数学说题稿

初中数学说题稿

数形结合的函数题历来是师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，数形结合的函数题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我就一条数形结合的函数题进行讲评。

题目：如图，在直角坐标系xOy中，直线y mx

=与双曲线

n

y

x

=相交于A（－

1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△BOC的面积是1．

（1）求m、n的值；

（2）求直线AC的解析式．

一、阐述题意

本题的已知条件是：正比例函数与反比例函数相交于A（－1，a），△BOC 的面积是1。由于此题是数形结合的题目，因此里面隐含着很多的条件，比如点A与点B关于原点中心对称，点B横坐标等于OC的长度，点B的纵坐标的绝对值等于BC的长度等，这是学生所不注意的地方，也正是解决问题的突破口和切入点。题目的难点是学生难想到将A点的坐标转化到B点坐标，利用△BOC的面积求出点B坐标，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。学生在求A点坐标时比较容易出错。用好中心对称和平面直角坐标系是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数是0.3。

二、题目背景

此题来自新人教版一次函数与反比例函数知识的一道改编综合题，在知识点整合上很经典，非常有探索性和价值性。

1、本题知识点涉及：正比例函数，反比例函数，平面直角坐标系，中心对称，求函数的解析式等。

2、重在考查学生的基础知识、基本技能、基本活动经验和数学思想方法；提升学生的观察能力、探究能力和运用数学知识分析和解决问题的能力．

3、变式与拓展经历了从猜想到验证的过程，培养学生建模思想、化归思想、函数思想， 建立起新旧知识间的联系，引起学生的思考。

4、此题的评价功能：从学生熟悉而又简单的问题出发，通过不断演变，逐渐深入研究，不仅有利于消除学生学习的畏难情绪，让学生积极、主动地投入到数学学习中，而且有利于帮助学生全面系统复习已掌握的数学知识、思想和方法，有利于提高学生综合应用解决问题的能力。

三、题目解答

同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。

思路与解法一：从A 、B 两点关于原点O 中心对称这一条件出发，运用“数形结合”这一思想，可将条件集中到△BOC 的面积是1上，通过三角形的面积公式来解决。

解法如下：

解：⑴∵点A （－1，a ）与点B 是直线y mx =与双曲线n y x =的交点. ∴点A （－1，a ）与点B 原点O 中心对称. ∴点B 的坐标是（1，－a ）. ∵BC ⊥x 轴，点B 在第四象限. ∴OC=1，BC=a. ∵△BOC 的面积是1. ∴S △BOC =2

1×1×a=1. ∴a=2. ∴点A （－1，2）.将点A （－1，2）代入直线y mx =与双曲线n y x =

得m=-2,n=-2.

⑵∵点B 的坐标是（1，－2）, BC ⊥x 轴. ∴点C 的坐标是（1，0）.设直

线AC 的解析式是：y=kx+b(k ≠0).则:⎩⎨⎧=+=+-02b k b k 解之得⎩

⎨⎧=-=11b k ∴直线AC 的解析式：y=-x+1.

评析:这种解法先从点与点的中心对称开始，运用了数形结合、转化、待定系数法等思想方法，使解题思路明确，计算过程简洁。

思路与解法二：从△BOC 的面积是1这一条件出发，设点B （x,x

n ）,运用“数形结合”这一思想，可将条件集中到求n 上来（即求出反比例函数解析式）。

解法如下：

解：⑴设点B （x,x n ），则OC= x ，BC=x n -.∵△BOC 的面积是1. ∴S △BOC =2

1

×x ×(x n -)=1即n=-2.∴双曲线的解析式是x

y 2-=. 将点A （－1，a ）代入x

y 2-=中求得a=2.即点A （－1，2）. 将点A （－1，2）代入直线y mx =中得m=-2.∴m=-2, n=-2.

⑵∵点B 的坐标是（1，－2）, BC ⊥x 轴. ∴点C 的坐标是（1，0）.设直

线AC 的解析式是：y=kx+b(k ≠0).则:⎩⎨⎧=+=+-02b k b k 解之得⎩⎨⎧=-=1

1b k ∴直线AC

的解析式：y=-x+1.

评析:这种解法先从设未知数，利用三角形面积开始，运用了数形结合、转化、待定系数法等思想方法，使解题思路明确，计算过程简洁。

四、总结提炼

本题的解题过程突出地体现了数学中常见的转化思想、数形结合思想、建模思想、函数思想、启发、讨论、与多媒体相结合等。运用了假设存在、由已知条件推理论证、得出结论等解题规律。

五、题目变式

题目：如图，在直角坐标系xOy 中，直线y mx =与双曲线n y x

=相交于A （－1，a ）、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△BOC 的面积是

（1）求m 、n 的值；

（2）求直线AC 的解析式．

1、改变条件：如图，在直角坐标系xOy 中，直线x

于A （－1，2）、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ．

（1）求直线AC 的解析式；

（2）求△BOC 的面积．

2、改变结论：如图，在直角坐标系xOy 中，直线y mx =与双曲线n y x

=相交于A （－1，a ）、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△BOC 的面积是1．

（1）求m 、n 的值；