2020-2021长沙市长郡中学高三数学上期中一模试题含答案
2020-2021高三数学上期中一模试题含答案(6)
2020-2021高三数学上期中一模试题含答案(6)一、选择题1．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．1223．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+5．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．7．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）ABCD8．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ）A ．±4B ．4C ．14±D ．149．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524310．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 412．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为 ．14．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．15．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 16．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________17．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______.18．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．20．已知数列{}n a 的通项1n n a n+=+，则其前15项的和等于_______.三、解答题21．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 22．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？23．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =ABC ∆32，求+a b 的值； 24．已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+. （1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n nb a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S . 25．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．26．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±7．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<8．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5 B ．5-C ．0D ．201910．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-12．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．6二、填空题13．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 15．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x f x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．20．已知312ab +=a b =__________. 三、解答题21．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围. 23．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-. 25．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.7．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.8．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．C解析：C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．二、填空题13．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--.【详解】Q 241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±1220,4223,-<-+<-<--当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.14．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．15．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.16．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意.当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值. 故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意 解析：(1,4)；【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围．【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间，∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意，综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．19．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x∈03时f（x ）＝3x+a4x （a∈R）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.20．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可.【详解】1321223333a b a b a a b +-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()()2211112222242222x x f x x x x x x x x -+==+=-++≥-⋅+=---- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 22．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，. 【解析】 【分析】【详解】（1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数． 当时，2()(00)a f x x a x x =+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<， ，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立． 121204x x x x -<>Q ，，即恒成立．又，．的取值范围是(16]-∞，． 23．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.24．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可.【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.25．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22x u x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域．试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得） min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2x f x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-， 因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a =>，于是： 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a-=-+；2o当12a≥即1(0,]2a∈时，()g x的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a-=-+-考点：复合函数的单调性；函数的值域．26．（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B)∪(∁U C)＝{1,2,6,7,8}．【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁U B，∁U C；再求(∁U B)∪(∁U C)．试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。
湖南省长沙市长郡中学2021届高三上学期第一次月考 数学 (含答案)
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湖南省长郡十五校2020-2021学年高三上学期第一次联考数学试题(含答案)
2021届长郡十五校高三联考第一次考试数学试卷由长郡中学；衡阳八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；联合命题石门一中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际联合命题炎德文化审校､制作 总分：150分时量：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}11U x Nx =∈∣，集合{}0,4,6,8,9,10,{315}A B x x ==<<∣，则()UA B ⋂中元素的个数为（ ）A.5B.4C.3D.22.若复数z 满足():125z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第四象限 B.第三象限.C 第二象限 D.第一象限3.已知,a b 都是实数，则“11lnln a b<”是“22a b >”的（ ） A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制､具有完全自主知识产权､达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，CR400BF-C 智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km 自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强(I 单位)2:W/m表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级(L 单位:dB)与声强I 的函数关系式为()10lg ,L aI =已知13210W/m I =时,10dB.L =若要将某列车的声强级降低30dB ，则该列车的声强应变为原声强的（ ）A.210-倍B.310-倍C.410-倍D.510-倍5.在平面四边形ABCD 中，2,3,23AB AD AC AB AD ===+，若BD AC ⊥，则向量AB AD 与夹角的余弦值为（ ）A.13 B.25 C.6 D.36.若多项式()210910019101(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++，则3a =（ ）A.56B.-120C.-56D.1207.新型冠状病毒肺炎(COVID 19-)疫情暴发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的初步胜利面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测，若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为(01).p p <<该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，此时0p =（ ）A.5 B.5 C.15- D.1-8.已知()2,2,,A B C 是拋物线22y px =上的三点，如果直线,AB AC 被圆22(2)3x y -+=截得的两段弦长都等于，则直线BC 的方程为（ ）A.210x y ++=B.3640x y ++=C.2630x y ++=D.320x y ++=二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.2020年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，关于下列说法，其中正确的是（ ）A.2025年我国5G 用户数规模最大B.2022年我国5G 用户规模年增长率最高C.从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D.这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差 10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的解析式可以表示为()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B.函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 C.该图象向右平移6π个单位可得2sin2y x =的图象 .D 函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 11.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n 月月底小王手中有现款为n a ，则下列论述正确的有（ ）(参考数据：11121.27.5,1.29==)A.112000a =B.1 1.21000n n a a +=-C.2020年小王的年利润为40000元D.两年后，小王手中现款达41万12.函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在：[)0,∞+上单调递增，则（ ） A.函数()()cos g x f x x =为奇函数B.函数()()()2h x x f x f ⎡⎤=-⎣⎦有且只有3个零点C.不等式()()20x f x f ⎡⎤-⎣⎦的解集为][(,20,2∞⎤--⋃⎦ D.()f x 的解析式可能为()2rxf x e ex -=+-三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上)13.4名同学到A ､B ､C 三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且同学甲安排在A 小区，则共___________有种不同的安排方案. 14.写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数()f x =___________.15.已知点())()()(),,1,0,1,0,,A BC D P x y -，如果直线,PA PB 的斜率之积为45-，记,PCD PDC ∠α∠β==，则()sin sin sin αβαβ+=+___________.16.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,ABC AB BC PA AB AC ⊥===P ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为________；若点,M N 分别是ABC 与PAC 的重心，直线MN 与球O 表面相交于,D E 两点，则线段DE 长度为__________.(本小题第一空2分，第二空3分)四､解答题(本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin .a c A C b A B +-=-（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4,a =求ABC 面积的取值范围.18.(本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且n a 与1n a +. （1）证明{}2:n n a a +-是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足121:n n n b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得2n n nT <的n 的取值范围.19.(本小题满分12分)《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本､兴国之器､强国之基，发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线，某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布()2,Nμσ，并把质量差在(,)μσμσ-+内的产品为优等品，质量差在(,2)μσμσ++内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品.现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值代表)（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率； 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则:()0.6827,(2P P μσξμσμσξ-<+≈-<2)0.9545,(33)0.9973.P μσμσξμσ+≈-<+≈（3）假如企业包装时要求把3件优等品和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X ，求随机变量X 的分布列及期望值. 20.(本小题满分12分)在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//,,,1,2CD AE AC AE AB BC CD AE AC ⊥⊥===，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =（1）证明：GF //平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求一面角A BE D --的余弦值. 21.(本小题满分12分)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，点A 为C 上位于第二象限的动点，（1）若点A 的坐标为(-2，3)，求双曲线C 的方程；（2）设,B F 分别为双曲线C 的右顶点､左焦点，是否存在常数λ，使得.AFB ABF ∠λ∠=如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由. 22.(本小题满分12分) 已知曲线()()()3212mxf x ea x a R =-++∈在0x =处的切线斜率为21a --. （1）确定m 的值，并讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x 时，()2212(1)2f x x a ++，求a 的取值范围. 2021届长郡十五校高三联考第一次考试数学参考答案一､二､选择题1.B 【解析】{}1,2,3,5,7,11,{315}UA B x x ==<<∣(){}()5,7,11,U U A B A B ∴⋂=∴⋂中元素的个数为3.故选.B2.A 【解析】由已知51212z i i==-+，于是12,z i ==+它在复平面内对应的，点为()1,2,在第一象限，故选.A3.B 【解析】1111lnln ,0,0a b a b a b<∴<<∴>> 而22a b >得到11,lnln a b a b>∴<"是“22a b >"的充分不必要条件.故选B . 4.C 【解析】已知13210W/m I =时,10dB,L =所以()131010lg 10,a =⨯解得12:10a -=，所以()()1210lg 101012lg L I I -=⨯=-+设列车原来的声强级为1L ，声强为1,I 该列车的声强级降低30dB 后的声强级为2,L 声强为2I则()()()112121221012lg 1012lg 10lg lg 10lg30I L L I I I I I -=-+--+=-==， 所以12lg3,I I =解得312:10,I I =即32110II -=， 即该列车的声强应变为原声强的310-倍.故选C.5.D 【解析】因为,BD AC ⊥所以()0AB AD AC -⋅=又因为23,AC AB AD =+所以()()230AB AD AB AD -⋅+=所以222|3|0AB AB AD AD +⋅-=又因为2,3,AB AD ==所以22223(3)0AB AD ⨯+⋅-=所以1,AB AD ⋅=所以cos ,6BAD ∠==故选.D 6.D 【解析】法一()()210210:11]11],x x x x ⎡⎡+=+-++-⎣⎣则37310(1)120,a C =-=-故选D 法二：对等式()21091001910:1(1)(1)x x a a x a x a x +=+++++++两边连续求导三次得： ()767349101098324321987(1)1098(1)x a a x a x a x ⨯⨯=⨯+⨯⨯+++⨯⨯++⨯⨯+令1,x =-得3:120,a =-故选.D7.C 【解析】由题意可知：该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性或前4人检测阴性，第5人为阳性.()34(1)(1)(01)f p p p p p p ∴=-+-<<()()2334223(1)(1)4(1)(1)(1)5102f p p p p p p p p p p =--+---+-=--+'25(1)p p p ⎛=- ⎝⎭⎝⎭201,(1)0p p p ⎛<<∴-< ⎝⎭0p ∴<<时(),0f p '>1p <<时(),0f p '< ()f p ∴在50,5⎛ ⎝⎭上递增，在55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，5155p ∴==-时(),f p最大，即015p =-故选C .8.A 【解析】法一：()2,2A 在抛物线22y px =上，故2222,p =⨯即1,p =抛物线方程为22,y x =设()221212122212122,,,,1222BC y y y y B y C y k y y y y ⎛⎫⎛⎫-∴==⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭- ∴直线BC 的方程为211122:,2y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭即()121220x y y y y y -++=设直线()AB AC 的方程为():22y k x -=-，即220kx y k -+-=，依题意：圆心(2，0)到直线()AB AC的距离1,d ==解得k =，由122AB k y ==+1:2y =-+，同理22212128:24,23y y y y y =-∴+=-=-=，故直线BC 的方程为3640x y ++=，故选.A法二：设221212,,,,22y y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭直线()11:2220,AB x y y y -++=依题意：圆心(2，0)到直线AB 的距离1,d ==即211111131280,61280,3640y y x y x y ++=++=++=，同理：223640,x y ++=所以直线BC 的方程为3640,x y ++=故选.A9.AC 【解析】由某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，知：对于A ，2022年我国5G 用户规模年增长率接近300.0%，达到最高，故A 正确；对于B ，2029年我国5G 用户数达到137205.3万人，规模最大，故B 错误；对于C ，从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降，故C 正确； 对于D ，这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，后5年的方差小于前5年的方差，故D 错误.故选A C.10.ABD 【解析】依题可求得:2,2,,3A πωϕ===所认()2sin 2,,,3f x x A B D π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均对，故选AB D. 11.BCD 【解析】()1120%10000100011000a =+⨯-=元，故A 错误;由题意1 1.21000,n n a a +=-故B 正确；由1 1.21000,n n a a +=-得()15000 1.25000,n n a a +-=-所以数列{}5000n a -是首项为6000,公比为1.2的等比数列，1111121250006000 1.2,6000 1.2500050000a a ∴-=⨯=⨯+=即，2020年小王的年利润为500001000040000-=元，故C 正确；22324950006000 1.2500060004100001.2a =+⨯=+⨯=元，即41万，故D 正确. 故选BCD.12.BCD 【解析】根据题意，依次分析选项：对于,A 若()()cos ,g x f x x =则()()()()()cos cos ,g x f x x f x x g x -=--==则()()cos g x f x x =为偶函数，A 错误;对于,B 设函数()()()()()()()()()()()2,2220,222220,F x f x f F f f F f f f f =-=-=-=--=-=则()F x 在R 上有且只有2个零点，所以()()()()2200,h h h h x =-==在R 上有且只有3个零点，B 正确; 对于,C 因为()()20,x f x f ⎡⎤-⎣⎦所以当0x <时，()()20,f x f -即()()2,f x f -可得2,x -当0x 时，()()20f x f -，即()()2,f x f 可得02x ，故()()20x f x f ⎡⎤-⎣⎦的解集为][(,20,2,C ∞⎤--⋃⎦正确;对于,D 若()2,x x f x e e x -=+-易得()f x 为偶函数，其导数()2,x x f x e e x -'=--则有()2220.x x f x e e -=+'--='则()f x '为R 上的增函数，在[)0,∞+上()(),00,f x f ''=所以此函数还满足在[)0,∞+上单调递增，D 正确.