1xy x y -+-－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1 x y 图1．2－5

练习：

把下列各式分解因式：

（1）__________;（2）__________;

（3）__________;（4）__________;

（5）______.（6） ; （7） ;（8） 。

2．提取公因式法

例2 分解因式：

（1）

()()b a b a -+-552 （2）32933x x x +++

练习：1、()()()∙-=-+-y x x y n y x m ___________；2、计算99992+=

3.公式法 例3 分解因式： （1）16-4a （2）()()2223y x y x --+

关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．

若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．

解： （1）令221x x +-=0

，则解得11x =-

21x =-，

∴221x x +-

=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦

=(11x x +-++．

（2）令2244x xy y +-=0

，则解得1(2x y =-+

，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-

=[2(1][2(1]x y x y ++．

思考： 设c e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． =-+652x x =+-652x x =++652x x =--652x x ()=++-a x a x 122

273x x -+=2672x x -+=2273x x ++=