力学检算

M
符 号 规 定
M＞0 M＜0 Fs＞0 Fs＜0
使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正， 使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之 为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正， 为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之 为负。 为负。
4.1
例 题
FA
A
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2 Fl
C D
D
FD
MA
FB
B A
FA
7 qa 4
a
C
a
a
7 qa 4 5 2 qa 4 1 qa 4
7 2 MA = qa 4
kN
1 2 qa 32
7 2 qa 4
1 2 qa 4
kNm
例题 4.13
F A
叠加法作弯矩图
F A
＋
q
B
q
B
l
l
F
A
l
B
qL F+qL
1/2qL2+FL 1/2qL2
FL
例题 4.14
-
FB
FB b
例题
4.7 4.8
F
Fa
2kN m
a
F
a
5
4m
3kN
kN
kN
4
3
Fa
kNm
2.25
kNm
突 变 规 律(从左向右画)
1、集中力作用处，FS图突变，方 集中力作用处， 图突变， 大小与力同； 图斜率突 向、大小与力同；M图斜率突 突变成的尖角与集中力F的 变，突变成的尖角与集中力 的 箭头是同向。 箭头是同向。 2、集中力偶作用处，M图发生 集中力偶作用处， 图发生 突变，顺下逆上，大小与M 突变，顺下逆上，大小与 图不发生变化。 同，FS图不发生变化。
FN = F cosθ
−
FN
(kN)
FS = F sin θ
F
§4 梁横截面上的正应力.梁的正应力条件 纯弯曲时梁横截面上的正应力
a
A
F
F
C
F
D
a
B
F
纯弯曲：梁 受力弯曲后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。
Fa
实验现象：
F F
m n
1、变形前互相平行的纵向直线、 变形前互相平行的纵向直线、 变形后变成弧线， 变形后变成弧线，且凹边纤维缩 凸边纤维伸长。 短、凸边纤维伸长。 2、变形前垂直于纵向线的横向 变形后仍为直线， 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交， 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。 间相对转动了一个角度。 平面假设： 平面假设： 变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。 为平面。
F
B
F =F Cs F =F Cs
MC = Fl
l
l
F Cs
MC = Fl
MA FA
A
− MC + 2Fl − Fl = 0
l
C
MC
2 Fl
F
MA
F Cs
FDs =F
B
MD = 0
FDs
MC
C
l
D
F
D
∆
MD
B
截开后取左边为示力对象： 截开后取左边为示力对象：
向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力； 向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。 时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。 引起正弯矩
MZ = ρ EIZ 1
dx
y
Mz y σ= Iz
M
M
中性轴
MZ:横截面上的弯矩
m
n
z
y
y:到中性轴的距离
o
o
dA
σ
IZ:截面对中性轴的惯性矩
σ
M
m
dx
n
z
y
M
Mz Mz y σmax = σ= Wz Iz
σmax =
M( x) W z
中性轴
例题 4.20
A
l 2
FL
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。 h6 a F B h b C l 2 h2 c b
例题
4.9
作图示梁的内力图
3kN
D
4.5kN m
A
2kN ⋅ m
B E
FB = 2kN 1m
C
FA = 10kN 1m 2m
2m
7
kN
3 3
x = 1.56
2
2
kNm
2.44
2
例题
4.10
4kN ⋅ m
6kN
2kN m
1m
1m
2m
4.5 kN 1.5 5.5
4
8.5
7
kNm
例题
4.11
80kN ⋅ m
ql qx2 M = x− 2 2
ql 2
ql 2
ql 2 8
例题
4.5
F A
图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力 图和弯矩图.
FS ( x) = −F
X
0px pL 0≤ x p L
l
B
M(x) = −Fx
kN
FL
F
kNm
例题 4.6
20kN
图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.