故选BCD.三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上)13.12【解析】分两类：（1）A 小区安排2人(同学甲及另一名同学)1232:6,C A = （2）A 小区只安排同学甲1人2232:6,C A =故答案为12.14.3cos x π(答案不唯—)(4:5PA PB k k x ⋅==-≠得(22:1,54x y x +=≠可见,C D 为两个焦点.()sin sin 2sin 2PC PD a CD cαβαβ++∴===+；【解析】依题：球O所以体积334433V R ππ===⎝⎭将该三棱锥P ABC -放置在单位正方体中，如图建立空间直角坐标系，则11121111,,,,,0,,,22233333O M N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 11111111,,,,,,,0,,66266633OM ON MN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0ON MN ∴⋅= 3ON ∴=即为弦心距d ，∴线段3DE ===. 或利用在正方体中,AO PB ⊥又//,,PB MN AO MN ∴⊥即.ON MN ⊥ 四､解答题(本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.（1）()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-()()()a c a c b a b ∴+-=-即222a b c ab +-=，2221cos ,22a b c C ab +-∴== 3C π∴=（2）由余弦定理得：2221624cos 4163c b b b b π=+-⋅⋅=-+ ABC 为锐角三角形且,3C π=()()222222222241616,cos 0,,cos 016416,b b b A b c a B a c b b b b ⎧⎧⎧+-+>>+>⎪⎪⎪∴⇔⇔⎨⎨⎨>+>+-+>⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 解得28b << ABC面积(1sin 23S ab π==∈18.（1）n a 与1n a +12n n n S a a +∴=①1122n n n S a a +++∴=①由①-①可得22n n a a +-={}2n n a a +∴-是等差数列.取1,n =由1得1122,a a a =解得2 2.a =()()21211221,2122,n n a n n a n n -∴=+-⨯=-=+-⨯=n a n ∴=（2）()()1211111212n n n b a a n n n n ++===-++++ 123n n T b b b b ∴=++++1111111123344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1122n =-+ ()22n n =+由()222n n n n <+得()1:22*n n -+>， 不难发现1,2,3n =满足(*).法一：当4n 时，设()122,n f n n -=--则()()1212n f n n +=-+- ()()11210n f n f n -∴+-=->()()(){}()1,4f n f n f n n ∴+>∴单调递增()(),40f n f ∴> ∴当4n 时1,22n n -+<∴使得2n n n T <的n 的取值范围为{}1,2,3. 法二：当4n =时，4142628-+=<=当5n 时，()01221212(11)2222242n n n n n n n n n n n n n C C C C C C n n n n ---=+=++++++>⨯++=++>+∴当4n 时1,22,n n -+<∴使得2n n n T <的n 的取值范围为{}1,2,3. (其他方法酌情给分)19.（1）4656566666760.010100.020100.04510222x +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 768686960.020100.0051022+++⨯⨯+⨯⨯70=（2）由题意样本方差2100,s =故10,σ≈=所以()270,10,X N ~由题意，该厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)P P X P X P X =<<=<<+<<()10.68270.95450.81862=+= （3）X 所有可能取值为0，1，2，3，()()0312353533885150,12828C C C C P X P X C C ====== ()()2130353533881512,35656C C C C P X P X C C ====== 随机变量X 的分布列为19()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20.（1）分别取,AB EB 中点,,M N 连接,,.CM MN ND在梯形ACDE 中，//DC EA 且1,2DC EA =且,M N 分别为,BA BE 中点 1//,2MN EA MN EA ∴= //,MN CD MN CD ∴=∴四边形CDNM 是平行四边形，//CM DN ∴ 又14EG EB =，N 为EB 中点,G ∴为EN 中点，又F 为ED 中点， //GF DN ∴//GF CM ∴又CM ⊂平面,ABC GF ⊄平面,ABC//GF ∴平面ABC（2）在平面ABC 内，过B 作BH AC ⊥交AC 于H .BH ⊂平面,,ABC BH AC ⊥BH ∴⊥平面.ACDEBH ∴即为四棱锥B ACDE -的高，又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH 最大，此时AB BC == H 为AC 中点，连接HF ，易知,,HB HC HF 两两垂直，以{},,HB HC HF 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则()()()()0,1,0,1,0,0,0,1,2,0,1,1A B E D --()()()1,1,0,1,1,2,0,2,1,AB BE DE ==--=-设()1111,,n x y z =为平面ABE 的一个法向量，则110,0n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以11111020x y x y z +=⎧⎨--+=⎩ 取()11,1,0n =-设()2222,,n x y z =为平面DBE 的一个法向量，则2200,n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以222222020y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，取()23,1,2n =所以121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅ 由图，二面角A BE D --为针二面角，所以二面角A BE D --的余弦值为. 21.（1）离心率2,2c e c a a==∴=， 又22223,b c a a =-=∴双曲线方程2222:13x y C a a -=， 把点()2,3A -代入双曲线方程得2249,1,3a a-=解得21a =， 故双曲线C 的方程为22: 1.3y x -=（2）由（1）知：双曲线方程2222:1,3x y C a a-= ()(),0,2,0,B a F a ∴-①当直线AF 的斜率不存在时，则290,3,3b AFB FB a AF a a ∠====， 45,ABF ∠∴=此时 2.λ=①当直线AF 的斜率存在时，设()00,,,,AFB ABF A x y ∠α∠β==其中00,0x a y <-> 因为2,e =故2,,c a b ==故渐近线方程为:y =， 所以20,,0,,33ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又0000tan ,tan 2y y x a x aαβ==-+-， 所以()()0000222000022tan21y y x a x ax a y y x a β----==--⎛⎫- ⎪-⎝⎭()()()()()00002222220000222331y x a y x a x x a x a x a a a ----==⎛⎫------ ⎪⎝⎭ ()()00000232y y x a x a x a -==--++tan tan2αβ∴=又2,20,,23παβαβ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭综上：存在常数2λ=满足:2.AFB ABF ∠∠=(其他方法酌情给分)22.（1）定义域为()(),21,mx R f x me a =-+'依题意()():02121,f m a a =-+=--'所认 1.m =所以()()()()321,212x x f x e a x f x e a =-'++=-+， 当1a -时()(),0,f x f x '在R 上单调递增，当1a >-时，令()0,f x '=得()ln21x a =+，当()ln21x a <+时，()()0,f x f x '<在()(),ln21a ∞-+上单调递减， 当()ln21x a >+时()(),0,f x f x >'在()()ln21,a ∞++上单调递增， 综上，当1a -时，()f x 在R 上单调递增；当1a >-时，()f x 在()(),ln21a ∞-+上单调递减，在()()ln21,a ∞++上单调递增（2）设()()2212(1),2g x f x x a =--+则()()213[21]22x g x e x a =-+++， 依题()0g x 对[)0,x ∞∈+恒成立，又()()22x g x e x a =-++'， 令()(),h x g x ='则()10xh x e ='-， ()h x ∴单调递增()(),021,h x h a ∴=--①当210,a --即12a -时()()(),0,h x g x g x '=在[)0,∞+上单调递增 ()2min 555()02(1)0,11,2g x g a a ∴==-+∴---+ 又151,1;22a a -∴--- ①当210,a --<即12a >-时 则存在唯一的[)00,x ∞∈+使()00,h x =即()00210x e x a --+=，当()00,x x ∈时()(),0,h x g x <'=当()0,x x ∞∈+时()(),0h x g x '=>，即()00,x x ∈时(),g x 单调递减，()0,x x ∞∈+时(),g x 单调递增，故()002min 013()0,22x x g x g x e e ==-+解得003,x e <从而00ln3x < 又()0021,x a e x +=-而x e x -在[)0,∞+上单调递增， ()1213ln3,a ∴<+-解得综上，实数a的取值范围为1ln3 122⎡⎤---⎢⎥⎣⎦.。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题
长郡中学2021届高三月考试卷（一）数学本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22A x x =-≤≤∣，{}lg(1)B x y x ==-∣.则A B =（ ） A. {}2x x ≥-∣ B. {}12x x <<∣ C. {}12x x <≤∣ D. {}2xx ≥∣ C根据对数函数的定义域化简{}lg(1)B x y x ==-∣，再利用交集的运算求解即可. 由题意得，{}{}lg(1)1B x y x x x ==-=>∣∣， 因为{}22A xx =-≤≤∣， 所以{}12A B xx =<≤∣，故选：C. 本题主要考查对数函数的定义域以及集合交集的运算，属于基础题.2. 已知复数z 满足()3425z i -=，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限D化简复数z ，进而可得出复数z 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.()()()25342534343434i z i i i i +===+--+，则34z i =-， 复数z 在复平面内对应的点是()3,4-，在第四象限，故选：D.本题考查复数对应的点所在象限的确定，考查了复数的除法法则以及共轭复数的应用，属于基础题.3. 已知a b c <<且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是 A. 222a b c << B. 22ab cb <C. ac bc <D. ab ac <C∵0a b c ++=且a b c <<，∴0,0a c <>． ∴ac bc <． 选C ．4. 在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ） A.1536AC AB - B. 1536AC AB -+C. 1136AC AB -+D. 1136AC AB --A根据2BD DC =，AE ED =，结合平面向量的加法和减法运算，利用平面向量的基本定理求解. 【详解】如图所示：因为AE ED =，2BD DC =， 所以()12BE BA BD =+， ()1223BA AC AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 1536AC AB =-，故选：A 5. 设函数2()log f x x x m =+-，则“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是(1,6)m ∈的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B由函数基本初等函数的单调判断函数()f x 的单调性，由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(4)0f >，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 解：函数2()log f x x x m =+-在区间()0,∞+上单调递增，由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则11022f m ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，(4)60f m =->，解得162m -<<，故“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是“(1,6)m ∈”的必要不分条件.故选：B.本题考查函数的零点及充分条件、必要条件的判断，属于基础题.6. 已知实数a ，b ，c 满足1lg 10b a c==，则下列关系式中不可能成立的是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>D设1lg 10ba t c ===，分别表示出,,a b c ，构造函数，利用函数图象比较大小. 设1lg 10ba t c ===，0t >，则10t a =，lgb t =，1c t=，在同一坐标系中分别画出函数10x y =，lg y x =，1y x=的图象，如图，当3t x =时，a b c >>；当2t x =时，a c b >>；当1t x =时，c a b >>.故选:D. 本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键. 7. 已知3sin cos 72sin 3cos αααα+=-，则函数2()sin 2tan |cos |6f x x x α=+-的最小值为（ ）A. -5B. -3C. 2-D. -1A由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-可求出tan α值，再将()f x 化为关于cos x 的二次函数，即可根据二次函数的性质求出最小值. 由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-，有3tan 172tan 3αα+=-，解得tan 2α=，故222()sin 2tan |cos |6cos 4|cos |5(|cos |2)1f x x x x x x α=+-=-+-=---， 故当|cos |0x =时，()f x 取最小值5-.故选：A.本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题.8. 设函数2()2f x x xlnx =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，(2)]k b +，则k 的取值范围是( ) A. 9221,4ln +⎛⎫⎪⎝⎭B. 9221,4ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 9221,10ln +⎛⎤⎥⎝⎦D. 9221,10ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C判断()f x 的单调性得出()(2)f x k x =+在1[2，)+∞上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k 的范围．解：()'21f x x lnx =--，1()2f x x''=-，∴当12x时，()0f x ''， ()f x ∴'在1[2，)+∞上单调递增，11()()2022f x f ln ∴''=->，()f x ∴在1[2，)+∞上单调递增，[a ，1][2b ⊆，)+∞，()f x ∴在[a ，]b 上单调递增，()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，(2)]k b +，∴()(2)()(2)f a k a f b k b =+⎧⎨=+⎩， ∴方程()(2)f x k x =+在1[2，)+∞上有两解a ，b ．作出()y f x =与直线(2)y k x =+的函数图象，则两图象有两交点．若直线(2)y k x =+过点1(2，912)42ln +， 则92210ln k +=， 若直线(2)y k x =+与()y f x =的图象相切，设切点为0(x ，0)y ，则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪-+=⎩，解得1k =． 922110ln k+∴<，故选：C ． 本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分. 9. （多选题）下列命题中正确的是（ ） A. ()0,x ∃∈+∞，23x x >B. ()0,1x ∃∈，23log log x x <C. ()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭BD本题可通过当(0,)x ∈+∞时213x⎛⎫< ⎪⎝⎭判断出A 错误，然后通过当(0,1)x ∈时2log 0x <、3log 0x <以及223log log 31log xx =>判断出B 正确，再然后可通过取12x =判断出C 错误，最后可通过当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭判断出D 正确.A 项：当(0,)x ∈+∞时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即23x x<恒成立，A 错误；B 项：当(0,1)x ∈时，2log 0x <且3log 0x <，因为3322333log log 2log 1log 31log log log 2xx x x ===>，所以23log log x x <恒成立，B 正确；C 项：当12x =时，122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 1x =，此时131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 错误；D 项：由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭恒成立，D 正确，故选：BD.关键点点睛：本题考查全称命题和特称命题的真假判断，主要考查学生对指数函数和对数函数的性质的理解，解题时全称命题为真与存在命题为假需要证明，而全称命题为假和存在命题为真只要举一例即可，考查推理能力，是中档题.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A. {}n a 是等比数列B. 当1p =时，4158S =C. 当12p =时，m n m n a a a +⋅=D. 3856a a a a +=+ABC由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=， 又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m nm np p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：ABC. 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.11. 已知函数()f x 满足：对于定义域中任意x ，在定义域中总存在t ，使得()()f t f x =-成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（ ） A. ()1f x x B. 4()f x x = C. 1()2f x x =+ D. ()ln(21)f x x =-ACD由题意转化条件为函数()f x 的值域关于原点对称，逐项判断即可得解. 由题意可得函数()f x 的值域关于原点对称， 对于A ，函数()1f x x 的值域为R ，关于原点对称，符合题意；对于B ，函数4y x =的值域为[0,)+∞，不关于原点对称，不符合题意； 对于C ，函数1()2f x x =+的值域为(,0)(0,)-∞+∞， 关于原点对称，符合题意； 对于D ，函数()()ln 21f x x =-的值域为R ，关于原点对称，符合题意；故选：ACD . 本题考查了常见函数值域的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.12. 下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）部分图象，下列结论正确的是（ ）A. 函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称B. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π ABD根据函数图象求出()f x 的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误. 由已知，2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=， ∴22πωπ==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此43232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，又0||ϕπ<<， 所以6π=ϕ，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对A ，2sin 212y f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭图象关于原点对称，故A 正确；对B ，当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对C ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，有36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 故C 不正确；对D ，当231212x ππ-≤≤时，2[0,4]6x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于_________.4π 先利用垂直关系得到2a b ⋅=，再利用数量积求夹角的余弦值，根据范围即求得夹角. 因为向量2a =，2b =，()a b a -⊥，故2()0a b a a a b -⋅=-⋅=，即22a b a ⋅==.设向量a 与b 的夹角为θ，则[]0,θπ∈，[]cos 0,22a b a b θθπ⋅===∈⋅，故4πθ=.故答案为：4π.14. 若42log (4)log a b +=+a b 的最小值是___________.94根据对数的运算法则和对数的换底公式进行化简，结合基本不等式利用1的代换进行转化求解即可．解：424log (4)log log (4)a b ab +==，44a b ab ∴+=，4040a b ab +>⎧⎨>⎩得00a b >⎧⎨>⎩，得414a bab+=， 即1114b a+=， 则111559()()1214444444a b a a b a b b a b ab a +=++=++++=+=， 当且仅当4a bb a=，即2a b =时取等号， 即+a b 的最小值为94，故答案为：94.本题主要考查不等式的应用，结合对数的运算法则得到等式条件，结合1的代换是解决本题的关键．15. 《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积为___________2m .162162π+-由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为45︒，设等腰三角形的腰长为a ，利用正弦定理可求出a 的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形， 顶角为360458︒=︒， 设等腰三角形的腰长为a ，由正弦定理可得8135sin 45sin2a =︒︒， 解得13582sin 2a ︒=，所以三角形的面积211351cos13582sin sin 4532216(21)222S ︒-︒⎛⎫=︒=⋅=+ ⎪⎝⎭， 则每块八卦田的面积为()22116(21)216216m 82ππ+-⨯⨯=+-.故答案为：162162π-.本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式.属于较易题.16. 已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 前48项之和为___________.1176先写出前几项与1a 的关系，观察找规律发现相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值，代入求解{}n a 前48项之和即可.由1(1)21nn n a a n ++-=-，则211a a =+，32132a a a =-=-， 431 57a a a =+=-，5417a a a =-=，65199a a a =+=+，761112a a a =-=-， 8711315a a a =+=-，…可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.