单摆运动规律的研究

单摆运动规律的研究

摘要单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。受各种因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型，现实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进行了探究。

首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进行推理，建立了无阻尼小角度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探究。

然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型，进一步完善了理想模式下单摆的数学模型。

最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素，以理想模式下单摆的数学模型为基础，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进行了探索。

关键词简谐运动角度阻尼运动单摆运动

目录

一、问题的描述

二、模型假设

三、模型建立及求解

1 理想模式下单摆的数学模型

1.1 小角度单摆运动模型

1.1.1 模型建立

1.1.2 模型求解

1.1.3 结果分析

1.2 大角度单摆运动模型

1.2.1 模型建立

1.2.2 模型求解

1.2.3 结果分析

2 现实模式下单摆的数学模型

2.1 小、大阻尼单摆运动模型

2.1.1 模型建立

2.1.2 模型求解

2.1.3 结果分析

四模型分析

一问题的描述

根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直接与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发进行分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。

二模型假设

1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多；

2.装置严格水平；

3.无驱动力。

三模型建立及求解

1 理想模式下单摆的数学模型

图1 简单单摆模型

在 t 时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即f(t) =mg sin(t)

完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：

a(t) =g sin(t)

因此得到单摆的运动微分方程组：

1.1 小角度单摆运动模型

1.1.1模型建立

当摆角θ很小时,sinθ≈θ，故方程1可简化为:

1.1.2 模型求解

利用matlab软件在[0, 5o]分别作出方程（1）和方程（2）的解得图像

小角度单摆摆动规律

（—方程（1）的解，**方程（2）的解）

1.1.3 结果分析

由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当较小时（θ<5），两方程的解几乎相等，单摆运动可看为简谐运动。

1.2 大角度单摆运动模型

1.2.1 模型建立

当摆角很大时，方程sin ≈θ不

再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近，

1.2.2 模型求解

此时利用MATLAB计算软件, 得到2000个不同摆角的的精确解.然后以摆角为横轴,利用绘图函数polt ( x , y ) 绘制出任意摆角下单摆周期的精确解的曲线

%单摆周期与摆角的关系

a= 0;

b= pi/ 2;

n= 1000;

s1= 1: n;

h= ( b-a) / n;

h1= pi/ ( 2* n)

c= 0: h1: pi/ 2

x= a;

s= 0;

for i1= 1: ( n+ 1)

f0= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) ^2* ( sin( x ) ) ^2) / pi; for i2= 1: n

x= x+ h;

f1= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) ^2* ( sin( x ) ) ^2) / pi; s= s+ ( f0+ f1) * h/ 2;

f0= f1;

end

disp( 1/ s)

s1( i1) = s;

s= 0;

end

plot( c, s1)

xlabel( ‘theta0/rad’)

ylabel( ‘T/T0’)

大摆角单摆的运动规律

程序如下：

%建立方程( 1)

Function xdot= per( t,x)

xdot= [ -9. 8* sin( x ( 2) ) x( 1) ]

% 建立方程( 2)

Function xdot= per1( t,x)

xdot= [ -9. 8* x( 2) x( 1) ]

%利用ode45 求解微分方程

t0= 0; tf= 10;

[ t, x] = ode45( ‘per’, [ t0, t f] , [ pi/ 2, 0] ) [ t1, x1 ] = ode45 ( ‘per1’, [ t0, tf ] ,[ pi/ 2, 0] ) plot( t, x( : , 2) , ‘-‘)

holdon

plot( t1, x1( : , 2) , ‘‘)

1.2.3 结果分析

如图所示，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线表明：大摆角振动时, 单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线( 虽然很相似),而且,最大摆角越小,两根曲线越相似；摆角越大,分离越明显

2 现实模式下单摆的数学模型

2.1.1 模型建立

现实情况下,绳子的质量,摆球的半径,空气的阻力等等都对单摆的摆动有影响,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动,为简单起见, 可设单摆在摆动中受到阻力fz，显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数：fz = f(v)，fz (t) =kv(t)

上式中，k>0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力ft fz产生，根据牛顿第二运动定律，有

因此得到修正后的单摆运动微分方程组