变系数线性常微分方程的求解
常微分方程组的解法
常微分方程组的解法常微分方程组是由多个关于未知函数及其导数的方程组成的方程组，它是数学中的重要研究对象。
常微分方程组的解法可以分为解析解法和数值解法两种。
解析解法是指通过数学方法求出常微分方程组的解析表达式。
常微分方程组的解析解法主要包括分离变量法、一阶线性方程法、变量代换法、常数变易法、特殊函数法等。
其中，分离变量法是指将常微分方程组中的各个变量分离出来，然后对每个变量分别积分，最后得到常微分方程组的解析解。
一阶线性方程法是指将常微分方程组转化为一阶线性方程，然后通过求解一阶线性方程来得到常微分方程组的解析解。
变量代换法是指通过合适的变量代换将常微分方程组转化为更简单的形式，然后通过求解简化后的方程组得到常微分方程组的解析解。
常数变易法是指将常微分方程组中的常数作为未知量，然后通过求解常数得到常微分方程组的解析解。
特殊函数法是指通过特殊函数的性质求解常微分方程组，如指数函数、三角函数等。
数值解法是指通过计算机数值计算的方法求出常微分方程组的数值解。
常微分方程组的数值解法主要包括欧拉法、龙格-库塔法、变步长法等。
其中，欧拉法是一种简单的数值解法，它的基本思想是将常微分方程组的解曲线上的点离散化为一系列点，然后通过计算机逐步求解得到常微分方程组的数值解。
龙格-库塔法是一种高阶数值解法，它通过计算机采用多个不同的计算公式来逼近常微分方程组的解曲线，从而得到更为准确的数值解。
变步长法是一种自适应数值解法，它通过计算机根据误差大小自动调整步长大小，从而得到更为准确的数值解。
常微分方程组的解法包括解析解法和数值解法两种，每种方法都有其适用的范围和优缺点。
在实际应用中，需要根据具体问题的性质和求解要求选择合适的解法来求解常微分方程组。
§5.1变系数二阶线性齐次常微分方程的特殊解法
"
1.通过自变量的变换使方程的系
数化为常数
如
p1 p c1 , q1 q 2 c2 ,
則1 t c2 q' (p ) c1 , q 2q
q 1 dx ( x), c2
y c1 y c2 y 0。
2.通过未知函数的齐次线性变换使 方程的系数化为常数
四. 降阶法
• 1.d’Alembert 降阶法 设已知一个特解（用观察法）y1,用变换 y=uy1 可以把原方程化为关于 u 的一阶线 性方程。 • 2.利用算子因式分解降阶
END
1. 求解二阶线性常微分方程 的 重要性
这些方程 是物理学与科学技术最常见的，有直接应 用； 是解高阶线性常微分方程的基础； 是解数学物理方程和学习后继课程的基础。
1. 方程（5。1——1）对自变 量的任意变换的保线性性
x (t ),
方程（5。1——1）化为
y p1 (t ) y q （t ) y 0, 1
" '
2 p1 p , q1 q ,
2. 方程（5。1——1）对未知函数 的线性变换的保线性性
y ( x) ( x)u ( x) ( x),
y p( x) y q( x) y 0
（5。1——1）
• 1. 方程（5。1——1）对自变量的任意变换 的保线性性 • 2. 方程（5。1——1）对未知函数的线性变 换的保线性性
三.常系数化法
1.通过自变量的变换使方程的系数化 为常数 2.通过未知函数的齐次线性变换使方 程的系数化为常数
2
q2 q p d2 ,
p2 p
d1 ,
线性常微分方程的解法
线性常微分方程的解法一、引言线性常微分方程是数学中非常重要和常见的一类方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍线性常微分方程的解法。
二、一阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以使用特征方程的解法。
其中特征方程为dλ/dx + P(x)λ = 0，解得特征方程的解λ(x)，则齐次线性微分方程的通解为y = Cλ(x)，其中C为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法来求解。
假设齐次线性微分方程的解为y_1(x)，则通过常数变易法，可以得到非齐次线性微分方程的通解为y = y_1(x) *∫(Q(x)/y_1(x))dx + C，其中C为常数。
三、高阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以通过假设y = e^(rx)为方程的解，带入得到特征方程a_n(r) = 0。
解得特征方程的根r_1,r_2, ..., r_k，则齐次线性微分方程的通解为y = C_1e^(r_1x) +C_2e^(r_2x) + ... + C_ke^(r_kx)，其中C_1, C_2, ..., C_k为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = F(x)的非齐次线性微分方程，可以使用待定系数法来求解。
设非齐次线性微分方程的特解为y_p(x)，通过将特解带入原方程，解得特解的形式。
然后将特解与齐次方程的通解相加，即可得到非齐次线性微分方程的通解。
一类二阶变系数线性常微分方程的通解