因()()()1357451721224a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=⨯=，()()246816482610464818a a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+， 而()()()2610461111198954012a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+，()()()484811117159561212a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-， 所以数列{}n a 前48项之和为()()112454012612121176a a +++-=. 故答案为：1176.本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 ①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A =（1）求边a 的长；（2）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.选择条件见解析；（1）8a =；（2）1764. （1）方案一：选择条件①，结合向量数量积的性质可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案二：选择条件②：由已知即可直接求出b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案三：选择条件③，由已知结合三角形的面积公式可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求cos C ，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解． 方案一：选择条件①（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案二：选择条件②（1）sin A =1sin 28ABC S bc A bc ===△∴24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩， 则22212cos 3616264644a b c b A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==，∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案三：选择条件③：（1）A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，2()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==-，24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得6b =，4c =，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos 32C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭171322=-⨯=. 本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 18. 已知()x x mf x e e-=+是偶函数. （1）求实数m 的值；（2）解不等式(2)(1)f x f x ≥+；（3）记{}()ln (3)()1ln 32xg x a f x e a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[0,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围.（1）1m =；（2）{1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭；（3）[]1,3.（1）利用偶函数的定义求解；（2）先分析原函数的单调性，再结合奇偶性解不等式(2)(1)f x f x ≥+；（3）先写出函数()g ln (3)1ln32xx a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，然后将()0g x ≤转化为ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即23(3)10x x ae a e +--≥恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解.（1）因为()x x mf x e e=+是偶函数，则()()f x f x =-对任意实数x 恒成立， 即xxx xm m e e e e --+=+， 1(1)0x x m e e ⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对任意实数x 恒成立，则1m =；（2）()1xxf x e e =+，1()xx f x e e '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 在[0,)+∞上是增函数， 又因为()f x 是偶函数，∴(2)(1)(|2|)(|1|)|2||1|f x f x f x f x x x ≥+⇔≥+⇔≥+，两边平方可得23210x x --≥，解得1≥x 或13x ≤-；故不等式的解集为{1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭；（3）()ln (3)1ln32x g x a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)1ln32xa e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)10x a e -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即130xa e a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩，因为[0,)x ∈+∞，则1334xe <+≤，所以03a <≤， 其次，ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为ln32(3)1x a xa e e+-+≤， 即23(3)10x x ae a e +--≥成立，亦即()()3110x xe ae +-≥成立，因为310x e +>，所以10x ae -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭所以1a ≥，综上，实数a 的取值范围为[]1,3.本题考查函数的单调性、奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，其中函数与不等式的结合求参问题是难点，考查学生分析转化问题的能力.19. 已知正项等差数列{}n a 中，12a =，且12,1a a -，3a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为112n S b ⋅=，()*122n n n S S b n N +=+∈. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . （1）31n a n =-；12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）711623(32)n n ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，求得3d =，即可求得数列{}n a 的通项公式，再由122n n n S S b +=+，化简得到112n n b b +=，结合等比数列的定义，即可求解； （2）由（1）可得1111233132nn c n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，结合等比数列的求和公式和“裂项法”求得n T 即可.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由12a =，且12,1a a -，3a 成等比数列， ∴2(1)2(22)d d +=+， 即2(1)4(1)d d +=+， 由已知0d >， ∴14d +=， ∴3d =，∴31n a n =-； 由122n n n S S b +=+得：11222n n n n S S b b ++-==， ∴()112g n n b n N b +=∈ 数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）111111112(31)(32)233132n nn n n n c b a a n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴21111111111222325583132nn T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112211171113232623(32)12nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 本题主要考查等差、等比数列的通项公式的应用、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，属于中档题.20. 已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且相邻同对称轴间的距离为2π. （1）当,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域. （1）单调递减区间为,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（2）[-.（1）利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，根据条件，可求出周期T 和ω，结合奇函数性质，求出ϕ，再用整体代入法求出,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内的递减区间；（2）利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，求出()g x 的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的值域.（1）())cos()2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， 因为函数为奇函数，所以6k πϕπ-=，6k πϕπ=+，k Z ∈， 因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，函数为()2sin 2f x x =， ,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22x ππ-≤≤，()f x 单调递减，需满足22x ππ-≤≤-，∴24x ππ-≤≤-，所以函数()f x 的单调递减区间为,24x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；（2）由题意可得：()2sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴24333x πππ-≤-≤，∴1sin 43x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，()[g x ∈-，即函数()g x 值域为[-.本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.21. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r 可由函数模型()()0.5*0015,n pn r r r r p R n N +=--∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后n r 的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m .试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取lg 20.3=）（1）()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ；（2）6. （1）根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，得到02r =，1 1.94r =，然后再令1n =求解. （2）根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m ，得到0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤求解.（1）由题意得02r =，1 1.94r =， 所以当1n =时，()0.510015pr r r r +=--⋅，即()0.51.9422 1.945p+=--⋅，解得0.5p =-，所以()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . （2）由题意可得，0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤， 整理得0505..1950..206n -≥，即0.50.5532n -≥， 两边同时取常用对数，得lg3205055.lg .n -≥， 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-， 取lg 20.3=代入，得5lg 2302115.31lg 27⨯+=+-， 又因为*n ∈N ，所以6n ≥.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.方法点睛：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．22. 已知点,1x e P x ⎛⎫⎪⎝⎭，(,sin )Q x mx x +，O 为坐标原点，设函数()()f x OP OQ m R =⋅∈.（1）当2m =-时，判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （2）若0x ≥时，不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围. （1）函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）[2,)-+∞.（1）由题意结合平面向量的数量积运算可得()2sin x f x e x x =-+，求导后可得()0f x '<，即可得解；（2）当0x =时，易得()1f x ≥恒成立；当0x >时，求导得()cos x f x e m x '=++，设()cos x g x e m x =++，求导可得()2g x m >+，按照2m ≥-、2m <-分类，结合函数()f x 的单调性、(0)1f =即可得解.（1）由已知(),1(,sin )sin x xe f x OP OQ x mx x e mx x x ⎛⎫=⋅=⋅+=++ ⎪⎝⎭，当2m =-时，()2sin x f x e x x =-+，()2cos x f x e x '=-+， 当0x <时，1x e <，又cos 1≤x ，则()2cos 0x f x e x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）①当0x =时，()11f x =≥，对于m R ∈，()1f x ≥恒成立； ②当0x >时，()cos x f x e m x '=++， 设()cos x g x e m x =++，则()sin x g x e x '=-， 因为e 1x >，sin 1x ≤，所以()sin 0x g x e x '=->，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(0)2g m =+，所以()2g x m >+，所以()'f x 在(0,)+∞上单调递增，且()2f x m '>+， （ⅰ）当2m ≥-时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 因为(0)1f =，所以()1f x >恒成立，符合题意； （ⅱ）当2m <-时，(0)20f m '=+<， 因为()'f x 在(0,)+∞上单调递增，又当ln(2)x m =-时，ln(2)()cos 2cos 0m f x e m x x -'=++=+>， 则存在0(0,)x ∈+∞，对于()00,x x ∈，()0f x '<恒成立， 故()f x 在()00,x 上单调递减，所以，当()00,x x ∈时，()(0)1f x f <=，不合题意. 综上，所求m 的取值范围为[2,)-+∞.本题考查了导数的应用，考查了运算求解能力及逻辑推理能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.。
2020-2021长沙市高三数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021长沙市高三数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．59．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-10．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8111．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 14．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 15．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________．16．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．17．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 19．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 23．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积.24．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .25．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==，则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 6．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.7．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．9．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.10．B解析：B【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.14．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是解析：-2 【解析】 【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.15．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-【解析】 【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.16．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】Q 1112222n n n n b b b H n-++++==L ,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,故2121()(22212)n nn b b n b n --⋅++=-≥+L ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.17．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．18．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。
湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试(一模)试题 文(含解析).doc
湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期第一次适应性考试（一模）试题文（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。
2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。
【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况. 两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。
2020-2021高三数学上期中一模试题含答案(4)
2020-2021高三数学上期中一模试题含答案(4)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9003．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--4．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5 B ．25C ．41D ．52 5．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．366．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．1407．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40378．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为2部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．7323D ．83239．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B ．2C ．2 D ．410．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-11．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．512．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．35二、填空题13．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 14．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______.17．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 18．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．19．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，()2cos cos cos 0C a B b A c ++=.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若22a b ==，，求()sin 2B C -的值.22．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 23．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.24．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 25．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 26．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 3．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.4．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =．由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 5．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C6．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x x =所以1n a n n =+11nn n a =+1121n S n n n n =+-L 11n =+，由1110n S n =+=解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.8．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，3534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．9．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10．D解析：D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.11．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
2020-2021高三数学上期中一模试卷(含答案)