10kN m
m
n
中性层
中性轴： 中性轴： 中性层与横截面的交线称 为中性轴。 为中性轴。
m
n
o1
m
o2
n
中性轴
F
F
m
n
(ρ + y)dθ − ρdθ ε=
ρdθ
=
y
ρ
m
n
中性轴
M
M
σ = εE = y E ρ
σ FN = ∫A dA =
E
m
n
z
y
∫ ydA ρ
A
=0
o
dA
σ
o
ρ
dθ
m
dx
n
z
y
My =∫ zσdA = E ∫ zydA = 0 A ρ A EIZ E 2 Mz =∫A yσdA = ∫ y dA = ρ ρ A
q = 2 kN m
200
200
4m
100
竖放
σmax =
qL2 8
Mmax WZ
横放
qL2 = 82 = 6MPa bh 6
qa 2
q
a
a
qa 2
qa 2
a 2
qa 2
qa 2
a 2
qa 2 8
qa 2 8
F
A
F B F
F2
F2
a
a
F 2
a
a
F 2
F 2
F 2
Fa 2
Fa 2
结构对称，载荷对称， 图反对称， 结构对称，载荷对称，则FS图反对称， M图对称
§3 平面刚架和曲杆的内力图
刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连
对称面内
变形特征 杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意
两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对 转动
对称弯曲
构件的几何形状、材料性能和外 力作用均对称于杆件的纵对称面
F1
F2
平面弯曲
梁变形后的轴线所在平面与外力 所在平面相重合 对称弯曲必定是平 面弯曲，而平面弯曲 不一定是对称弯曲。
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4
5
B
1 2 3 4 5
A
C
2m
3m
3m
FA = 13kN
FB = 5kN
例题
4.4
一长为2m的均质木料，欲锯下0.6m长的一段。为使在 锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料 放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问 另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零。 q
A
M (kNm )
例题 4.17
2kN
求做图示刚架的内力图
C 4m
2
B
2kN/m
4m
Fs
8kN
24kNm
8
(kN)
A
2kN
8
8
FN
2
(kN)
24
M (kNm )
例题 4.18
等截面折杆ABC的A端固定在墙上,自由端承受集 中力F=20kN.设L1=2m,L2=1m,θ1=450,θ2=900,试 14.14 作折杆的剪力和弯矩图
1 MB = FL 2
1 h FL M y σa = B a = 2 3 3 bh IZ 12
bh3 IZ = 12
=1.65MPa
h 1 FL M y σc = B c = 2 3 2 = 2.47MPa （压） bh IZ 12
σb = 0
例题 4.21
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
1 m = Fl 4
C
F A
B
1 m = Fl 4
A
F
A B
C
C
l 2
l 2
1 Fl 4
l 2
l 2
l
1 Fl 4
+
1 Fl 8
+
1 Fl 4
例题 4.15
6kN
A
C
6kN 2kN m
D
2kN m
B
2m
2m
4
2m
2m
2m
2m
+
+
4
6
4
-
q
A B
结构对称， 结构对称， 载荷反对称， 载荷反对称， 图对称， 则FS图对称， M图反对称
20 31.25
kNm
分布荷载集度、剪力和弯矩间的 微分关系及其应用
y
m
n
m
n
x
m n
M(x)
Fs ( x)
M(x) + dM(x)
FS (x) + dFS (x)
m
n
q (x)
x
dx
dFs =q dx
dx
Fs + q( x)dx − (Fs + dFs ) = 0
2
q( x)(dx) M + FS dx + − (M + dM ) = 0 2
FS 2 = FS1 + ∫ q( x)dx
x2 x1
2
等于x1截面上的M1加上两截面之间剪力图的面积.