（ Ｂ ＝ｎ的条件时可用初等积分法求其通解，并推 出了求解公式 ． Ａ） ｉ ［ 关键词］通解；初等积分法；二阶线性常微分方程 ［ 图分 类号 ］ ０ ７． ［ 献标 识码 ］ Ａ ［ 章 编号 ］ １７ ３０ （０７ ０ ０ ９ ０ 中 １５ １ 文 文 ６ １— ３ ３ ２０ ）３— ０ ０— ３ 虽然二阶变系数线性常微分方程通解 的结构已经 比较清楚 ， 其解等于它的齐次方程的通解加上它 自身的一个 特解 ． 但是 ， 中哪些方程可用初等积分法求解和如何求解的问题 尚未解决 ， 其 在实践 中能用初等积分法求解的相 对不多 ， 文献［ ６ 介绍了部分这样的方程， １— ］ 文献［ ］ ７ 介绍 了与本问题类似的三阶方程的解法 ． 本文在拓宽条件 的基础上探讨 了另外一类可用初等积分法求解 的二 阶方程 ， 推出了相应的求解公式 ， 并举例加 以说明 ． 为 了叙述方便 ， 记二阶变系数线性常微分方程为 ： ” Ａ，＋Ｂ Ｙ＋ ） ｙ：Ｄ （） １
［ 基金项 目】云南省教育厅基 金项 目（ ６ ０ １ ０ Ｙ ４ Ａ）
［ 作者简介 】李世云 （９４一） 男 ， 文山人 ， １５ ， 云南 教授 ， 山民族研 究所兼 职研究 员 ， 文 主要从事微 分方 程研究 ； 林清梅 （ ９ ０一） １８ ，
女， 福建 泉州人 ， 助教 ， 硕士 ， 主要从事微分 方程研究 ．
用与文献［ ］ ７ 类似的方法可以证明如下引理：
引理
Ｙ＝ｙ ｘ 是方程（ ） （） １ 的解的充分必要条件是 ： ∈， Ｖ ， ｇ ：ｇ ｘ （ ）和 ｈ ＝ｈ ｘ ， （ ） 使得
）： ， ｈ ， 譬 ． ， ： 且）： ”
定理
在二阶线性常微分方程 Ｙ ＋Ａ，＋Ｂ ” ） ｙ＝Ｄ中， Ｂ ≠０ Ａ Ｂ Ｄ都在 （ ，） 阶可导 ， 若 ，、 、 口ｂ 二 且存在 ｍ ∈Ｒ 使得 ，
如何求解常微分方程
如何求解常微分方程求解常微分方程是微积分中的重要内容，常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
常微分方程的求解方法有多种，下面我将从多个角度进行全面的回答。
1. 分离变量法，对于可分离变量的一阶常微分方程，可以通过将变量分离并进行积分来求解。
首先将方程中的未知函数和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的移项和积分，最后得到未知函数的表达式。
2. 齐次方程法，对于一阶常微分方程，如果可以通过变量的替换将其转化为齐次方程，即方程中的未知函数和导数的比值只与自变量有关，可以使用齐次方程法求解。
通过引入新的变量替换和代换，将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后进行求解。
3. 线性方程法，对于一阶线性常微分方程，可以使用线性方程法求解。
线性方程的特点是未知函数和其导数的一次项系数是常数，通过引入一个积分因子，将线性方程转化为可积分的形式，然后进行求解。
4. 变量替换法，对于某些形式复杂的常微分方程，可以通过引入新的变量替换，将其转化为更简单的形式，然后进行求解。
常见的变量替换包括令导数等于新的变量，令未知函数等于新的变量的幂函数等。
5. 微分方程的特殊解法，对于一些特殊的常微分方程，可以使用特殊解法求解。
例如，对于一些常见的一阶常微分方程，如指数函数、对数函数、三角函数等形式，可以直接猜测其特殊解，然后验证是否满足原方程。
6. 数值解法，对于一些无法通过解析方法求解的常微分方程，可以使用数值解法进行近似求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等，这些方法将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
总结起来，求解常微分方程的方法包括分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、特殊解法和数值解法。
根据不同的常微分方程形式和条件，选择合适的方法进行求解。
希望这些解答对你有帮助。
微分方程组的解法
微分方程组的解法一、微分方程组的概念微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的方程组，通常用向量形式表示。
微分方程组在物理、工程、经济等领域中有广泛应用。
二、线性微分方程组线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数都是常数的微分方程组。
它可以用矩阵和向量表示，具有良好的解法。
三、非线性微分方程组非线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数不是常数的微分方程组。
它通常没有通解，只能通过近似或数值方法求解。
四、初值问题与边值问题初值问题是指给定一些初始条件，在某个点处求解微分方程组的解。
边值问题是指在一段区间内给定一些边界条件，在这段区间内求解微分方程组的解。
五、常系数齐次线性微分方程组的解法1. 特征根法：先求出特征多项式和特征根，然后根据特征根和初始条件求出通解。
2. 矩阵指数法：将齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解。
六、常系数非齐次线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将非齐次线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到非齐次线性微分方程组的通解。