2020-2021高三数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形3．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-34．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．46．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )AB ．34C ．32或2D ．34或27．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720208．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．669．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13710．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4011．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ）A ．49B ．378C ．7914D ．14924二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．14．设0,0,25x y x y >>+=______.15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________．16．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 17．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 18．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．19．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ； （2）若,b c 成等差数列，ABC ∆的面积为a ． 22．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .23．已知向量11,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C，若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边7BC B ==，求ABC ∆的面积. 24．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．26．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.2．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,()ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.3．D解析：D 【解析】作出不等式对应的平面区域， 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6{x y x y +=-=得A(3,3)，∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b zy x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.6．C解析：C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=，解得a 值，由已知可求中线12BD c =，在BCD V 中，由余弦定理即可计算AB 边上中线的长． 【详解】解：3,33,30b c B ===o Q ，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得239272332a a =+-⨯⨯⨯，整理可得：29180a a -+=，∴解得6a =或3．Q 如图，CD 为AB 边上的中线，则1332BD c ==，∴在BCD V 中，由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅，可得：222333336()26222CD =+-⨯⨯⨯，或222333333()23222CD =+-⨯⨯⨯， ∴解得AB 边上的中线32CD =或37． 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．8．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.9．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.11．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．D解析：D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析：-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2z-最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 14．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立 解析：3【解析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值． 【详解】=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．15．【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解：∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可解析：613. 【解析】分析：根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解． 详解：∵等差数列{}n a 中136S =， ∴()11371313132622a a a S +⨯===， ∴7613a =． 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==． 点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若()*,,,,m n p q m n p q Z+=+∈，则m n p q a a a a +=+，这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．16．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：21nn +【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.17．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1解析：7 【解析】由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝34，易得21a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12)2n ]代入1817<2n n S S <87，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 18．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简解析：【解析】 【分析】根据等比数列通项公式，求出()()12112122212n n n n aa a a ++--++=--+=L ，计算()22111111222222n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L 即可得解. 【详解】由题2nn a =， ()()12112122212n n n n a a a a ++--++=--+=L()22111111222222n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L()2112224n n aa a a +-+++===L .故答案为：4 【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简.19．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得 解析：30【解析】 【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题21．（1）3π； （2）23 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin （A +3π），结合范围A ∈（0，π），即可计算求解A 的值；（2）利用等差数列的性质可得b 3a ，利用三角形面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值． 【详解】（1）∵asinB=bsin （A+3π）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin （A +3π）． ∵sinB≠0， ∴sinA=sin （A+3π）． ∵A ∈（0，π），可得：A +A+3π=π， ∴A=3π．（2）∵b，2a ，c 成等差数列， ∴，∵△ABC 的面积为S △ABC =12， ∴123bc sin π⨯⨯bc=8， ∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3π=（b+c ）2﹣3bc=）2﹣24， ∴解得：【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．（Ⅰ）2nn a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >， 解得：12,2==a q ，所以2nn a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠ 所以21n b n =+, 令nn nb c a =, 则212n nn c +=， 因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++L L , 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++L , 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L所以2552n nn T +=-. 【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 23．(1) 2,T π=当2,6x k k Z ππ=+∈时，()max 2f x = (2) 33ABC S ∆= 【解析】 【分析】 【详解】（1）因为a r与b r共线，所以113(sin cos )022y x x -+= 则()2sin 3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的周期2T π= 当26x k ππ=+，k Z ∈，max 2f =（2）∵33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴2sin 333A ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∴3sin A = ∵02A π<<∴3A π=由正弦定理得sin sin BC ACA B= 又21sin 7B = ∴sin 2sin BC B AC A ==，且321sin 14C =∴133sin 22ABC S AC BC C ∆==24．（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）先由公式1n n n a S S -=-求出数列{}n a 的通项公式；进而列方程组求数列{}n b 的首项与公差，得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得()1312n n c n +=+⋅，再利用“错位相减法”求数列{}n c 的前n 项和nT .试题解析：（1）由题意知当2n ≥时，165n n n a S S n -=-=+， 当1n =时，1111a S ==，所以65n a n =+． 设数列{}n b 的公差为d ， 由112223{a b b a b b =+=+，即11112{1723b d b d=+=+，可解得14,3b d ==，所以31n b n =+．（2）由（1）知()()()116631233n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，得()2341322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，()34522322324212n n T n +⎡⎤=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式作差，得()()()23412224213222221234123221n n n n n n T n n n ++++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=⨯+-+⨯=-⋅⎣⎦-⎢⎥⎣⎦所以232n n T n +=⋅．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和. 【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -. 25．（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()1114{3615a d a d a d +=+++=， 解得13{1a d ==．所以()112n a a n d n =+-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2nn b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．26．（1）31,2nn n a n b =-=；（2）1326n n +⨯--.【解析】试题分析：（1）设出等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n =a bn 结合数列{a n }和{b n }的通项公式得到数列{c n }的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n }的前n 项和S n ． 试题解析： （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得． 所以． 由，得，又，解得．所以． （2）因为，所以．。
2020-2021学年湖南长沙高三上数学期中试卷
2020-2021学年湖南长沙高三上数学期中试卷一、选择题1. 已知R是实数集，M={x|2x<1}，N={y|y=√x−1}，则∁R(N∩M)=( )A.(1,2)B.[0,2]C.⌀D.(−∞,2]2. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则|z1−z2|=( )A.√2B.2√2C.2D.83. 若l，m是两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m // α”是“m⊥l”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1=3，23−1=7，25−1=31，27−1=127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）( )A.25B.29C.27D.285. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )A.150B.180C.200D.2806. 已知定义在R上的偶函数f(x)，对任意x∈R，都有f(2−x)=f(x+2)，且当x∈[−2, 0]时，f(x)=2−x−1，若在a>1时，关于x的方程f(x)−loga(x+2)=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是( ) A.(1, 2) B.(223, 2)C.(−∞, 223)∪(2, +∞) D.(2, +∞)7. 已知O为△ABC的外心，OA→+2OB→+√6OC→=0→，则∠ACB的正弦值为( )A.√64B.14C.12D.388. l是经过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB=45∘，则双曲线离心率的最大值为( )A.√2B.√3C.2D.3二、多选题下列命题正确的是( )A.若随机变量X∼B(100,p)，且E(X)=20，则D(12X+1)=5B.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件C.一只袋内装有m个白球，n−m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出ξ个白球，P(ξ=2)等于(n−m)A m2A n3D.由一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(x n,y n)得到回归直线方程y=bx+a，那么直线y=bx+a至少经过(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(x n,y n)中的一个点若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式不一定成立的是( )A.ab<1 B.ba+ab≥2 C.1ab2<1a2bD.a2+a<b2+b如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )A.存在某个位置，使得CN⊥ABB.翻折过程中，CN的长是定值C.若AB=BM，则AM⊥B1DD.若AB=BM=1，当三棱锥B1−AMD的体积最大时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积是4π已知曲线C n:x2−2nx+y2=0(n=1,2,⋯)，从点P(−1,0)向曲线C n引斜率为k n(k n>0)的切线l n，切点为P n(x n,y n)．则下列结论正确的是( )A.数列{x n}的通项为x n=nn+1B.数列{y n}的通项为y n=n√2n+1n+1C.当n>3时，x1⋅x3⋅x5⋯x2n−1>√1−x1+x nD.√1−x1+x n <√2sin x ny n三、填空题若(2+x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a17(1+x)17，则a0+a1+a2+a3+⋯+a16=________.已知抛物线C：y2=4x与圆E：(x−1)2+y2=9相交于A，B两点，点M为劣弧AB̂上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE的周长的取值范围为________.既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展．现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道AC（C 与A，B不重合），A，B相距400米，在紧邻休闲小道AC的两侧及圆弧CB̂上进行绿化，设∠BAC=θ，则绿化带的总长度f(θ)的最大值约为________米．（参考数据：√3≈1.7，π≈3）定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)=0．若对任意x∈R，都有f′(x)−f(x)>1，则使得f(x)+1e x>1成立的x取值范围为________.四、解答题在①2sin2C−B2+2cos2C+B2+2cos C cos B=1，②2tan Btan A+tan B=bc，③√3b=a(sin C+√3cos C)三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a=√13，b=3，________，求△ABC的面积．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期．各种传染疾病的潜伏期不同，数小时，数天、甚至数月不等．某市疾病预防控制中心统计了该市200名传染病患者的相关信息，得到如下表格：(1)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表数据将如下列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关．(2)将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该市每名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调查了该地区30名患者，其中潜伏期超过6天的人数为X，求随机变量X的期望和方差．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.已知，如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD．E，M分别是BC，PD中点.点F在棱PC上移动．(1)证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；(2)当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置．已知数列{a n }的首项a 1=2，前n 项和为S n ，且数列{Sn n}是以12为公差的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =2n a n ，n ∈N ∗，数列{b n }的前n 项和为T n .①求证：数列{Tnn }为等比数列，②若存在整数m,n (m >n >1)，使得T m T n=m (S m +λ)n (S n +λ)．其中λ为常数，且λ≥−2，求λ的所有可能值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，过F 2的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点．若△F 1PQ 的周长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l:y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO|．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．已知函数f (x )=1+ln (1+x )x，g (x )=mx+1(m ∈R ).(1)判断函数f (x )在(0,+∞)上的单调性；(2)若f (x )>g (x )在(0,+∞)上恒成立，求整数m 的最大值．(3)求证：(1+1×2)(1+2×3)⋯ [1+n (n +1)]>e 2n−3（其中e 为自然对数的底数）．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南长沙高三上数学期中试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：∵M={x|2x<1}={x|x<0或x>2}，N={y|y=√x−1={y|y≥0}，即M=(−∞,0)∪(2,+∞)，N=[0,+∞)，∁R(N∩M)=(−∞,2].故选D．2.【答案】B【考点】复数的模复数代数形式的加减运算【解析】由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为2−i，利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为2−i，∴|z1−z2|=|i−(2−i)|=|−2+2i|=2√2.故选B.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断两条直线垂直的判定【解析】由l⊥α，“m // α”⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．即可判断出关系．【解答】解：由l⊥α，m // α⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．因此“m // α”是“m⊥l”的充分不必要条件．故选A.4. 【答案】C【考点】对数的运算性质函数模型的选择与应用【解析】根据题意，利用常用对数估算即可．【解答】解：lg(289−1)≈89lg2≈26.789，故289−1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27.故选C.5.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有C52C32A22×A33=90种，所以共有150种不同的方法．故选A.6.【答案】B【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】由已知中可以得到函数f(x)的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[−2, 0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f(x)−logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f(x)的与函数y=logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：依题意函数f(x)的图象关于y轴及直线x=2对称，所以f(x)的周期为4.作出x∈[−2,0)时f(x)的图象，由f(x)的奇偶性和周期性作出f(x)的图象，关于x 的方程f (x )−log a (x +2)=0恰有三个不同的实数根， 可转化为函数f (x )与y =log a (x +2)的图象有三个不同的交点.由数形结合可知{log a (2+2)<3,log a (6+2)>3,解得223<a <2.故选B ． 7.【答案】 A【考点】 三角形五心二倍角的正弦公式 向量的加法及其几何意义 【解析】 无【解答】解：设外接圆的半径为R ，OA →+2OB →+√6OC →=0→， OA →+2OB →=−√6OC →，(OA →+2OB →)2=(−√6OC →)2， R 2+4R 2+4OA →⋅OB →=6R 2，即4OA →⋅OB →=R 2， 即cos ∠AOB =14，∴ sin 2∠ACB =1−cos ∠AOB2=38，∴ sin ∠ACB =√64． 故选A ． 8. 【答案】 A【考点】基本不等式 双曲线的离心率【解析】 无【解答】解：设点P (c,m )（不妨设m >0），则有tan (∠PBF −∠PAF )=tan ∠PBF−tan ∠PAF 1+tan ∠PBF⋅tan ∠PAF=m c−a −m c+a1+m 2c 2−a2=2am m 2+b 2=1 ,即2a m+b 2m=1有解．即m +b 2m =2a 有解， 又m +b 2m≥2b ，所以2a ≥2b ． 故1<e ≤√2． 故选A ． 二、多选题【答案】 B,C【考点】古典概型及其概率计算公式 相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及其分布列两点分布二项分布超几何分布的期望与方差 求解线性回归方程【解析】本题考查离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率，线性回归方程. 【解答】解：对于A ，由E (X )=20，得100p =20⇒p =15， D (X )=100×15×45=16，所以D (12X +1)=14D (X )=4，故A 选项错误； 对于B ，各事件彼此互斥，P A =0.2与P B∪C∪D =0.8， 故B 选项正确；对于C ，取出两个白球，则前两个白球有A m 2种选法， 第三次是黑球，故第三次拿球可按顺序排列，即A n 3， ∴ p(ξ=2)=(n−m )A m2A n3，故C 选项正确；对于D ，直线必定经过(x ¯,y ¯)，不一定经过(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯(x n ,y n )中的一点,故D 选项错误. 故选BC . 【答案】 A,B,D【考点】不等式的基本性质 【解析】本题考查利用比较法判断不等式，基本不等式、不等式的性质，属于基础题. 根据性质逐项验证，即可可求出结果. 【解答】解：当a <b <0时，ab ≥1，故A 错误；当ab <0时，b a+ab≥2不成立，故B 错误；因为1ab2−1a 2b=a−b (ab )2<0，则1ab2<1a 2b一定成立，故C 正确；因为a 2+a −b 2−b =(a −b )(a +b +1)符号不定，故a 2+a <b 2+b 不一定成立，故D 错误. 