专训2 分式运算的八种技巧

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分式运算技巧

分式运算技巧

五. 先约分再通分法
例5. 计算:
2x 2 x2 3 x 2 2 2 x 3x 2 x x 6 x 4 x 3
六、设比值法
例6、
x y z 已知,4 5 6
求 2x 3y 4z 的值
3z
• 七、整体代入
1 1 • 例7 若 x y =5,
(a-2)(a+2)-a(a-1) a+2 = × a(a+2)2 a- 4 a- 4 a+ 2 = × a(a+2)2 a-4 = 1 . a2+2a
当 a 满足 a2+2a-1=0 时,a2+2a=1,所以原式=1.
八、倒数法
1 例8、已知a+ =5. a

a 的值 4 2 a a 1
2
专题:分式运算技巧
分式运算,一要准确,二要迅速,
其中起着关键作用的就是通分、约分. 但对某些较复杂的题目,使用一般方法有时计算量太大, 导致出错,有时甚至算不出来,对于分式的通分,要讲究技巧. 下面介绍几种常用的通分技巧.
一、逐步通分法
例1、计算
1 1 1 2 1 x 1 x 1 x
已知
x 7 , 2 x x 1
2
x 求 x 4 x 2 1 的值。
九、主元法 例9、 已知xyz≠0,且3x-4y-z=0,2x+y-8zzx
2 2 2
的值.
十、特殊值法 例10、 已知abc=1,
b c a 求 + + 的值 ab a 1 bc b 1 ca c 1
二、整体通分法 例2计算
a a 1 a 1
2
三、分离整数法 例3. 计算:
x2 x3 x5 x4 x 1 x 2 x 4 x 3

典中点分式专训2 分式运算的八种技巧

典中点分式专训2  分式运算的八种技巧

典中点分式专训2 分式运算的八种技巧
◐名师点金◑
分式的加减运算中起关键作用的就是通分.但对某些较复杂或具有特定结构的题目,使用一般方法有时计算量太大,容易出错,有时甚至算不出来,若能结合题目结构特征,灵活运用相关性质、方法、解题技巧,选择恰当的运算方法与技能,常常达到事半功倍、化繁为简的效果.
技巧1: 约分计算法
1.计算:a 2+6a a 2+3a -a 2
-9a 2+6a +9
.
技巧2: 顺次相加法
2.计算:1x -1+1x +1+2x x 2+1+4x 3x 4+1
.
技巧3: 整体通分法
3.计算:a -2+4a +2
.
技巧4:换元通分法
4.计算:(3m -2n)+(3m -2n )33m -2n +1-(3m -2n)2+2n -3m 3m -2n -1
.
技巧5:裂项相消法
5.计算:1a (a +1)+1(a +1)(a +2)+1(a +2)(a +3)+…+1(a +99)(a +100)
.
技巧6: 整体代入法
6.已知1a +1b =16,1b +1c =19,1a +1c =115,求abc ab +bc +ac
的值.
技巧7:倒数求值法
7.已知x x 2-3x +1=-1,求x 2x 4-9x 2+1
的值.
技巧8:消元法
8.已知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,且xyz ≠0,求5x 2+2y 2-z 22x 2-3y 2-10z 2的值.。

分式运算的八种技巧

分式运算的八种技巧

分式运算综合题1、先化简,再求值:(1-x x -11+x )÷112-x ,其中x=22、先化简,再求值:21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ,其中a 满足a 2-a=12。

3、计算:223y x y x -+-222y x y x -++2232y x yx --。

4、化简:12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ,然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。

5、已知M=222y x xy -,N=2222y x y x -+,P=224x y xy-,用“+”或“-”连接M ,N ,P 有多种不同的形式,如M+N-P 。

请你任选一种进行计算,并化简求值,其中x :y=5:2。

6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。

7、已知两个式子:A=442-x ,B=21+x +x-21,其中x ≠±2,则A 与B 的关系是( )A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1<x <2,则式子|2|2--x x -1|1|--x x +xx ||化简的结果是( )A.-1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0),则式子a b +ba= 。