2. 矩阵指数法：将非齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解和特解。
七、变系数线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将变系数线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到变系数线性微分方程组的通解。
2. 变量分离法：将变量分离后利用积分求出一般积分式，然后根据初始条件求出常量，并代入一般积分式中得到特解和通解。
八、非线性微分方程组的近似方法1. 线性化方法：将非线性微分方程组在某个点处进行线性化，然后求解线性微分方程组的解，再将解转化为非线性微分方程组的近似解。
2. 数值方法：利用数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等求解微分方程组的近似解。
九、总结微分方程组是一类重要的数学问题，在实际应用中有广泛应用。
变系数线性齐次常微分方程组的λ-矩阵求解法
=
(Dn,Dn-
1,…
,D,1)T,D=
d为 dx
微
分
算
子
,则
Байду номын сангаас
D(n)y= (y(n),y(n- 1),… ,y)T.于 是 由 表 达 式
f0y(n)+ f1y(n-1)+ … + fny= (f0,…,fn)(y(n),…,y)T = FD(n)y
(1.1)
称 FD(n)为变系数多项式微分算子,而由表达式
└A11D(n11) … LAm1D(nm1) …
A1kD(n1k)┐└x1┐ ⋮ =0
AmkD(nmk)┘Lxk┘
(2.2)
利用这种表达方式可有下述结果.
定理 1 对于给定的函数矩阵 U=(uij)k×k,若有逆矩阵 U-1=(vij)k×k,那么通过变换:
Y= (y1,…,yk)T = U-1(x1,…,xk)T = U-1X
推 论 1 变 系数方程 组 (2.4)在 U 可 逆 时 是 可 积 方 程 组,它 的 解 Y可 用 常 系 数 方 程 组
(2.2)的解 X 表为 Y=U-1X.
在 实 际应用定理 1时,需要判 别 所讨 论 的 方程 组 是 否为 方程组(2.4).为了 便 利 判 断,
此处不加证明地给出方程组(2.4)中微分算子矩阵的几个性质.在定理 1的条件下,则有
l= 1
⋮
k
ΣAmlΦ(nml,ul1)D(nml) …
Ll= 1
从 而 由 (1.3)式 有
k
┐
Σ A1lΦ(n1l,ulk)D(n1l)
l= 1
=└v11┐
└v1k┐ )
⋮
⋮ x1+ … + ⋮ xk = 0
常微分方程解法总结
常微分方程解法总结是研究函数的一种重要方法，其解法总结对于深入了解的应用和理论有着重要意义。
本文将总结的解法，主要包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法、常系数线性方程法和变量可分离方程法等方法。
分离变量法是解的常用方法之一。
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，我们可以通过移项和对x、y变量分离来解得方程的解。
以dy/dx=x/y为例，我们可以将方程改写为ydy=xdx，然后分别对x和y进行积分，得到y^2=2x^2+C，其中C为常数，即为原方程的解。
齐次方程法是解决形如dy/dx=f(y/x)的方程的常用方法。
对于这类方程，我们可以通过引入新的变量u=y/x来将方程转化为一阶可分离变量方程。
例如对于dy/dx=y/x，令u=y/x，我们可以得到dy=udx，进一步可以积分得到ln|x|=ln|u|+C，即为方程的解。
一阶线性方程法是解决形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程的常用方法。
对于这类方程，我们可以通过引入一个积分因子来将方程转化为恰当方程，从而进行求解。
以dy/dx+(1/x)y=(x+1)/x为例，我们可以通过引入积分因子μ=e^∫(1/x)dx=x将方程转化为d(μy)/dx=μ(x+1)/x，进而利用积分来解得方程的解。
常系数线性方程法是解决形如dy/dx+ay=b的方程的常用方法。
对于这类方程，我们可以通过特征方程的求解来得到方程的通解。
以dy/dx+2y=5为例，我们可以求得对应的特征方程r+2=0的根为r=-2，进而可以得到方程的通解y=Ce^(-2x)+(5/2)，其中C为任意常数。
变量可分离方程法是解决形如dy/dx=f(x)/g(y)的方程的常用方法。
对于这类方程，我们可以通过对x和y的积分来解得方程的解。
以dy/dx=x^2/y为例，我们可以将方程改写为ydy=x^2dx，然后分别对x和y进行积分，得到y^3=1/3x^3+C，其中C为常数。
以上总结了解法的主要方法，但需要注意的是，并非所有的都可以直接应用这些方法进行求解。
几类变系数常微分方程通解的求法
淮阴师范学院学报( 自 然科学) JOURNAL OF HUAIY IN TEACHERS COLLEGE ( Natural Science)
Vol110 No1 6 Dec. 2011
几类变系数常微分方程通解的求法
王小才, 吴延东
( 淮阴工学院 数理学院, 江苏 淮安 223003)
d2 x dy2
+
c2
dx dy
-
c1 x =
<( y )
( 3)
式( 3) 是二阶常系数线性微分方程, 它一定可解, 所以原方程一定可解.
