离散数学(第21讲)
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一个有向图G是强连通图当且仅当G中有一条 包含每一个结点的有向闭道路。 证明：“” G是强连通图，则任意两个结 点之间都是相互可达的，设G＝<V，E>，V＝ {v1,v２,v３,…,vｎ}，则v1到v2可达，v2到v3可达， v3到v4可达，……，vｎ-１到vｎ可达，vn到v1可达， 由此可得到一条闭道路(v1，v２，v３，……，vｎ， v1)，它包含每个结点。 “ ” G中有一条包含每一个结点的有向闭 道路，则G中任何两个结点沿着这条道路是相互 可达的，故G为强连通图。 ■
2018/11/12 计算机学院 5
弱分图、单向分图、强分图
定义10.17 在有向图G＝<V,E>中，设G′是G的 子图，如果 此条件表明了G′ 的极大性 1）G′是强连通的（单向连通的、弱连通的）； 2 ）对任意 G〞G ，若 G′G〞 ，则 G〞不是强连 通的（单向连通的、弱连通的）。 那么称G′为G的强分图（单向分图、弱分图）。
deg( v i ) a ik a ii aki a ii，
k 1 k 1 n n
加一个aii
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6) 设有向图G＝<V,E>，V＝{v1,v2,…,vn}的邻接 矩阵A＝(aij)n×n，则
deg ( v i ) a ik，
k 1 n
点u到结点v是可达的，记为u→v。对任意结点
u，规定u→u。 有向图结点之间的可达关系具
有自反性和传递性，但一般说来，
可达关系没有对称性。例如右图中
v1
v3
v3到v2可达，但v2到v3不可达。因
此，可达关系不是等价关系。
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v2
v4
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强连通图、单向连通图
定义10.16 设有向图G＝<V,E>是连通图， 1) 若G中任何一对结点之间至少有一个结点到另 一个有向图的基图是 一个结点是可达的，则称 G是单向连通图； 当去掉边的方向后得 到的无向图（可含有 2) 若G中任何一对结点之间都是相互可达的，则 平行边和环） 称G是强连通图。 3) 若G的基图是连通的，则称G是弱连通图。 若有向图G是强连通图，则它必是单向连通图； 若有向图G是单向连通图，则它必是（弱）连通 图。
deg ( v i ) aki
k 1
n
7) 设图G＝<V,E>，V＝{v1,v2,…,vn}的邻接矩阵 A＝(aij)n×n，则aij表示从结点vi到结点vj长度 为1的有向道路的数目；
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邻接矩阵是一个布尔矩阵 无向图的邻接矩阵是对称的 而有向图的邻接矩阵不一定对称
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例10-4.1
v1 v4 v1
v4
v2 G1 v3 v2 G2 v3
邻接矩阵：
0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 当改变图的结点编号的顺序 0 0 ' (0 1 1 1 0 1 1 1 A G ) 时，可得到图的不同的邻接 2 A(G 1 ) ， A(G 2 ) 。 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 ,v 矩阵，如： ,v3 ,v 1 1v20 0 0 1 4 0 0 0 10
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例10-3.1
v1 v3 v1 v3 v1 v3
v2 G1
v4
v2 G2
v4
v2 G3
v4
G1是弱连通图。 G2是单向连通图（当然它也是弱连通图）； G3是强连通图（当然它也是单向连通图和弱连 通图）；
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定理10.7
定理10.8
在简单有向图G＝<V，E>中，它的每 一个结点位于且仅位于一个强分图中。
事实上,相互可达是V上的一个等价关系。
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例10-3.2
v1 v3 v5 v7
v2来自百度文库
G中， 在图G 1中，
v4 v6 G
和{v3 ,v },v 导出的子图 由{v1 ， {v44,v }和 {v 2}，{v2 6 }， 1} 3,v 5,v 75 6,v7}导出 的子图都是强分图； 都是强连通分支； ,v ，,v {v1,v ,v3} ,v 和,v {v5,v ,v6,v ,v7,v }导出 2,v 4} 4} 由 由{v {v1 ,v ,v ,v 和 {v 1 2 3 4 5 7 1 3 4 5 6,v7} 的子图都是单向分图； 导出的子图都是单向连通分支； 由{v1,v2,v3,v4}和{v5,v6,v7}导出的子图都是 G 1本身为弱连通分支。 弱分图。
主要内容
① ② ① ② ③ 有向图的连通性 强连通图、单向连通图和弱连通图 强分图和弱分图 图的矩阵表示 邻接矩阵 道路矩阵（可达性矩阵） 关联矩阵
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有向图的连通性
定义10.9 设u,v为有向图G＝<V,E>中的两个结 点，若存在从结点u到结点v的道路，则称从结
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1 1 0 0
1 0 0 1
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邻接矩阵的性质
设G＝<V，E>是一个有向图，则有： 1) 当有向图代表关系时，其邻接矩阵就是前面 讲介绍过的关系矩阵。 2) 零图的邻接矩阵的元素全为零，并称它为零 矩阵。 3) 图的每一结点都有自回路而再无其他边时， 则该图的邻接矩阵是单位矩阵。 4) 简单图的邻接矩阵主对角元全为零。 5) 设无向图G＝<V,E>，V＝{v1,v2,…,vn}的邻接 矩阵A＝(aij)n×n，则 为什么要多
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图的矩阵表示