10、已知a 1+b 21=3,则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。

11、已知3-x m -2+x n =)2)(3(17+-+x x x ,求m 2+n 2的值。

12、已知a,b 为实数,且ab=1,设M=1+a a +1+b b ,N=11+a +11+b ,试确定M ,N 的大小关系。

13、先化简,再求值:(x-13+x x )÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=(x-3)÷4)96)(2(22-+-+x x x x -1,(1)化简A; 2x-1<x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数,求A 的值。

分式运算中的常用技巧与方法

分式运算中的常用技巧与方法

分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中,若能认真观察题目结构特征,灵活运用解题技巧,选择恰当的运算方法,常常收到事半功倍的效果。

现就分式运算中的技巧与方法举例说明。

一、整体通分法例1.化简:21a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体,则可以整体通分,简捷求解。

解:21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2.计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析:注意到各分母的特征,联想乘法公式,适合采用逐项通分法 解:1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 三、先约分,后通分例3.计算:2262a a a a +++22444a a a -++ 分析:分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算 解:2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4.已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1:∵1x +1y =5∴xy ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2:由1x +1y=5得,x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5.已知a 2-5a+1=0,计算a 4+41a 解:由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a)2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法例6.已知b c a += a c b += a b c +,计算:()()()a b b c c a abc+++ 解:设b c a += a c b += a b c+=k ,则b+c=ak ;a+c=bk ;a+b=ck ; 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0,a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0,则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时,原式= -1当k=2时,原式= 8七、应用倒数变换法例7.已知21a a a -+=7,求2421a a a ++的值 解:由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a)2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915八、取常数值法例8.已知:xyz ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ 解:根据条件可设x=1,y=1,z=-2. 则y z x ++x z y ++x y z+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。

分式运算的技巧方法

分式运算的技巧方法

分式运算的技巧方法分式运算是数学中的一种运算方法,主要涉及到分数的加减乘除等运算。

下面给出一些分式运算的技巧方法:一、分式的加减运算:1.确定两个分式的分母是否相同,如果相同,则可以直接将两个分子相加或相减,分母保持不变。

2.如果分母不同,则需要寻找一个公共分母,并通过乘以适当的因数将分子和分母都变换为公共分母的倍数。

最后再将两个分子相加或相减。

二、分式的乘除运算:1.分式的乘法是将两个分式的分子相乘,并将分母相乘,得到的分子和分母再化简为最简形式。

2.分式的除法是将除数的分子和被除数的分母相乘,除数的分母和被除数的分子相乘,再将两个分子相除,两个分母相除,得到的分子和分母再化简为最简形式。

3.对于有多个分式相乘或相除的情况,可以先进行一些分式的合并,再进行乘除运算。

三、分式的化简:1.将分子和分母的最大公因数约分,使得分式变为最简形式。

2.将分子和分母进行因式分解,然后进行约分化简。

3.分式相加或相减时,可以先将分子和分母的最小公倍数作为公共分母,再进行化简运算。

四、分式的整理:1.将分式中的分子和分母按照一定的规律整理成一个分数或者整数。

2.使用括号来整理分子或分母,减少操作的复杂性和错误的发生。

五、化简复杂分式:1.对于复杂的分式,可以先分解分子和分母,再进行化简运算。

2.对于双重分式(一个分子或分母是另一个分式的情况),可以使用变量来进行整理和化简。

3.对于有多个分式相加或相减的情况,可以先将分式按照一定的规律进行合并,再进行化简运算。

六、变量的运算:1.在分式中使用变量进行运算时,可以运用代数的基本运算规则进行计算。

2.在变量的运算中,可以利用代数的性质进行合并和化简,最后得到一个最简形式。

分式运算技巧知识点总结

分式运算技巧知识点总结

分式运算技巧知识点总结分式运算是数学中一种常见的运算形式,它包括分数的加减、乘除等操作。

在分式运算中,掌握一些技巧可以帮助我们更加快速、准确地计算。

本文将对分式运算的一些常用技巧进行总结,并给出相应的例子加以说明。

一、分数的加减运算技巧1. 寻找相同的分母:在进行分数的加减运算时,首先要寻找相同的分母。

若分母不同,则需要通过通分的方法将分母转化为相同的数。

例子1:计算1/2 + 1/3。

解析:由于1/2和1/3的分母不同,我们需要找到它们的最小公倍数,即6。

将两个分数的分子和分母都乘以适当的数进行通分:1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62. 合并同类项:在找到相同的分母后,可以将分子进行合并,然后再进行计算。

