常微分方程考研讲义第五章 线性微分方程组
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第五章线性微分方程组
[教学目标]
1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解
的性质与结构，
2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，
4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时
[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[考核目标]
1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理
5.1.1记号和定义
考察形如
1
11112211221122222
1122()()()()()()()()()()()()n n n n n
n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨
⎪⎪'=++++⎩ （5.1）
的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,
,)i f t i n =在区
间a t b ≤≤上上是连续的。方程组（5.1）关于12,,
,n x x x 及12,,,n
x x x '''是线性的. 引进下面的记号：
1112121
22
212()()
()()()
()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
（5.2）
这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,
,)ij a t i j n =.
12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式
()()x A t x f t '=+ （5.4）
引进下面的概念。
一个矩阵或者一个向量在区间a t b ≤≤上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间a t b ≤≤上的连续函数。
一个n n ⨯矩阵()B t 或者一个n 维列向量()u t ：
1112121
22
212()()
()()()
()()()()()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦ 12()()()()n u t u t u t u t ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
在区间a t b ≤≤上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间a t b ≤≤上可微。它们的导数分别由下式给出：
11
12121
22
2
12()()()()()
()()()()()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t '''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥'=⎢⎥⎢
⎥'''⎣⎦ 1
2()()()()n u t u t u t u t '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦
不难证明，如果n n ⨯矩阵()A t ，()B t 及n 维向量()u t ，()v t 是可微的，那么下列等式成立：
（Ⅰ）()()()()()A t B t A t B t '''+=+
()()()()()u t v t u t v t '''+=+
（Ⅱ）()()()()()()()A t B t A t B t A t B t '''⋅=+ （Ⅲ）()()()()()()()A t u t A t u t A t u t '''=+
类似地，矩阵()B t 或者向量()u t 在区间a t b ≤≤上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间a t b ≤≤上可积。它们的积分分别由下式给出：
111211122211
2()()()()()()()()()()b b
b
n
a a a b
b
b b
n
a a
a a b
b
b n nn a a
a b t dt
b t dt b t dt b t dt b t dt
b
t dt B t dt b t dt b t dt
b t dt ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰ 12()()()()b a b b a a b n a u t dt u t dt u t dt u t dt ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰ 现在我们给出（5.4）的解的定义：
定义１设()A t 是区间a t b ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，()f t 是同一区间a t b ≤≤上的连续n 维向量。方程组
()()x A t x f t '=+ （5.4）