故选ABD. 【答案】 B,D【考点】直线与平面垂直的判定 球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】对于A ：取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，则NE // AB 1，NF // MB 1，由CN ⊥AB 1，得EN ⊥NF ，若EN ⊥CN ，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能；对于B:∠NEC ＝∠MAB 1（定值），NE =12AB 1（定值），AM ＝EC （定值），由余弦定理可得NC 是定值；对于C ：取AM 中点O ，连接B 1O ，DO ，由题意得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，从而AD ＝MD ，由题意不成立；对于D ：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1−AMD 的体积最大，由题意得AD 中点H 就是三棱锥B 1−AMD 的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π． 【解答】解：对于A ：如图，取AD 中点E ，连接EC 交MD 于F ，连接NE ，NF ，则NE // AB 1，NF // MB 1，如果CN ⊥AB 1，可得到EN ⊥NC ，又EN ⊥FN ，且三线EN ，FN ，NC 共面共点，不成立，故A 错误； 对于B ：由图可得∠NEC =∠MAB 1（定值）， NE =12AB 1（定值），AM =EC （定值），由余弦定理可得NC 2=NE 2+EC 2−2NE ⋅EC ⋅cos ∠NEC ， 所以NC 是定值，故B 正确；对于C ：如图，取AM 的中点O ，连接B 1O ，DO ，由题意得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，则AD =MD ，显然AB =BM 不成立，故C 错误；对于D ：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1−AMD 的体积最大， 此时AD 的中点即为三棱锥B 1−AMD 的外接球的球心， 由题意知，球半径为1，则表面积为4π，故D 正确． 故选BD . 【答案】 A,B,D 【考点】数列与不等式的综合 【解析】【解答】解：设直线l n :y =k n (x +1)，联立x 2−2nx +y 2=0，得(1+k n 2)x 2+(2k n 2−2n)x +k n 2=0， 则由Δ=0得k n =√2n+1，所以可得x n =nn+1，y n =n √2n+1n+1，选项AB 正确；因为√1−xn 1+x n=√12n+1，x 1⋅x 3⋅x 5⋯x 2n−1=12×34×⋯2n−12n<√13×35×⋯×2n−12n+1=√12n+1，选项C 错误．因为x n y n=√12n+1=√1−x n 1+x n，令f(x)=x −√2sin x ，f ′(x)=1−√2cos x ，可得 f (x )在(0，π4)上递减，可知x ＜√2sin x 在(0,π4)上恒成立． 又√12n+1≤√13<π4，选项D 正确． 故选ABD .三、填空题 【答案】 217−1【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】无【解答】解：由题意，由(2+x)17=[1+(1+x)]17，T17+1=(1+x)17，∴a17=1，令x=0，则217=a0+a1+a2+⋯+a17，所以a0+a1+a2+a3+⋯+a16=217−1．故答案为：217−1．【答案】(6,8)【考点】圆锥曲线的综合问题抛物线的性质【解析】（1）根据题目所给信息结合抛物线的性质进行求解即可.【解答】解：已知抛物线C：y2=4x的准线l：x=−1，焦点为C(1,0)，由抛物线的定义可得|NC|=x N+1，圆E：(x−1)2+y2=9的圆心为(1,0)，半径为3，可得△MNE的周长为|NC|+|MN|+|CM|=x N+1+(x M−x N)+3=4+x M，而抛物线与圆的交点的横坐标为2，即x M∈(2,4)，此时4+x M∈(6,8)，故△MNE的周长的取值范围为(6,8).故答案为：(6,8).【答案】880【考点】解三角形的实际应用在实际问题中建立三角函数模型利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：如图所示，设圆心为O，连接OC，BC，因为点C在半圆上，所以AC⊥CB，所以|AC|=|AB|cosθ=400cosθ，弧CB̂的长为200×2θ=400θ，所以绿化带的总长度为f(θ)=800cosθ+400θ，θ∈(0,π2)．所以f′(θ)=−800sinθ+400 .令f′(θ)=0，得sinθ=12，所以θ=π6．当θ∈(0,π6)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增；当θ∈(π6,π2)时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；所以当θ=π6时，f(θ)取得极大值，也是最大值，所以f(π6)=800cosπ6+400×π6=400√3+200π3≈680+200=880 .故答案为：880 .【答案】(0,+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】无【解答】解：构造函数g(x)=f(x)+1e，g(0)=1．∵对任意x∈R，都有f′(x)−f(x)−1>0，g′(x)=f′(x)e x−(f(x)+1)e xe2x=f′(x)−f(x)−1e x>0，∴函数g(x)在R上单调递增，由f(x)+1e=g(x)>1=g(0)，∴x>0，∴x的取值范围为(0,+∞)．故答案为：(0,+∞)．四、解答题【答案】解：选①因为2sin2C−B2+2cos2C+B2+2cos C cos B=1，所以1−cos(C−B)+1+cos(C+B)+2cos C cos B=2+2cos(C+B)=2−2cos A=1，所以cos A=12，因为A为三角形的内角，∴ A =π3，又∵ a =√13，b =3，∴ 由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bc cos A ， 可得：13=9+c 2−2×3×c ×12，可得：c 2−3c −4=0，解得c =4，或−1（舍去）， ∴ S △ABC =12bc sin A =12×3×4×√32=3√3．【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 无【解答】解：选①因为2sin 2C−B 2+2cos 2C+B 2+2cos C cos B =1，所以1−cos (C −B )+1+cos (C +B )+2cos C cos B =2+2cos (C +B )=2−2cos A =1，所以cos A =12， 因为A 为三角形的内角， ∴ A =π3，又∵ a =√13，b =3，∴ 由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bc cos A ， 可得：13=9+c 2−2×3×c ×12，可得：c 2−3c −4=0，解得c =4，或−1（舍去）， ∴ S △ABC =12bc sin A =12×3×4×√32=3√3．【答案】解：(1)由题意得列联表由上表可得K 2=200(75×55−25×45)2120×80×100×100=18.75>6.635，所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关． (2)由题意可知，一名患者潜伏期超过6天的概率为P =80200=25， 随机变量服从X ∼B (30,25)，∴ E (X )=30×25=12.D (X )=30×25×(1−25)=365．答：随机变量X 的期望和方差分别为12与365． 【考点】独立性检验离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：(1)由题意得列联表由上表可得K 2=200(75×55−25×45)2120×80×100×100=18.75>6.635，所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关． (2)由题意可知，一名患者潜伏期超过6天的概率为P =80200=25，随机变量服从X ∼B (30,25)， ∴ E (X )=30×25=12. D (X )=30×25×(1−25)=365．答：随机变量X 的期望和方差分别为12与365．【答案】(1)证明：连接AC ，∵ 底面ABCD 为菱形， ∠ABC =60∘，∴ △ABC 为正三角形， ∵ E 是BC 的中点， ∴ AE ⊥BC ， 又AD//BC ， ∴ AE ⊥AD ，∵ PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥AE ，∵ PA ∩AD =A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， ∴ AE ⊥平面PAD ，∵ AE ⊂平面AEF ，∴ 平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(√3,−1,0)，C(√3,1,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)，M(0,1,1），E(√3,0,0)，∴ PC →=(√3,1,−2)，PD →=(0,2,−2)，AP →=(0,0，2)．设PF →=λPC →=(√3λ,λ,−2λ)，则AF →=AP →+PF →=(√3λ,λ,2−2λ). 设平面PCD 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) 则{m →⋅PC →=√3x 1+y 1−2z 1=0，m →⋅PD →=2y 1−2z 1=0，令z 1=√3，则x 1=1，y 1=√3， ∴ m →=(1,√3,√3)．设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ， 则 sin θ=|cos <AF →,m →>=|AF →⋅m →|AF →|⋅|m →||=|√3λ√3λ√3√3λ[(√3λ)2+λ2+(2−2λ)2]×√7|=√3√7×2√2(λ−12)2+12.当λ=12时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点． 【考点】平面与平面垂直的判定用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【解答】(1)证明：连接AC ，∵ 底面ABCD 为菱形， ∠ABC =60∘，∴ △ABC 为正三角形， ∵ E 是BC 的中点， ∴ AE ⊥BC ， 又AD//BC ， ∴ AE ⊥AD ，∵ PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥AE ，∵ PA ∩AD =A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， ∴ AE ⊥平面PAD ， ∵ AE ⊂平面AEF ，∴ 平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(√3,−1,0)，C(√3,1,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)，M(0,1,1），E(√3,0,0)，∴ PC →=(√3,1,−2)，PD →=(0,2,−2)，AP →=(0,0，2)．设PF →=λPC →=(√3λ,λ,−2λ)，则AF →=AP →+PF →=(√3λ,λ,2−2λ). 设平面PCD 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) 则{m →⋅PC →=√3x 1+y 1−2z 1=0，m →⋅PD →=2y 1−2z 1=0，令z 1=√3，则x 1=1，y 1=√3， ∴ m →=(1,√3,√3)．设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ， 则 sin θ=|cos <AF →,m →>=|AF →⋅m →|AF →|⋅|m →||=|√3λ√3λ√3√3λ[(√3λ)2+λ2+(2−2λ)2]×√7|=√3√7×2√2(λ−12)2+12.当λ=12时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点．【答案】解：(1)∵ a 1=2，∴ S 11=2，∴ S nn =2+12(n −1)=12n +32，即S n =12n 2+32n ，当n ≥2时，S n−1=12(n −1)2+32(n −1)=12n 2+12n −1． ∴ a n =S n −S n−1=n +1(n ≥2)．当n =1时，a 1=2符合上式，∴ a n =n +1(n ∈N ∗)． (2)①∵ a n =n +1(n ∈N ∗)，∴ b n =2n (n +1)． ∴ T n =2×2+22×3+23×4+...+2n ×(n +1)， 则2T n =2×22+23×3+24×4+...+2n+1×(n +1)， 两式相减，可整理得T n =n ⋅2n+1．∴T n n=2n+1=4×2n−1，∴ 数列{Tnn }是以4为首项，2为公比的等比数列．②由①可知，T n =n ⋅2n+1，且由(1)知S n =12n 2+32n ，代入Tm T n=m(S m +λ)n(S n+λ)， 可得 m⋅2m+1n⋅2n+1=m(12m 2+32m+λ)m(12n 2+32n+λ)，整理得2m2n =m 2+3m+2λn 2+3n+2λ， 即n 2+3n+2λ2n =m 2+3m+2λ2m，设c n =n 2+3n+2λ2n，则c m =c n ，则c n+1−c n =(n+1)2+3(n+1)+2λ2n+1−n 2+3n+2λ2n=−n 2−n−2λ+42n+1.∵ λ≥−2，∴ 当n ≥3时，c n+1−c n =−n 2−n−2λ+42n+1<0，即c n+1<c n ，∵ m >n >1，且c 2−c 4=λ+52−λ+148=3λ+68≥0.∴ c 2>c n (n ≥5)，∴ c 2=c 4或c 2=c 3，即n =2，m =4或3．当n =2，m =4时，λ=−2，当n =2，m =3时，λ=−1． 故λ的所有可能值为−1，−2． 【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和等比数列数列与不等式的综合【解析】【解答】解：(1)∵ a 1=2，∴ S 11=2，∴ S nn =2+12(n −1)=12n +32，即S n =12n 2+32n ，当n ≥2时，S n−1=12(n −1)2+32(n −1)=12n 2+12n −1．∴ a n =S n −S n−1=n +1(n ≥2)．当n =1时，a 1=2符合上式，∴ a n =n +1(n ∈N ∗)． (2)①∵ a n =n +1(n ∈N ∗)，∴ b n =2n (n +1)． ∴ T n =2×2+22×3+23×4+...+2n ×(n +1)， 则2T n =2×22+23×3+24×4+...+2n+1×(n +1)，两式相减，可整理得T n =n ⋅2n+1．∴ Tnn =2n+1=4×2n−1， ∴ 数列{Tn n }是以4为首项，2为公比的等比数列．②由①可知，T n =n ⋅2n+1，且由(1)知S n =12n 2+32n ，代入Tm T n=m(S m +λ)n(S n +λ)，可得m⋅2m+1n⋅2=m(12m 2+32m+λ)m(12n 2+32n+λ)，整理得2m2n =m 2+3m+2λn 2+3n+2λ， 即n 2+3n+2λ2n=m 2+3m+2λ2m，设c n =n 2+3n+2λ2n，则c m =c n ，则c n+1−c n =(n+1)2+3(n+1)+2λ2n+1−n 2+3n+2λ2n=−n 2−n−2λ+42n+1.∵ λ≥−2，∴ 当n ≥3时，c n+1−c n =−n 2−n−2λ+42n+1<0，即c n+1<c n ，∵ m >n >1，且c 2−c 4=λ+52−λ+148=3λ+68≥0.∴ c 2>c n (n ≥5)，∴ c 2=c 4或c 2=c 3，即n =2，m =4或3． 当n =2，m =4时，λ=−2，当n =2，m =3时，λ=−1． 故λ的所有可能值为−1，−2．【答案】解：(1)由椭圆的定义可知，△F 1PQ 的周长为4a ， ∴ 4a =8，a =2， 又离心率为√22，∴ c =√2，b 2=a 2−c 2=4−2=2，因此椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程{y =kx +m ，x 2+2y 2=4，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−4=0， 由Δ>0，得m 2<4k 2+2，(∗) 且x 1+x 2=−4km 2k +1，因此y 1+y 2=2m2k +1，所以D (−2km 2k +1,m2k +1)，又 N (0,−m )，所以|ND|2=(−2km2k 2+1)2+(m2k 2+1+m)2， 整理得：|ND|2=4m 2(1+3k 2+k 4)(2k 2+1)2，因为|NF|=|m|，所以|ND|2|NF|=4(k 4+3k 2+1)(2k +1)=1+8k 2+3(2k +1)．令t =8k 2+3，t ≥3，故2k 2+1=t+14，所以|ND|2|NF|2=1+16t (1+t)2=1+16t+1t+2，令y =t +1t ，所以y ′=1−1t 2．当t ≥3时，y ′>0，从而y =t +1t 在[3,+∞)上单调递增， 因此t +1t ≥103，等号当且仅当t =3时成立，此时k =0，所以|ND|2|NF|2≤1+3=4，由(∗)得−√2<m <√2且m ≠0，故|NF||ND|≥12，设∠EDF =2θ，则sin θ=|NF||ND|≥12，所以θ的最小值为π6 . 从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率为0．综上所述；当k =0，m ∈(−√2,0)∪(0,√2)时，∠EDF 取得最小值为π3． 【考点】椭圆的离心率 椭圆的标准方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】【解答】解：(1)由椭圆的定义可知，△F 1PQ 的周长为4a ， ∴ 4a =8，a =2， 又离心率为√22，∴ c =√2，b 2=a 2−c 2=4−2=2，因此椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程{y =kx +m ，x 2+2y 2=4，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−4=0， 由Δ>0，得m 2<4k 2+2，(∗) 且x 1+x 2=−4km 2k 2+1，因此y 1+y 2=2m2k 2+1，所以D (−2km2k 2+1,m2k 2+1)，又 N (0,−m )，所以|ND|2=(−2km2k 2+1)2+(m2k 2+1+m)2，整理得：|ND|2=4m 2(1+3k 2+k 4)(2k 2+1)2，因为|NF|=|m|，所以|ND|2|NF|2=4(k 4+3k 2+1)(2k 2+1)2=1+8k 2+3(2k 2+1)2．令t =8k 2+3，t ≥3，故2k 2+1=t+14，所以|ND|2|NF|2=1+16t(1+t)2=1+16t+1t+2，令y =t +1t ，所以y ′=1−1t 2．当t ≥3时，y ′>0，从而y =t +1t 在[3,+∞)上单调递增，因此t +1t ≥103，等号当且仅当t =3时成立，此时k =0，所以|ND|2|NF|2≤1+3=4， 由(∗)得−√2<m <√2且m ≠0，故|NF||ND|≥12，设∠EDF =2θ，则sin θ=|NF||ND|≥12，所以θ的最小值为π6 . 从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率为0．综上所述；当k =0，m ∈(−√2,0)∪(0,√2)时，∠EDF 取得最小值为π3． 【答案】解：(1)因为f(x)=1+ln (1+x)x(x >0)，所以f ′(x)=−11+x−ln (1+x)x ，(x >0)．又因为x >0，所以11+x >0，ln (1+x)>0， 所以f ′(x )<0，即函数f(x)在(0,+∞)上为减函数． (2)由f (x )>g (x )在(0,+∞)上恒成立， 即m <x+1+(x+1)ln (x+1)x在(0,+∞)上恒成立， 即m <(x+1+(x+1)ln (x+1)x)min，设ℎ(x )=x+1+(x+1)ln (x+1)x ，所以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x (x >0)，令g(x)=x −1−ln (x +1)， 则g ′(x)=1−1x+1=x x+1>0，所以g(x)在(0,+∞)为增函数，又g(2)=1−ln 3<0，g(3)=2−2ln 2>0，即存在唯一的实数根a ，满足g(a)=0，且a ∈(2,3)，a −1−ln (a +1)=0， 当x >a 时，g(x)>0，ℎ′(x)>0，当0<x <a 时，g(x)<0，ℎ′<0， 即函数ℎ(x)在(0,a)上为减函数，在(a,+∞)上为增函数， 则ℎ(x)min =ℎ(a)=a+1+(a+1)ln (a+1)a=a +1∈(3,4)，故整数m 的最大值为3 . (3)由(2)知，ln (x +1)>2x−1x+1=2−3x+1(x >0)，令x =n (n +1)， 则ln [1+n(n +1)]>2−3n(n+1)+1>2−3n(n+1)=2−3(1n −1n+1) ，ln (1+1×2)+ln (1+2×3)+⋯+ln [1+n (n +1)]>2−3(1−12)+2−3(12−13)+⋯+2−3(1n −1n+1)=2n −3(1−1n+1)>2n −3. 故(1+1×2)(1+2×3)⋯ [1+n (n +1)]>e 2n−3. 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究不等式恒成立问题 对数及其运算 【解析】【解答】解：(1)因为f(x)=1+ln (1+x)x(x >0)，所以f ′(x)=−11+x−ln (1+x)x 2，(x >0)．又因为x >0，所以11+x >0，ln (1+x)>0， 所以f ′(x )<0，即函数f(x)在(0,+∞)上为减函数． (2)由f (x )>g (x )在(0,+∞)上恒成立， 即m <x+1+(x+1)ln (x+1)x在(0,+∞)上恒成立， 即m <(x+1+(x+1)ln (x+1)x)min，设ℎ(x )=x+1+(x+1)ln (x+1)x ，所以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2(x >0)，令g(x)=x −1−ln (x +1)，则g ′(x)=1−1x+1=xx+1>0，所以g(x)在(0,+∞)为增函数，又g(2)=1−ln 3<0，g(3)=2−2ln 2>0，即存在唯一的实数根a ，满足g(a)=0，且a ∈(2,3)，a −1−ln (a +1)=0， 当x >a 时，g(x)>0，ℎ′(x)>0，当0<x <a 时，g(x)<0，ℎ′<0， 即函数ℎ(x)在(0,a)上为减函数，在(a,+∞)上为增函数， 则ℎ(x)min =ℎ(a)=a+1+(a+1)ln (a+1)a=a +1∈(3,4)，故整数m 的最大值为3 . (3)由(2)知，ln (x +1)>2x−1x+1=2−3x+1(x >0)，令x =n (n +1)， 则ln [1+n(n +1)]>2−3n(n+1)+1>2−3n(n+1)=2−3(1n −1n+1) ，ln (1+1×2)+ln (1+2×3)+⋯+ln [1+n (n +1)]>2−3(1−12)+2−3(12−13)+⋯+2−3(1n −1n+1)=2n −3(1−1n+1)>2n −3. 故(1+1×2)(1+2×3)⋯ [1+n (n +1)]>e 2n−3.。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合112162x A x N +⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭，{}240B x x x m =-+=，若1A B ∈，则A B ＝（ ）A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 2．已知复数z 满足()1243z i i +=- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2i -C ．1D ．i 3．()1cos x f x x=-的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．饕餮(tāo tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点B 的概率为（ ）A ．12B ．14C ．116D ．185．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若|PQ |－|PF |的最小值为－6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．2212x y += B ．2214x y += C ．22143x y += D ．22142x y += 6．命题p ：f (x )＝x ＋a ln x (a ∈R )在区间[1，2]上单调递增；命题q ：存在x ∈[2，e ]，使得1ln x x-－e ＋4＋2a ≥0成立(e 为自然对数的底数)，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－2，－32) B ．(－2，－32)∪[－1，＋∞) C ．[－32，－1) D ．(2，－32)∪[1，＋∞) 7．已知()22103A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，四点均在函数f （x ）＝log 2ax x b +的图象上，若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．265B ．263C ．525D ．5238．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n *∈N 时，n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，若2020n S =，且23a <，则n 的最大值为（ ）A ．63B ．64C ．65D ．66二、多选题9．2020年两会“部长通道”工信部部长表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图.则（ ）A ．2022年我国5G 用户规模年增长率最高B ．2022年我国5G 用户规模年增长户数最多C ．从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D ．这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差10．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ≤）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，3OCB π∠=，||2OA =，AD =.则下列说法正确的有（ ）.A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增 11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过AB 作一垂直于直线B 1C 的平面交平面ADD 1A 1于直线l ，动点M 在直线l 上，则（ ）A ．