例子2:计算2/5 + 3/5。

解析:由于2/5和3/5的分母相同,直接将分子相加即可:2/5 + 3/5 = (2 + 3)/5 = 5/5 = 13. 化简分数:在进行分数的加减运算时,可以先将分数化简,再进行计算。

这样可以简化计算过程,得到更简洁的结果。

例子3:计算3/10 + 2/5。

解析:先对3/10进行化简,即可以将分子和分母都除以最大公约数2得到1/5:3/10 + 2/5 = 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5二、分数的乘除运算技巧1. 分数的乘法:将分数的分子相乘,分母相乘即可。

例子4:计算2/3 × 4/5。

解析:将分子相乘得到2 × 4 = 8,分母相乘得到3 × 5 = 15,所以结果为8/15。

2. 分数的除法:将除数的分子乘以被除数的倒数,即可进行分数的除法运算。

例子5:计算2/3 ÷ 4/5。

解析:将除数2/3的分子乘以被除数4/5的倒数5/4,即2/3 × 5/4,根据分数的乘法规则可得到结果10/12,化简得到5/6。

三、其他分式运算技巧1. 分数的幂运算:对分式进行幂运算时,可以将分子和分母分别进行幂运算。

分式运算的常用技巧与方法

分式运算的常用技巧与方法

分式运算的常用技巧与方法1.分数的乘法和除法:分数的乘法:分数的乘法可以直接将分子和分母相乘。

例如,计算2/3*4/5,可以直接计算出8/15分数的除法:分数的除法可以转化为乘法的逆运算。

例如,计算2/3÷4/5,可以将除法转化为乘法,即2/3*5/4=10/12,再进行约分得到5/62.分数的加法和减法:分数的加法:对于相同分母的分数,直接将分子相加即可;对于不同分母的分数,需要先进行通分,然后再进行相加。

例如,计算2/3+4/5,需要先找到两个分数的最小公倍数(如15),然后进行通分,计算得到10/15+12/15=22/15分数的减法:分数的减法可以转化为加法的逆运算。

例如,计算2/3-4/5,可以将减法转化为加法,即2/3+(-4/5)=10/15+(-12/15)=-2/153.分数的化简:分数的化简即将分数表示成最简形式。

最简形式的分数是指分子和分母没有公共因子,即它们的最大公约数为1、例如,将4/6化简成最简形式,找到最大公约数(如2),然后将分子和分母同时除以最大公约数,得到2/3化简还可以使用质因数分解的方法,将分子和分母分别进行质因数分解,然后约去公共的质因数。

例如,将20/30化简成最简形式,将分子和分母分别进行质因数分解(20=2*2*5,30=2*3*5),然后约去公共的质因数2和5,得到2/34.分数的比较:分数的比较可以通过交叉相乘的方法。

对于两个分数a/b和c/d,可以将它们转换为分数的乘法形式,即a/b和c/d可以写成a*d和b*c。

然后,将乘积进行比较,即比较a*d和b*c的大小。

例如,比较2/3和3/5的大小,可以计算2*5和3*3的大小,得到10和9,所以2/3大于3/55.分数的倒数和相反数:分数的倒数是指分子和分母互换位置,例如,分数3/4的倒数即为4/3、分数的相反数是指分子加上负号,例如,分数3/4的相反数即为-3/46.分式方程的解法:对于含有分式的方程,可以通过通分、化简、消去分母等方法进行求解。

分式运算的常见应用技巧

分式运算的常见应用技巧
33 由①得:x<1,由②得:x>-1,
∴不等式组的解集为-1<x<1,即整数x=0,
则A=-
1. 3
技巧10 整体法求值 12.【中考·齐齐哈尔】先化简,再求值:
1- 2 x
x2-4 x+4 - x+4 ,
x 2-4
x+2
其中x2+2x-15=0.
解:原式= x-2 x
( x-2)2 - x+4 ( x+2)( x-2) x+2
可以用两点法画图象,列表:
x 0 1 描点连线,
y= 3 x 0 3 图象如图
2
2
y=-3x 0 -3 所示.
课堂小结
正比例函数
图象:正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是 一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx. 性质:
当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从 左向右上升,y随着x的增大而增大;
当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从 左向右下降,y随着x的增大而减小.