应用举例:
例 1 求 yd+ ( 2e2y - 4x ) yc3 = - 4yc2 , 的通解.
解:
把dy dx
=
1 xcy
和
d2 y dx 2
=
-
xcyc ( xcy ) 3
0 引言
早在 1841 年法国数学家刘维尔( Liouville) 指出: 绝大多数微分方程不能用初等积分求解. 人们能够 用初等积分法求解的微分方程很有限. 目前, 人们已经彻底解决了常系数线性微分方程的求解问题. 但 是, 对于变系数常微分方程, 至今没有找到求其通解的一般方法.
近年来, 关于变系数微分方程解法的相关研究, 已经有了一些结果[ 3-8] . 这些结果提供了求解变系数 微分方程问题一些新的途径. 方辉平[ 3] 等人将二阶的变系数齐次微分方程转化成 Riccat i 方程, 并且研 究了 Riccat i 方程求近似解的方法, 从而给出了求二阶的变系数齐次微分方程初值问题近似解的一种方 法. 方书盛[4] 运用微分算子运算的基本原理, 给出了求解变系数微分方法的算子求法. 文[ 4] 的解法具 有一定的应 用价值, 但解 法的计算 公式较复 杂, 使用不够 方便. 杜庆[7] 研 究了形 如 yd + p ( x ) y + q ( x ) = 0 的二阶变系数微分方程, 在已知一个特解 y 1( x ) 的情况下, 通过线性变换, 找到了一个既与
常微分方程的变系数线性齐次方程
常微分方程的变系数线性齐次方程常微分方程在数学和理工科学中都具有重要的地位，它们是描述系统动力学和其他物理现象的基本工具。
其中，变系数线性齐次方程（Variable Coefficient Linear Homogeneous Equations, VCLHEs）是常微分方程中的一类重要工具，涉及到许多实际问题的分析和求解。
在本文中，我将介绍VCLHEs的基本概念、解法和应用，并对其在科学研究和工程应用中的重要性进行探讨。
一、VCLHEs的基本概念VCLHEs是指一类常微分方程，其系数是时间的函数，形如：$$y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=0$$其中，$y(t)$为未知函数，$p(t)$和$q(t)$为已知函数，且$p(t)$和$q(t)$在一定条件下具有较好的性质。
VCLHEs可以看作是ODE（Ordinary Differential Equations，常微分方程）的一类，但与常微分方程的其他类型相比，其变系数的性质使得其解法更为复杂和多样化。
因此，对VCLHEs的理解和研究对于解决涉及到VCLHEs的实际问题有着重要的意义。
二、VCLHEs的解法根据VCLHEs的定义，我们可以将其转化为常微分方程组，得到：$$\begin{cases} y_1'(t)=y_2(t)\\ y_2'(t)=-q(t)y_1(t)-p(t)y_2(t)\\\end{cases}$$其中，$y_1(t)=y(t)$，$y_2(t)=y'(t)$。
我们可以使用矩阵的方法求解该方程组，也可以使用其他的解法，比如微分方程的变分法和之前介绍过的Laplace变换法。
对于一些特殊的VCLHEs，我们也可以使用一些特定的技巧和公式求解。
比如，对于形如$y''(t)+\omega^2(t)y(t)=0$的方程，我们可以使用复数方法求解，得到：$$y(t)=C_1\cos\Theta(t)+C_2\sin\Theta(t)$$其中，$\Theta(t)=\int \omega(t)dt$，$C_1$和$C_2$为待定系数。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
常微分方程解法
-179-第十五章 常微分方程的解法建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22x y dxdy+=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。
§1 常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(y a y bx a y x f dx dy(1)在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得|||),(),(|y y L y x f y x f −≤−这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点b x x x x a N =<<<<=L 210处的近似值),,2,1(N n y n L =的方法，),,2,1(N n y n L =称为问题（1）的数值解，n n n x x h −=+1称为由n x 到1+n x 的步长。
今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：（i ）用差商近似导数若用向前差商hx y x y n n )()(1−+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得),1,0())(,()()(1L =≈−+n x y x f hx y x y n n n n 化简得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有),1,0(),(1L =+=+n y x hf y y n n n n （2）这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题⎩⎨⎧==+=+)(),1,0(),(01a y y n y x hf y y n n n n L （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出L ,,21y y 。
变系数线性常微分方程的求解
变系数线性常微分方程的求解张慧敏，数学计算机科学学院摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。
幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。
关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法Solving linear ordinary differential equations with variablecoefficientsHuimin Zhang , School of Mathematics and Computer ScienceAbstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation.Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.前言随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的领域也存在着微分方程问题。