B 1C //lB ．B 1C ⊥lC ．点M 到平面BCC 1B 1的距离等于线段AB 的长度D ．直线BM 与直线CD 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.三、填空题13．三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n 种方法，则1(2)nx x +展开式的常数项为____________.(用数字作答) 14．设,,a b c →→→为单位向量，向量a →与b →的夹角为120°，则a c b c →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围是_____.15．已知点A 、B 关于坐标原点O 对称，2AB =，以M 为圆心的圆过A 、B 两点，且与直线1y =相切.若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为_______.16．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.四、解答题17．在①数列{a n }为等差数列，且a 3＋a 7＝18；②数列{a n }为等比数列，且a 2a 6＝64，a 2a 3<0；③S n －1＝a n －1(n ≥2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1， .（1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正整数k ∈{8，9，10}，使S k >512，若存在，求出相应的正整数k 的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝23sin A sin C ，c ＝2. （1）求sin B 的值；（2）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β，若△ADC ，求sin sin αβ的值. 19．据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值k 为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k ，并分成以下5组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）.（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(]50.54,80.63之外的包装胶带个数，求()1P X =及X 的数学期望（精确到0.001）；（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：()()1,4t ∈.假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.20．已知底面为正三角形的斜三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是棱11A B ，AB 的中点，点1A 在底面投影为AC 边的中点O ，11A C AC P ⋂=，1A F AE G =.（1）证明：PG //平面111A B C ；（2）若6AB =，15AA =，点M 为棱11A B 上的动点，当直线AM 与平面1A FC 所成时，求点M 的位置. 21．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于D ，E 两点，且|DE |＝4.（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 过点A (2，0)且与抛物线C 交于P ，Q 两点，点R 在抛物线C 上，点N 在x 轴上，NP NQ NR 0++=，直线PR 交x 轴于点B ，且点B 在点A 的右侧，记△APN的面积为S 1，△RNB 的面积为S 2，求12S S 的最小值. 22．已知函数f (x )＝e x ＋x e -，其中e 是自然对数的底数.e-＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；（1）若关于x的不等式mf(x)≤x（2）已知正数a满足：存在x∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x03＋3x0)成立.试比较1a e-与1e a-的大小，并证明你的结论.参考答案1．D【分析】根据题意，解不等式求出集合{}0,1,2A =，由1A B ∈，得1B ∈，进而求出3m =，从而可求出集合{}1,3B =，最后根据并集的运算即可得出答案.【详解】 解：由题可知，112162x A x N +⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭， 而112162x +<<，即114222x -+<<，解得：23x -<<， 又由于x ∈N ，得{}0,1,2A =，因为1A B ∈，则1B ∈，所以140m -+=，解得：3m =， 所以{}{}24301,3B x x x =-+==，所以{}0,1,2,3A B ⋃=.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集的定义和并集运算，属于基础题.2．A【分析】由题目条件可得()12435z i i +=-=，即512z i =+，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】 因为435i -=，所以()12435z i i +=-=， 则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++- 故复数z 的虚部为2-.故选：A .【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.3．A【分析】利用排除法，根据函数的定义域，奇偶性以及特殊值可得结果.【详解】解：由于()1cos x f x x=-，则1cos 0x -≠，即2,x k k Z π≠∈， 可知()f x 的定义域为{}2,x x k k Z π≠∈，则0x ≠，故排除C ，而()()()1cos 1cos x x f x f x x x---===----， 所以()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，故排除B ，又因为当x π=时，()01cos 2f ππππ==>-，故排除D. 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，结合函数的定义域，奇偶性以及特殊值是解题的关键，属于基础题.4．D【分析】列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次的所有基本事件有：（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路）， 符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为18. 故选：D.【点睛】本题考查数学文化与古典概型，考查计算能力，属于基础题.5．C因为圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4的半径为2，所以2a =，由椭圆的定义可得1||4||PF PF =-,根据题意可得当且仅当1,,,E Q P F 四点共线时，|PQ |－|PF |取得最小值为6，所以1||EF =.【详解】因为圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4的半径为2，所以2a =，设椭圆的左焦点为1F (,0)c -，由椭圆的定义可得1||||24PF PF a +==，所以1||4||PF PF =-，所以1||||||||4PQ PF PQ PF -=+-1||4QF ≥-1||||6QF EQ =+-1||6EF ≥-，当且仅当1,,,E Q P F 四点共线时，等号成立，又|PQ |－|PF |的最小值为－6，所以1||66EF -=，即1||EF ==1c =或52c a =>=（舍）. 所以222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆的标准方程，考查了椭圆中的最值问题，属于中档题. 6．C求出命题p 对应的a 的取值范围为[)1,a ∈-+∞，再求出命题q 对应的a 的取值范围为3,12a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，再根据复合命题p 且q 为假，p 或q 为真，得出p 真q 假，p 假q 真两种情况，即可得出结果。
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 4．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U7．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．14．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.18．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.19．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．20．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________． 三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.23．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．24．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 25．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算4．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．7．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.12．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y∵y＝解析：1120【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.15．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴022 0431xx≤≤⎧⎨<-<⎩，解得0131 4xx≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300 210035000,300x x xx x⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300 210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或1 3【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．18．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 19．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．20．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）2；（2）(]1,3. 【解析】 【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--， 则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?. 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）1；（2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】()1根据题意，函数()221x x af x -+=+是定义域为R 奇函数，则()0020021af -+==+，解可得1a =，当1a =时，()()12121212x xx xf x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x xf x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x->，()1210x+>，()2210x+>， 则()()120f x f x ->， 则函数()f x 在R 上为减函数． 【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.24．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【解析】 【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润. 【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题. 25．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】 【分析】 【详解】 （1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立． 又，．的取值范围是(16]-∞，． 26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷(解析版)
2021年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷一、单项选择题（每小题5分）.1．若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，则P∩Q＝（）A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0≤x≤6}D．{x|﹣6≤x≤0} 3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．24．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为30°，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为（）平方米（注：，，）A．990B．890C．790D．6906．已知非空集合A，B满足以下两个条件：（i）A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝∅；（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．7B．8C．9D．107．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c8．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，则实数λ的最大值为（）A．1B．C．2D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结论正确的是（）A．当x∈[0，2）时有害垃圾错误分类的重量加速增长B．当x∈[2，4）时有害垃圾错误分类的重量匀速增长C．当x∈[4，6）时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[2，4）时增长了30%D．当x∈[6，8]时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[0，2）时减少了0.6吨10．如果平面向量，那么下列结论中正确的是（）A．||＝3||B．C．与的夹角为30°D．在方向上的投影为11．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC12．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点P（x0，y0）是“∞曲线”C上一点，下列说法中正确的有（）A．“∞曲线”C关于原点O中心对称B．C．“∞曲线”C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|PO|的最大值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在（2+）6的展开式中，常数项等于．14．已知是函数f（x）＝a sin x+b cos x（a＞0）的对称轴，则f（x）的对称中心为．15．定义函数f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．当x∈[0，n）（n∈N*）时，f（x）的值域为A n．记集合A n中元素的个数为a n，则值为．16．若关于x的方程+x﹣ln（ax）﹣2＝0（a＞0）有解，则正数a的取值范围是．四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知向量＝（c﹣a，sin B），＝（b ﹣a，sin A+sin C）且∥．（1）求C；（2）若，求sin A．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3＝8，S5＝2a7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．如图1，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE∥BC，记．将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．（1）当EN∥平面MBD时，求λ的值；（2）试探究：随着λ值的变化，二面角B﹣MD﹣E的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角B﹣MD﹣E的正弦值大小．20．已知函数f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．21．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆C的左焦点F1作不与x轴重合的直线MN与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线m：x＝﹣2a的垂线ME，E为垂足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）①已知直线EN过定点P，求定点P的坐标．②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值．22．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．（1）当n＝2，p＝时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C 可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．2．已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，则P∩Q＝（）A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0≤x≤6}D．{x|﹣6≤x≤0}解：集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}，Q＝{x|3x≥1}＝{x|x≥0}，∴P∩Q＝{x|0≤x≤6}．故选：C．3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．2解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d＝＝1，解得：a＝，故选：A．4．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选：D．5．某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为30°，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为（）平方米（注：，，）A．990B．890C．790D．690解：如图1，根据题意得：∠PSO＝30°，CC1＝9，SC1＝11.8，AB＝26，所以，故SO＝SC1+C1O＝11.8+18.2＝30，故在Rt△PSO中，设PO＝x，则PS＝2x，SO＝30，所以|SO|2+|OP|2＝|SP|2，即：900+x2＝4x2，解得在正四棱锥P﹣ABCD中，PO'＝17﹣9＝8，AB＝26，取BC中点E，连接EP，EO'，所以EO'＝13，由正四棱锥的性质得△PEO'为直角三角形，故|PE|2＝|PO'|2+|O'E|2＝132+82＝233，所以，所以正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为．故选：C．6．已知非空集合A，B满足以下两个条件：（i）A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝∅；（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．7B．8C．9D．10解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有4个元素，则1∉A，4∉B，∴4∈A，1∈B，此时只有＝1；若集合A中只有2个元素，则集合B中只有3个元素，则2∉A，3∉B，∴3∈A，2∈B，此时有＝3；若集合A中只有3个元素，则集合B中只有2个元素，则3∉A，2∉B，∴2∈A，3∈B，此时有＝3；若集合A中只有4个元素，则集合B中只有1个元素，则4∉A，1∉B，∴1∈A，4∈B，此时有＝1，∴有序集合对（A，B）的个数为：1+3+3+1＝8．故选：B．7．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：因为，则a＞0，c＜0，对于函数f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），f′（x）＝1﹣，可得f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）≥（1）＝1＞0，∴lna＜a，即，∴，令函数h（x）＝，h′（x）＝，可得h（x）的图像如下：∴a＜b，综上：b＞a＞c，故选：D．8．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，则实数λ的最大值为（）A．1B．C．2D．解：因为AB＝2BC＝4，AC＝2，且点M在线段AB上除A、C的位置运动，要使AB上存在一点N，满足CN⊥平面ABM，使NB＞λ恒成立，则当M恰好为C点时，为临界条件（M不可为C点，但可用来计算），即CN⊥AB，且NB＝λ，因为AB＝4，可得CN2＝4﹣λ2，CN2＝（2）2﹣（4﹣λ）2，所以4﹣λ2＝12﹣（4﹣λ）2，解得λ＝1，所以λ的最大值为1．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结论正确的是（）A．当x∈[0，2）时有害垃圾错误分类的重量加速增长B．当x∈[2，4）时有害垃圾错误分类的重量匀速增长C．当x∈[4，6）时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[2，4）时增长了30%D．当x∈[6，8]时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[0，2）时减少了0.6吨解：根据题意，依次分析选项：对于A，由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所以是加速增长，所以选项A正确；对于B，当x∈[2，4）时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；对于C，当x∈[4，6）时增长数量比当x∈[2，4）时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；对于D，当x∈[0，2）时共增长2.4吨，当x∈[6，8]时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D错误．故选：AB．10．如果平面向量，那么下列结论中正确的是（）A．||＝3||B．C．与的夹角为30°D．在方向上的投影为解：因为，所以．对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以与的夹角为180°，故C错误；对于D，在方向上的投影为，故D错误．故选：AB．11．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC解：对于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形内角和为180°可求得∠CBD＝π﹣∠BDC﹣∠BCD，利用正弦定理＝，可求得BC，在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB＝，即可求AB；对于B，在△BCD中，已知一边CD，一角∠BCD，无法求解三角形，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，无法求解三角形，在△ACD中，已知一边CD，一角∠ACD，无法求解三角形；对于C，在△ACD中，已知一边CD，两角∠ACD，∠ADC，由三角形内角和可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC，在△ABC中，已知两角∠ACB，∠ABC＝90°，一边AC，利用sin∠ACB＝，可求得AB；对于D，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB＝，可用AB表示BC，由sin∠ACB＝，可用AB表示AC，在△ACD中，已知∠ADC，边CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB．故选：ACD．12．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点P（x0，y0）是“∞曲线”C上一点，下列说法中正确的有（）A．“∞曲线”C关于原点O中心对称B．C．“∞曲线”C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|PO|的最大值为解：对A，设动点C（x，y），由题意可得C的轨迹方程为，把（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y）代入轨迹方程，显然成立；所以A正确；对B，因为P（x0，y0），故，又，所以a2sin∠F1PF2＝2a⋅|y0|，即，故，故B正确；对C，若|PF1|＝|PF2|，则P（x0，y0）在F1F2的中垂线即y轴上．故此时x0＝0，代入，可得y0＝0，即P（0，0），仅有一个，故C错误；对D，因为∠POF1+∠POF2＝π，故cos∠POF1+cos∠POF2＝0，，因为|OF1|＝|OF2|＝a，，故．即，所以．又|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2a，当且仅当P，F1，F2共线时取等号．