图的矩阵表示主要有两种形式：邻接矩阵常用于研究 图的各种道路问题；关联矩阵常用于研究子图的问题。
定义9.18 设G＝<V,E>是一个简单有向图， V＝{v1,v2,…,vn}，则n阶方阵A＝(aij)nn称为G 的邻接矩阵。其中：
1, (vi , v j ) E, aij 0, (vi , v j ) E,
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弱分图、单向分图、强分图
定义10.17 在有向图G＝<V,E>中，设G′是G的 子图，如果 此条件表明了G′ 的极大性 1）G′是强连通的（单向连通的、弱连通的）； 2 ）对任意 G〞G ，若 G′G〞 ，则 G〞不是强连 通的（单向连通的、弱连通的）。 那么称G′为G的强分图（单向分图、弱分图）。
deg( v i ) a ik a ii aki a ii，
k 1 k 1 n n
加一个aii
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6) 设有向图G＝<V,E>，V＝{v1,v2,…,vn}的邻接 矩阵A＝(aij)n×n，则
deg ( v i ) a ik，
k 1 n
点u到结点v是可达的，记为u→v。对任意结点
u，规定u→u。 有向图结点之间的可达关系具
有自反性和传递性，但一般说来，
可达关系没有对称性。例如右图中
v1
v3
v3到v2可达，但v2到v3不可达。因
此，可达关系不是等价关系。
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强连通图、单向连通图
定义10.16 设有向图G＝<V,E>是连通图， 1) 若G中任何一对结点之间至少有一个结点到另 一个有向图的基图是 一个结点是可达的，则称 G是单向连通图； 当去掉边的方向后得 到的无向图（可含有 2) 若G中任何一对结点之间都是相互可达的，则 平行边和环） 称G是强连通图。 3) 若G的基图是连通的，则称G是弱连通图。 若有向图G是强连通图，则它必是单向连通图； 若有向图G是单向连通图，则它必是（弱）连通 图。
deg ( v i ) aki
k 1
n
7) 设图G＝<V,E>，V＝{v1,v2,…,vn}的邻接矩阵 A＝(aij)n×n，则aij表示从结点vi到结点vj长度 为1的有向道路的数目；
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邻接矩阵是一个布尔矩阵 无向图的邻接矩阵是对称的 而有向图的邻接矩阵不一定对称
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例10-4.1
v1 v4 v1
v4
v2 G1 v3 v2 G2 v3
邻接矩阵：
0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 当改变图的结点编号的顺序 0 0 ' (0 1 1 1 0 1 1 1 A G ) 时，可得到图的不同的邻接 2 A(G 1 ) ， A(G 2 ) 。 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 ,v 矩阵，如： ,v3 ,v 1 1v20 0 0 1 4 0 0 0 10
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例10-3.1
v1 v3 v1 v3 v1 v3
v2 G1
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v2 G2
v4
v2 G3
v4
G1是弱连通图。 G2是单向连通图（当然它也是弱连通图）； G3是强连通图（当然它也是单向连通图和弱连 通图）；
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定理10.7
定理10.8
在简单有向图G＝<V，E>中，它的每 一个结点位于且仅位于一个强分图中。
事实上,相互可达是V上的一个等价关系。
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例10-3.2
v1 v3 v5 v7
v2来自百度文库
G中， 在图G 1中，
v4 v6 G
和{v3 ,v },v 导出的子图 由{v1 ， {v44,v }和 {v 2}，{v2 6 }， 1} 3,v 5,v 75 6,v7}导出 的子图都是强分图； 都是强连通分支； ,v ，,v {v1,v ,v3} ,v 和,v {v5,v ,v6,v ,v7,v }导出 2,v 4} 4} 由 由{v {v1 ,v ,v ,v 和 {v 1 2 3 4 5 7 1 3 4 5 6,v7} 的子图都是单向分图； 导出的子图都是单向连通分支； 由{v1,v2,v3,v4}和{v5,v6,v7}导出的子图都是 G 1本身为弱连通分支。 弱分图。
主要内容
① ② ① ② ③ 有向图的连通性 强连通图、单向连通图和弱连通图 强分图和弱分图 图的矩阵表示 邻接矩阵 道路矩阵（可达性矩阵） 关联矩阵
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有向图的连通性
定义10.9 设u,v为有向图G＝<V,E>中的两个结 点，若存在从结点u到结点v的道路，则称从结
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1 1 0 0
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邻接矩阵的性质
设G＝<V，E>是一个有向图，则有： 1) 当有向图代表关系时，其邻接矩阵就是前面 讲介绍过的关系矩阵。 2) 零图的邻接矩阵的元素全为零，并称它为零 矩阵。 3) 图的每一结点都有自回路而再无其他边时， 则该图的邻接矩阵是单位矩阵。 4) 简单图的邻接矩阵主对角元全为零。 5) 设无向图G＝<V,E>，V＝{v1,v2,…,vn}的邻接 矩阵A＝(aij)n×n，则 为什么要多
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图的矩阵表示
图的矩阵表示主要有两种形式：邻接矩阵常用于研究 图的各种道路问题；关联矩阵常用于研究子图的问题。
定义9.18 设G＝<V,E>是一个简单有向图， V＝{v1,v2,…,vn}，则n阶方阵A＝(aij)nn称为G 的邻接矩阵。其中：
1, (vi , v j ) E, aij 0, (vi , v j ) E,