x-x 2·xx+ -22

x+4 x+2

x+2- x+4 x x+2
∵x2+2x-15=0,
( x+2)2-x( x+4)

x( x+2)

4 x2+2x ,
∴x2+2x=15. ∴原式= 4 .
15
点拨: 本题考查了分式的化简求值,解题关键是掌
握分式的基本运算.先按照分式计算的顺序(先算 乘除,再算加减)化简分式.再根据题目的需要, 灵活运用条件x2+2x-15=0转化整体代入求值.
图). 它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线.
感悟新知
知识点 1 正比例函数的图象
知1-讲

分式运算的若干技巧

分式运算的若干技巧

分式运算的若干技巧
在数学中,分式的运算经常被用来解决一些复杂的方程,这使得计算机科学、物理学及工程学方面的研究都变得更加得心应手。

尽管分式运算看起来有点复杂,但是通过一些有效的技巧,可以让分式运算变得简单易行。

以下是一些有效的分式运算技巧:
1、约分:约分是分式运算中最基本也是最常用的技巧,约分的目的是将分子和分母同时约简,在计算机科学上分式约分可以减少计算量,同时也有助于保持正确的结果。

2、简单运算:有时候分式运算中也可以使用简单运算,比如加减乘除等操作,比如:2/3 + 3/4 = 10/12。

3、使用分母的公约数:如果要将两个或多个分式相加减,那么,可以先将分母转化为同一个公约数,然后在进行加减操作,比如:2/3 + 3/4 = 8/12。

4、共轭分式:共轭分式是一种特殊的分式,其分子和分母的和等于1。

这种可以使用在分式的乘法、除法中,比如:3/5 * 5/3 = 3/5 * 3/5 = 1/1。

5、指数运算:指数不仅可以用来记录分式,也可以用来解决分式运算中的问题,比如:(2/3)^2 = 4/9。

6、求分式的逆数:对于一般的分式,求其逆数的步骤是:将分子和分母互换,然后用分子的取反数再除以分母,比如:2/3的逆数为:-2/3。

7、分式的混合运算:有时候也可以在分式运算中结合上述种运
算来完成混合运算,比如:(2/3 + 3/4) * 5/6 = 20/36。

以上就是一些常见的分式运算技巧,其实还有更多复杂的技巧,这里只是简单介绍了一些最基本的运算技巧。

当然,想要掌握这些技巧,不光是要理论知识,更重要的是要多加练习,不断的练习才能掌握这些技巧,实现分式运算中的高效率。

分式运算的技巧

分式运算的技巧

和你谈谈分式中的一些运算技巧济宁市梁山县小路口镇初级中学 李 丽(适用于初二版12月刊)在初中学习的代数式的运算中,分式的运算是同学们普遍感到比较头疼的,含分式的综合解答题的正确率也比较低,同学们经常会出现这样那样的错误.这是因为分式的运算涵盖知识点多,技巧性强.所以我觉得除了要牢固掌握一些基本知识外,有必要掌握一些计算的技巧,下面我精选一部分含分式的解答题,让我们共同来探究.希望对同学们的学习有所帮助.1、先化简,再通分例1、计算:444242222++-+++x x x x x x x 分析:按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分,化成同分母的分式后再相加;细心的同学会发现,若把两个分式的分子、分母分解因式后,先约分就已经是同分母了,就“省去”了通分的过程;相比较先约分、再相加显得更为简捷.解:原式=()()()()()2x x 4x 2x 2x 4x 22x 2x x 2x 2x 2x 2x 2++-+-++=+=+++++ 2、分步通分例2、计算4214121111xx x x ++++++- 分析:本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++,若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了;如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错;比如,若我们先计算111x 1x +-+,最简公分母为()()1x 1x -+即21x -,则111x 1x +-+2221x 1x 21x 1x 1x+-=+=---,后面的如法炮制,过程清楚,计算简便.解:原式=3、 整体通分 例3、计算:分析:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把(-a-1)看作一个整体,并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.解:= =()()=22222422444421x 21x 1x 1x 2422441x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 1x +-+-+++=++=++--++-++-++()()444488841x 41x 4481x 1x 1x 1x 1x +-+=+=-+---4、分组运算例4、计算:分析:本题项数较多,分母不相同.因此,在进行加减时,可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系,这样才能使运算简便.解:=====5、巧用拆项计算例5、计算:.分析:本题的10个分式相加,无法通分,而式子的特点是:每个分式的分母都是两个连续整数的积(若a是整数),联想到,这样可抵消一些项.解:原式====6、乘方法、倒数法:例6、已知51=+x x ,求①、221xx +;②、44-+x x ;③、1242++x x x . 分析:本题按常规解法将要求的式子配方,然后再整体代入求值.有的同学对于配方一类的题显得有些吃力,基础较弱的同学对积的2倍是个常数觉得抽象.其实根据本题的条件和要求的代数式①和②,若用等式两边同时同次方的乘方法仍是在意义条件范围内;③题可以用倒数(分子、分母颠倒)的办法解决.略解:,,2222111x 5x 5x 225x x x ⎛⎫+=∴+=∴++= ⎪⎝⎭ ①. 221x 25223x+=-= ②. 221x 23x+= 22244244111x 23x 2529x 5292527x x x ⎛⎫∴+=∴++=∴+=-= ⎪⎝⎭,, ③.设242x m x x 1=++,则422221x x 11x 123124m x x ++==++=+= ∴1m 24=,即242x 124x x 1=++.总之,我们要在掌握好基本运算法则、运算律的基础上,灵活运用一些数学方法和运算技巧,才能使分式的运算化简更快速、准确.。