故，即|OP|2≤2a2，解得，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在（2+）6的展开式中，常数项等于160．解：（2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝＝26﹣r x3﹣r，令3﹣r＝0，可得r＝3，所以常数项为23＝160．故答案为：160．14．已知是函数f（x）＝a sin x+b cos x（a＞0）的对称轴，则f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），（k∈Z）．解：f（x）＝a sin x+b cos x（a＞0）＝sin（x+∅），tan∅＝．∵是函数f（x）＝a sin x+b cos x（a＞0）的对称轴，∴f（0）＝f（），∴sin（0+∅）＝sin（+∅）＝cos∅，∴tan∅＝1，∴∅＝，∴f（x）＝sin（x+），由x+＝kπ，得：x＝kπ﹣，∴对称中心为（kπ﹣，0）（k∈Z）．故答案为：（kπ﹣，0），（k∈Z）．15．定义函数f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．当x∈[0，n）（n∈N*）时，f（x）的值域为A n．记集合A n中元素的个数为a n，则值为．解：根据题意，[x]表示不超过x的最大整数，即[x]＝，则有x[x]＝，则[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n﹣1；故a n＝1+1+2+3+……+（n﹣1）＝1+，＝（）+（）+……+（）＝++……+＝（﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝2（1﹣）＝；故答案为：．16．若关于x的方程+x﹣ln（ax）﹣2＝0（a＞0）有解，则正数a的取值范围是[1，+∞）．解：因为，即e[ln（ax）﹣x+1]＝[ln（ax）﹣x+1]+1有解，由e x≥x+1，当且仅当x＝0时取等号，可知ln（ax）﹣x+1＝0在区间（0，+∞）内有解，所以ax＝e x﹣1在区间（0，+∞）内有解，即在区间（0，+∞）内有解，设，则，易知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，而f（1）＝1，x→0时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，∴要使在区间（0，+∞）内有解，只需a≥1．故答案为：[1，+∞）．四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知向量＝（c﹣a，sin B），＝（b ﹣a，sin A+sin C）且∥．（1）求C；（2）若，求sin A．解：（1）∵向量＝（c﹣a，sin B），＝（b﹣a，sin A+sin C）且∥，∴（c﹣a）（sin A+sin C）＝（b﹣a）sin B，由正弦定理可得（c﹣a）（a+c）＝（b﹣a）b，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）由（1）可得B＝﹣A，由题设及正弦定理可得：sin C+3sin（﹣A）＝3sin A，即+cos A+sin A＝sin A，可得sin（A﹣）＝，由于0，﹣＜A﹣＜，∴cos（A﹣）＝，∴sin A＝sin（A﹣+）＝sin（A﹣）cos+cos（A﹣）sin＝．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3＝8，S5＝2a7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前2n项和T2n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由题意可得，解得a1＝2，d＝3，所以数列{a n}的通项公式为a；（2）因为b＝（﹣1），所以T2n＝（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a2n﹣a2n﹣1）+（22+23+…+2n+1）＝3n+＝3n+22n+2﹣4．19．如图1，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE∥BC，记．将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．（1）当EN∥平面MBD时，求λ的值；（2）试探究：随着λ值的变化，二面角B﹣MD﹣E的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角B﹣MD﹣E的正弦值大小．解：（1）取MB的中点为P，连接DP，PN，因为MN＝CN，MP＝BP，所以NP∥BC，又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，又EN∥面BMD，EN⊂面NEDP，平面NEDP∩平面MBD＝DP，所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，所以NP∥DE，且NP＝DE，即，即．（2）解：取DE的中点O，由平面MDE⊥平面DECB，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，如图建立空间直角坐标系，不妨设BC＝2，则，D（λ，0，0），，所以，．设平面BMD的法向量为，则，令，即，又平面EMD的法向量，所以，即随着λ值的变化，二面角B﹣MD﹣E的大小不变．且，所以二面角B﹣MD﹣E的正弦值为．20．已知函数f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），∵f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R），∴f′（x）＝﹣＝，当a≤0时，f′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞a，由f′（x）＜0得0＜x＜a，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；（2）由f（x）＞0得lnx﹣a（1﹣）+1＞0，故＜lnx+1，即a＜对x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝＝，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则h′（x）＝1﹣＝，∵x＞1，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，故∃x0∈（3，4）满足x0﹣lnx0﹣2＝0，当1＜x＜x0时，h（x）＜0，g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，g′（x）＞0，故g（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，故g（x）min＝g（x0）＝＝x0，故a＜x0，∵3＜x0＜4，a∈Z，故a的最大值是3．21．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆C的左焦点F1作不与x轴重合的直线MN与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线m：x＝﹣2a的垂线ME，E为垂足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）①已知直线EN过定点P，求定点P的坐标．②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值．解：（1）根据题意可得，所以a＝2，b＝，所以椭圆的方程为+＝1．（2）①由题意知，由对称性可知，P必在x轴上，F（﹣1，0），设直线MN的方程为：x＝my﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），E（﹣4，y1），联立，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，所以y1+y2＝，y1y2＝，所以﹣2my1y2＝3（y1+y2），又k EN＝，所以直线EN的方程为y﹣y1＝（x+4），令y＝0，则x＝﹣4﹣＝﹣4﹣＝﹣4﹣＝﹣4+＝﹣，所以直线EN过定点P（﹣，0）．②由（1）知△＝144（m2+1）＞0，|y1﹣y2|＝＝＝，所以S△OEN＝|OP||y1﹣y2|＝•＝，令t＝，t≥1，则S△OEN＝＝，在[1，+∞）上单调递减，所以t＝1时，[S△OEN]max＝．22．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．（1）当n＝2，p＝时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C 可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？解：（1）当n＝2时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，（1分）设X为该电子产品需要维修的系统个数，则，ξ＝500X，∴，∴ξ的分布列为：ξ050010001500P∴．（2）记2k﹣1个元件组成的系统正常工作的概率为p k.2k﹣1个元件中有i个正常工作的概率为，因此系统工常工作的概率．在2k﹣1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k+1个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：（a）原系统中至少有k+1个元件正常工作，概率为；（b）原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为；（c）原系统中恰有k﹣1个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为．因此，＝，故当时，p k单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．。
2020-2021长沙市长郡双语实验学校高中必修五数学上期中第一次模拟试题(及答案)
2020-2021长沙市长郡双语实验学校高中必修五数学上期中第一次模拟试题(及答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+2．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．13．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．164．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．35．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．136．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞7．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．59．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-11．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8112．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．80二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．14．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）15．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.16．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 17．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 18．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.19．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．22．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ； （2）若3,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为23a ． 23．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 24．已知向量113,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边217,sin BC B ==，求ABC ∆的面积. 25．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020-2021长沙市高中必修五数学上期中一模试题(及答案)
2020-2021长沙市高中必修五数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( )A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S 2．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b 3)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D 4．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ） A ．18 B ．34C ．23D ．16 5．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16 B ．26 C ．8 D ．136．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2018B ．2019C ．4036D ．40377．20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．80 11．已知4213332,3,25a b c ===，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ） A ．49 B ．378 C ．7914 D ．14924二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227a b a c +++（其中a+c≠0）的取值范围为_____．15．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 16．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____. 17．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．18．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 . 20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ；（2）若3,,b a c 成等差数列，ABC ∆的面积为23，求a ． 22．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．23．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()3cos 23cos a C b c A =- (Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．24．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 25．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.26．已知在等比数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且{12n n b a +}为等差数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果.【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>，31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S故选D【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.2．C解析：C【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．B解析：B【解析】【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值.【详解】因为63a -≤≤，所以30,60a a ->+>由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B.【点睛】 本题主要考查了均值不等式，属于中档题.4．A解析：A【解析】【分析】 利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b C C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果. 【详解】 由正弦定理得：22224cos a b c b C +-= 则22224cos 2cos cos 22a b c b C b C C ab ab a+-=== ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C C b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅ 即：2sin 4sin cos 3sin 222C C C C == ()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.5．D解析：D【解析】【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=， ∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式. 6．C解析：C【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n .【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7．D解析：D【解析】作出不等式对应的平面区域，由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小．由6{0x y x y +=-=得A(3,3)， ∵直线y=k 过A ，∴k=3.由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3，本题选择D 选项.点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：b z y x a b =-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得． 8．D解析：D【解析】【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF .【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =,又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o ,所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=,所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o ,所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以cos 2404BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,222222cos 90290BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯g 10800=,所以BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有.故选D .【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.9．D解析：D【解析】【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅，所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=，所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ，所以三角形是等腰或直角三角形．故选D ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．10．B解析：B【解析】【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列， ()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模数学试题(原卷版)
长郡中学2024届高三模拟考试（一）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线22124x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.y x =± B.2y x =± C.2y = D.2y x = 2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ）A.30B.25C.20D.153.若()3sin π4cos 0αα--=，则1cos2α-=（ ） A.725 B.1825 C.2725 D.32254.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）A.413B.427C.308D.133 5.621(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数为（ ） A.20 B.-20 C.30 D.-306.“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥，则AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为60，则伞的弧长大约为（ ）)3 1.7≈A.5.3米B.6.3米C.8.3米D.11.3米7.函数()()32,f x ax ax bx a b =-+∈R 有3个零点的充分不必要条件是（ ） A.0a ≠，且4a b > B.0a >，且4a b <C.0a <，且4,0a b b >≠D.0a <，且4,0a b b <≠8.已知实数,a b 分别满足()e 1.02,ln 10.02a b =+=，且151c =，则（ ） A.a b c << B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，复数()32i 3i z =+，下列说法正确的是（ ） A.105z = B.复数z 在复平面内对应的点位于第四象限 C.3i 05z -< D.15z +为纯虚数 10.已知函数()()tan (0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（ ）A.π6A ωϕ⋅⋅= B.()f x 的图象过点11π236⎛ ⎝⎭C.函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称 D.若函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[]1,1- 11.小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有110~的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n 步的概率为n p ，则下列说法正确的是（ ） A.214p =B.()1211322n n n p p p n --=+ C.()11122n n p p n -=- D.小华一共前进3步的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}{}2N log 1,2,1,1,2,3,4A x y x B =∈=-=--∣，则A B ⋂的真子集的个数为__________. 13.已知O 为坐标原点，()()()121,0,1,0,0,3F F Q -，向量()1,2m =-，动点P 满足PQ ∥m ，写出一个a ，使得有且只有一个点P 同时满足122(01)PF PF a a -=<<，则a =__________.14.如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为3，则球形灯半径r 与正四棱台外接球半径R 的比值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2,,AB E H =分别是棱1111,A B A D 的中点，1AE CD ⊥.（1）求正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积；（2）求平面AEH 与平面11CB D 所成锐二面角的余弦值.16.（本小题满分15分）机器人一般是指自动控制机器（Robot ）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构､驱动装置检测装置､控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了A 型､B 型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状､大小的出口123､､，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心O 为机器人的出发点，A 型､B 型两个机器人别从出发点出发沿路线123､､任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找. A 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的，B 型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的. 以X 表示A 型机器人为了离开房间尝试的次数，以Y 表示B 型机器人为了离开房间尝试的次数.（1）试求离散型随机变量Y 的分布列和期望；（2）求X Y <的概率.17.（本小题满分15分）对于数列{}n a ，如果存在正整数T ，使得对任意()*n n ∈N ，都有n T n a a +=，那么数列{}n a 就叫做周期数列，T 叫做这个数列的周期.若周期数列{}{},n n b c 满足：存在正整数k ，对每一个()*,i i k i ∈N ，都有i i b c =，我们称数列{}n b 和{}n c 为“同根数列”.（1）判断数列121,1sin π3,2,3n n n n n a n b n b b n --=⎧⎪===⎨⎪-≥⎩､是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；（2）若{}n a 和{}n b 是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m +和()*4m m +∈N，求k 的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点P ，过点P 的直线与C 交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）.（1）若点A 是线段PB 的中点，求点A 的坐标；（2）若直线AF 与C 交于点D ，记BDP 内切的半径为r ，求r 的取值范围.19.（本小题满分17分）黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一.它与函数()1(0,1,1s x x f x x s s e -=>>-为常数）密切相关，请解决下列问题： （1）当12s <时，讨论()f x 的单调性；（2）当2s >时，①证明：()f x 有唯一极值点；②记()f x 的唯一极值点为()g s ，讨论()g s 的单调性，并证明你的结论.。