微分方程中的常微分方程解法技巧
微分方程中的常微分方程解法技巧微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在微分方程中，常微分方程是最基本的一类，它描述了未知函数的导数与自变量之间的关系。
解决常微分方程的技巧对于理解和应用微分方程具有重要意义。
本文将介绍一些常见的常微分方程解法技巧。
一、分离变量法分离变量法是解决常微分方程的常用方法。
它的基本思想是将方程中的未知函数和自变量分别放在方程的两边，然后对两边同时积分。
具体步骤如下：1. 将方程中的未知函数和自变量分离到方程的两边，得到一个关于未知函数的方程和一个关于自变量的方程。
2. 对两个方程同时积分，得到两个积分表达式。
3. 将两个积分表达式合并，并解出未知函数。
例如，考虑一个一阶常微分方程dy/dx = x^2，我们可以使用分离变量法解决。
将方程改写为dy = x^2dx，然后对两边同时积分，得到∫dy = ∫x^2dx。
对积分表达式进行计算，得到y = (1/3)x^3 + C，其中C为常数。
二、常数变易法常数变易法是解决齐次线性微分方程的常用方法。
齐次线性微分方程是指形式为dy/dx + P(x)y = 0的方程，其中P(x)为已知函数。
常数变易法的基本思想是假设未知函数为形如y = u(x)e^(∫P(x)dx)的形式，其中u(x)为待定函数。
通过对方程进行代入和化简，可以得到待定函数u(x)满足的微分方程。
解决这个新的微分方程后，再求解u(x)，最终得到原方程的解。
例如，考虑一个齐次线性微分方程dy/dx + 2xy = 0，我们可以使用常数变易法解决。
假设未知函数为y = u(x)e^(x^2)，代入方程后化简，得到u'(x)e^(x^2) +2xu(x)e^(x^2) + 2xu(x)e^(x^2) = 0。
化简后得到u'(x) + 4xu(x) = 0。
这是一个一阶常微分方程，可以使用分离变量法解决。
最终解为u(x) = Ce^(-2x^2)，其中C为常数。
一类n阶变系数线性常微分方程的通解
李世 云 ： 一类 凡阶变系 数线性 常微 分 方程 的通 解
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第２ ３卷
第１ 期
文 山学 院学报
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李世 云
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常微分方程中的变系数线性方程及其解法
常微分方程中的变系数线性方程及其解法在常微分方程学中，变系数线性方程是非常重要的一部分，也是求解常微分方程的基础。
本文将首先介绍变系数线性方程的基本概念和一些基本特征，然后详细讲解变系数线性方程如何进行解法。
一、变系数线性方程的定义和基本特征在常微分方程学中，变系数线性方程指的是形如下面的方程：$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)$$其中，p(x)和q(x)称为线性变系数函数，f(x)称为非齐次项。
如果f(x)等于0，则称该方程为齐次线性方程。
与一般的线性方程不同，变系数线性方程中的系数p(x)和q(x)是关于x的函数，因此在解决这类方程的时候需要采用不同的方法和技巧。
同时，由于变系数线性方程的系数是关于x的函数，因此该方程的解法也不是唯一的，可能存在多个解或者通解。
二、变系数线性方程的解法1.一阶变系数线性方程的解法对于一阶变系数线性方程$$y' + p(x)y = f(x)$$其中p(x)和f(x)是已知函数。
这类方程可以采用积分因子法求解，具体步骤如下：- 将该方程写成标准形式：$$y' + p(x)y = f(x)$$- 确定积分因子μ(x)：$$\mu(x) = e^{\int p(x)dx}$$- 两边同乘μ(x)，得到：$$\mu(x)y' + \mu(x)p(x)y = \mu(x)f(x)$$ - 将等式体右边看作一个函数g(x)，即：$$\frac{d}{dx}(\mu(x)y) = \mu(x)f(x)$$- 对等式两边进行积分，得到：$$\mu(x)y(x) = \int \mu(x)f(x)dx + C$$- 整理得出y(x)：$$y(x) = \frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x)f(x)dx +\frac{C}{\mu(x)}$$其中C是任意常数。
2.二阶变系数线性方程的解法对于二阶变系数线性方程$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)$$其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数。
二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
变系数常微分方程的解法探讨
目录1 引言 (1)2 一阶变系数常微分方程的解法探讨 (1)2.1 变系数一阶微分方程的几个可积类型 (1)2.2 应用举例 (4)3二阶变系数线性微分方程的解法探讨 (5)3.1用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解 (6)3.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索 (6)3.1.2 确定的通解 (7)3.1.3用常数变易法确定的特解 (8)3.1.4应用举例 (8)3.2二阶变系数线性微分方程的积分因子解法 (9)3.2.1关于二阶变系数线性微分方程的积分因子的一些结论 (9)3.2.2讨论如何求出， (10)3.2.3应用举例 (10)3.3二阶线性变系数常微分方程的常系数化解法 (11)3.3.1利用自变量的变换实现常系数化 (11)3.3.2利用未知函数的齐次线性变换实现常系数化 (12)3.3.3 应用举例 (13)4 三阶变系数线性微分方程的解法探讨 (14)4.1 方程（4.1）化为常系数方程的一种充要条件 (14)4.2 应用举例 (16)结束语 (17)参考文献 (17)致谢 (17)数学计算机学院数学与应用数学专业2013届余小艳摘要：求变系数常微分方程的解，迄今为止没有一种确定的方法. 