分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧分式运算是数学中常见的一种运算形式,也是解决实际问题中经常使用的一种方法。

在进行分式运算时,我们可以运用一些技巧来简化运算,提高计算效率。

下面将介绍几种常用的分式运算技巧。

1.化简分式化简分式是指将分式的分子和分母进行因式分解,然后约去分子和分母中的公因式。

这样可以使分式的形式变得更简单,计算也更方便。

例如,对于分式$\dfrac{4x^2}{8x^3}$,我们可以将分子和分母都除以$4x^2$,得到$\dfrac{1}{2x}$。

2.扩展分式扩展分式是指将分数表达式进行相乘或相除,以得到更大的分子或分母。

这种方法在化简有理函数、做分式方程的分母有理化等问题中经常使用。

例如,对于分数$\dfrac{1}{2}$,如果要得到一个分子为3的分式,我们可以将$\dfrac{1}{2}$扩展为$\dfrac{3}{6}$。

3.分解分式分解分式是指将分式分解为其它分式的和或差。

这种方法在化简复杂的分式、分数的加减运算等问题中非常有用。

例如,对于分式$\dfrac{3x+6}{2x+4}$,我们可以将其分解为$\dfrac{3(x+2)}{2(x+2)}$,然后约去分子和分母中的公因式,得到$\dfrac{3}{2}$。

4.分数的合并与拆分分数的合并与拆分是指将多个分数合并成一个分数,或者将一个分数拆分成多个分数。

这种方法在分数的加减运算中经常使用。

例如,对于两个分数$\dfrac{2}{3}$和$\dfrac{5}{6}$,如果要将它们合并成一个分数,我们可以找到它们的最小公倍数为6,然后将分子相加得到$\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{6}$。

如果要将一个分数拆分成多个分数,我们可以找到它们的最大公约数,然后将分子和分母同时除以最大公约数。

5.分式的通分通分是指将两个或多个分母不同的分式的分母进行相乘,使它们的分母相同。

分式计算中的几个技巧

分式计算中的几个技巧

分式计算中的几个技巧分式计算是中学阶段的一种很重要的运算水平,通常按分式运算法则和运算顺序计算,这样有的题目就很麻烦,甚至算不出来,下面介绍几个技巧以供参考。

1、巧用分式加减法则 例1、 化简:√3+√5(1+√3)(√3+√5)分析:此题直接计算实行分母有理化很难,假如逆用同分母的分式相加减实行在实行分母有理化计算就容易得多。

解:原式=√3)+(√3+√5)(1+√3)(√3+√5)=√3(1+√3)(√3+√5)+√3+√5(1+√3)(√3+√5)=√3+√5+1+√3=√5−√32+√3−12 =√5−√3+√3−12 =√5−12例2、 化简:1x (x+1)+1(x+1)(x+2)+……+1(x+2016)(x+2017)分析:此题直接计算麻烦很大,假如逆用异分母的分式相加减法则实行“裂项”就简便很多。