2020-2021高三数学上期中一模试卷(带答案)(4)
2020-2021高三数学上期中一模试卷(带答案)(4)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则nS 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或54．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S5．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019111a a a ++⋯+=（ ） A ．20202019B ．20191010C ．20171010D ．403720206．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．27．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．669．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8110．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13711．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-112．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为 ．14．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．15．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 16．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．17．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 18．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________19．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．20．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m -≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题21．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 22．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．23．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 24．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值． 25．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．3．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．4．D解析：D 【解析】 【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.【详解】由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以11n n S S n n +<+， 所以()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，所以等差数列{}n a 为递增数列.又870a a +<，即871a a <-， 所以80a >，70a <，即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得1n a =()21n n +=2（1n -11n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =12n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13+…+12019-12020） =2（1-12020）=20191010．故选:B ． 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．6．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.7．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.8．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.11．D解析：D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理解析：6 【解析】 试题分析：274sincos 222A B C +-=Q ，274sin cos 222C C π-∴-=，274cos cos 222C C ∴-=，()72cos 1cos 22C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()22cos 11C -=，解得1cos 2C =． 所以在ABC ∆中60C =o ．2222cos c a b ab C =+-Q ，()2222cos60c a b ab ab ∴=+--o，()223ca b ab ∴=+-，()22257633a b c ab +--∴===．考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理．14．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析：-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0，3)时，直线的纵截距2z-最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 15．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和， 由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭.【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.16．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：()4031,404. 【解析】 【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 解得155k k x k T -⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=.故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.17．－2+）【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-（|x|+）由基本不等式的性质易得a 的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析：[－2，+∞） 【解析】 【分析】根据题意，分x=0与x≠0两种情况讨论，①x=0时，易得原不等式恒成立，②x≠0时，原式可变形为a≥-（|x|+ 1x），由基本不等式的性质，易得a 的范围，综合两种情况可得答案. 【详解】根据题意，分两种情况讨论；①x=0时，原式为1≥0，恒成立，则a∈R；②x≠0时，原式可化为a|x|≥-（x 2+1），即a≥-（|x|+ 1x）,又由|x|+1x ≥2，则-（|x|+1x）≤-2；要使不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，需有a≥-2即可； 综上可得，a 的取值范围是[-2，+∞）； 故答案为[-2，+∞）． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．18．【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析：(0,]3π【解析】 【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cos C 的范围.得出角C 的范围. 【详解】解：在ABC V 中，2a b c +=Q ，22()4a b c ∴+=，222422a b c ab ab ∴+=-≥，即2c ab ≥，当且仅当a b =是，取等号， 由余弦定理知，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-≥，03C π∴<≤.故答案为：(0,]3π.【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.19．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=所以cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=o o o ． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．20．或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为：或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析解析：2m ≤或2m ≥ 【解析】【分析】先化简不等式，再变量分离转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+Q22222()14(1)(1)14(1)xm x x m m∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+=所以2221834134m m m +-≥∴≥∴2m ≤-或2m ≥故答案为：2m ≤-或2m ≥ 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）32n a n =-+（2）n S 23212n n n-=+-【解析】 【分析】（1）依题意()()382726a a a a d +-+==-，从而3d =-.由此能求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求出112322n n n n b a n --=-=-+，再分组求和即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差是d . 由已知()()382726a a a a d +-+==-， ∴3d =-，∴2712723a a a d +=+=-， 得 11a =-，∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+.（2）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n n a b -+=，∴112322n n n n b a n --=-=-+，∴()()21147321222n n S n -=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()31212nn n -=+-， 23212n n n -=+-.【点睛】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.22．(1)2 12b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)62m <<． 【解析】试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解. 试题解析：由题意得2,40b c ma a bc +=-=． (1)当52,4a m ==时,5,12b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2)()222222cos 22b c bc a b c a A bc bc+--+-===()222222232a ma a m a --=-, ∵为锐角,∴()2cos 230,1A m =-∈,∴2322m <<,又由b c ma +=可得0m >,62m << 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.23．(1)13n n a -=，;(2)()223n nn T +=-.【解析】 【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出a 1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n }为等比数列，则数列{a n }的通项公式可求，再由b 1=3a 1，b 3=S 2+3求出数列{b n }的首项和公差，则{b n }的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n }、{b n }的通项公式代入3nn nb c a =，直接由错位相减法求数列{c n }的前n 项和为T n ． 【详解】（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=.设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+ ,（Ⅱ）1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++L ① 则234113572133333n n n T ++=++++L ②， 由①—②得，2312111211233333n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 142433n n ++=+∴223n nn T +=- . 【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题． 24．（133+233 【解析】 【分析】（1）由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒，再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值，最后利用三角形面积公式计算即可；（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，可求得3ac ≤，进而求得S 的最大值．【详解】（1）因为A 、B 、C 成等差数列，则：2A+C =B ，又A B C π++=，所以60B =︒， 因为：2sin sin b aa B A=⇒=， 222221262cos 32222102b a c ac B c c c c c +∴=+-⇒=+-⨯⇒--=⇒=，（负值舍）；ABC ∆∴的面积1126333sin 222S ac B ++==⨯⨯⨯=； （2）2222cos b a c ac B =+-Q ；即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立； 1333sin 2ABC S ac B ac ∆∴==≤； 即S 的最大值为：334． 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 25．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=， 所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++，即222a b c a b c b c a ++≥++， 所以2221a b c b c a++≥.本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.26．(1)2π3B =；（2【解析】【试题分析】（1）先正弦定理将已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=-化为边的关系,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出1sin 4BAD ∠=，然后运用余弦二倍角求出7cos 8BAC ∠=，进而运用平方关系求出sin BAC ∠. 解：(1) 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-, 222a c b ac ∴+=-,2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=-,()0,πB ∈Q , 2π3B ∴=.(2) 在ABD V 中,由正弦定理:sin sin AD BD B BAD=∠,得1sin 1sin 4BD B BAD AD ⋅∠===, 217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅=,sin BAC ∴∠===.。
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【解析】
【分析】
首先根据对数运算法则，可知 ，再根据等比数列的性质可知 ，最后计算 的值.
【详解】
由 ，
可得 ，进而可得 ，
.
【点睛】
本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数 何时取最大值，进而找到 之间的关系式 然后可得 ，化简变形用基本不等式即可求解。
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a4－1)3＋2 016(a4－1)＝1，(a2 013－1)3＋2 016·(a2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( )
A．S2 016＝－2 016，a2 013>a4
B．S2 016＝2 016，a2 013>a4
C．S2 016＝－2 016，a2 013<a4
解析：
【解析】
【分析】
待定系数得到 ，得到
【详解】
因为 满足 ，
所以 ，
即 ，得到 ，
所以 ，
而 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.
16．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1
24．已知数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
25．如图， 中， .点 分别在边 和 上，将 沿 翻折，使 变为 ，且顶点 落在边 上,设
（1）用 表示线段 的长度，并写出 的取值范围；
（2）求线段 长度的最大值以及此时 的面积，
26．已知在等比数列{an}中， ＝2，， ＝128，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且{ }为等差数列．
解析：B
【解析】
试题分析：由题可知，将 ，两边同时除以 ，得出 ，运用累加法，解得 ，整理得 ；
考点：累加法求数列通项公式
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
由正弦定理，化简求得 ，解得 ，再由余弦定理，求得 ，即可求解，得到答案．
【详解】
在 中，因为 ,且 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，则 ，
所以 ，即 ，解得 ，
【详解】
由等差数列的性质可知： ， ， 构成新的等差数列，
故选
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
二、填空题
13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项
的前60项和为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前 项和，属于中档题．
17．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式
解析：；
【解析】
试题分析：由余弦定理得 ，即 ，得 ， ， .
考点：余弦定理，三角形面积公式.
18．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值即得B角【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋sin
由通项公式与求和公式的关系，可得 ，代入化简得
经检验，当 时，
所以
所以 .
点睛：本题考查了利用递推公式 求通项公式的方法，关键是最后要判断 与 是否相等，确定 的表达式是否需要写成分段函数形式。
15．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题
解析：
【解析】
【分析】
根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.
【正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.
∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.
21．在等差数列 中， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 是首项为1，公比为2的等比数列，求 的前 项和 .
22．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ,求 的面积．
23．已知等差数列 中， ，且前10项和 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由 得点B坐标为B（4,6）.由图可知当直线 经过点B（4,6）时，Z取最大值。因为目标函数 的最大值为12，所以 即
所以 。
当且仅当 即 时，上式取“=”号。
所以当 时， 取最小值 。
故选A。
【点睛】
利用基本不等式 可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。当 都取正值时，（1）若和 取定值，则积 有最大值；（2）若积 取定值时，则和 有最小值。
【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为 ，
是其前 项和，则 尺，
所以 尺，由题知 ，
所以 ，所以公差 ，
所以 尺。
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据叠加法求结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
因此 ，选C.
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
由正弦定理化简 ，得到 ，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．
【详解】
由题意知， ，
结合正弦定理，化简可得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，得 或 ，
所以三角形是等腰或直角三角形．
故选D．
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
【详解】
已知 为等差数列，若 ，则 ，
由数列 的前n项和 有最大值，可得 ，
，
， ，
则 的最小正值为
故选
【点睛】
本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
从冬至日起各节气日影长设为 ，可得 为等差数列，根据已知结合前 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.
解析：5
【解析】
【分析】
设等差数列的 ，再由 ， ，列出关于 的方程组，从而得到 .
【详解】
因为 ，所以设 ，
因为 ， ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列前 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.
A． B． C． D．
3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）
A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸
4．已知数列 满足 ， ，则 （ ）
16．数列 满足 ，则 的前60项和为_____．
17．在△ 中， ， ， ，则 ______；△ 的面积是______．
18． 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 ________．
19．已知数列 的通项 ，则其前15项的和等于_______.
20．设 ， ， ，则 的最小值为______．
三、解答题
A．1024B．2048C．1023D．2047
5．设 是首项为 ，公差为-1的等差数列， 为其前n项和，若 成等比数列，则 =（）
A．2B．-2C． D．
6．已知数列{an}满足a1=1，且 ，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（）
A． B． C．an=n+2D．an=（n+2）·3n
7．在 中， 分别是角 的对边,若 ,且 ，则 的值为( )
又sinB≠0，∴cosB＝ .∴B＝ .
∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝ .
又0<B<π，∴B＝ .
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
11．D
解析：D
【解析】
∵(a4－1)3＋2 016(a4－1)＝1，(a2 013－1)3＋2 016(a2 013－1)＝－1，
∴(a4－1)3＋2 016(a4－1)＋(a2 013－1)3＋2 016(a2 013－1)＝0，
设a4－1＝m，a2 013－1＝n，
则m3＋2 016m＋n3＋2 016n＝0，
【点睛】
本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.