本文通过寻找特解和变量代换等方法得到了一些新的求解一类二阶变系数线性微分方程通解的方法，并讨论了一阶变系数线性微分方程和三阶变系数线性微分方程化为常系数方程的几个充要条件. 又举例说明了这些方法的可行性，有效扩充了变系数微分方程可解范围.关键词：变系数常微分方程；二阶变系数微分方程；通解；变量变换中图分类号：O175.1Discussion on the Solution of Ordinary Differential Equationwith Variable CoefficientAbstract: So far, there hasn’t been an established method on how to solve Ordinary Differential Equation (ODE) with Variable Coefficients. This paper presents some methods of solving the second order linear ODE with variable coefficients by means of searching special solution and variable transformation, etc. This paper also gives an introduction to the necessary and sufficient conditions of first order linear ODE and 3 rd order linear ODE with variable coefficient that can be translated into constant coefficients. Moreover, we give some examples to illustrate the feasibility of these methods. Hence, the results effectively extend the solvable for the variable coefficient differential equations.Key words: variable coefficients ordinary differential equations；second order differential equations with variable coefficients；general solutions；variable transformation1 引言常微分方程已经成为数学领域中一项十分重要的学科,并且在求解问题,模型,指导实践中有着极为广泛的应用.二阶变系数线性常微分方程是常微分方程中一类常见的方程，但迄今为止，二阶变系数常微分方程的通解问题在数学领域内并没有解决.变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，因此，研究变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的理论意义和应用价值.众所周知，变系数一阶微分方程具有一般的解法，由于在理论研究和实际应用中出现有大量的二阶及三阶以上的高阶变系数线性微分方程，因此，近年来数学领域内对高阶变系数线性微分方程求解方程的研究，并取得了一些成果.本文在总结变系数一阶常微分方程解法的同时，着重就二阶及三阶变系数线性微分方程的求法进行了探讨，最后又给出了这些解法的应用及推广.2一阶变系数常微分方程的解法探讨2.1变系数一阶微分方程的几个可积类型对于一阶常微分方程我们常用解法有：分离变量法，变量替换法，积分因子法，常数变易法等.在此，主要讨论变系数一阶微分方程的几个可积类型.为确定起见，在以下讨论中规定一般的变系数一阶微分方程的标准形式为：(2.1)定理2.1[2]设 , , ∈ , , ∈ , , 为常数.如果等式(2.2)在I上成立（k为常数），则方程(2.3)是可积的.证明令,则(2.4)将（2.2），（2.4）代入（2.3），得,.属于可分离变量型，而V可由（2.4）解出，所以方程（2.2）是可积的.推论2.1 设为常数（），则方程(2.5) 是可积的.在定理2.1中，令,则,即得推论2.1.利用推论 2.1，可以用化归为可分离变量型的求解方法，统一处理有关类型的一阶方程.(1)奇次方程(2.6)是（2.5）式，当时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.6）式化归为可分离变量型来求解.(2)线性一阶方程(2.7)是(2.5)式，当时的特例.由定理2.1，可令,将（2.7）化归为来求解，其中.(3) Bernoulli方程，.(2.8)这是（2.5）式，在时的特例.由定理2.1知，可令,将（2.8）化归为可分离变量型来求解.推论2.2 设如果存在常数,使得(2.9)成立，则Riccati方程(2.10)是可积的.证明将（2.9）式变形为令它是Brinoulli方程的通解.显然，.在定理2.1中，令,应用定理2.1（此时定理中的，，），知方程即（2.10）是可积的.推论2.3 为常数，则一阶微分方程是可积的，其中为常数.在定理2.1中，令即可得推论2.3.定理2.2设，，，，，为常数，则方程（2.11）是可积的.证明令，则（2.11）可变形为.由定理2.1推论2.1，知（2.11）是可积的.推论2.4 设，，，，为常数，，则下列方程都是可积的.；；.在（2.11）中，令分别等于，，即得结论.2.2 应用举例例2.1解方程(2.12)解将（2.11）变形为,.由定理2.1，推论2.1知，可令(2.12)可化为，两边积分，得(2.12)的通解为例2.2解方程(2.13)解取，容易验证条件（2.9）是满足的.由定理2.1，推论2.2知，故（2.13）可积.令，，（2.13）变形为，两边积分，得，为任意常数.，令，，则，，为任意常数为（2.13）的通解.3 二阶变系数线性微分方程的解法探讨3.1 用求特解的方法求二阶变系数线性微分方程的解众所周知，的通解为其中，,且，线性独立.引理 3.1[3]若，为之解，则仍为之解，且时，为的通解.引理3.2若为之一特解，则为之通解.关键性的问题是如何找的两线性无关的解，和的特解.3.1.1对变系数线性二阶微分方程特解的探索关于变系数线性二阶微分方程如何视查其特解，有如下的探索.（1）若，则为其特解.特殊地：当，即时，为其特解.当，即时，为其特解.例：①,为其特解；②,为其特解；③,为其特解；（2）若,则为其特解；（3）科西-尤拉方程，(为常数)令去试探例：解方程令,a得=0，，故有通解.3.1.2确定的通解定理3.1 若方程，已知一个特解，则可用公式确立其另一个特解：,且，线性独立.证明令, 则，带入方程整理：由有积分从而只要不是常数。