解:原式=1x −1x+1+1x+1−1x+2+……+1x+2016−1x+2017=1x −1x+2017=2017x (x+2017)2、巧用倒数例3、已知三个数x 、y 、z 满足xyx+y=-2 、yzy+z =43、zx z+x=-43求xyzxy+yz+zx的值分析:此题学生看后很多人无从下手,假如利用“倒数”求解就方便的多解:∵xy x+y =-2yzy+z =43zx z+x =-43∴x+y xy =-12y+z yz=34z+x zx=-34∴xxy +y xy=−12yyz+z yz=34z zx+x zx=−34∴1y+1x=−12………① 1z+1y =34⋯⋯⋯②1x+1z=−34⋯⋯⋯③∴①+②+③得2x+2y+2z=−12∴1x+1y+1z=−14∴yz+xz+yxxyz =−14∴xyzyz+xz+yx=−43、巧用常数“1”例4、已知x (1y +1z )+y (1x +1z )+z (1x +1y )=−3且1x +1y +1z ≠0求x+y+z 的值?分析:把-3移项变为3,把3化为三个1,再把三个1分别写为xx、yy、z z解:∵ x (1y +1z )+y (1x +1z )+z (1x +1y)=−3 ∴ x (1y +1z )+y (1x +1z )+z (1x +1y )+3=0 ∴xy +x z+yx+yz+zx+zy+3=0∴x y+zy+1+y x+zx+1+x z+y z+1=0∴xy +zy+yy+yx+zx+xx+xz+yz+zz=0∴x+y+zy +x+y+zx+x+y+zz=0∴(x+y+z)(1y +1x+1z)=0∴1x +1y+1z≠0∴x+y+z=0例5、若abc=1求aab+a+1+bbc+b+1+cac+c+1的值分析:此题是异分母加法运算,应想办法化为同分母加法,把第一局部的“1”换为abc,把第三局部的分子分母都乘以b,再把“1”换abc,这样就能够把这个运算变成同分母。

专题分式运算中的常用技巧

专题分式运算中的常用技巧

重点:1.掌握设参数法进行分式运算;2.利用公式变形进行分式运算;3.掌握整体通分的思想方法。

难点:会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。

微课程1:设k 求值【考点精讲】运用已知条件,求代数式的值是数学学习的重要内容之一。

除了常规代入求值法,还要根据题目的特点,灵活运用恰当的方法和技巧,才能达到预期的目的。

如果代数式字母较多,式子较繁,为了使求值简便,有时可增设一些参数,以便沟通数量关系,设k 求值,也叫做设参数法。

通常是用含有字母的代数式来表示变量,这个代数式叫作参数式,其中的字母叫做参数。

参数法,是许多解题技巧的源泉。

【典例精析】例题1已知0345a b c ==≠,求322a b ca b c-+--的值。

思路导航:首先设345a b c k ===,则可得a =3k ,b =4k ,c =5k ,然后将其代入322a b ca b c-+--,即可求得答案。

答案:解:设345a b ck ===(k≠0),则a =3k ,b =4k ,c =5k , 所以322a b c a b c -+--=332453245k k k k k k ⨯-⨯+-⨯-=610k k -=35-点评:本题考查了运用设k 值的方法求分式的值,用“设k 法”表示出a 、b 、c 可以使运算更加简便。

例题2已知a ,b ,c 均不为0,且232537a b b c c a +--==,求223c bb a-+的值。

思路导航:仔细观察223c bb a-+,只要a 、b 、c 用同一个未知数表示,就可以约去分式中的未知数。

所以,设232537a b b c c a+--===k ,用k 来表示a 、b 、c ,然后将其代入所求的分式即可。

答案:解:设232537a b b c c a+--===k , 则a +2b =5k ,① 3b -c =3k ,②2c -a =7k ,③由①+③得,2b +2c =12k , ∴b +c =6k ,④ 由②+④,得4b =9k , ∴b =94k ,分别代入①、④得, a =12k , c =154k ,∴223c b b a -+=159429322k k k k -+=346kk -=18- 例题3已知b c a c a b a b c +++==,计算()()()a b b c c a abc +++。