dFS两截面间无集中力偶作用,则x 截面上的M M2 = M1 + x FS (x)dx ∫FS若x1,x2 = ∫x1 q(x)dx 2 2 ∫x 1
1
q A
C
D
B
FA
a
c
l
b
FB
FA
+
x
+
FA a
C
D
B
∑MD = 0
2q(1− x) FA = 2− x
x
l = 2m
a = 0.6m
(l − a)2 MC= FA(l − a) − q
2
=0
2q(1− x) 1.42 ×1.4 − q× =0 2− x 2
x = 0.462m
剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
A FA x B
l
FB
ql FS = − qx 2
截开后取右边为示力对象： 截开后取右边为示力对象：
向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力； 向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。 顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。
F
杆轴 FA 纵向对称面 Me
B
X FB
q
纵
向
对称面
非对称弯曲
A
x
构件不具有纵对称面， F y Ay 或虽有纵对称面但外力 不作用在纵对称面时的 弯曲变形
FBy
梁：以弯曲变形为主的杆件
静定梁 超静定梁
支座反力可以由静力平衡方程求解的梁 支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁
墙
楼板
梁
q
l
梁按支承方法的分类
第四章
弯曲应力
杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其 轴线平面内作用有外力偶时, 杆的轴线变为曲线. 以轴线变弯为主要特征的变形称为弯 曲。
§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
力学模型
F1 F2 y
杆轴 FA FB
X z 形心
纵向对称面
构件几何特征 构件为具有纵对称面的等截面直杆 受力特征 横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向
dM = FS dx
dFs =q dx
dM = FS dx
剪力图是水平直线. 弯矩图是斜直线. 弯矩图是水平直线.
d 2M =q 2 dx
dFs =0 dx
dM =0 dx dFs =q dx
FS 2 x2
FS = C
dM =C dx
M =C
剪力图是斜直线.
弯矩图是二次抛物线.
若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于 x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积.
求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、F、 例 题 G各截面上的内力。
4.2
3kN
C
2kN ⋅ m
6kN ⋅ m
1kN m
A D
FA
E
F
B
G
FB
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
4.3
例 题
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、 4－4和5－5各截面上的内力
6kN ⋅ m
6kN
1
2
q = 2kN m
14.14
A
θ1
14.14
θ2
14.14
14.14kN 14.14kN
14.14
F
M (kNm )
Fs
(kN)
例题 4.19
图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆 的内力图. F
Fr
+
r
B
θ
C
F
+
2r
M (kNm )
Fs
A
2Fr
(kN)
AB:
M = 2Fr
FN = −F
FS = 0
BC:
+
F
M = Fr(1− cosθ )
悬臂梁 3（2） （ ） 简支梁 3（2） （ ）
外伸梁
3（2） （ ）
固定梁
6（4）
连续梁
4（3） （ ）
半固定梁
4（3） （ ）
作用在梁上的载荷形式
分布荷载
集中力
Me
均匀分布荷载
集中力偶
q
l
2
l
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
F a
FS = FA
A FA B
l
FB
M = FAx
FA x Fs
X2
40kN ⋅ m
A
35kN
FS ( x1 ) = −20kN
B
25kN
X1
1m
15
4m
2.5
M( x1 ) = −20x1
0 p x1 p1 0 ≤ x1 p1
FS (x2 ) = −25 +10x2
25
2 x2 M( x2 ) = 25x2 −10× 2
20 20
kN
0 p x2 p 4
0 ≤ x2 p 4
接的结构。 当杆件变形时，两杆连接处保持刚性， 即角度（一般为直角）保持不变。
横梁
立柱
在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横 截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个 内力分量。
例题 4.16
B L L
求做图示刚架的内力图
C
qL 2
q
qL/2
Fs
qL
qL
(kN)
A
qL/2
qL2 2
qL2 2
FN
qL 2
(kN)
A
160kN
D E
40kN m
B
40kN
用 直 接 法 作 图 示 梁 的 内 力 图
C
F
130kN
1m 1m
130
2m
4m
120
310kN 2m
40
kN
30
190
160
kNm
130
210
340
280
例题 4.12
A
q
B
FB’
3 M = qa2 2
a
a
q
C
a
3 M = qa2 2
D
1 FD = qa 4 7 FA = FB = qa 4