二阶变系数线性常微分方程的求解
二阶变系数线性常微分方程的求解
杨万顺
【期刊名称】《潍坊学院学报》
【年(卷),期】2011(011)002
【摘要】有初等解法的微分方程是有限的,对一般的二阶变系数线性微分方程而言,没有一般的初等解法,文中讨论了系数满足一定条件下微分方程的初等解法,并举例说明它的一些简单应用.
【总页数】3页(P62-64)
【作者】杨万顺
【作者单位】潍坊学院,山东潍坊261061
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.二阶变系数齐线性常微分方程的求解 [J], 方辉平;叶鸣
2.几类可积的非线性常微分方程及二维变系数线性微分系统的求解 [J], 汤光宋
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5.几类可积的非线性常微分方程及二维变系数线性微分系统的求解 [J], 汤光宋因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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变系数线性常微分方程的求解张慧敏，数学计算机科学学院摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。
幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。
关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法Solving linear ordinary differential equations with variablecoefficientsHuimin Zhang , School of Mathematics and Computer ScienceAbstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation.Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.前言随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的领域也存在着微分方程问题。
此外，微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，他们往往互相联系，互相促进，例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉之一和有力工具，对微分方程的发展产生了深刻的影响。
反过来，微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。
众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍方法。
因此，变系数二阶线性微分方程的求解在微分方程理论之中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的。
第一部分 二阶线性微分方程的解法探究一、幂级数解法⑴一般微分方程的幂级数解法二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题可归结为寻求它的一个非零解。
由于方程的系数是自变量的函数，我们不能用之前的代数方法去求解。
但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解，下面先以两个例子来探讨一下。
例1.1.1 求方程04'2''=--y xy y 的满足初值条件0)0(=y 及1)0('=y 的解。
【2】解 设+++++=n n x a x a x a a y 2210 为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到1,010==a a ，因而 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=nn x a x a x a x y 3322⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=-1232321'n n x na x a x a y⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+⋅+=-232)1(232''n n xa n n x a a y将'',',y y y 的表达式代入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅===-,12,,0,1,02432n n a n a a a a 因而⋅⋅⋅======,!41,0,!3161,0,!2198765a a a a a最后得 ,0,!1)!1(11212==-⋅=+k k a k k k a 对一切正整数k 成立。
将),2,1,0(⋅⋅⋅=i a i 的值代回（1.1）就得到⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=+!!21253k x x x x y k ,)!!21(2242x k xe k x x x x =⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++= (1.1)这就是方程的满足所给初值条件的解。
在上例中方程显然满足定理的条件，系数x 2-和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。
但有些方程却未必，例如n 阶贝塞尔方程()022222=-++y n x dxdy x dx y d x 这里n 为非负常数,不一定是正整数。
在此()().1,122xn x q x x p -==⑵n 阶贝塞尔方程例1.1.2 求解n 阶贝塞尔方程（1.2）。
【2】解 将方程改写成,0122222=-++y x n x dx dy x dx y d 易见，()(),,1222n x x q x x xp -==按x 展成的幂级数收敛区间为,+∞<<∞-x 从而方程有形如∑∞=+=0k k k x a y α的解，这里，00≠a 而k a 和α是待定常数。