分式运算的若干技巧

分式运算的若干技巧

分式运算的若干技巧进行分式运算应以分式的性质为基础,根据已知的条件特征和结构特征,克服思维定势,通过适当的变形、转化、沟通等解题手段,找到解题的捷径。

本文介绍几种常见的方法与技巧,供同学们参考。

一. 通分例1. 化简:a a a a 3211---- 解:原式=---++-a a a a a a 321111()()=-+-=-a a a a 331111二. 约分例2. 化简:a a a a a a a a 4323432311-++-++-解:原式=-++-+-++-++a a a a a a a a a a a a 222222111111()()()()()()=---+-=--a a a a a a a a 3232221121()()三. 运用分配律例3. 化简:()()1111112a a a -++-- 解:原式=--++---1111111222a a a a a ()()() =--+--+=--1112122a a a a a四. 倒数法例4. 已知a a +=13,求a a a 2421++的值。

解: a a a a a 42222111++=++ =+-()a a 112=-=3182∴++=a a a 242118五. 降次法例5. 已知a a 2310-+=,求a a 361+的值。

解:由已知,得a a 213+=∴原式=+-+=+-a a a a a a a a 3242322211313()()[()] ==a a 3318118六. 裂项法例6. 计算:113215617122222a a a a a a a a ++++++++++ 解:原式=-+++-+++-+++-+()()()()111111212131314a a a a a a a a =-+=+11444a a a a ()七. 递进通分法例7. 计算:1124822344788a x a x x a x x a x x x a --+-+-++- 解:原式=--+-++-22482222344788x a x x a x x a x x x a=--++-=--+-=448880344344788788788x a x x a x x x a x x a x x a八. 换元法例8. 化简:b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b222233332222232++---÷++-()解:设b a x a b y==,,则xy =1。

分式运算的常用技巧与方法

分式运算的常用技巧与方法

分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式,掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。

以下是一些分式运算的常用技巧和方法:一、化简与约分:化简和约分是分式运算的基本操作,可以简化分式,使其更容易处理。

化简分式的方法有:1.因式分解:将分子和分母同除以其最大公因数,化简为最简形式的分式。

2.合并同类项:对于分子或分母中含有多项的情况,将同类项相加或相减,化简为简单的形式。

3.分解为部分分式:一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简,如等式两端分别乘以一个分子时。

二、通分:当两个分式的分母不同时,我们需要将分母化为相同的公分母,这个过程称为通分。

通分的方法有:1.找到两个分母的最小公倍数,在分子和分母同时乘上适当的倍数,使得两个分母相等。

2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时,可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母,再进行通分。

三、分式的加减运算:分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。

具体的步骤如下:1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。

2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数,使得它们的分母相同。

乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。

3.合并同类项,将分子进行相加或相减。

四、分式的乘除运算:分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。

具体的步骤如下:1.乘法:将两个分式的分子相乘,分母相乘,得到新的分子和分母后化简。

2.除法:将一个分式的分子乘以另一个分式的分母,分母乘以另一个分式的分子,得到新的分子和分母后化简。

五、分式的倒数和幂运算:分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。

分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。

六、一些特殊的分式运算:除了以上常见的分式运算方法,还有一些特殊的分式运算,如:1.分式的比较大小:将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。

2.分式的求值:将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。

分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目,使用一般方法有时计算量太大,导致出错,有时甚至算不出来,下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一、 整体通分法例1 计算:211---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把(-a -1)看作一个整体,并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111+--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法例2 计算22212324+-++-+x x x x x x分析:直接通分,极其繁琐,不过,各个分式并非最简分式,有化简的余地,显然,化简后再通分计算会方便许多。

解:原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x三、 分组加减法例3计算21-a +12+a -12-a -21+a分析:本题项数较多,分母不相同.因此,在进行加减时,可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系,这样才能使运算简便。

解:原式=(21-a -21+a )+(12+a -12-a ) =442-a +142--a =)1)(4(1222--a a四、 分离整数法例4 计算3x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法:当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时,一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中,也可使用分裂整数法。

解:原式=(1)1(2)1(4)1(3)11243++++-----+-++--x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243+-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x =。

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7.解:由 x =-1,知 x≠0, x2-3x+1
所以x2-3x+1=-1.所以 x-3+1=-1,即 x+1=2.
x
x
x
因为x4-9xx2 2+1=x2-9+x12=
x+1 x
2
-11=-7,
所以 x2 =-1. x4-9x2+1 7 4x-3y=6z,
8.解:以 x,y 为主元,将已知的两个等式化为 x+2y=7z.
子、分母分解因式,其次把分子、分母能约分的先约分,然后再计算,这样可使计算过程简
化.
2 . 解 : 原 式 = x+1 + x-1 + 2x + 4x3 = 2x + 2x + 4x3 = x2-1 x2-1 x2+1 x4+1 x2-1 x2+1 x4+1
2x(x2+1)+2x(x2-1)+ 4x3 = 4x3 + 4x3 =
a-b
a-b
=(a-b)2-(a+b)2 a-b
=- 4ab a-b
点拨:本题将 a-b 看成一个整体进行通分,使解题简捷.
4.解:设 3m-2n=x,则原式=x+ x3 -x2- x =
x+1
x-1
x(x2-1)+x3(x-1)-x2(x2-1)-x(x+1)
(x+1)(x-1)

-2x
(x+1)(x-1)

2(2n-3m)
.
(3m-2n+1)(3m-2n-1)
5.解:原式=1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 =1- 1 =
a a+1 a+1 a+2 a+2 a+3
a+99 a+100 a a+100
100 . a(a+100)
点拨:对于分子是 1,分母是相差为 1 的两个整式的积的分式相加减,常用 1 = n(n+1)
消元法 8.已知 4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,且 xyz≠0,求 5x2+2y2-z2 的值.
2x2-3y2-10z2
3
答案
1.解:原式=a(a+6)-(a+3)(a-3)=
a(+3 a+3 a+3
点拨:在分式的加减运算中,若分式的分子、分母是多项式,则首先把能因式分解的分
5.计算: 1 +
1

1
+…+
1
.
a(a+1) (a+1)(a+2) (a+2)(a+3)
(a+99)(a+100)
整体代入法 6.已知1+1=1,1+1=1,1+1= 1 ,求 abc 的值.
a b 6 b c 9 a c 15 ab+bc+ac
2
倒数求值法 7.已知x2-3xx+1=-1,求x4-9xx2 2+1的值.
(x2-1)(x2+1)
x4+1 x4-1 x4+1
4x3(x4+1)+4x3(x4-1)= 8x7 .
(x4-1)(x4+1)
x8-1
点拨:此类题在计算时,采用“分步通分相加”的方法,逐步递进进行计算,达到化繁
为简的目的.在解题时既要看到局部特征,又要全局考虑.
3.解:原式=(a-b)2-(a+b)2
所以 x=3z,y=2z(z≠0). 所以原式= 5×9z2+2×4z2-z2 =-13.
2×9z2-3×4z2-10z2 点拨:此题无法直接求出 x,y,z 的值,因此需将三个未知数的其中一个作为常数,解
关于另外两个未知数的二元一次方程组,然后代入待求值的分式消元求值.
5
专训 2 分式运算的八种技巧
名师点金:分式的加减运算中起关键作用的就是通分.但对某些较复杂或具有特定结构 的题目,使用一般方法有时计算量太大,容易出错,有时甚至算不出来,若能结合题目结构 特征,灵活运用相关性质、方法、解题技巧,选择恰当的运算方法与技能,常常能达到事半 功倍、化繁为简的效果.
约分计算法 1.计算:a2+6a- a2-9 .
1- 1 进行裂项,然后相加减,这样可以抵消一些项. n n+1
6.解:1+1=1,1+1=1,1+1= 1 , a b 6 b c 9 a c 15
4
将上面各式两边分别相加,得(1+1+1)×2=1+1+ 1 ,
abc
6 9 15
所以1+1+1= 31 . a b c 180
易知 abc≠0,所以ab+abbcc+ac=1+11+1=13810. cab
a2+3a a2+6a+9
顺次相加法 2.计算: 1 + 1 + 2x + 4x3 .
x-1 x+1 x2+1 x4+1
整体通分法 3.化简:a-b-(a+b)2.
a-b
1
换元通分法
4.计算:(3m-2n)+(3m-2n)3-(3m-2n)2+ 2n-3m .
3m-2n+1
3m-2n-1
即 1 =1- 1 裂项相消法 n(n+1) n n+1
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