将（1.3）代入（1.2）中，得()()()()，0102211122=-+++-++∑∑∑∞=+∞=-+∞=-+k kk k k k k kxa nx xa k x xa k k xkαααααα把x 同次幂项归在一起，上式变为()()()[].010202=+-++-++∑∑∞=+++∞=k k k kk k x a xa n k k k ααααα令各项的系数等于零，得一系列的代数方程[]()[]()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-+=-+=-- ,3,2,0,01,0222221220k a n k a n a n a k k ααα因为,00≠a 故从（1.4）的第一个方程解得α的两个值n =α和.n -=α 先考虑n =α时方程（1.2）的一个特解。
这时我们总可以从（1.4）中逐个地确定所有的系数.k a 把n =α代入（1.4），得到()⋅⋅⋅=+-==-,3,2,2,021k k n k a a a k k或按下标为奇数或偶数，我们分别有(1.2)(1.3)(1.4)()()()⋅⋅⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+++-=--+,2,1,222122122221212k k n k a a k n k a a k k k k从而求得()()()()()()()(),321!321,21!221,112,2,1,0603602422124+++⋅-=++⋅-=+⋅-=⋅⋅⋅==-n n n a a n n a a n a a k a k 一般地()()()()⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++⋅-=,2,1,21!21202k k n n n k a a k kk将各k a 代入（1.3）得到方程（1.2）的一个解()()()().21!21212001n k k k k nx k n n n k a xa y +∞=∑+⋅⋅⋅++⋅-+=既然是求（1.2）的特解，我们不妨令(),1210+Γ=n a n而（1.5）变为()()()().211!1201nk k k x n n k n k y +∞=∑⎪⎭⎫⎝⎛+Γ+⋅⋅⋅+-=注意到Γ函数的性质，即有()()(),21!1201x J x k n k y n n k k k≡⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=+∞=∑ ()x J n 是由贝塞尔方程（1.2）定义的特殊函数，称为n 阶贝塞尔函数。
因此，对于n 阶贝塞尔方程，它总有一个特解()x J n 。
为了求得另一个与()x J n 线性无关的特解，我们自然想到，求n -=α时方程（1.2）的形如∑∞=+-=02k k n k x a y的解，我们注意到只要n 不为非负整数，像以上对于n =α时的求解过程一样，我们总可以求得(1.5)()()()()⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅+-+-⋅-=⋅⋅⋅==-,2,1,21!21,2,1,020212k k n n n k a a k a k kk k使之满足（1.4）中的一系列方程，因而()()()()∑∞=--+-⋅⋅⋅+-+-⋅-+=12200221!21k n k k k nx k n n n k a xa y是（1.2）的一个特解。
此时，若令(),1210+-Γ=-n a n则（1.6）变为()()(),21!1202x J x k n k y n nk k k--∞=≡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-Γ-=∑()x J n -称为n -阶贝塞尔函数。
利用达朗贝尔判别法不难验证级数（1.5）和（1.6）对于任何x 值（在（1.6）中0≠x ）都是收敛的，因此，当n 不为非负整数时，()x J n 和()x J n -都是方程（1.2）的解，而且是线性无关的，因为它们可展开为x 的不同次幂的级数，从而它们的比不可能是常数。
于是方程（1.2）的通解可写为()(),21x J c x J c y n n -+=这里21,c c 是任意常数。
⑶其它类型的特殊函数解法【1】幂级数在特殊函数的解法上也有很多的应用，比如勒让德方程的求解. 我们在这里着重讨论勒让德方程的求解，通过此方程的求解展现特殊函数法的特点。
勒让德方程的求解在0=x 的领域求解l 阶勒让德方程()()0121222=++--y l l dxdyx dx y d x 解 令∑∞==0k k k x a y ，则()()kk k k k k x ka x xy xka x y ∑∑∞=∞=-==111','()()()()()()∑∑∑∞=∞=+∞=--=++=-=222221'',211''k k k k kk k k k x a k k x y x x a k k xa k k x y(1.6)代入勒让德方程，并比较k x 的系数，()()()()[].121212⋅⋅⋅+++---+++k k k k k k x a l l x ka a k k a k k因为x 为0的领域内的任意点，上式恒成立，则k x 的系数恒为0， 得展开系数的递推公式：()()()()k k a k k l k l k a 1212++++-=+ 特别地， ()()()1302!321,!21a l l a a l l a +-=+-=若给定0a 和1a （初始条件），则利用递推公式，则可得各阶系数：()()()()kk a k k l k l k a 1212++++-=+因此方程的通解为：()()()x y a x y a x a a x a a x a a a x a x a a x a x y n n k k k 11002024020202210041+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++==∑∞=其中，()()121012112020,1+∞=+∞=∑∑+=+=k k k k k k x a a x x y x a ax y收敛半径为()()()()1112limlim2=++-++==∞→+∞→l k l k k k a a R k k kk . 收敛区域为1<z .这样我们就初步了解了二阶线性微分方程的幂级数解法。